Cristallographie PDF

Introduction la cristallographie
Jacques Deferne
L'Abb Ren-Just Hay (1743-1822),

Professeur de minralogie au Jardin des Plantes Paris,
Pre de la cristallographie moderne
P re mi re a p p ro c h e d e s c ris t a u x
Avant-propos
Chefs d'oeuvres de la nature, par leurs formes gomtriques, les cristaux refltent l'arrangement priodique des atomes qui les constituent.
Cette phrase rsume tout le champ d'tude de la cristallographie. Celle-ci est donc l'tude des
relations troites qui relient les formes des cristaux et leurs proprits physiques et la faon dont
les atomes s'arrange dans l'intimit de leur architecture.
Cet ouvrage est destin avant tout aux tudiants en gologie qui abordent l'tude de la minralogie. Il s'adresse aussi aux amateurs de minraux qui voudraient largir leurs connaissances
scientifiques au del du simple plaisir de contempler un beau cristal.
La cristallographie est une discipline abstraite dont l'tude conduit vite des formulations mathmatiques compliques. Dans cet ouvrage, je me suis efforc de recourir le moins possible aux raisonnements purement mathmatiques en choisissant une approche empirique des phnomnes.
Le contenu de ce livre rsume tout ce qu'un tudiant en gologie devrait connatre avant
d'aborder l'tude de l'optique cristalline et de la minralogie descriptive.
L'amateur de minraux peut trs bien se limiter l'tude des principaux chapitres qui l'intressent, en laissant de ct ceux qui lui semblent trop rbarbatifs, tels ceux qui abordent le calcul
cristallographique, la projection strographique, voire mme la cristallochimie.
C'est dans un souci de clart que la nomenclature utilise ici a t choisie. Aprs avoir assimil la
thorie contenue dans cet ouvrage, les lecteurs qui voudraient approfondir davantage la cristallographie pourront alors adopter sans difficult les abrviations internationales en usage dans la
littrature anglo-saxonne.
!
Jacques Deferne
Table des matires

I. Ltat cristallin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! 5
Les trois tats de la matire.
II. Premire approche des cristaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .! 7

La loi de la constance des angles - Thorie de la molcule constituante - La loi des caractristiques entires - La notation des faces - Choix des axes de coordonnes.
III. Jouons avec la symtrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!13

Les cristaux prsentent une certaine symtrie - Le plan de symtrie, comme un miroir - Les
axes de symtrie, comme un carrousel - Le centre dinversion - Les axes de symtrie inverses
- Combinaison doprateurs de symtrie - Les 32 classes de symtrie.
IV. Reprsentation graphique des cristaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .! 21

La projection strographique - Constructions utilises en projection strographique - Projection dun grand cercle - Projection du ple dun grand cercle - Le canevas de Wulff.
V. Les systmes cristallins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!25

Systme cubique - Les mridries - Les formes composes - A propos de la notation des faces
- Nomenclature des formes des autres systmes cristallins - Systme quadratique - Systme
orthorhombique - Systmes hexagonal et rhombodrique - Systme monoclinique - Systme
triclinique.
VI. Lorganisation des atomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . !
43
Motif, rseau et maille lmentaire - Le rseau - La frquence dapparition des faces - Le

motif - Plan avec glissement - Axes hlicodaux - Les groupes de symtrie - Position des
atomes - Holodrie et mridries.
VII. Les rayons X au service de la minralogie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . !
57
Nature des rayons X - Absorption des rayons X - Dtection des rayons X - Interaction des
rayons X avec la matire - Diffraction des rayons X par les cristaux - Conditions de diffraction - Une application simple : la mthode des poudres - Exemple concret - Identification
dune espce minrale - Le diffractomtre - Analyse chimique par effet de fluorescence X.
VIII. Quelques relations mathmatiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!
67
Le calcul cristallographique - Les zones - La loi de Weiss.
IX. Un peu de cristallochimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!
73
La taille des atomes - Encombrement des constituants structuraux - Composs du type AB Influence des liaisons - Les formules cristallochimiques - Quelques structures classiques Structure des minraux silicats.
X. Aspect et proprits des minraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!85

Habitus - groupement de minraux - clivage - Les macles - Les macles du quartz - Le polymorphisme - Lisomorphisme - Les sries isomorphes - Les minraux ne sont pas toujours
bien dans leur peau. Lanisotropie - Aspect des faces - Les inclusions - Le poids spcifique- La
duret Anisotropie de la duret - Duret relative, duret absolue - La fusibilit - Les proprits optiques - La transparence - La couleur est trompeuse - Lindice e rfraction - Lclat
permet de briller - La photoluminescence - Les proprits lectriques - Les proprits magntiques - Les proprits chimiques.
I. L'tat cristallin
Les trois tats de la matire
La matire existe l'tat solide, liquide ou gazeux. On parle aussi de phase solide, liquide ou
gazeuse. L'exemple qui nous est le plus familier est celui de l'eau qui, pression ordinaire, se
trouve l'tat solide en dessous de 0, l'tat liquide entre 0 et 100 et l'tat gazeux au-dessus
de 100.
Le passage de l'tat solide l'tat liquide s'appelle la fusion, celui de l'tat liquide l'tat gazeux
l'vaporation. Dans le sens contraire, nous avons la liqufaction ou condensation qui ramne un
corps de l'tat gazeux l'tat liquide, puis la solidification qui le fait passer l'tat solide.
Sous certaines conditions, les corps peuvent passer directement de l'tat solide l'tat gazeux et,
rciproquement, de l'tat gazeux l'tat solide. On parle dans les deux cas de sublimation.
vaporation
fusion
solide
liquide
solidification
gazeux
liqufaction
Les trois tats de la matire

La thorie cintique des gaz nous enseigne que les molcules1 possdent une nergie proportionnelle la temprature absolue. Cette nergie, sous forme cintique, communique aux molcules une vitesse leve. Ainsi temprature ordinaire, les molcules d'air qui nous entourent
(azote, principalement) se dplacent une vitesse d'environ 300 m/s.
Par ailleurs, ces molcules sont attires les unes vers les autres par des forces de cohsion qui ne
s'exercent effectivement que lorsqu'elles sont trs proches l'une de l'autre. Lorsque leur vitesse est
leve, elles se dplacent en ligne droite, rebondissant sur les obstacles qu'elles rencontrent. Proportionnellement leur taille, elles restent loignes les unes des autres et elles ne se heurtent
que rarement. Dans ce dernier cas, elles rebondissent aussitt, car les forces de cohsion ne sont
pas assez grandes, relativement celle de leur nergie cintique, pour les maintenir runies. C'est
l'tat gazeux. Le remplissage de l'espace est faible et, pression ordinaire, le poids spcifique
d'un gaz est peu lev. Un mtre cube d'air ne pse que 1.3 kg.
Si la temprature baisse, l'nergie cintique des molcules diminue et leur vitesse est plus faible.
Ltat gazeux : les molcules sont loignes les

unes des autres et sont animes dune vitesse
leve.
L'tat liquide : les molcules sont proches les unes des autres. Elles peuvent
glisser les unes sur les autres.
Les forces de cohsion parviennent les maintenir en contact les unes avec les autres. Les liaisons sont toutefois assez lches et les molcules sont animes de mouvements pendulaires qui
leur permettent de glisser les unes sur les autres. Elles ne peuvent tre maintenues runies qu'en
1 ! Nous appelons "molcules", des particules lmentaires sans prciser pour l'instant s'il s'agit d'atomes ou
de molcules au sens o l'entendent les chimistes.
de trs petits volumes, les gouttes. Pour des quantits plus importantes, il faut un rcipient pour
les maintenir ensemble. C'est l'tat liquide. Si la temprature baisse encore, l'nergie cintique des
molcules n'est plus suffisante pour leur permettre de se dplacer. Elles sont animes d'un mouvement de vibrations de faible amplitude autour d'une position fixe. C'est l'tat solide. De plus, elles
ne sont pas immobilises dans des positions quelconques, mais tendent se disposer d'une manire
parfaitement ordonne qui dtermine une configuration gomtrique rptitive dans les trois dimensions de l'espace. Cet tat ordonn de la matire solide s'appelle l'tat cristallin.
Dans ltat cristallin, les molcules sont arranges selon une configuration parfaitement gomtrique.
La plupart des substances minrales l'tat solide sont cristallises.
L'tat cristallin est l'tat normal du rgne minral. Certains corps
font exception et les atomes qui les constituent sont disposs en
dsordre. Ce sont principalement les verres et certains plastiques.
Les physiciens les considrent comme de "faux tats solides" et les
assimilent des liquides extrmement visqueux.
L'tat cristallin ne se limite pas uniquement aux beaux cristaux des
muses, mais il s'tend la quasi totalit des substances solides du
rgne minral. L'tat cristallin n'implique pas ncessairement la
L'tat cristallin : les atomes prsence de cristaux bien dvelopps aux faces lisses et brillantes.
sont maintenus des empla- Ainsi, les minraux constitutifs du granite (quartz, feldspath et micements fixes. Ils vibrent sans ca) sont des grains sans contours bien dfinis. Au cours de leur
s'carter trop de leur place.
croissance dans le magma originel, les germes cristallins se sont dvelopps tout d'abord librement, puis, en grandissant, il se sont gns mutuellement dans leur croissance, occupant les espaces laisss vides par leurs voisins au dtriment de leur forme propre. Ce sont des minraux dits xnomorphes.
Schma de la croissance des minraux d'une roche ruptive.

A l'oppos, les cristaux bien dvelopps, ceux qu'on admire dans les vitrines des collectionneurs,
se forment dans des conditions bien particulires. Ils ont cristallis dans des espaces libres, fissures ouvertes, godes, sans rencontrer d'obstacles au cours de leur croissance. C'est le cas des "fissures alpines" quon rencontre dans les roches de composition granitique. Sur les parois de ces
fissures, les eaux de circulation venant de zones profondes, chaudes et charges de substances
chimiques, ont petit petit abandonn les sels minraux qu'elles vhiculaient, au fur et mesure
que la pression et la temprature diminuaient. On utilise l'adjectif idiomorphe pour qualifier les
minraux qui prsentent des formes cristallines bien dveloppes.
Minraux informes dans une roche
Halite en cristaux bien dvelopps

6
II. Premire approche des cristaux

La loi de la constance des angles
sommet
Les beaux cristaux, galement dvelopps dans toutes les directions,

comme celui reprsent ci-contre, sont plutt rares. Sur celui-ci, on
distingue des faces planes, limites par des artes qui convergent
vers des sommets. Depuis trs longtemps, les naturalistes, intrigus
par les formes gomtriques des minraux, ont compar les diverses formes cristallines entre elles. En 1669, le danois Nicolas Steno,
qui avait effectu des sections travers de nombreux cristaux de
quartz d'origines diverses, nonce la loi de la constance des angles.
arte
face
Forme idalise dun cristal de quartz
Sections travers diffrents cristaux de quartz

Quelque soit l'aspect extrieur et la dimension des cristaux d'une mme espce
cristalline, les angles que font entre elles les faces correspondantes sont gaux.
En termes plus concrets, cette loi signifie que l'orientation d'une face vis vis des autres faces est
toujours la mme. La forme apparente d'une face, son contour ou l'importance de son dveloppement n'ont pas de signification particulire. C'est son orientation dans l'espace, relativement
aux autres faces, qui est prpondrante.
Trois aspects diffrents de la pyrite. Les contours et l'importance du dveloppement des faces sont diffrents d'un exemple l'autre. Toutefois leur orientation
rciproque est constante et l'angle qu'elles font entre elles est de 54 44'.
Thorie de la molcule constituante

La calcite est un minral fascinant qui montre une grande diversit de formes. Le point commun
de toutes ces formes est leur mode de fragmentation : si on casse un cristal de calcite on obtient,
non pas des fragments informes qui rappelleraient le verre bris, mais des paralllpipdes qui
ressemblent des cubes dforms et que les cristallographes nomment rhombodres. Ceux-ci se
fragmentent leur tour en d'autres rhombodres plus petits, aussi loin que le pouvoir sparateur
du microscope permet de les observer.
Trois formes diffrentes de la calcite Rhombodres de clivage
A partir de cette observation, l'abb Ren-Just Hay a imagin qu'il devait exister une "brique
lmentaire" - le rhombodre, dans le cas de la calcite - qu'il dsigna sous le nom de molcule
constituante.
Par empilements de rhombodres, il est parvenu reconstituer toutes les formes de la calcite.
Dans son Essai d'une thorie de la structure des cristaux, paru en 1784, il dfinit le terme de structure comme le mode d'arrangement des molcules constituantes. Nous savons aujourd'hui que la
molcule constituante n'existe pas rellement sous la forme qu'Hay avait imagine. Toutefois, le
mrite de cette thorie est d'avoir mis en vidence le caractre priodique de l'architecture intime
des cristaux et d'avoir pressenti, sans le deviner vraiment, l'existence de la maille lmentaire. Sa
dcouverte a ouvert la voie de la cristallographie moderne.
Ren-Just Hay, 1743-1822, professeur de

minralogie au Jardin des Plantes, Paris.
Scalnodre ditrigonal reconstitu par empilement

de rhombodres lmentaires (dessin d'Hay).
Lois de dcroissance des gradins dterminant l'orientation des faces (selon Hay).
La loi des caractristiques entires

Dj la fin du XVIIIe sicle (Hay 1781, Bergmann 1773), quelques naturalistes avaient remarqu que les faces des cristaux n'avaient pas des orientations quelconques, mais que leur position relative aux autres faces tait parfaitement bien dfinie. En choisissant judicieusement des
axes de coordonnes ainsi que les units relatives sur ces axes, ils avaient constat que toutes les
faces d'un cristal coupaient ces axes des distances formant entre elles des rapports de nombres
entiers relativement simples.
8
Pour mieux comprendre cette loi, examinons un cristal de barytine. On remarque que ce cristal
prsente une "certaine symtrie". On pourrait "l'enfermer" dans un paralllpipde rectangle
engendr par l'extension imaginaire des faces a, b et c. Choisissons des axes de coordonnes parallles aux trois artes de notre paralllpipde et passant par le centre du cristal. Elles dterminent les axes X, Y et Z. Choisissons une face oblique sur les trois premires, z, par exemple. Si on
la prolonge, elle coupe les axes aux points A, B et C. Dcidons encore d'adopter, sur chacun des
axes, des units relatives proportionnelles aux distances OA, OB et OC.
Essayons d'exprimer l'orientation des autres faces au moyen des paramtres ainsi dfinis. Ainsi
la face y coupe les axes en H, K et L. On peut exprimer les distances OH, OK et OL en fonction des
units relatives OA, OB et OC. On constate que la face y coupe les axes aux distances :
OH ___
OK ___
OL
___
OA OB OC
soit dans notre exemple :
18 ___
9 ___
9
___
10 10 10
Intersection de deux faces, y et z,

avec les axes de coordonnes.
Comme on peut toujours dplacer une face paralllement elle-mme, ce sont les rapports de
ces trois nombres qui nous intressent, soit, dans le cas prsent 2 1 1.
On peut ainsi toujours exprimer l'orientation d'une face par trois nombres premiers entre eux ne
dpassant que rarement 10. Ces nombres, positifs ou ngatifs suivant le ct o ils coupent l'axe,
constituent la notation de la face. La loi des caractristiques entires s'exprime de la manire suivante :
Les rapports des segments dtermins sur les mmes axes par deux faces
quelconques sont toujours des nombres rationnels relativement simples.
La notation des faces

On peut donc exprimer l'orientation d'une face au moyen de trois nombres entiers qui sont les
rapports des distances (exprimes dans les units dfinies plus haut) auxquelles elle intercepte les
axes de coordonnes. Cette notation directe s'appelle la notation de Weiss2 . Elle a l'inconvnient
de comporter le symbole [] pour les faces parallles un ou deux axes de coordonnes. Aussi
lui prfre-t-on la notation dite de Miller3 , universellement utilise aujourd'hui, constitue de
trois nombres entiers h, k et l, qui sont les inverses des rapports des distances interceptes sur les
axes. Le symbole devient 0 et peut donc faire l'objet d'oprations mathmatiques.
2! Christian Samuel Weiss, cristallographe allemand, 1780-1856.

3! William Miller, cristallographe anglais, 1801-1880.
On obtient donc des rapports de fractions ordinaires qu'on transforme ensuite en rapports de
nombres entiers vis--vis d'un dnominateur commun. Ces trois nombres sont mis entre parenthses : (hkl). La face y est donc note (122).
face
intersections sur
les axes (WEISS)
111
211
221
21
11
Inverses
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
notation de
MILLER
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(111)
(122)
(112)
(102)
(110)
La figure ci-dessus reprsente nouveau les axes de coordonnes avec les units dfinies pour la
barytine, ainsi que les orientations des faces x, y, d et m, avec leurs intersections sur les axes. En les
dplaant paralllement elles-mmes, on arrive toujours ce qu'elles interceptent les axes des
nombres entiers d'units (consquence de la loi des indices rationnels). La notation de chaque face
s'obtient donc en prenant les inverses des longueurs interceptes sur chaque axe.
On cherche ensuite le plus petit commun dnominateur et on porte les valeurs du numrateur entre parenthses. Le tableau ci-dessous rsume cette opration pour les diverses faces de la barytine.
Si une face intercepte le ct ngatif
d'un axe, on place un signe ngatif []
au-dessus du chiffre correspondant.
Dans un texte, les indices sont placs entre parenthses. Sur un dessin celles-ci
peuvent tre supprimes.
Orientation des faces de la barytine
Indices de Miller des faces visibles

d'une bipyramide rhombique.
Choix des axes de coordonnes

Un choix judicieux des axes est ncessaire afin que les indices des faces soient des nombres entiers relativement simples. Dans la mesure du possible, on s'efforce de choisir des faces primitives,
c'est dire trois faces dont les intersections mutuelles dtermineront les axes de coordonnes,
ayant entre elles des rapports gomtriques les plus simples possibles.
10
Le choix de la face unitaire, c'est--dire celle dont les intersections avec les axes dterminent les
units, doit tre particulirement judicieux. On la choisira gnralement en raison de son dveloppement important.
Notons que ces units ne sont que des valeurs relatives l'une l'autre et qu'il ne s'agit pas de
valeurs absolues. Ainsi, pour chaque espce minrale, aprs avoir fait le choix des axes de coordonnes et de la face unitaire, on note la valeur des paramtres de la manire suivante :
OA
___
OB
OB
___
OB
OC
___
OB
Au XIXe sicle, ces paramtres ont t calculs pour la plupart des espces minrales. Ce calcul
porte le nom de calcul cristallographique. Il s'effectue partir des mesures des orientations mutuelles des faces l'aide dun goniomtre. Nous verrons plus loin les principes de ces calculs.
A titre d'exemple, les paramtres de la barytine exprims de cette manire, sont 1.627 : 1 : 1.311.
Pour dfinir compltement les axes de coordonnes d'une espce minrale, il faut indiquer les angles que font entre elles les directions des axes ainsi que les paramtres dfinis plus haut. Le cas le
plus simple est celui d'axes orthogonaux avec des paramtres tous gaux. Le plus compliqu est celui d'axes non orthogonaux avec des paramtres tous diffrents.
Axes orthogonaux avec

des paramtres gaux.
Axes non orthogonaux avec

des paramtres ingaux
11
III. Jouons avec la symtrie

Les cristaux prsentent une certaine symtrie
Les cristaux bien dvelopps montrent des faces planes limites par des artes qui elles-mmes
convergent vers des sommets. En observant attentivement les cristaux, on constate qu'ils prsentent une certaine symtrie.
Ce terme de symtrie recouvre en fait une discipline abstraite qui relve des lois de la gomtrie.
Il s'agit de lois de rptitions effectues par des oprateurs de symtrie dont les principaux sont le
plan de symtrie, l'axe de symtrie et le centre d'inversion.
Le plan de symtrie, comme un miroir

C'est un plan qui caractrise les symtries bilatrales. Il ddouble les lments d'un objet, agissant comme un miroir. Toutes les faces, artes et sommets d'un cristal retrouvent une image identique (mais non superposable) de lautre ct du plan. Ainsi, vue dans un miroir, la main droite
aura lair dune main gauche. On qualifie d'nantiomorphes de tels objets identiques mais non
superposables.
Si tous les points d'un objet peuvent tre rpts sur des normales un plan, gale distance
de part et d'autre de celui-ci, on dit qu'il possde un plan de symtrie.
Plan de symtrie.
Le plan de symtrie produit des objets non
superposables, dits nantiomorphes
Les axes de symtrie, comme un carrousel !

Ici, toute les faces, artes et sommets sont "rpts" par rotation autour d'un axe. Au cours
d'une rotation complte (360), chaque lment est rpt 2, 3, 4 ou 6 fois, suivant l'ordre de
l'axe. Dans le monde minral il n'existe que des axes d'ordre 2, 3, 4 et 6.
Si, au cours d'une rotation de 360 autour d'une droite, un objet prend n positions identiques
telles qu'une d'entre elles ne peut pas tre distingue de la prcdente, on dit qu'il possde un
axe de symtrie d'ordre n.
12
Jo u o n s a v e c la s y m t rie
A6
A3
A4
A6
Axes de symtrie d'ordre 2, 3, 4 et 6. On voit que les axes peuvent passer par le milieu
d'artes opposes, par le milieu de faces opposes ou par des sommets opposs.
Le centre d'inversion
Toutes les faces de la forme cristalline sont reproductibles deux deux par inversion de leurs
sommets et de leurs artes par rapport un centre d'inversion, appel parfois aussi centre de symtrie.
Si tous les points d'un objet peuvent tre rpts sur des droites concourantes un point et
gales distances de part et d'autre de celui-ci, on dit qu'il possde un centre d'inversion.
centre d'inversion
C
C'
A'
B'
Forme cristalline avec

un centre d'inversion.
Mcanisme de l'inversion.
Chaque face d'une forme cristalline ayant un point d'inversion, possde une face quivalente
parallle. Cette particularit permet de reconnatre la prsence ou l'absence de cet oprateur de
symtrie.
13
Les axes de symtrie inverses

L'axe inverse est un oprateur multiple qui associe deux oprations : un axe et un point d'inversion.
On dit qu'un objet possde un axe d'inversion d'ordre n si tous ses points peuvent tre rpts
par une rotation de 360/n suivie d'une inversion par rapport un point situ sur cet axe.
Axes d'inversion d'ordre 2, 3, 4 et 6
On remarque que l'axe inverse d'ordre 2 correspond une rflexion sur un plan normal. De mme,
l'axe inverse d'ordre 6 correspond un axe direct d'ordre 3 associ un plan perpendiculaire.
Oprateurs de symtrie ponctuelle et symboles qui les dsignent

Oprateur
Opration
Notation Not. interMultiplicit pratique nationale
Oprateurs quivalents
axe d'ordre 2
rotation
A2
axe d'ordre 3
"
A3
axe d'ordre 4
"
A4
axe d'ordre 6
"
A6
plan
rflexion
centre
inversion
axe inv. d'ordre 2
rot. + inv.
2=m
axe inv. d'ordre 3
rot. + inv.
A6
quivaut A3 + C
axe inv. d'ordre 4
rot. + inv.
A4
identit propre
axe inv. d'ordre 6
rot. + inv.
(A3 P3 )
quivaut A3 + P3 (plan normal)
14
peut tre considr comme un axe

inverse d'ordre 1
quivaut un plan normal l'axe
Les axes inverses peuvent tous tre exprims par des combinaisons d'oprateurs simples, l'exception de l'axe inverse d'ordre 4 qui est le seul prsenter une identit propre.
Prisme et sphnodre quadratique

avec leur axe inverse d'ordre 4
Rhombodre avec son axe inverse

d'ordre 3.
Combinaisons d'oprateurs de symtrie

La symtrie de chaque forme cristalline est conditionne par la prsence d'un certain nombre
d'oprateurs de symtrie.
Par exemple, l'hmimorphite (un silicate de zinc) possde 2 plans de symtrie et un axe d'ordre
2 passant par l'intersection des plans. Certains cristaux prsentent une symtrie basse : un seul
axe, un plan, alors que d'autres prsentent une symtrie leve, caractrise par la prsence de
nombreux oprateurs de symtrie. Le cube, par exemple, comporte 13 axes de symtrie, un centre
d'inversion et 9 plans.
A2
L'ensemble des oprateurs de symtrie qui caractrisent une forme
cristalline constitue sa formule de symtrie. Il est intressant de noter
que tous les oprateurs de symtrie caractrisant un objet, concourent
en un point commun au centre de cet objet. Pour cette raison on parle
de symtrie ponctuelle.
Les combinaisons d'oprateurs de symtrie obissent des lois trs
strictes (des thormes) qui en limitent le nombre. Ainsi, dans le monde
minral, on ne trouve que 32 combinaisons possibles qui dfinissent les
32 classes de symtrie. Chaque espce minrale appartient ncessairement l'une de ces 32 classes. Les thormes de symtrie constituent
un auxiliaire prcieux dans la recherche des formules de symtrie et
permettent de reconstituer facilement les 32 classes de symtrie.
P'
Hmimorphite et ses trois

lments de symtrie.
Les 32 classes de symtrie
On peut reconstituer systmatiquement les 32 classes de symtrie en examinant successivement

les sept associations possibles d'oprateurs et, pour chacune d'elles, on essaye les diverses combinaisons d'axes, plans et centre d'inversion, en prenant soin de respecter les thormes de symtrie. Le tableau de la page 20 prsente l'ensemble de ces combinaisons. Le tableau de la page 22
prsente, sous une autre disposition, les 32 classes de symtrie.
Rappelons que la multiplicit M d'une classe de symtrie correspond au nombre de rptitions
d'une face d'orientation quelconque (ni normale, ni parallle un axe) par les oprateurs de symtrie. Dans chaque systme, une classe possde la multiplicit maximum. Cette classe, la plus
symtrique du systme considr, est l'holodrie. Si la multiplicit diminue de moiti on a une
hmidrie; si elle diminue encore une fois de moiti c'est une ttartodrie.
Ces termes comportent parfois un prfixe ou sont remplacs par d'autres termes plus particuliers.
Ainsi l'holoaxie est une mridrie qui n'a conserv que les axes, alors que dans lexemple de l'hmimorphite (ci-dessus) est caractrise par la disparition du plan normal un axe principal. On
utilise parfois le prfixe para- pour les hmidries centres et anti- lorsqu'il n'y a pas de centre.
15
Les principaux thormes de symtrie ponctuelle
1
Une forme cristalline ne peut avoir que des axes d'ordre 2, 3, 4, 6.

(Il s'agit d'un thorme restrictif qui ne s'applique qu'aux substances cristallises)
2a
Un plan perpendiculaire un axe d'ordre pair entrane l'existence d'un centre d'inversion;
2b
Un centre d'inversion situ sur un plan implique l'existence d'un axe d'ordre pair normal au plan et
passant par le centre;
Un centre situ sur un axe pair entrane l'existence d'un plan normal l'axe et passant par le centre.
2c
(C'est un thorme important. On peut le rsumer en disant que pour les trois oprateurs, axe pair,
plan normal et centre d'inversion, l'existence de deux d'entre eux entrane l'existence du troisime)
Un plan normal un axe impair (axe d'ordre 3) interdit la prsence d'un centre;
4a
La prsence d'un axe binaire perpendiculaire un axe d'ordre k entrane l'existence de k axes binaires perpendiculaires cet axe; l'angle dtermin par deux axes binaires est alors gal /k;
4b
Dans une figure qui n'a que k axes binaires situs dans un mme plan, la perpendiculaire au plan
est alors un axe d'ordre k;
5a
Si une figure a un axe d'ordre k et un plan passant par cet axe, cela entrane l'existence de k plans
passant par l'axe; l'angle entre deux plans est alors /k;
5b
Si une figure n'a que k plans passant par une droite, celle-ci est un axe d'ordre k;
Lorsqu'il y a plus d'un axe d'ordre suprieur 2, les seules combinaisons possibles d'axes sont
3A2 4A3 ou 3A4 4A3 6A2. Toutefois les axes d'ordre 3 et 4 peuvent devenir des axes inverses;
7a
Un axe impair devient un axe inverse s'il existe un centre;
7b
Un axe inverse impair implique l'existence d'un centre et exclut l'existence d'un plan normal;
7c
Un axe inverse d'ordre 4 est un oprateur qui n'admet ni plan normal ni centre.
On voit donc que les 32 classes de symtrie se rpartissent leur tour en sept systmes cristallins,
dfinis chacun par une association particulire d'oprateurs de symtrie. Ces sept systmes correspondent aussi sept paralllpipdes dont les artes serviront d'axes de coordonnes pour les
reprsentations graphiques des cristaux.
Les sept systmes cristallins
Systme
Caractristique
Multiplicit de
l'holodrie
cubique
4 axes d'ordre 3
48
quadratique
un axe principal d'ordre 4
16
orthorhombique
3 lments binaires
monoclinique
un lment binaire
hexagonal
24
rhombodrique
12
triclinique
axe direct ou inv. d'ordre 1 (C ou rien)
16
On appelle holodrie une forme qui prsente la totalit des lments de symtrie du systme. La
multiplicit est le nombre de fois quune face oriente dune manire quelconque est rpte par
les lments de symtrie.
Cubique
Quadratique
Orthorhombique
Hexagonal
Cube
Prisme droit
base carre
Prisme droit
base rectangle
Prisme droit base

hexagonale
Rhombodrique
Monoclinique
Triclinique
rhombodre
prisme oblique
base rectangle
prisme oblique sur

toutes les artes
Recherche systmatique des 32 classes de symtrie

Axes
not. internat.
triclinique
monoclinique
axe inverse axe + plan

X
X/m
axe+plans
l'axe
axe+axes
binaires
axe+ plans
+plans + C
axes inv. +
plans passant
par l'axe
Xm
X2
X/mm
Xm
A2P2P'2
A2A'2A"2
A2A'A"2P2P'2P"2
A3 3A2
A6/3 3A2 C 3P2
1 (= C)
A2
2 (= P)
A2CP2
orthorhombique
rhombodrique
A3
3 (ou A3C)
(A3 3)
A3 3P2
quadratique
A4
4 (= A 4/2)
A4 C P4
A4P2P'2
A42A2"2A'2 A42A22A'2CP42P2 2P'2 A4 2A2 2P'2
hexagonal
A6
6(=A3P3)
A6 C P6
A6 3P2 3P'2
A6 3A2 3A'2 A6 3A2 3A'2 C 3P2 3P'2 A33A2P33P2
3A24A3
A3P3
3A24A3C3P2
3A44A36A2
3A44A36A2
cubique
3A44A36A2C3P46P2
A 6/33A2C3P2
3A4/2 4A36P2
La notation internationale, dite aussi "Hermann-Mauguin", est utilise dans les tables internationales de
cristallographie. Elle a l'avantage d'tre trs condense mais prsente l'inconvnient de ne pas tre "visuelle". Elle est base sur le principe suivant :
- X (un nombre) dsigne un axe d'ordre X,
- X dsigne un axe inverse d'ordre X,
- X/m un axe normal un plan,
- Xm un plan passant par l'axe
- X2, un axe d'ordre X avec des axes binaires normaux cet axe
- X/mm, un axe avec 2 sortes de plans.
Cette notation implique une parfaite connaissance des thormes de symtrie, car les lments rendus
obligatoires par ces derniers ne figurent pas dans la formule.
17
Ainsi 432 signifie 3A4 4A3 6A2 (consquences du thorme VII) et 3A4 4A3 6A2 C 3P4 6P2 devient 4/m3m,
ce qui signifie axes d'ordre 4 avec plans normaux et axes d'ordre 3 passant par les axes. Cette notation peut
encore tre simplifie et 4/m3m devient m3m !
Les 32 classes de symtrie

Formule de symtrie
Cubique
3A44A6/3 6A2C3P46P2
48
holodrie
m3m
3A4 4A3 6A2
24
holoaxie
432
3 A4/2 4A3 6P2
24
antihmidrie
43m
3A 2 4A6/3 C 3 P 2
24
parahmidrie
m3
12
ttartoaxie
23
Quadratique
Monoclinique
Orthorhombique
Mult. Classe
Not.intern.
Systme
3A2 4A3
A4 2A2 2A'2 C P42P2 2P'2
16
holodrie
4/mmm
A4 2A2 2A'2
holoaxie
422
A4 2P2 2P'2
hmimorphie
4mm
A4 C P4
parahmidrie
4/m
A4/2
antihmidrie
42m
A4/2
ttartodrie
A4
ttartodrie hmimorphe
A2 C P2
holodrie
2/m
A2
holoaxie
P2
antihmidrie
holodrie
mmm
2A2 2P'2
A2 A'2 A"2 C P2 P'2 P"2

A2 A'2 A"2
Hexagonal
Rhombodrique
Triclinique
holoaxie
222
A2 P'2 P"2
hmimorphie
mm2
A6 3A 2 3A'2 C P6 3P2 3P'2
24
holodrie
6/mmm
A6 3A 2 3A'2
12
holoaxie
622
A6 3P2 3P'2
12
hmimorphie
6mm
A6 C P6
12
parahmidrie
6/m
A3 3A 2 P3 3P'2
12
antihmidrie
6m2
A3 P3
ttartodrie
A6
ttartodrie hmimorphe
A6/3 3A 2 C 3P2
A3 3A 2
12
3m
holodrie
holoaxie
A3 3P2
A6/3 C
hmimorphie
3m
parahmidrie
A3
ttartodrie
holodrie
---
hmidrie
18
32
Reprsentation graphique des cristaux
IV. Reprsentation graphique des cristaux

Nous n'allons pas traiter de la manire dont les cristaux sont dessins, mais de leur reprsentation dans les divers systmes de projection, en particulier la projection strographique.
Nous savons dj que c'est l'orientation d'une face qui importe et
non son contour ou l'importance de son dveloppement. Aussi sommes-nous conduits adopter un systme de projection dite "polaire", pour reprsenter les faces d'un cristal. On procde en deux
temps : tout d'abord on imagine le cristal au centre d'une sphre.
Ds lors, chaque face est reprsente par l'intersection avec la sphre
de sa normale passant par le centre de la sphre. Ce point est qualifi de ple de la face.
Ples des faces d'un
cristal
sur une sphre.
Il faut ensuite imaginer un systme de projection sur un plan, de
l'ensemble des ples des faces. C'est le mme problme que celui des
gographes qui doivent reprsenter notre globe terrestre sur une carte de gographie plane. On
peut imaginer trois sortes de projection du ple P d'une face :
- la projection orthogonale, qui consiste abaisser la normale du ple P en un point Po, sur le
plan de projection (le plan quatorial ou le plan tangent au ple nord de la sphre, dans notre
exemple).
- la projection gnomonique, qui consiste prolonger la polaire jusqu'au plan tangent un des
ples de la sphre ( Pg ).
- La projection strographique, qui utilise le plan quatorial comme plan de projection et le ple S
comme point de vue (Ps).
C'est surtout la projection strographique qui est utilise en cristallographie. Elle possde
l'avantage sur les autres que la projection d'un cercle reste un cercle et que les angles entre les
arcs de grands cercles (plans passant par le centre de la sphre) sont projets en vraie grandeur.
O Po = r cos
N Pg = r ctg
O Ps = r ctg /2
Po
projection orthogonale
Pg
projection gnomonique
Ps
projection strographique
Divers systmes de projection du ple P
19
a) strographique
b) gnomonique
c) orthogonale
Reprsentation d'un cercle selon diverses projections.

La projection gnomonique est utilise lorsqu'on veut dessiner des cristaux en perspective. La projection strographique est d'un emploi simple et commode. Elle peut tre utilise dans de nombreux problmes se rapportant l'orientation de plans dans l'espace, en particulier en gologie
applique.
La projection strographique
La projection a lieu sur le plan dfini par le cercle quatorial qu'on nomme cercle de base ou
encore cercle de projection. Le point de vue est le ple sud de la sphre. Les points situs dans
l'hmisphre nord sont projets l'intrieur du cercle de base, ceux situs dans l'hmisphre sud
sont projets l'extrieur. S'ils sont trop proches du point de vue, leur projection se trouve trs
loin du cercle de base. Aussi on peut adopter la convention que les points situs dans l'hmisphre sud sont projets en utilisant le ple nord comme point de vue. On adopte alors des figurs
diffrents suivant le point de vue utilis.
Projection strographique utilisant

le ple sud comme point de vue.
Projection strographique utilisant

les deux ples comme point de vue.
Constructions utilises en projection strographique

Les divers problmes de constructions sont bass sur le principe du rabattement. Prenons
l'exemple le plus simple, celui de la projection d'un point P dont on connat les coordonnes. Ces
dernires sont semblables celles utilises pour situer un lieu sur le globe terrestre : on a l'angle
, comparable la longitude, - angle entre la trace du mridien d'origine choisi arbitrairement
et le mridien du point P et l'angle , comparable la latitude, qui est la hauteur angulaire du
point P au-dessus du cercle quatorial.
20
Reprsentation graphique des cristaux

La figure ci-dessous montre la perspective et la construction de la projection. Sur la projection on
dessine la trace du mridien dorigine O. On dessine ensuite la trace du mridien du point P, qui
se trouve la distance angulaire de O. La prolongation de cette dernire droite coupe le cercle
de base en uu'. On effectue alors un rabattement, c'est dire qu'on fait pivoter le grand cercle
uPNu' autour de la droite uu'. Sur la projection le point N vient en (N), le point P en (P) et le ple
S en (S). On peut alors tracer l'angle qui se trouve maintenant dans le plan du dessin grce au
rabattement. On trace ensuite une droite entre (P) et le point de vue (S) et on trouve le point p,
projection de P. Comme il se trouve sur l'axe de rotation, situ lui-mme dans le plan de projection, la rotation du plan uPNu' le laisse invariant.
vue en perspective
construction de la projection
Projection d'un point P dont on connat les coordonnes y et r.
Projection dun grand cercle

C'est un problme qui se pose trs souvent. Nous savons que la projection d'un cercle est un cercle. Il nous suffit donc de trouver la projection de trois points du grand cercle. Examinons la figure
suivante : nous cherchons construire la projection du grand cercle aPa'P'. Ce grand cercle
coupe le plan de projection en a et a' qui sont dj deux des trois points recherchs. Prenons le
point P, hauteur maximum du grand cercle qui se trouve l'intersection de celui-ci avec la normale la droite aa'. Dans le plan de projection la trace de la droite PP' est uu'. Elle est normale
aa'. Un rabattement du plan uPu' autour de uu' amne P en (P) et S en (S). On peut construire
alors la projection p de P. Il ne reste plus qu' construire le grand cercle qui passe par les points
a, p et a'.
a) vue en perspective
b) construction de la projection
Projection d'un grand cercle d'inclinaison .

21
Projection du ple d'un grand cercle

Un grand cercle dcoupe dans la sphre un plan qu'on peut reprsenter par son ple G, intersection avec la sphre de la normale au grand cercle passant par le centre de la sphre. On voit, sur
le dessin suivant, comment on obtient la projection du ple G. Dans le rabattement effectu autour de la droite uu', on trace la normale OP. On obtient le point (G) dont la projection g est
celle du ple du grand cercle.
vue en perspective
construction de la projection
Projection du ple dun grand cercle.

Il faut remarquer que la projection du ple du grand cercle ne correspond pas au centre gomtrique du cercle projet !
Les autres problmes, tracs de petits cercles ou distances angulaires, ne sont gure plus compliqus, et les constructions qu'ils exigent sont toujours bases sur le principe du rabattement.
Pour faciliter les constructions, divers auteurs ont proposs des canevas dont le plus connu est
celui de Wulff Il consiste en une srie de grands cercles nord-sud, construits de deux en deux degrs, recoups par des petits cercles parallles l'quateur.
Le canevas de Wulff
Les constructions s'effectuent sur un papier calque sous lequel on a plac le canevas de Wulff.
On place une punaise au centre du canevas, pardessous, pointe en haut. La pointe traverse le papier calque qu'on peut faire tourner ainsi autour
du centre de la construction. Ce canevas permet
de mesurer immdiatement les distances angulaires partir du centre de la projection ou du
cercle de base. Il permet encore de tracer n'importe quel grand cercle et de mesurer une distance angulaire entre deux points situs n'importe o sur la projection.
Canevas de Wulff.
22
Les systmes cristallins
V. Les systmes cristallins

Chaque systme cristallin se subdivise en plusieurs classes dont une, l'holodrie, prsente l'ensemble des lments de symtrie du systme, et dont les autres, les hmidries, ou mme les ttartodries, ne possdent que la moiti ou le quart de ces lments. Nous verrons plus loin les causes
des ces diffrences.
Dans ce chapitre, nous nous proposons, en nous aidant de la projection strographique, de rechercher toutes les formes cristallines possibles de l'holodrie de chaque systme et de voir quelle
est l'volution de ces formes dans les classes mridriques et ttartodriques. Cette recherche peut
tre applique systmatiquement au trente-deux classes de symtrie. Ce travail est fastidieux,
aussi nous nous limiterons quelques classes intressantes et laisserons au lecteur le soin de faire
ce mme travail pour les autres classes, s'il en prouve l'envie !
Systme cubique
L'holodrie est caractrise par la formule 3A4 43 6A2 C 3P4 6P2 . C'est celle du cube, qui est la
forme primitive partir de laquelle on peut reconstituer toutes les autres formes du systme.
A4 4A3 6A2
3 P4
6P2
Les lments de symtrie du cube.

Imaginons ce cube au centre d'une sphre et plaons les divers oprateurs de symtrie sur la
projection strographique (p. 31). Les axes A4 percent la sphre, l'un au ple Nord, les deux
autres l'quateur. La projection du premier se trouve au centre du cercle de base, celles des
deux autres sur le cercle lui-mme. Les deux axes A2 horizontaux sortent aussi sur le cercle de
base, 45 des prcdents. Le plan P4 horizontal est confondu avec l'quateur de la sphre, c'est
dire avec le cercle de base lui-mme. Les autres plans P4 dcoupent sur la sphre des grands
cercles verticaux dont les projections sont des droites sur le cercle de base. Les deux plans P2 verticaux dcoupent aussi des grands cercles verticaux dont les projections sont des droites places
45 de celles des plans P4 . Les quatre autres plans P2 dcoupent dans la sphre des grands cercles inclins 45 dont les projections sont des cercles aiss construire (voir chapitre prcdent).
Les axes A3 , (en ralit des axes inverses A6/3) se trouvent l'intersection de trois plans P2 , et
les quatre axes A2 inclins sont aux intersections des plans P2 et P4 .
Notons encore que les axes de coordonnes utiliss dans le systme cubique sont confondus avec
les axes de symtrie A4 .
Nous allons tudier successivement toutes les formes dont les faces sont perpendiculaires aux
axes de symtrie, puis parallles ces mmes axes, et enfin la forme dite "oblique" dont les faces
n'ont pas d'orientation privilgie vis vis des oprateurs de symtrie.
23
plans
axes A4
axes A3
axes A2
traces des plans P4 et P2
Projection strographique des lments

de symtrie du systme cubique.
La forme dont les faces sont normales aux axes A4 est le cube, ou hexadre. Les faces sont aussi
perpendiculaires aux axes de coordonnes. Leur notation gnrale est {001} 4.
Par permutation on obtient bien les indices des six faces :
(100)
(100)
(010)
(010)
(001)
(001)
Sur la projection strographique, les projections des ples des faces du cube sont confondues
avec celles des axes A4.
Par un raisonnement analogue nous obtenons l'octadre, dont les faces sont normales aux axes
A3, puis le dodcadre rhombodal 5, dont les faces sont normales aux axes A2. Les projections des
faces de ces diverses formes sont confondues avec celles des axes auxquels elles sont perpendiculaires.
La recherche des formes parallles aux axes s'effectue de la manire suivante : on place sur la
projection strographique le ple d'une face parallle un axe, l'axe A4 vertical, par exemple.
Puisque le cercle de base est le lieu des ples de toutes les faces verticales (donc parallles A4 )
on peut placer ce ple a n'importe o sur ce cercle. Ce point est alors rpt par tous les oprateurs de symtrie prsents. On obtient ainsi les 24 faces du cube pyramid. De la mme manire on
obtient les 24 faces de l'octadre pyramid (appel aussi triakisoctadre) ou du trapzodre, en cherchant les formes dont les faces sont parallles A2. Le fait qu'on obtienne deux formes diffrentes
dpend de l'endroit o l'on a dispos la premire face.
Enfin, si l'on place le ple d'une face d'une manire non privilgie vis vis des oprateurs de
symtrie, on obtient un solide 48 faces, l'hexakisoctadre. C'est ce dernier qui dtermine, par
son nombre de faces, la multiplicit M de la classe de symtrie.
4 ! les indices mis entre parenthses accolades signifient que toutes les permutations doivent tre
effectues pour trouver les indices particuliers de chaque face. C'est le symbole gnral de la
forme cristalline.
5 ! L'adjectif "rhombodal" qualifie la forme de la face, un rhombe, mot grec signifiant "losange".
24
A4: cube
A3 : octadre
A2 : dodcadre rhombodal
Formes perpendiculaires aux axes de symtrie du systme cubique,

leur notation et leur orientation vis--vis des axes de coordonnes.
cube pyramid {hk0}
octadre pyramid {hhl}

(ou triakisoctadre) h>l
trapzodre {hhl} h<l
Holodrie du systme cubique : formes parallles aux axes de

symtrie et leur reprsentation en projection strographique.
Formes cristallines de l'holodrie du systme cubique
Orient.
forme
indices M*
orientation
forme
indices
A4
cube
{100}
//A2(entre A2 et A3)
octadre pyramid
{hhl} h>l
24
A3
octadre
{111}
//A2 (entre A3 et A4)
trapzodre
{hhl} h<l
24
A2
dodcadre
rhombodal
{110}
12
oblique
hexakisoctadre
{hkl}
48
//A4
cube pyramid
{hk0}
24
* Multiplicit d'une face en fonction de sa position vis--vis des oprateurs de symtrie
L'hexakisoctadre {hkl}, forme "oblique" de l'holodrie

du systme cubique, et sa projection strographique.
25
Les mridries
Le principe de la recherche des formes cristallines des classes hmidriques est le suivant: sur une
projection strographique des oprateurs de symtrie de l'holodrie du systme cubique, figurs
en traits fins, on marque en couleur ou en traits gras les oprateurs encore prsents de la classe
considre. On procde ensuite de la mme manires que pour l'holodrie.
La forme oblique dans les diverses mridries du systme cubique
3A4 4A3 6A2

holoaxie!
gyrodre
3A2 4A3 C 3P2

parahmidrie
diplodre!
3A 4A3 6P2
antihmidrie
3A2 4A3
ttartodrie
hexakisttradre! dodcadre pentagonal

ttradrique
La figure ci-dessus montre comment se comporte la "forme oblique" dans les trois mridries et
dans la ttartodrie du systme cubique. La forme oblique est la seule qui soit toujours atteinte
par une diminution de symtrie.
Le tableau de la page 33 dcrit toutes les formes simples de l'holodrie et des mridries du systme cubique. En l'examinant, on constate que certaines formes ne sont pas altres par une diminution de symtrie. Ainsi, le cube et le dodcadre rhombodal sont des formes qui subsistent
dans les cinq classes mridres. Ces formes ne sont pas rvlatrices de la classe laquelle appartient un minral, contrairement la forme oblique qui est caractristique de chacune des classes.
La pyrite se prsente souvent en cubes, bien qu'elle appartienne la parahmidrie de formule
3A2 4A3 C 3P2 .
Mais si on observe plus attentivement un cube de pyrite, on remarque que ses faces sont souvent
stries. Comme la symtrie doit rendre compte non seulement de la forme, mais aussi des proprits physiques, il faut donc admettre que les axes normaux aux faces ne peuvent plus tre des
axes A4, mais des axes A2. Les axes A3 ne sont pas altrs, mais les trois plans P4 deviennent des
plans P2 et les anciens plans P2 disparaissent !
Formes composes
Jusqu' prsent nous n'avons parl que des formes simples. Mais le plus souvent les minraux
sont composs par l'association de plusieurs formes simples. Les orientations des faces restent
videmment les mmes, mais leur contour se modifie par les troncatures provoques par les autres formes. Ainsi les faces du dodcadre pentagonal n'auront plus ncessairement un contour
pentagonal !
26

Quelques formes composes du systme cubique
Grenat: trapzodre et
dodcadre rhombodal
Pyrite : octadre et
dodcadre pentagonal
cube et dodcadre
rhombodal!
Pyrite : octadre et
dodcadre pentagonal
Galne : cube, octadre et

dodcadre pentagonal
Galne : cube et
triakisoctadre
Les grenats montrent trs souvent la combinaison du trapzodre et du dodcadre rhombodal.

La pyrite prsente les combinaisons du cube, de l'octadre et du dodcadre pentagonal. Parfois
mme, suivant le dveloppement relatif des faces, la combinaison de l'octadre et du dodcadre
pentagonal font croire un solide 20 faces, constitu en ralit de 8 faces triangulaires quilatrales (l'octadre) et de 12 faces triangulaires isocles (le dodcadre). Quant la galne, elle
prsente parfois les combinaisons cube et octadre ou cube et triakisoctadre.
A propos de la notation des faces

Lorsqu'on donne les indices sous la forme gnrale {hhl} (cas du trapzodre), cela signifie que
les nombres h et l peuvent tre remplacs par des nombres quelconques (en respectant, dans ce
cas particulier, la rgle h>l). On pourrait donc avoir en ralit {112} ou {113}. La forme obtenue
reste toujours celle d'un trapzodre, mais l'orientation des faces est un peu diffrente.
La nomenclature des formes cristallines suit plus ou moins une logique base sur le nombre des
faces et la forme de leur contour (dans les cas de formes simples). Ainsi dodcadre signifie solide
12 faces. On le qualifie de pentagonal lorsque la forme de ses faces est pentagonale. De mme,
on utilise les qualificatifs rhombodal (= losangique) ou deltode (en forme de delta). On a recours aussi des prfixes grecs, triakisoctadre par exemple, qui signifie pyramide trois pans
sur les faces d'un ancien octadre. On utilise encore des noms particuliers : trapzodre (24 faces
en forme de trapze), gyrodre, ou diplodre.
Trapzodres d'indices diffrents
trapzodre (112)
trapzodre (113)
27
Formes cristallines de quelques minraux cubiques.
Diamant
hexakisoctadre
Grenat
dodcadre rhombodal
Fluorine
cube et octadre
Fluorine
deux cubes macls
Pyrite
dodcadre pentagonal
et octadre
Cobaltine
cube, octadre et deux dodcadres pentagonaux
Prowskite
cube, octadre et
dodcadre rhombodal
Blende
dodcadre rhombodal,
cube, octadre et trapzodre
Grenat
dodcadre rhombodal
et hexakisoctadre
Ttradrite
ttradre, cube et
triakisttradre
Cuprite
dodcadre rhombodal
et octadre
Magntite
dodcadre rhombodal,
octadre et trapzodre
Nomenclature des formes des autres systmes cristallins

Les systmes autres que le systme cubique utilisent une nomenclature commune assez simple.
Ils prsentent des lments de symtrie moins nombreux. Cela entrane une diminution du nombre des faces, et implique que certaines formes simples ne sont plus fermes (faute d'un nombre
suffisant de faces) et qu'elles ne peuvent exister que combines avec d'autres formes simples. Par
exemple, une pyramide serait une forme ouverte sil ny avait pas la base. De mme, un prisme ne
saurait exister sans la prsence des ses bases. La position de l'axe de coordonne Z concide avec
l'axe principal des systmes quadratique, hexagonal, rhombodrique, et avec un des axes A2
dans le systme orthorhombique. Dans le systme monoclinique, c'est l'axe Y qui concide avec
l'axe A2.
28

Noms des formes simples des autres systmes cristallins :
Pinacodes !
deux faces parallles {001}, {010}, {100}, {h0l}, etc..).
Prisme!
ensemble de faces parallles une mme direction, gnralement l'axe principal {hk0}.
Bipyramide !
deux pyramides accoles par leur base. Les sections des prismes, pyramides
et bipyramides peuvent tre trigonales, ttragonales (ou quadratiques), hexagonales, ditrigonales, dittragonales ou encore dihexagonales (cf. figure page
suivante).
Sphnode
(ou aussi bisphnode) dformation ttragonale ou orthorhombique du ttradre.
Disphnodre !
Trapzodre !
deux pans sur chaque face d'un sphnodre.

bipyramide dont une des pyramides a tourn d'un angle quelconque autour de
l'axe principal.
Rhombodre !
trapzodre trigonal dont une des pyramides a tourn de 60 par rapport l'autre. On peut le dfinir aussi comme un paralllpipde dont les faces ont des
formes de rhombe (= losange).
bipyramide ditrigonale dont une des pyramides a tourn de 60 par rapport
l'autre (ou rhombodre avec deux pans sur chaque face).
Scalnodre ditrigonal !
Pdion !
face unique non rpte par les oprateurs de symtrie (base d'une pyramide,
par exemple).
Dme !
prisme rduit deux faces non parallles. Un plan de symtrie engendre la

deuxime face partir de la premire. Parfois aussi le terme de dme est utilis
dans les systmes de basse symtrie pour des prismes parallles aux axes X
ou Y.
Sphnode!
appellation particulire, dans le systme monoclinique, d'un dme engendr par

l'axe binaire .
Formes cristallines simples des systmes cristallins non cubiques.
Pinacodes
Prismes
trigonal ttragonal hexagonal rhombique
pyramide
bipyramide
ditrigonal dittragonal dihexagonal
29
sphnodre
dome
disphnodre
sphnode
trapzodre
trigonal
rhombodre
obtus
trapzodre
ttragonal
trapzodre
hexagonal
rhombodre
aigu
scalnodre
ditrigonal
On attribue parfois des prfixes aux prismes, pyramides et bipyramides pour prciser leur position vis--vis des axes de coordonnes X et Y. Ce sont les prfixes proto-, deutro- et trito- qui indiquent respectivement qu'une face coupe les axes prcits des distances gales (hhl), qu'elle est
parallle l'un d'entre eux (h0l), ou que son orientation est quelconque (hkl). En lieu et place de
ces prfixes, certains auteurs utilisent les expressions "de premire espce", "de deuxime espce", ou "de troisime espce".
Orientation des prismes, pyramides et bipyramides vis--vis des axes de coordonne
Systme quadratique
La recherche des formes simples des diverses classes s'effectue de la mme manire que pour le
systme cubique. Le tableau de la page 44 montre toutes ces formes en fonction de leur orientation vis--vis des oprateurs de symtrie. La figure ci-contre montre la projection strographique
des plans et axes de symtrie du systme.
30

Il faut noter cependant que les prfixes protodeutro- et trito- ne sont utiliss que si on veut
exprimer prcisment la position d'un prisme ou
d'une bipyramide par rapport au rseau cristallin
du minral. Ainsi, sur les dessins suivants, on sait
qu'il s'agit dune deutroforme, uniquement
parce qu'on connat l'orientation des formes du
zircon par rapport ses paramtres cristallographiques. Mais si on prsente un minral inconnu
avec ces mmes formes, rien priori ne permet
d'affirmer qu'il s'agisse de proto- ou de deutroforme.
On peut voir les deux sphnodres conjugus (112) et (112) de la chalcopyrite, dont les faces
montrent des dveloppements trs diffrents. Pour la wulfnite, on remarque l'association d'un
prisme et d'une tritobipyramide. Les lments binaires ont disparu. Il s'agit de la classe A4CP4.
Quelques formes cristallines du systme quadratique.
Zircon : protoprisme {110}

et protobipramide {111}
Wulfnite : protoprisme {110}

et tritobipyramide {122}
Chalcopyrite : deux sphnodres conjugus

ingalement dvelopps, {112} et {112}, et
deutrobipyramide {201} peu dveloppe.
Vsuvianite : prismes {100} et {110},

deutrobipyramide {101} et pinacode {001}
Systme orthorhombique
Les minraux orthorhombiques ont trois axes de symtrie orthogonaux qui concident avec les
axes de coordonnes. Ils sont souvent allongs selon un de ces axes de symtrie. Celui-ci est alors
choisi comme axe Z. Les axes A'2 et A"2 jouent alors les rles de X et Y.
31
En principe il ne devrait pas exister d'axe principal. Cependant, cause de l'allongement ou de
l'aplatissement frquent des minraux appartenant ce systme, on continue, par habitude, de
nommer "prisme" la forme dont les faces sont parallles A2 et "dme" les formes dont les faces
sont parallles aux axes A'2 et A"2. La figure suivante montre la projection strographique des
lments de symtrie ainsi que les ples des faces de la crusite, minral appartenant l'holodrie du systme.
Projection strographique de la crusite (PbCO 3 ).
{110} prisme orthorhombique

{010} pinacode en Y
{021} dme (ou prisme) en X
holodrie : A2 A'2 A"2 C P2 P'2 P"2
Les figures suivantes montrent deux exemples de minraux orthorhombiques : l'hmimorphite,

Zn4 Si2 O7 (OH)2 .H2 O et la topaze, Al2 SiO4 (OH,F)2 . L'hmimorphite appartient la classe
A2 P'2P"2 , alors que la topaze est considre comme possdant une symtrie holodre.
Hmimorphite, classe A2P2P"2
Topaze, holodrie
(001) pdion
(010) pinacode en Y
(031) hmidme en X
(301) hmidme en Y
(110) prisme rhombique
(121)pyramide rhombique
prisme rhombique (110) et (120)

dme en X (021)
pyramide rhombique (111)
32
33
Systmes hexagonal et rhombodrique

Le tableau de la page 48 montre toutes les formes des diverses classes de ces deux systmes. On
les tudie souvent ensemble, considrant alors le systme rhombodrique comme une hmidrie
du systme hexagonal.
Pour ces deux systmes on adopte un systme d'axes de coordonnes o X et Y font entre eux un
angle de 120. Certains auteurs ajoutent un axe supplmentaire dans le plan horizontal, l'axe U,
spar de X et Y par un angle de 120. Les indices des faces sont alors (hkil). La valeur de i peut
tre calcule partir de h et k. La relation est : i = (h+k)
systme 3 axes
systme 4 axes
Les axes de coordonnes dans le systme hexagonal

On voit ci-dessous la projection strographique des oprateurs du systme, la position des axes
de coordonnes ainsi qu'un cristal de bryl appartenant l'holodrie du systme.
Le bryl, exemple de l'holodrie du systme hexagonal.
deutroprisme {100}
deutrobipyramide {101}
pinacode {001}
protobipyramide {111}
Le dessin suivant montre la projection strographique des lments de symtrie du systme

rhombodrique. En traits gras on a figur la trace des plans de symtrie, en traits maigres la trace
des axes de symtrie qui sont aussi les axes X, Y (et U). On a figur aussi les ples des faces du scalnodre ditrigonal {hkl}, une des nombreuses formes de la calcite.
34
scalnodre ditrigonal {211} et rhombodre {101}

Avec projection strographique d'une des formes de la calcite,
un exemple de l'holodrie du systme rhombodrique.
Il est intressant de voir ce que devient ce scalnodre dans les autres classes, l'holoaxie A33A2,
par exemple. La disparition des plans de symtrie fait diminuer le nombre de faces de moiti. On
voit, sur la fig. 5.22, que la face (211) n'est plus rpte en (311) comme elle l'tait dans l'holodrie. Nous obtenons une forme 6 faces, le trapzodre. Mais si, au lieu d'avoir choisi la face
(211) comme face quelconque, nous avions considr plutt la face (311) nous aurions obtenu
un trapzodre orient diffremment. On remarque que ces deux trapozodres ne sont pas superposables. On dit qu'ils sont nantiomorphes. On distingue ces deux trapzodres en les qualifiant de droit ou gauche. D'une manire identique nous avons une main droite et une gauche qui
ne sont pas superposables.
Holoaxie du systme rhombodrique :

apparence de la forme oblique.
trapzodre gauche et trapzodre droit
35
Certains minraux sont tantt droits, tantt gauches. L'exemple le plus familier est celui
du quartz.
m!
prisme hexagonal {100}
r!
rhombodre {101}
z!
rhombodre {011}
s!
pyram.trig. gauche {211}
s !
pyram.trig. droite {111}
x!
trapzodre gauche {211}
x!
trapzodre droit {311}

Quartz droit
Quartz gauche
La distinction entre les deux formes n'est macroscopiquement possible que si les faces du trapzodre sont prsentes. Rappelons que ces deux formes sont dites nantiomorphes. Cela signifie
quelles ne sont pas superposables mais que l'une d'entre elles est le miroir de lautre (plan de
symtrie). Un autre exemple intressant est celui de la tourmaline :
Formes habituelles de la tourmaline
(010) prisme trigonal
(110) prisme hexagonal
(101) pyramide trigonale
(001) pdion
section prismatique
36
37
Systme monoclinique
La diminution du nombre des oprateurs de symtrie entrane un appauvrissement du nombre
des formes qui se limitent celles qui sont dcrites dans le tableau ci-dessous.
Formes simples du systme monoclinique
A2 {0 10 }
// A2 { h0l}
oblique { hkl}
2/m
A2 C P2
pinacode
pinacode
prisme
A2
pdion
pinacode
sphnode
P2
pinacode
pdion
dme
L'axe Y concide avec l'unique axe de symtrie, X et Z sont situs dans le plan de symtrie et ne
sont plus normaux aux faces (100) et (001). Sur la projection strographique on place Z verticalement (au centre du cercle de base), X penchant en avant, sa projection se trouve l'extrieur du
cercle de projection. L'orthose, dcrite dans l'exemple ci-dessous, appartient l'holodrie du systme.
Projection du systme monoclinique et exemple de l'orthose
Projection des lments du

systme monoclinique. Le
grand cercle est le lieu des
faces parallles X.
Paralllpipde dfini par les

pinacodes {100}, {010} et {001}.
Les trois artes dfinissent les
axes X, Y et Z.
Formes de l'orthose :
pinacodes {010}, {001} et {201} et
prismes {110}, {130}, {021} et
{111}.
Systme triclinique
Les formes se rduisent des pinacodes dans l'holodrie et des pdions dans la classe sans
symtrie. Le paralllpipde triclinique, dtermin par les pinacodes {100}, {010} et {001} est
orient de telle manire que la face (010) soit situe sur le cercle de base, l'extrmit droite
du diamtre quatorial horizontal, et que la face (100) vienne aussi sur le cercle de base, vers
l'avant. La face (001) penche donc vers l'avant et sur la droite. Les axes X, Y, Z ne sont plus confondus avec les normales aux pinacodes. L'axe Z est vertical, les axes X et Y sont situs en des
points quelconques de la projection.
38

Projection du systme triclinique et exemple de l'axinite.
Paralllpipde dfini par les pinacodes {100}, {010}

et {001}. Les artes dfinissent les axes X, Y et Z.
Formes de l'axinite : pinacodes

{010}, {001} et {201}, {110}, {130},
{021} et {111}.
____________________________
39
VI. L'organisation des atomes

Jusqu' prsent, nous n'avons considr que l'aspect extrieur des cristaux. Il est bien vident
que la forme d'un cristal doit tre le reflet de l'arrangement des atomes qui le constituent. Nous
savons dj que l'tat cristallin est la consquence de l'arrangement gomtrique priodique des
atomes. Comment donc pouvons-nous dcrire ces arrangements?
Partons de l'exemple concret de la halite, le chlorure de sodium NaCl, plus connu encore sous le
nom de sel de cuisine. Si nous faisons vaporer tranquillement une solution de NaCl, nous assistons la formation de petits cristaux plus ou moins bien dvelopps, aux faces orthogonales et
qui tendent former des cubes. Ce minral cristallise donc dans le systme cubique. La premire
ide qui vient l'esprit est que, selon toute vraisemblance, les atomes de chlore et de sodium se
disposent alternativement sur des ranges parallles aux artes d'un cube.
Cristaux cubiques de halite et position des atomes dans la structure

Essayons tout d'abord d'exprimer la distance qui spare un atome de chlore d'un atome de sodium. Ne tenons pas compte des rayons atomiques et calculons la distance qui spare leurs centres. Connaissant le nombre d'Avogadro6 , le poids spcifique de la halite (2.16 gr/cm3) ainsi que
son poids molculaire (58.5 gr.), on obtient :
Comment pouvons-nous dcrire, en termes simples, la configuration atomique7 de la halite ?

Manifestement, on constate la rptition du groupement Na-Cl selon une loi dcouvrir. Pour ce
faire, remplaons chaque Na-Cl par un point. On peut, par exemple, ne reprsenter que les atomes de sodium, avec cette convention qu'il faudra ajouter chaque fois un atome de chlore 2.8
au-dessus du sodium pour reconstituer la structure. Les schmas suivants reprsentent donc des
ensembles de points, chacun d'entre eux remplaant un groupe Na-Cl. On appelle habituellement
ces points des nuds.
6! C'est le nombre d'atomes contenus dans un atome-gramme ou de molcules contenues dans une mol-
cule-gramme (dans le cas prsent 58.5 gr). Ce nombre vaut 6.02 1023.
7 ! Reprsentation d'une structure atomique dans laquelle les atomes sont figurs par des points.
40
L'organisation des atomes

Dans les deux schmas, nous avons essay de reprsenter graphiquement une loi de rpartition des noeuds dans l'espace au moyen d'un rseau de droites. Pour construire un tel rseau8,
il suffit de relier un nud d'origine trois autres noeuds non situs en ligne droite.
Reprsentation du schma de rpartition des noeuds dans l'espace.
Maille simple, dfinie par un

rhombodre dont les nuds
occupent les sommets.
Maille multiple, dfinie par un cube

dont les nuds occupent les
sommets et le milieu des faces.
Dans le premier exemple, nous avons reli le nud o avec les nuds les plus proches a1, b1 et
c1. On obtient trois directions. En prolongeant ces droites, on trouve d'autres nuds indfiniment
rpts gale distance les uns des autres. Ce rseau de droites dtermine un paralllpipde, ici
un rhombodre, dont les artes forment entre elles des angles de 60 et dont les longueurs sont
gales 5.6 2/2 . On peut maintenant dfinir compltement la configuration atomique de
la halite de la manire suivante :
La halite est constitue d'un groupement de deux atomes, chlore et sodium, rpt
priodiquement aux nuds d'un rseau dtermin par un rhombodre, dont les artes
forment entre elles des angles de 60 et dont les longueurs sont gales 5.6 2/2 .
Motif, rseau et maille lmentaire

On nomme habituellement motif, le plus petit groupement d'atomes (ici Na et Cl) qui, indfiniment rpt dans les trois directions de l'espace, reconstitue tout le cristal.
On nomme rseau, l'ensemble des droites passant par les nuds et qui constituent le schma
de rptition des motifs.
On nomme maille lmentaire, le paralllpipde lmentaire qui, par juxtaposition dans les
trois directions de l'espace, reconstitue le rseau. La maille lmentaire que nous venons de
proposer pour la halite, le rhombodre, ne renferme qu'un seul nud. En effet chaque nud
situ sur un sommet est partag avec sept autres mailles lmentaires. Il ne compte donc que
pour un huitime. Il s'agit d'une maille simple ou maille primitive. Elle prsente l'inconvnient
de ne pas reflter la symtrie cubique du cristal. Sur le deuxime schma, nous avons choisi une
autre maille, plus grande que la prcdente. Elle contient 4 nuds (les nuds des faces sont
partags avec la maille voisine). On dit que c'est une maille multiple, de multiplicit 4. On la
dfinit comme une maille faces centres. Elle permet galement de dcrire la configuration
atomique de la halite :
La halite est constitue d'un motif de deux atomes, le chlore et le sodium, rpt priodiquement
aux noeuds d'un rseau dtermin par un cube faces centres, dont les artes sont gales 5.6 .
8! Nous appellerons dornavant rseau l'ensemble des droites qui dcrivent les alignements de nuds.
41
Cette dernire dfinition est beaucoup plus commode que la prcdente, car cette maille lmentaire multiple possde la symtrie du cristal, ce qui n'tait pas le cas de la maille rhombodrique. C'est le rseau cubique faces centres. Cela signifie qu'on trouve des nuds aux sommets et au milieu des faces de la maille.
Le rseau
C'est un arrangement tridimensionnel de nuds tel, qu'aucun de ces nuds ne peut tre distingu d'un autre : autour de chaque nud existe exactement le mme environnement.
Si on relie deux nuds par une droite, on trouve, de part et d'autre de ces noeuds et gales
distances sur cette droite, d'autres nuds identiques. Une telle droite est une range rticulaire.
Un rseau renferme une infinit de ranges rticulaires.
De mme, par trois nuds non en ligne droite on peut faire passer un plan qu'on appelle un
plan rticulaire. Il existe galement une infinit de plans rticulaires.
Nous constatons qu'on peut donc toujours reconstituer un rseau par juxtapositions parallles
sans interstices d'un paralllpipde, la maille lmentaire.
Prenons l'exemple familier d'un papier peint : il est constitu d'un motif, ici une fleur, rpt
selon une certaine loi gomtrique. On peut remplacer les motifs par des points. Ce sont les
noeuds d'un rseau deux dimensions. Il est donc possible de gnrer ce rseau par juxtaposition de diverses mailles lmentaires. Les mailles a, b et c sont des mailles simples, alors que la
maille d est une maille multiple.
Le papier peint, un exemple de rseau bidimensionnel avec motif et maille.

Du point de vue de la symtrie, les mailles a et b ne possdent qu'un seul point 9 de rotation
d'ordre 2. Les mailles c et d possdent en plus deux lignes de rflexion. Par ailleurs, les cts de la
maille d font entre eux des angles droits. C'est probablement la maille multiple d qui sera la plus
commode l'emploi. Pour effectuer le choix de la maille lmentaire la plus convenable, on se
base sur les rgles suivantes :
1. la forme de la maille lmentaire doit correspondre aux repres d'axes (axes de coordonnes) dict par la symtrie du cristal,
2. l'origine de la maille lmentaire est prise en un point remarquable du rseau, un centre de
symtrie, par exemple,
3. tout en tenant compte de la rgle 1, on choisit la maille lmentaire de faon rendre son
volume minimal,
9 ! Dans un monde deux dimensions, on ne parle pas d'axes ou de plans, mais de points de rotation et de
lignes de rflexion.
42

4. parmi les possibilits restantes, on choisit celle qui donne les paramtres (cts de la maille)
les plus petits.
5. En suivant ces rgles, on constate que c'est la maille multiple faces centres qu'il faut choisir, dans l'exemple de la halite.
6. En se conformant ces rgles et en cherchant toutes les possibilits de mailles lmentaires,
on en trouve quatorze. Ce sont les 14 modes de rseau de Bravais10 . On trouve des mailles
simples et des mailles multiples.
Il est remarquable de constater que toute maille possde la symtrie de l'holodrie d'un des
sept systmes cristallins. Trois sont cubiques, une hexagonale, deux quadratiques, une rhombodrique, quatre orthorhombiques, deux monocliniques et une triclinique.
Il faut noter qu'on peut toujours remplacer, bien que ce soit trs malcommode, une maille multiple par une maille simple. En lieu et place de la maille cubique centre, on peut choisir une
maille simple rhombodrique dont les artes forment des angles de 109 28' . La maille cubique
faces centres peut tre remplace par un rhombodre dont les artes forment des angles de 60 .
Remarquons en passant que le cube simple est un cas particulier du rhombodre !
Une maille hexagonale peut tre remplace par un prisme droit base base rhombique, l'angle obtus du rhombe (losange) tant de 120 .
Maille cubique centre et

maille rhombodrique simple.
Maille cubique faces centres et maille

rhombodrique simple.
Maille multiple hexagonale et maille simple rhombique.
Pour dcrire compltement une maille, il faut indiquer si elle est simple ou multiple, prciser les
longueurs de ses artes ainsi que les angles qu'elles font les unes par rapport aux autres. Le nombre de paramtres dterminer varie entre un pour la maille cubique, et six pour la maille triclinique.
10! Auguste Bravais, 1811-1863, officier de marine et naturaliste franais.
43
Caractristiques des diverses mailles lmentaires
cubique
= = = 90
a=b=c
Nombre de paramtres
1
quadratique
= = = 90
a=bc
orthorhombique
= = = 90
abc
hexagonale*
= = 90 = 120
a=bc
rhombodrique*
= = 90
a=bc
monoclinique
= = 90 90
abc
triclinique
90
abc
Symtrie
angles entre les artes
long. artes
* dans le cas du choix d'une maille simple
Les 14 modes de rseau possibles dfinis par auguste Bravais
Il est intressant de comparer ces mailles avec les axes de coordonnes qui nous ont servi indexer les faces des cristaux. Les directions des axes X, Y Z correspondent celles des artes des
mailles lmentaires, et les units relatives choisies sur ces axes sont proportionnelles aux longueurs des artes de la maille.
La seule exception est celle de la maille rhombodrique dont les directions des artes ne sont
pas utilises comme axes de coordonnes. Pour des raisons de commodit on lui prfre une
44

maille hexagonale. En effet, toute maille rhombodrique simple possde une maille multiple hexagonale.
La recherche des axes de coordonnes et des units relatives dfinies
pour chacun d'eux nous renseigne presque compltement sur la maille
lmentaire. Il ne manque que les dimensions absolues des artes dont
nous ne connaissons jusqu'ici que les dimensions relatives.
Notons encore que la "molcule intgrante" d'Hay tait une maille
lmentaire, mais il n'a pas su la discerner du motif !
Il est possible maintenant de dfinir les plans rticulaires par les indices de Miller, puisque nous pouvons assimiler les axes de coordonnes
des ranges rticulaires parallles aux artes de la maille lmentaire.
Le dessin ci-dessous montre un cristal cubique sur les faces duquel
figurent les noeuds du rseau (cubique simple). Il s'agit d'une forme Maille hexagonale multiple et
qui combine les faces du cube, de l'octadre et du dodcadre maille rhombodrique simple.
rhombodal.
Cristal cubique et noeuds du rseau.

On remarque que l'orientation des faces correspond des orientations de plans rticulaires. On
en tire une conclusion trs importante : le rseau est responsable de l'orientation des faces d'un
cristal. Comme les rseaux ont toujours la symtrie holodrique du systme auquel ils se rapportent, il devient vident que l'absence systmatique d'une partie des faces dans les mridries, est
due une autre raison. Nous verrons plus loin que c'est dans la symtrie du motif qu'il faut rechercher la cause des mridries.
Frquence d'apparition des faces

En examinant le dessin ci-dessus, on remarque que la densit rticulaire est maximum sur les
faces {100}. Elle est plus faible sur les faces {110} et elle diminue encore sur les faces {111}. La
figure suivante montre un rseau deux dimensions sur lequel on a trac les ranges rticulaires
(01), (11) et (21). La valeur de la distance rticulaire11 est donne par la relation :
11 !
Distance qui spare deux plans rticulaires parallles successifs.

45
Applique au
rseau cubique simple,
cette formule devient :
Si on tudie systmatiquement la frquence des faces des cristaux, on constate qu'elle est proportionnelle la densit de noeuds du plan rticulaire correspondant, elle mme proportionnelle
la distance rticulaire. Il est ainsi possible de prvoir la frquence des faces. Pour un rseau rticulaire cubique simple, nous aurons :
hkl
100 110 111 210 211 221 310 311 320 321 410 322 411
h 2 + k 2+ l 2
10
11
13
14
17
18
La forme la plus frquente est le cube, puis viennent le dodcadre rhombodal, l'octadre, le cube
pyramid, le trapzodre etc... Pour les mailles multiples il faut tenir compte des noeuds supplmentaires. Pour le rseau cubique centr, on voit apparatre des plans rticulaires intermdiaires
entre les anciens plans {001} qui deviennent alors des plans {002}. Par contre les distances rticulaires des plans {011} restent inchanges. On constate encore que les plans {111} deviennent des plans
{222}). On en tire la conclusion que tous les plans dont la somme des indices h + k + l est impaire,
sont deux fois plus rapprochs que dans la maille simple. Pour tenir compte de cette modification, il
suffit de doubler les indices des plans rticulaires concerns. La frquence de face devient alors :
hkl
200
110
222
420
211
442
310
622
640
321
411
332
431
h 2 + k 2+ l 2
12
20
36
10
44
52
14
18
22
26
La forme la plus frquente est donc le dodcadre rhombodal, puis viennent le cube, le trapzodre, le cube pyramide, l'octadre etc...
Plans rticulaires supplmentaires gnrs par le rseau cubique centr
les plans {001} deviennent

des plans {002}
les plans {011} demeurent

inchangs
46

des plans {222}

Quant au rseau cubique faces centres, par un raisonnement semblable, on peut dmontrer
que les plans rticulaires qui possdent des indices mixtes, pairs et impairs, sont deux fois plus
rapprochs qu'ils ne l'taient dans le rseau cubique simple. On double donc leurs indices :
hkl
200
220
111
420
422
442
620
311
640
642
331 511
h 2 + k 2+ l 2
20
24
36
40
11
52
56
19
27
531
35
La forme la plus frquente est alors l'octadre, suivie du cube, du dodcadre rhombodal, du
trapzodre etc... Les figures suivantes montrent le comportement des plans {001}, {011} et {111}.
Plans rticulaires supplmentaires gnrs par le rseau cubique faces centres.

les plans {011}
les plans {111} demeurent
des plans {002}.
deviennent des plans {022}.
inchangs.
Pour une espce cristalline, l'tude systmatique de la frquence des formes sous lesquelles elle
se prsente habituellement peut permettre d'identifier son rseau. Le diamant et la fluorine qui
montrent une prdominance des formes octadriques, ont un rseau cubique faces centres. Le
grenat et la leucite qui cristallisent frquemment en dodcadres, montrent par l que leur rseau
est cubique centr. Cette tude peut tre tendue aux autres systmes. Toutefois les formules se
compliquent rapidement cause de l'augmentation du nombre des paramtres des mailles.
Le motif
Nous avons considr un cristal comme tant gnr par une rpartition tripriodique de motifs
atomiques. On peut dfinir le motif comme tant le plus petit groupement d'atomes qui, rpt
indfiniment dans les trois directions de l'espace, reconstitue tout le cristal. L'ensemble des motifs
ralise donc le remplissage htrogne de l'espace tripriodique de la maille lmentaire.
Nous admettons que les atomes sont sphriques. Nous ne tenons pas compte, pour l'instant de
leur taille et nous les reprsentons par des points qui figurent leur position. Nous pouvons dcrire
les positions des atomes l'intrieur de la maille lmentaire en nous servant des trois cts de
cette maille comme axes de rfrence, et en prenant comme units, des fractions de longueurs des
artes. Ainsi les positions des atomes de chlore et de sodium l'intrieur de la maille lmentaire
s'crivent :
Les autres atomes ne font plus partie de cette maille, mais de la suivante. Le motif, constitu
ici d'un atome de sodium et d'un atome de chlore, est rpt quatre fois l'intrieur de la
47
maille, car elle renferme quatre nuds (multiplicit
4). On peut maintenant dcrire compltement la
structure en disant que la halite possde une maille
cubique faces centres de 5.6 d'arte, l'intrieur
de laquelle les atomes se rpartissent suivant les
coordonnes mentionnes ci-dessus.
Structure de la halite.
Les atomes sont rpts priodiquement travers tout le

cristal, obissant des lois de symtrie identiques celles
que nous connaissons dj. Il y a toutefois une diffrence
fondamentale entre les lois de symtrie des polydres et celles des motifs. En examinant la figure ci-contre, nous voyons
des axes A4 verticaux parallles Z et passant par tous les
atomes. La particularit de ces axes est de ne plus passer par
un point commun.
Translation , axe hlicodal, plan avec
glissement, dans la structure de la halite.
Ce n'est donc plus une symtrie ponctuelle. Pour reproduire tous les atomes, il faut ajouter un
nouvel oprateur de symtrie : la translation.
Cette nouvelle composante a pour consquence de faire apparatre deux oprateurs composs
nouveaux : le plan avec glissement qui associe un plan et une translation, et l'axe hlicodal qui
associe une rotation avec un glissement le long de cet axe.
Plan avec glissement

Il s'agit d'une opration qui associe la rflexion suivie d'une translation t. Le plan est un des
plans principaux du rseau et la direction de translation est parallle une range du rseau
contenue dans ce plan. La translation t est obligatoirement
gale une demi-translation du rseau : deux oprations successives effectues par un plan avec glissement, quivalent
une translation du rseau. La figure ci-contre montre comment s'effectue la rptition par un plan avec glissement. Un
tel plan existe dans la structure de la halite et la figure ci-conPlan avec glissement
tre ne fait que reprendre une partie de la figure prcdente.
Axes hlicodaux
Il s'agit d'une opration qui associe une rotation avec une translation le long de l'axe. L'axe est
une des directions principales du rseau et la translation t est obligatoirement une fraction entire de la priode de la range.
Il n'existe qu'un seul axe hlicodal binaire. La translation est gale une demi-priode de la
range correspondante. Deux oprations effectues successivement quivalent une translation
du rseau.
48

On trouve ensuite deux axes hlicodaux ternaires. La rotation est d'un tiers de tour et la translation est gale 1/3 de priode (31) ou 2/3 de priode (32). Le premier est dextrogyre (la spirale tourne droite en descendant ou tourne dans le sens positif, en montant), le second est lvogyre. Remarquons que 2/3 de priode dans le sens positif correspondent 1/3 de priode dans le
sens ngatif. Ces deux axes sont nantiomorphes.
Par un mme raisonnement, on trouve trois axes hlicodaux d'ordre 4, caractriss par une rotation d'un quart de tour, associs une translation de 1/4, 2/4 ou 3/4 de la priode du rseau
dans la direction de l'axe. Leur symbole est 41, 42 et 43. Le premier est dextrogyre, le dernier lvogyre. L'axe 42 n'a pas de sens de rotation particulier.
Axe d'ordre 2 et axe
hlocodal d'ordre 2
Nous trouvons encore cinq axes hlicodaux d'ordre 6 : 61, 62, 63, 64 et
65. Les deux premiers sont dextrogyres, les deux derniers lvogyres et 63
n'a pas de sens particulier. La translation vaut 1/6 de la priode du rseau
dans la direction de l'axe.
Les divers axes hlicodaux
Les groupes de symtrie

Ces nouveaux oprateurs de symtrie qui admettent la translation, se combinent avec ceux que
nous connaissons dj dans le cadre de la symtrie ponctuelle. Leur prsence implique des thormes nouveaux. A cause du plus grand nombre d'oprateurs et par le fait que la symtrie n'est
plus ponctuelle, les combinaisons sont beaucoup plus nombreuses et les raisonnements plus compliqus. A titre d'exemple citons quelques uns de ces thormes :
Les lments de symtrie du motif doivent se rpter par des translations du rseau priodique, sans se multiplier l'infini, dans le volume fini de chaque maille.
Axes binaires et centres non concourants engendrent des plans avec glissement perpendiculaires aux axes et passant par les centres.
Les centres de symtrie se rptent priodiquement dans les trois dimensions avec des priodes gales la moiti des priodes principales du rseau.
Deux axes binaires non concourants, spars par une distance d et faisant entre eux un angle
a, engendrent un axe hlicodal passant par la perpendiculaire commune aux deux axes, caractris par une rotation de 2a, suivie d'une translation gale 2d.
On se rend compte de la complexit des raisonnements qu'il faut tenir pour connatre toutes les
combinaisons possibles. On en dnombre 230. Ce sont les 230 groupes de symtrie qu'on appelle
aussi groupes d'espace.
Ils ont t tudis par le cristallographe russe E. Fdorov et le mathmaticien allemand A. Schoenflies. Ces 230 groupes se rpartissent dans les divers systmes de la manire suivante :
49
Rpartition des groupes d'espace dans chaque systme cristallin
systme triclinique :
systme hexagonal :
28
systme monoclinique :
13
systme quadratique :
68
systme orthorhombique :
59
systme cubique :
36
systme rhombodrique :
25
Il sont dcrits en dtails dans les Tables internationales de cristallographie. On les reprsente
graphiquement par un plan de la maille lmentaire sur lequel figurent, d'une manire symbolique, tous les lments de symtrie du groupe.
Ces groupes sont dsigns par les symboles Hermann-Mauguin et ceux de Schoenflies. Les principes de ces notations sont dcrits aussi dans les Tables internationales de cristallographie. Les
conventions graphiques qui symbolisent les oprateurs de symtrie y figurent galement. La figure suivante montre le plan gnral des oprateurs de symtrie du groupe spatial auquel appartient la halite. On n'a reprsent que les oprateurs normaux et parallles au plan (001) du dessin. A cause de la symtrie cubique une reprsentation sur le plans (010) ou (100) serait parfaitement identique. Il s'agit du groupe d'espace N 225. La symtrie est trs leve et le grand
nombre des oprateurs ne permet pas de les faire tous figurer sur le plan. Aussi, les oprateurs
obliques, A3, A2 P2 et certains axes binaires hlicodaux ont t placs sur des projections strographiques. On voit aussi les positions des atomes Na et Cl l'intrieur de la maille avec leur lvation respective.
Position des atomes

Dans l'holodrie du systme cubique, la multiplicit de la forme oblique est de 48, ce qui signifie
qu'une face place de manire quelconque, ni perpendiculaire, ni parallle un lment de symtrie, est reproduite 48 fois. Une face parallle un axe A2 est rpte 24 fois, perpendiculaire
un axe A3, 8 fois etc... D'une manire analogue, un atome plac en position quelconque l'intrieur de la maille sera rpt un certain nombre de fois par les oprateurs de symtrie du groupe
d'espace. Si l'atome est dans une position privilgie, sur un axe, dans un plan, ou l'intersection
de plusieurs oprateurs de symtrie, sa multiplicit va alors diminuer.
Projection sur le plan (001) des oprateurs

de symtrie du groupe N225, Fm3m.
Projection des atomes de

Na et Cl sur le plan (001)
50
Page des Tables Internationale dcrivant le groupe Fm3m auquel appartient la halite
51
Les tables internationales indiquent quelles sont ces multiplicits

et donnent les coordonnes de l'atome l'intrieur de la maille.
Le tableau de la page prcdente est la reproduction d'une page
des ces tables. Il s'agit du groupe N 225 auquel NaCl appartient.
En haut gauche, figurent les symboles des groupes selon les notations de Hermann-Mauguin et de Schoenflies".
Elments de symtrie inclins sur le plan (001).
Au milieu de la premire ligne figure la notation de la classe de symtrie ponctuelle laquelle se

rapporte le groupe; droite on trouve le mme symbole, mais en notation abrge. La premire
liste indique les coordonnes des positions multiples d'un atome en position quelconque. Dans le
cas prsent cette liste comprend 48 termes. Toutefois il ne faut pas oublier que nous sommes dans
une rseau faces centres qui renferme 4 noeuds en positions 0, 0, 0, 0, 1/2, 1/2, 1/2, 0, 1/2
et 1/2, 1/2, 0. Cela signifie que chacune des 48 positions dcrites dans le tableau est reproduite
quatre fois, en lui additionnant chaque fois les coordonnes d'un des nuds de la maille ! Par
exemple, en considrant le premier terme de la liste, x,y,r, nous aurons 4 atomes dont les positions seront les suivantes :
Un atome en position quelconque est donc rpt 192 fois l'intrieur de la maille. Ce chiffre
lev est d la symtrie leve du groupe. Les listes suivantes donnent les positions des atomes
situs dans des positions spciales : sur un axe, dans un plan etc...
Les atomes de Na et de Cl occupent des position trs privilgies et ne sont rpts chacun que 4
fois l'intrieur de la maille.
Holodrie et mridries
Dans l'exemple choisi, on constate que le groupe de symtrie contient tous les lments de symtrie ponctuelle de l'holodrie du systme cubique plus une quantit d'autres oprateurs. Dans le cas
prsent, la symtrie du motif est plus leve que celle du rseau : le cristal appartient la classe holodrique.
Prenons un autre exemple, le groupe de symtrie N 31, Pmn21 qui correspond une maille
simple du systme orthorhombique. On distingue des plans simples parallles (100), des plans
avec glissement parallles (010) et des axes hlicodaux binaires verticaux.
On n'y retrouve pas tous les oprateurs de symtrie ponctuels de l'holodrie du systme orthorhombique : la symtrie du motif est infrieure celle du rseau. En effet, la symtrie du cristal
comportera un plan vertical parallle (100). Comme les plans avec glissement deviennent des
plans normaux, en symtrie ponctuelle, le cristal possdera aussi un plan vertical parallle (010).
52
Plan et lvation de la maille

orthorhombique N 31, Pmn21
En appliquant le thorme de symtrie qui veut qu' l'intersection de n plans passant par une
droite on trouve un axe d'ordre n, on aura encore un axe binaire vertical. La symtrie du cristal
est alors A2 P P', une mridrie du systme orthorhombique.
En conclusion, on constate que si l'orientation d'une face est dtermine par la gomtrie du
rseau (forme de la maille lmentaire), la prsence ou l'absence de cette face dpend de la symtrie du groupe d'espace.
la symtrie du groupe d'espace contient
au moins tous les oprateurs du rseau
Holodrie
la symtrie du groupe d'espace

est infrieure celle du rseau
Mridrie
_______________________
53
VII. Les rayons X au service de la minralogie

En 1895, le savant allemand Wilhelm Rntgen dcouvre un rayonnement possdant des proprits inhabituelles qu'il nomme rayons X. En 1912, un autre allemand, von Laue, reconnat la nature
lectromagntique de ce rayonnement et parvient en mesurer la longueur d'onde grce aux interfrences obtenues par diffraction travers un cristal de blende (ZnS). Cette exprience marque une
tape importante dans l'histoire de la minralogie et de la cristallographie et permet le dveloppement rapide d'une nouvelle discipline : la radiocristallographie. Grce elle on a pu dterminer rapidement les structures des substances cristallises, tablir un nouvelle mthode d'identification des
minraux et mettre au point de nouveaux procds d'analyse chimique.
Nature des rayons X

Les rayons X sont des ondes lectromagntiques, tout comme la lumire, mais de longueur
d'onde beaucoup plus petite. On les produit dans un tube deux lectrodes. Un filament, chauff
par un courant faible, "vapore" des lectrons qui sont fortement acclrs grce une diffrence de potentiel trs leve (quelques dizaines de kilovolts) tablie entre la cathode (filament)
et l'autre lectrode, nomme anticathode. Les lectrons se prcipitent sur cette dernire une vitesse d'autant plus grande que la diffrence de potentiel est plus leve. Le choc des lectrons
avec l'anticathode provoque l'mission de rayons X. Il faut souligner que le rendement est trs
faible et que seulement 0.5 % de l'nergie est transform en rayons X. Le reste de l'nergie est dissip sous forme de chaleur qu'il faut vacuer au moyen d'une circulation d'eau travers l'anticathode. Pour cette raison, on maintient cette dernire un potentiel nul (terre) et c'est le filament
qui est port une forte tension ngative. A l'intrieur du tube rgne un vide trs pouss.
Reprsentation schmatique d'un

tube d'mission de rayons X.
Intensit du rayonnement X en fonction de la longueur

d'onde, pour un tube anticathode de cuivre.
L'aspect du spectre mis par le tube est intressant. Lintensit du rayonnement en fonction de la
longueur d'onde est caractristique de la nature de lanticathode. La courbe reprsente ci-dessus
est celle du spectre obtenu par un tube anticathode de cuivre auquel on a appliqu une tension
de 40 kV. L'mission dbute brusquement du ct des petites longueurs d'onde. Cette limite infrieure dpend du potentiel appliqu au tube selon la relation :
o =
12'394
V
o 12'393 est une constante donne par :
h = constante de Plank
c = vitesse de la lumire
54
hxc
e
e = charge de l'lectron
Les rayons X au service de la minralogie

L'intensit crot ensuite rapidement, puis diminue progressivement pour atteindre une valeur
ngligeable vers 3 . Cette rpartition de l'intensit en fonction de la longueur d'onde porte le
nom de fond continu. A celui-ci s'ajoutent de brusques augmentations d'intensit correspondant
des raies de longueurs d'onde bien prcises, qui diffrent selon la nature de l'anticathode. Ainsi,
pour une anticathode de cuivre, on observe deux raies : CuK 1.54 , correspondant une intensit de 800 des units choisies dans l'exemple, et CuK 1.39 , avec une intensit d'environ
100. Ces deux raies sont dues des sauts d'lectrons entre les couches internes des atomes de
l'anticathode excits par les chocs des lectrons provenant du filament.
Absorption des rayons X

Malgr leur rputation de traverser les corps opaques, les rayons X sont toujours plus ou moins
absorbs par la matire. D'une manire gnrale, l'absorption crot avec le numro atomique de
la substance absorbante. C'est ainsi que les organes du corps humain, constitus de tissus diffrents, absorbent diffremment les rayons X, et ils apparaissent en plus ou moins sombre sur une
radiographie.
L'absorption varie aussi suivant la longueur d'onde utilise. Les rayons de courte longueur
d'onde sont les plus nergtiques et sont donc trs pntrants. Dans le phnomne d'absorption,
on observe galement de brusques discontinuits qui dpendent des lments chimiques constituant la substance absorbante. Ainsi le nickel prsente
une brusque discontinuit d'absorption pour une longueur d'onde de 1.49.
Pour cette valeur, le coefficient dabsorption devient
presque nul, puis il augmente nouveau avec la longueur donde. Cette particularit est utilise pour filtrer
le rayonnement dmission dun tube et obtenir une
lumire parfaitement monochromatique. Ainsi, en intercalant une plaquette de nickel sur le trajet du
rayonnement mis par une anticathode de cuivre, on
remarque que la raie CuK ne sera que trs faiblement
absorbe, car elle est situe juste aprs la discontinuit
Coefficient d'absorption du nickel
dabsorption du nickel. La raie CuK se situe dans la
zone de forte absorption du filtre de nickel et elle sera

donc trs fortement absorbe. Le rayonnement ainsi filtr sera pratiquement compos uniquement de la raie CuK(1.54 ).
Dtection des rayons X

Les rayons X peuvent tre mis en vidence de trois manires diffrentes :
1. Ils impressionnent les mulsions photographiques radiographie
2. Ils rendent fluorescentes certaines substances chimiques radioscopie
3. Ils ionisent les gaz sur leur passage compteur Geiger.
Interaction des rayons X avec la matire

Les atomes excits par un rayonnement X primaire ragissent de plusieurs manires :
1. Ils sont ioniss, comme aprs un choc avec des lectrons, et ils mettent leur tour un rayonnement X secondaire dit de fluorescence, avec les raies d'mission caractristiques de l'lment cible. Ce rayonnement a une intensit beaucoup plus faible que le rayonnement primaire.
55
2. En plus du rayonnement de fluorescence, les lectrons de l'lment cible mettent leur tour,
dans toutes les directions de l'espace, un rayonnement X de mme longueur d'onde que celle
du rayonnement primaire. Ce rayonnement est connu sous le nom de diffusion cohrente.
Il y a d'autres effets encore. Toutefois ceux dcrits ci-dessus sont les seuls qui intressent le minralogiste.
La diffusion cohrente intresse beaucoup le cristallographe. En effet, les missions des rayons X
secondaires mis par toutes les sources cohrentes que sont tous les atomes d'une substance cristallise, vont interfrer entre elles, se renforcer dans certaines directions, s'annuler dans d'autres. Le
rayonnement global dans l'espace sera donc discontinu. L'tude de ces discontinuits permet finalement de reconstituer la structure atomique des cristaux.
L'tude du spectre du rayonnement de fluorescence permet d'identifier les lments chimiques
prsents dans la substance irradie. C'est donc l une mthode intressante d'analyse chimique,
non destructible de la matire.
Diffraction des rayons X par les cristaux

Soumis une source monochromatique de rayons X, les atomes rgulirement arrangs d'un
difice cristallin mettent leur tour ce rayonnement dans toutes les directions de l'espace. Pour
comprendre ce qui se passe, examinons le schma bidimensionnel ci-dessous. On y voit des ranges d'atomes spares les unes des autres par la distance d. Le rayon primaire atteint chaque
atome des temps lgrement diffrents. Il arrive sur la surface du cristal avec un angle d'incidence .
Les atomes A et A' diffusent chacun un rayon secondaire. Si nous examinons ce qui se passe
dans la direction D, on constate que le rayon II a parcouru un chemin un peu suprieur celui
parcouru par le rayon I. La diffrence de cheminement est gale nA'm.
Schma de la diffraction des rayons X par un cristal.

On peut exprimer cette diffrence de cheminement en fonction de d, la distance qui spare deux
ranges successives, et de l'angle , l'angle d'incidence. On a la relation suivante :
n A'm = 2d sin .
Mais la condition, pour qu'un rayonnement secondaire existe dans la direction considre, est
que la diffrence de cheminement soit exactement gale un nombre entier de longueurs d'onde
(n). Cette condition s'exprime de la manire suivante :
n = 2d sin
Cette relation fondamentale en radiocristallographie porte le nom de loi de Bragg.
56

Il est intressant de l'examiner un peu plus attentivement et de voir quelles valeurs peut prendre
le nombre n. Nous savons que les distances entre les atomes sont de l'ordre de quelques
angstrm. Les couches d'atomes parallles (001) sont spares par une distance de 2.8 . En
utilisant un rayonnement de 1.54 de longueur d'onde (CuK), le rayonnement primaire ne peut
tre "rflchi" que pour des angles de 16 (n=1), 33 (n=2) ou 55 (n=3). En effet, pour n = 4, 2d
sin serait suprieur 1. Le nombre n ne peut donc prendre que des valeurs entires infrieures :
n<
2d sin
Dans le cas de NaCl, les couches d'atomes parallles (001) sont spares par une distance rticulaire de 2.8 . Si on utilise une anticathode de Cu avec une longueur d'onde de 1.54 , on ne
peut avoir de rflexion que pour des angles d'incidence de 16 (n=1), 33 (n=2) et 55 (n=3).
Dans ce cas prcis, n ne peut prendre que les valeurs 1, 2 et 3.
En rsum, pour les incidences qui satisfont la loi de Bragg, les rayons X sont comme "rflchis" par les plans rticulaires. Cette sorte de rflexion porte le nom de diffraction.
On peut ainsi calculer aisment les distances rticulaires des cristaux si on connat la longueur
d'onde utilise et si on parvient mesurer les angles
de diffraction. De nombreuses mthodes ont t
imagines pour mesurer les angles de diffraction.
Nous ne les dcrirons pas toutes ici. Elles font l'objet
de cours plus spcialiss.
Diffraction des rayons X par les

plans (001) de NaCl,
pour n = 1, 2 et 3.
Conditions de diffraction
Nous pouvons dcrire la structure d'un minral si nous connaissons la gomtrie de sa maille
lmentaire ainsi que les positions des divers atomes l'intrieur de ladite maille. Quelles sont
donc les influences du rseau et du motif sur la diffraction des rayons X par un cristal ?
Examinons la figure ci-contre : elle reprsente un cristal deux dimensions constitu de deux
types d'atomes. La maille lmentaire renferme un atome A et
un atome B. Si on ne considre que les atomes A, on remarque
qu'ils dfinissent le rseau dessin en traits pleins. Ce rseau dtermine les conditions de diffraction des rayons X pour les atomes A.
Les atomes B constituent un rseau identique (en pointills). Les
deux rseaux sont parallles l'un l'autre et leurs conditions de
diffraction sont identiques. Les directions de diffraction sont donc
les mmes. Toutefois, elles interfrent entre elles, provoquant un
renforcement ou une attnuation, voire mme la disparition de certaines rflexions. Ces considrations sont importantes car elles montrent que :
57
1.les directions de diffraction ne dpendent que du rseau,

2.l'intensit des rflexions dpend des position des diffrents atomes l'intrieur de la maille lmentaire.
L'tude de la diffraction des rayons X par les cristaux offre donc la possibilit de dterminer non
seulement les dimensions de la maille lmentaire, mais aussi les positions des atomes l'intrieur de celle-ci.
Une application simple : la mthode des poudres

Si on examine la relation de Bragg, n = 2d sin, on remarque qu'une des possibilits, pour
raliser les conditions de diffraction, consiste imprimer au cristal un mouvement de rotation.
Chaque fois que son orientation vis--vis du rayonnement X primaire (onde monochromatique)
remplit les conditions de Bragg, on obtient une rflexion.
Mais, au lieu de faire tourner un cristal unique, on
peut utiliser une poudre cristalline. En prenant 1 mm3
de poudre cristalline dont le diamtre moyen des
grains est de 0.001 mm, on dispose dans ce volume
de poudre environ 108 109 grains !
Camra Debye-Scherrer
Si on place cette poudre sur le trajet d'un rayonnement X primaire, il y a toutes les chances de trouver
des grains qui remplissent les conditions de diffraction
pour toutes les familles de plans rticulaires car, statistiquement, dans un si grand nombre de grains, toutes les orientations possibles sont reprsentes. La
plus simple des camras de poudre est celle dite
Debye-Sherrer, du nom de leurs inventeurs. C'est une
bote cylindrique aplatie dont la paroi intrieure est
garnie d'un film photographique.
Principe schmatique de la cam

ra Debye-Sherrer
Diagramme obtenu avec une camra Debye-Sherrer
58

Les rayons X pntrent dans la camra en traversant un collimateur. Ils irradient l'chantillon
plac au centre gomtrique de la camra. Cet chantillon est constitu d'un tube capillaire rempli de poudre cristalline ou d'un fil de verre trs fin sur lequel la poudre se trouve englue (par du
baume du Canada, par exemple). Les rayons diffracts par la poudre vont impressionner l'mulsion photographique, alors que la partie du rayon primaire qui a travers l'chantillon est recueillie et absorbe par un puits dispos cet effet dans le prolongement du collimateur. Examinons la faon dont se forment les rayons diffracts : parmi la multitude de petits cristaux qui
constituent la poudre, on en trouve certainement un qui a la position favorable pour que le rayon
primaire, d'incidence , produise le rayon diffract D1. Avec un mme raisonnement, on peut
imaginer qu'un autre cristal se trouve dans la position favorable ncessaire pour assurer l'existence du rayon diffract D2, symtrique au premier.
Etendu trois dimensions, ce raisonnement montre que chaque famille de plans
rticulaires est responsable de la formation
d'un cne de diffraction de demi-ouverture
2
Principe de la diffraction des rayons X par une poudre cristalline.
Cnes de diffraction produits

par une poudre cristalline.
Intersection des cnes de diffraction avec le film et

aspect du film une fois dvelopp.
Sur le film obtenu avec une camra cylindrique, on obtient des raies lgrement courbes qui
sont le rsultat de l'intersection du cylindre de la camra avec les cnes de diffraction correspondant aux diverses familles de plans rticulaires. Chaque cne dtermine donc deux raies symtriques de part et d'autre du trou central du film. Ces raies sont spares par une distance angulaire 4. Les constructeurs s'arrangent pour construire des camras dont la circonfrence intrieure est de 180 ou 360 mm afin que les lectures effectues en millimtres soient aisment converties en degrs.
59
Exemple concret
Aprs avoir broy un chantillon assez finement (200 300 mesh) on le dispose au centre de la
camra, soit dans un fin tube capillaire soit sur un fil de verre tir, imprgn de colle. On garnit
le pourtour intrieur du cylindre d'un film photographique, on ferme le couvercle de la camra et
on place l'entre du collimateur devant la source du gnrateur de rayons X. Aprs dveloppement du film on voit apparatre une srie de raies symtriques de part et d'autre du centre du film
(matrialis par le trou ncessaire pour laisser passer le collimateur). On mesure les distances qui
sparent deux raies symtriques et on les convertit en valeur angulaire 4 (ou 2 si on mesure
partir du centre du film).
Aspect d'un diagramme de diffraction obtenu sur une poudre cristalline de NaCl.
On sait que les distances rticulaires sont inversement proportionnelles l'angle . Elles sont
donc dcroissantes du centre vers l'extrmit du film. Par ailleurs, nous savons dj que notre minral est cubique et nous connaissons le classement dcroissant des distances rticulaires cubiques selon leur mode de rseau. Nous les rappelons dans le tableau ci-dessous :
maille
=========
distances rticulaires dcroissantes =======
100
110
111
210
211
221
310
311
320
321
410
322
411
110
200
211
310
222
321
411
420
332
431
442
622
640
111
200
220
311
331
420
422
511
531
442
620
640
642
Nous connaissons aussi la relation :
Nous pouvons calculer le facteur n2 (h2 + k2 + l2) pour les premiers termes des distances rticulaires dcroissantes des trois modes cubiques. On obtient :
60

mode
hkl
100
110
111
100
210
211
220
h 2 + k2 + l 2
4*
8*
mode
hkl
110
200
211
220
h 2 + k2 + l 2
8*
mode
hkl
111
200
220
h 2 + k2 + l 2
* n=2
Calculons la valeur sin2 pour les deux premires raies du diagramme :
Pour un rseau P on doit satisfaire la relation 0.055/1 = 0.074/2 (non satisfaite).

Pour un rseau I on doit satisfaire la relation 0.055/2 = 0.074/4 (non satisfaite).
Pour un rseau C on doit satisfaire la relation 0.055/3 = 0.074/4 (satisfaite).
On constate donc que le diagramme correspond celui d'un rseau cubique faces centres. On
peut maintenant calculer la valeur de m, ainsi celle de a0.
On peut maintenant indicer toutes les raies du diagramme au moyen de la relation :
Identification d'une espce minrale

Si le raisonnement est relativement simple dans le cas du systme cubique, il se complique singulirement en ce qui concerne les autres systmes. Nous n'aborderons pas cette tude dans le
cadre de ce cours et nous renvoyons le lecteur intress des ouvrages spcialiss.
L'intrt immdiat de ces mthodes rside dans le fait qu'on n'a pratiquement jamais deux diagrammes identiques. Les positions des raies ainsi que leurs intensits relatives diffrent d'une espce minrale l'autre. Un diagramme de poudre est une sorte "d'empreinte digitale" qui dsigne l'espce minrale qui l'a produit.
The International Center for Diffraction Data tient jour un fichier des donnes cristallographiques de toutes les espces minrales connues (ainsi que toutes les substances minrales et
organiques). On peut se le procurer sous forme d'annuaire ou, mieux, sous forme de fichier informatique constamment renouvel. Divers systmes de recherche permettent d'identifier relativement aisment une espce minrale. Ils sont bass soit sur les positions des 3 raies les plus intenses, soit partir de 8 raies arranges par distances rticulaires dcroissantes. Une fois l'espce
identifie, un numro de rfrence renvoie des fiches qui fournissent toutes les donnes cristallographiques de l'espce concerne.
61
Le diffractomtre
Au lieu d'enregistrer les raies sur un film, on peut utiliser un appareil de type compteur Geiger.
En lieu et place du film on fait tourner un bras mobile supportant un compteur. Chaque fois que
la fentre sensible du compteur coupe un cne de diffraction, il enregistre l'augmentation d'intensit du rayonnement. Un enregistreur inscrit ces variations sur un papier millimtr. L'intensit
est porte en ordonnes, l'angle en abscisses.
Principe du diffractomtre.
Analyse chimique par effet de fluorescence X

Mentionnons encore l'utilisation de l'effet de fluorescence X en chimie analytique. Il s'agit cette
fois-ci d'analyser le spectre du rayonnement de fluorescence qui se compose, rappelons-le, des
radiations de longueurs d'onde caractristiques mises par les lments chimiques excits. Le
rayonnement excitateur est soit un flux lectronique, soit un rayonnement X primaire de haute
nergie.
Le problme consiste donc analyser le spectre complexe du rayonnement secondaire. A cet effet, on s'arrange pour envoyer celui-ci sur un cristal dont on connat parfaitement les distances
rticulaires. Ce cristal tourne lentement. Il y aura diffraction chaque fois que l'incidence sera favorable et que la relation de Bragg sera satisfaite. La distance rticulaire tant connue, la mesure
de l'angle permet de connatre la longueur d'onde. Mcaniquement, le compteur tourne deux
fois plus rapidement que le cristal analyseur afin de maintenir l'angle de rflexion gal celui
d'incidence.
Principe du fonctionnement du diffractomtre pour l'analyse de l'effet de fluorescence.
62
Quelques relations mathmatiques
VIII. Quelques relations mathmatiques

Paramtres cristallins et maille lmentaire
Aujourd'hui, il est ais de reconstituer la maille lmentaire de n'importe quelle substance cristallise grce la diffraction des rayons X. Trois artes concourantes de la maille dterminent les
directions des axes de coordonnes, et les longueurs relatives des artes dterminent les paramtres sur ceux-ci. On dfinit les angles que font les artes les unes sur les autres et on exprime leurs
longueurs en angstrm12.
Avant l'avnement des rayons X, les axes de coordonnes taient dtermins par les intersections de trois faces non parallles d'un cristal, choisies en raison de la symtrie du paralllpipde
qu'elles engendraient. Le choix d'une troisime face, oblique sur les prcdentes, servait dterminer les paramtres sur ces axes. La symtrie et l'indicement des faces taient bass sur un paralllpipde sans dimension, dfini par les trois angles que dterminaient les artes les unes sur
les autres, et par les longueurs relatives des units sur chaque arte, l'unit de rfrence tant la
longueur de l'arte b. Ce paralllpipde imaginaire dfinissait les paramtres du minral. Ainsi,
au cours du XIXe sicle, on a dtermin les paramtres de la plupart des espces minrales. Aujourd'hui, on connat les mailles lmentaires de toutes les espces minrales. Et si, parfois, les
mailles lmentaires se sont rvles concider avec les anciens paramtres, bien souvent on s'est
aperu que ces derniers avaient t mal choisis. Abordons plus en dtail le problme de la dtermination des paramtres cristallins.
Pour cela, examinons la figure ci-contre : une face
oblique coupe les trois axes X, Y et Z, en A, B et C. La
normale la face dtermine avec les axes de coordonnes les angles e, z et h. La distance entre l'origine des axes O et l'intersection de la normale avec
la face N est d.
Relations entre l'orientation d'une face et les paramtres qu'elle dtermine sur les axes de coordonnes.
Les angles , et sont dtermins par la normale face unitaire avec les normales aux 3 faces
choisies pour dfinir les axes de coordonnes. On mesure ces angles l'aide d'un goniomtre. Le
modle le plus simple est le goniomtre d'application. Il est constitu d'un rapporteur muni d'une
rglette tournant autour du centre.
12
Rappelons quun angstrm vaut un dix millionime de mm
63
Le modle le plus simple est le goniomtre d'application. Il est constitu d'un rapporteur muni d'une rglette tournant autour du centre. Sa prcision est faible
et on ne peut l'utiliser qu'avec des cristaux relativement grands. Ce premier modle a t ralis en 1772
par le franais Carangeot.
Bien vite on a invent des appareils plus prcis, bass
sur la rflexion d'un signal lumineux sur les faces du
cristal. On utilise le fait que les cristaux ont toujours
un certain nombre de faces parallles une mme diGoniomtre d'application
rection. Cet ensemble de faces constitue une zone. La
mesure consiste faire tourner le cristal autour de l'axe
de zone et noter les angles qui sparent les rflexions successives correspondant chaque face.
On recommence cette opration pour chaque zone. Les
goniomtre modernes permettent de mesurer les angles
entre les faces avec une prcision atteignant la minute
d'arc.
Aujourd'hui, la diffraction des rayons X a compltement
supplant le calcul cristallographique. Toutefois, les goniomtres sont encore utiliss pour orienter des cristaux
avant de les disposer sur certaines camras de diffraction
de rayons X.
Principe du goniomtre optique.
Le calcul cristallographique
Reprenons l'exemple du cristal de barytine dont nous avons mesur les angles entre les normales chaque face et celles des faces
a, b, et c, prises comme tridre de rfrence. Les rsultats des mesures sont rsums dans le tableau-ci-dessous. A partir de ces
donnes, nous avons calcul les paramtres a/b et c/b au moyen
des quations dveloppes plus haut. On remarque que les rapports les plus frquents sont 0.815 pour a/b et 1.313 pour c/b. En
choisissant ces deux valeurs comme paramtres du cristal, nous
adoptons du mme coup la face z comme face unitaire. Sur le dessin du cristal, son dveloppement apparat aussi plus important
que celui des faces r ou y.
Cristal de barytine
64

Paramtres calculs pour chacune des faces de la barytine
:
53 43'
a
b
c
b
1.3135
50 49'
90
0.8151
22 10'
67 50'
90
0.4077
68 04'
90
21 56'
2.6772
1.0780
51 08'
90
38 52'
1.5936
1.2844
31 49'
90
58 11'
1.1754
1.8972
45 42'
5517'
6419
0.8153
1.3138
56 03'
62 55'
46 06'
0.8152
0.6566
63 59'
44 21'
57 01'
1.6303
1.3138
face
90
37 10'
39 11'
En choisissant les valeurs de 0.8153 et 1.3138 pour a/b et c/b, nous pouvons indicer toutes les
autres faces :
Indices des faces de la barytine
face
: b
indices
11
11 0
210
104
102
101
111
11 2
122
face z prise comme

plan unitaire.
paramtres du cristal :
0.8153 : 1 : 1.3138
Il est intressant de voir ce qui se passe si, au lieu de z, nous choisissons comme face unitaire r ou
y. Les indices des autres faces changent et les paramtres changent aussi. Nous aurions alors les valeurs dcrites dans le tableau ci-dessous. Nous trouvons aussi des indices trs simples. une incertitude subsiste : sommes nous srs que cest bien la face z quil fallait choisir ? Aucun critre purement gomtrique ne nous permet d'en dcider. Seule la recherche de la maille lmentaire par les
mthodes diffractomtriques permet de lever cette indtermination. Cette mthode nous rvle que
les artes de la maille lmentaire de la barytine ont pour longueurs 8.85, 5.43 et 7.13 . On constate que c'tait y la meilleure face unitaire !
Indices des faces de la barytine suivant le choix de la face unitaire
face
hkl
face
hkl
21
11
11 0
210
210
410
102
102
101
101
201
201
221
2 11
111
212
121
111
face unitaire choisie : r

paramtres obtenus :
0.8153 : 1 : 0.6566
65
face unitaire choisie : y

paramtres obtenus :
1.6303 : 1 : 1.3138
Sur la projection strographique, on a trac divers grands cercles passant par plusieurs faces.
Toutes les faces situes sur un mme grand cercle constituent une zone. Les faces (100), (101),
(102), (104), (001), (104), (102), (101), (100), constituent une zone. Les faces (110), (101),
(112), (011), (110) constituent une autre zone. La face (101) est commune aux deux zones.
Projection strographique des ples des faces de la barytine.
(Seules les faces de l'hmisphre suprieure du cristal ont t reprsentes)
Les zones
Le dessin ci-contre montre, en hachurs, une zone, celle
qui comprend les faces (122), (111), (100), (111), (122),
(011) etc... La droite parallle toutes ces faces est l'axe
de zone. On le dsigne par le symbole [011]. Il est important de retenir qu'il s'agit d'un symbole qu'il ne faut pas
confondre avec les indices d'une face. Il est plac entre parenthses crochets. On peut trouver le symbole de l'axe de
zone partir des indices de deux faces de la zone en se servant de la rgle des dterminants. Soit deux faces d'indices
h1k1l1 et h1k1l1, le symbole de l'axe de zone [UVW] est :
Zone dfinie par les faces o, y, a, z, et l'axe de
zone correspondant.
h1
k1
l1
h2
k2
h1
l2
k1
l1
k2
l2
U = k1l2 - l1k2
h2
V = l 1h2 - h 1l 2
W = h1k2 - k1h2
[k1l2 - l1k2, l1h2 - h1l2, h1k2 - k1h2]
66

Si nous appliquons cette rgle en prenant les faces (111) et (121), nous obtenons :
[ 0 1 1 ] axe de zone
On montre ici cet axe de zone. Il correspond la
grande diagonale dtermine par le paralllpipde d'artes 0, 1 et 1. Dans le cas prsent, comme
une des valeurs est nulle, le paralllpipde se rduit un rectangle. Remarquons que l'axe de zone
dsign par [011] n'est pas perpendiculaire la
face (001) ! Pour cette raison on parle de symbole
et non d'indice. Rciproquement, tant donn les
symboles de deux axes de zone, on obtient la notation de la face commune, au moyen de la rgle des
dterminants. Par exemple, la face commune aux
deux zones [011] et [001] (ensemble des faces verticales) est :
[100]
face commune aux deux zones
La face (100) est bien commune aux deux zones. Remarquons que le symbole de zone [011] peut
aussi s'crire [011]. En utilisant ce dernier symbole dans le dterminant on aurait obtenu alors la
face (100), visible sur le dessin.
Loi de Weiss
Cette loi sert vrifier qu'une face fait bien partie d'une zone. Elle s'exprime de la manire suivante :
une face (hkl) appartient une zone [UVW] si la relation suivante est satisfaite :
Uh + Vk + Wl = 0
En corollaire ces diverses rgles, apparat une autre loi qui s'nonce ainsi :
en additionnant terme terme les indices de deux faces d'une mme zone, on obtient les indices
d'une troisime face de cette mme zone, situe entre les deux premires.
Prenons les faces z (111) et o (011), nous obtenons une troisime face [(1+0) (1+1) (1+1)] soit
les indices de la face y (122).
67
IX. Un peu de cristallochimie

La cristallochimie est une science qui a pris naissance au dbut du XXe sicle avec la dcouverte
des rayons X. Elle a pour but d'lucider la relation entre la composition chimique et l'arrangement des atomes dans les cristaux. Dans un sens plus large, elle examine les relations entre les
arrangements atomiques et les proprits physiques des substances cristallises.
Reprenons la configuration de la halite. Nous
pouvons dcrire la relation entre les atomes en
disant que chaque atome de sodium est entour de six atomes de chlore situs gale distance. On dit que sur la premire sphre de coordination de rayon 2.8 , il y a six atomes de
chlore13.
On dfinit les droites de coordination que l'on
obtient en reliant l'atome considr ( ici le soConfiguration atomique de NaCl,
dium) avec ses plus proches voisins. On appelle
polydre et sphre de coordination de Na
encore polydre de coordination le polydre
qu'on obtiendrait en faisant passer des plans
par les atomes coordins. Dans le cas de la halite, le polydre de coordination est un octadre.
Remarquons encore que chaque atome de chlore est galement entour de six atomes de sodium
en coordination octadrique.
Examinons maintenant la configuration du chlorure de csium : on voit que chaque atome de
csium est entour de huit atomes de chlore.
Le polydre de coordination est un cube. Pourquoi
alors NaCl et CsCl, tous deux chlorures d'un mtal
alcalin dont les liaisons chimiques sont semblables, prsentent une diffrence de structure?
On s'est rapidement rendu compte que la taille
des atomes tait un facteur prpondrant de
l'arrangement structural. Ainsi, dans le cas de la
Structure de CsCl et polydre de coordination
halite, l'atome de sodium est suffisamment petit
pour pouvoir se loger entre six atomes de chlore.
Dans le cas du csium, dont le rayon ionique est plus grand que celui du sodium, il faut un interstice plus grand, celui qui existe entre 8 atomes en coordination cubique.
Atome de Na l'intrieur d'un polydre

octadrique dfini par 6 atomes de Cl.
Atome de Cs l'intrieur d'un polydre

cubique dfini par 8 atomes de Cl.
13 On pourrait complter cette image en ajoutant quil y a une deuxime sphre de coordination de rayon
2.82 sur laquelle on trouve 12 atomes de sodium.
68
Un peu de cristallochimie
La taille des atomes

On sait qu'un atome est constitu d'un noyau form de particules lourdes, protons et neutrons,
autour duquel gravitent un nombre plus ou moins grand d'lectrons. D'une manire un peu simpliste, on peut considrer l'atome comme un noyau entour d'un brouillard lectronique dont la
densit dcrot rapidement partir dune certaine distance du noyau. On peut considrer le rayon
atomique comme tant la distance, depuis le centre de l'atome, partir de laquelle la densit lectronique devient ngligeable. Les facteurs qui conditionnent la taille d'un atome sont de trois types
et dpendent :
1. du nombre d'enveloppes lectroniques et de la charge nuclaire de
l'atome;
2. de l'tat neutre ou excit de l'atome ;
3. de diverses causes externes l'atome.
Densit lectronique et rayon de l'atome.
Si on considre une colonne verticale du tableau priodique, on remarque que la taille des atomes augmente du haut vers le bas. Par contre elle diminue de gauche droite sur une mme
range.
Li
1.56
Na Mg
Al
Si
P
1.91 1.60 1.43 1.17 1.10
S
1.04
Cl
0.99
Variation du rayon atomique le long

d'une range et le long d'une colonne
K
2.34
Rb
2.5
Cs
2.71
Li
Na
Rb
Cs
tat neutre
1.56 1.91 2.34 2.50
2.71
une charge +
0.78 0.98 1.33 1.49
1.65
Rayon lectronique de divers atomes

en fonction de leur degr d'ionisation.
On explique facilement ce phnomne : dans une mme colonne le nombre d'enveloppes lectroniques augmente du haut vers le bas. Sur une mme range le nombre d'enveloppes lectroniques est constant, mais la charge du noyau augmente de gauche droite (range), entranant la
contraction du nuage lectronique.
La taille de l'atome est aussi fortement influence par son tat d'excitation. La perte d'un ou
plusieurs lectrons contracte le nuage lectronique, entranant la diminution du rayon de
l'atome. Inversement, le gain d'un ou deux lectrons entrane l'augmentation du rayon atomique. Le type de liaison influence aussi la taille de l'atome. On parle de rayon ionique dans les
composs ioniques, de rayon covalent dans les composs covalents, de rayon mtallique dans
les mtaux et les alliages.
Encombrement des constituants structuraux

Les structures des mtaux sont intressantes, car les liaisons mtalliques ne sont pas diriges et
on peut considrer les atomes comme des sphres soumises un champ d'attraction isotrope. Ces
dernires cherchent s'assembler en ralisant un remplissage maximum de l'espace. Il y a deux
69
manires de raliser un tel remplissage. Tout d'abord, dans un plan, la manire d'assembler des
sphres de la faon la plus serre possible consiste entourer chaque sphre de six autres. On ralise ainsi un assemblage hexagonal qui rappelle la disposition des nids d'abeilles.
Remarquons que chaque sphre est entoure
de six interstices alors que chaque interstice
n'est entour que de trois sphres. Il y a donc
deux fois plus d'interstices que d'atomes.
La manire la plus rationnelle d'adjoindre
cette couche d'atomes une deuxime couche,
consiste disposer les atomes de la couche
suprieure exactement au-dessus des interstices de la premire, de telle manire qu'un
atome repose toujours sur trois atomes de la
couche infrieure. La troisime couche se dispose de la mme manire. Deux possibilits Oranges disposes selon un assemblage compact
dans le plan. La symtrie est hexagonale.
peuvent alors se prsenter :
1. les atomes de la troisime couche sont exactement l'aplomb des atomes de la premire couche, ce qui dtermine un empilement de type ABABA.
2. les atomes de la troisime couche sont exactement au-dessus des interstices de la premire
couche, non couverts par les atomes de la deuxime couche, ce qui dtermine un empilement
de type ABCABC.
On voit ci-dessous ces deux configurations. Le type ABABA entrane une symtrie hexagonale, le
second type une symtrie cubique avec rseau cubique faces centres. On parle d'assemblage
cubique compact ou d'assemblage hexagonal compact. Dans les deux cas le taux de remplissage
de l'espace est maximum, soit 74% du volume total. Chaque atome est entour de 12 autres
atomes : le nombre de coordination est 12.
Assemblage hexagonal compact
Assemblage cubique compact
Assemblage cubique compact avec

sa maille cubique faces centres
Il existe un troisime type d'assemblage mtallique, caractris par un nombre de coordination

de 8. Il s'agit de la structure du type tungstne l'intrieur de laquelle chaque atome est entour
de huit autres situs au sommets d'un cube. L'assemblage n'est plus tout fait compact et le taux
de remplissage n'est plus que de 68 %. La structure est cubique, avec un rseau centr.
70
Atomium de Bruxelles, un modle

dassemblage cubique centr
Assemblage cubique compact avec

sa maille cubique faces centres.
Structure cristalline des divers mtaux usuels

remplissage
mtal
compact, 74 %
hexagonal
Be, Mg, Ti, Zr, Hf, Co
compact, 74 %
cubique faces centres
Ca, Sr, Ni, Pt, Cu, Ag, Au, Al, Pb
cubique centr
Cs, Ba, V, Nb, Ta, Mo, W, Fe
68%

rseau
Composs de type AB
Nous avons vu, avec les exemples de NaCl et CsCl, que la taille des atomes tait responsable,
pour une grande part, de la structure des composs de type AB. Si le rayon de l'atome A est trs
petit vis--vis de celui de l'atome B, il ne peut tre entour que de 2 atomes B si ont veut qu'ils
soient en contact l'un avec l'autre. Si la taille de l'atome A augmente, il arrive un stade o il a
juste la taille convenable pour s'insrer entre trois atomes B situs aux sommets d'un triangle
quilatral; le nombre de coordination vaut 3. Si la taille de l'atome A crot encore, on arrive la
coordination 4 dans laquelle il occupe tout l'espace laiss libre par 4 atomes B situs aux sommets d'un ttradre. En augmentant encore de taille, on passera successivement la coordinance
6 (octadre), 8 (cube) et finalement une structure de type mtallique, si les rayons des atomes A
et B sont identiques.
Les polydres de coordination dpendent des tailles relatives des atomes lis.
coordinance 2
coordinance 3
coordinance 4
71
coordinance 6
coordinance 8
Polydre de coordination en fonction des
tailles relatives des atomes
Nombre. de
coordination
rayon de A
rayon de B
Disposition des atomes B
sur une ligne avec A
< 0.15
sommets d'un triangle
0.155 0.285
sommets d'un ttradre
0.285 0.414
sommets d'un octadre
0.414 0.732
sommets d'un cube
0.732 1
Si nous appliquons cette rgle NaCl et CsCl, nous trouvons :
NaCl :
RNa
RCl
0.98 = 0.54
1.81
coordinance 6 (octadre)
CsCl :
RCs
RCl
1.65 = 0.91
1.81
coordinance 8 (cube)
Influence des liaisons

Nous n'avons examin que des exemples se rapportant un seul type de liaison, soit mtallique,
soit ionique. Cependant, au sein d'un mme cristal, on peut observer plusieurs types de liaison.
Un exemple intressant est celui du graphite. Nous observons une structure dite en couches. A
l'intrieur d'une mme couche, chaque atome de carbone est entour de trois autres atomes
des distances de 1.42 . La liaison est de type covalent. Chaque couche est loigne de la suivante d'une distance de 3,4 . Les liaisons entre les couches est de
type "van der Waals". C'est une liaison trs faible. Cela explique la
trs faible rsistance du graphite aux contraintes mcaniques et sa
faible duret.
Les liaisons covalentes ont une influence importante sur les structures
car elles sont directionnelles. Ainsi, pour le diamant, une autre forme
cristallise du carbone, les atomes C prsentent 4 liaisons orientes, faisant entre elles un angle de 109 28'. Malgr que les atomes aient tous un rayon idenStructure du graphite tique, le nombre de coordination est 4. Le
polydre de coordination est le ttradre.
Chaque atome est 1.54 de son voisin immdiat. Les liaisons sont trs
fortes et il n'y a pas de zones de faiblesse comme c'est le cas pour le
graphite. La cristallisation du carbone dans l'une ou l'autre de ces
structures (polymorphisme du carbone), dpend des conditions de pression et de temprature lors de la formation du minral. La structure du Structure du diamant
diamant, plus dense, implique des pressions de formation trs leves.
Les formules cristallochimiques

La description d'une structure au moyen du motif, de la maille lmentaire et du groupe de symtrie est importante, mais elle ne permet pas de "visualiser" les relations intimes entre atomes
voisins. Aussi emploie-t-on parfois une notation particulire dite notation de Machatchki.
72
On utilise la formule chimique du corps considr en indiquant ct de chaque atome, en exposant et entre parenthses crochets, la coordinence. On fait prcder la formule des symboles 1/, 2/
ou 3/, qui prcisent s'il s'agit d'une structure en chane, en couche ou trois directions d'extension. La formule se termine par une lettre qui indique le systme cristallin. Les formules des diverses
structures que nous avons dj mentionnes s'crivent :
cuivre :
3
[12] c
Cu
ce qui se lit : structure cellulaire, chaque atome de Cu est entour de 12 autres; systme hexagonal.
NaCl :
[6] Cl [6] c
Na
structure cellulaire, chaque atome de Na est entour de six autres et rciproquement; systme cubique.
Graphite :
structure en couches; l'intrieur d'une couche, chaque atome

de C est entour de trois autres atomes; systme hexagonal,
structure de type graphite.
[3] h (graphite)
C
Si encore, dans une formule, on veut distinguer plusieurs sphres de coordination, on peut l'exprimer aisment dans l'exposant. Ainsi l'arrangement atomique du tungstne peut s'crire :
3
[8]
W h
ou
[8+6] h
W
De cette manire on indique qu'au-del de la premire sphre de coordination qui comprend 8

atomes, on trouve encore 6 atomes immdiatement voisins ( une distance de 15% plus grande).
Quelques structures classiques

Nickeline Ni [6] As [6] h
Tout atome de Ni possde un entourage octadrique
(un peu dform) d'atomes d'As.
Chaque atome d'As est entour de six atomes de Ni situs aux sommets d'un prisme trigonal. D'une autre
manire on peut considrer cette structure comme un
assemblage compact hexagonal de gros atomes d'As.
Dans les interstices octadriques de cet assemblage
prennent place les petits atomes de Ni. On trouve de
nombreux composs qui cristallisent avec cette structure:
NiSb, CoS, CoSe, CoTe, etc...
Il est intressant de constater qu'on retrouve souvent
le schma d'un assemblage compact de gros atomes
(gnralement les anions) entre les interstices desquels
se logent des atomes plus petits (les cations). Examinons
Structure de la Nickline
l'assemblage cubique compact qui dtermine un rseau
cubique faces centres. Nous observons qu'entre les
atomes il y a des lacunes octadriques et des lacunes ttradriques. Notons que ces dernires sont
deux fois plus nombreuses que les prcdentes. En nous reportant la structure de NaCl, nous
dcouvrons qu'elle est constitue d'un assemblage cubique compact de gros atomes de Cl et que
les petits atomes de Na prennent place dans les interstices octadriques.
De mme, dans la structure de la blende, Zn[4] S[4] c, est un assemblage cubique compact de
gros atomes de S, les petits atomes de Zn occupant la moiti des lacunes ttradriques. Un autre
forme de sulfure de zinc, la wurtzite, Zn[4] S[4]h, est un assemblage hexagonal compact d'atomes
de S, les atomes de Zn occupant galement la moiti des lacunes ttradriques.!!
!
73
Assemblage cubique compact
Structure de la blende, ZnS
Structure de la wurtzite, ZnS
Dans de nombreux cas, les cations sont trop gros pour occuper exactement les interstices d'un
assemblage compact et les structures sont alors dformes. Beaucoup de structures peuvent se
rapporter des modles de type assemblage compact. Par exemple, on peut "simplifier" certaines structures en considrant les radicaux anioniques comme de gros cations. Par exemple, la
structure de la calcite peut tre compare un assemblage cubique compact de radicaux CO3.
Les atomes de Ca prennent place dans les interstices octadriques. Cet assemblage est imparfait
et il est un peu dform dans le sens d'un aplatissement dans la direction de l'axe ternaire.
Structure de la halite, NaCl
Structure de la calcite, CaCO3
Structures des minraux silicats

L'oxygne et le silicium s'unissent pour former un ion complexe (ou radical anionique), constitu
d'un atome central de silicium entour de 4 atomes d'oxygne situs aux 4
sommets d'un ttradre. Ces atomes sont lis par des liaisons covalentes
qui les unissent trs fermement. A cause de sa forme, ce radical porte le
nom de ttradre SiO4.
Chaque atome d'oxygne possde une valence libre qui lui permet de se
lier soit avec un cation, soit avec un atome de silicium d'un autre ttradre.
Ce dernier cas permet la polymrisation des radicaux SiO4. Le mode d'assoLe ttradre SiO4
ciation des ttradres permet de classer les silicates, minraux qui constituent plus de 80% de l'corce terrestre. Nous trouvons successivement :
74
Structure de lolivine Les nsosilicates, dont les ttradres SiO4 sont compltement isols les uns des
autres, formant des sortes d'lots. On parle parfois de
configuration insulaire.
L'olivine est un exemple de nsosilicate de formule
(Fe,Mg)2SiO4. Les groupes SiO4 sont isols les uns des
autres. Les atomes d'oxygne constituent grossirement un assemblage hexagonal compact. Les atomes
de Fe et Mg se situent dans les lacunes ttradriques.
Les ttradres SiO4 ont alternativement la pointe en haut et
en bas. Les atomes de Mg et Fe occupent les espaces libres entre les ttradres
Dans les sorosilicates et les cyclosilicates, les radicaux SiO4 sont polymriss par groupes de
deux pour les premiers, de trois, quatre ou six pour les seconds.
Soro- et cyclosilicates : polymrisation des ttradres SiO4 par groupes de 2, 3, 4 ou 6.
Si2O7
Si3O9
Si4O12
Si6O18
Le bryl Be3Al2Si6O18, est un sorosilicate caractris par la prsence d'anneaux Si6O18. Ceux-ci
sont empils les uns au-dessus des autres, relis entre eux par l'intermdiaire d'atomes de Be lis
chacun 4 oxygnes et d'atomes Al, lis 6 atomes d'oxygne. Il est intressant de noter que les
canaux verticaux, qui ne sont occups par aucun atome, peuvent hberger quelques atomes
trangers la structure, tels Na, K, Cs ou mme des gaz rares.
Structure du Bryl : projection sur le plan (100).

Les ttradres SiO4 en clair sont au-dessus des
ttradres foncs. Les atomes de Be et d'Al occupent les interstices laisss libres entre les ttradres.
75
Dans les inosilicates, ou silicates en chanes, les ttradres polymrisent en chanes simples ou
complexes. Ces chanes "anioniques" ont respectivement des formules SiO3 ou Si4O11, avec respectivement 2 et 6 charges ngatives. Les chanes constituent les squelettes de deux importantes
familles de minraux : les pyroxnes, caractriss par des chanes simples SiO3, et les amphibo-
les, caractrises par des chanes doubles Si4O11.

Inosilicates ou silicates en chanes.
Chane simple : SiO3
Chane double : Si4O11
Sur la structure du diopside, CaMg(SiO3)2, un pyroxne, les chanes simples de ttradres lis
par leurs sommets sont vues en bout. Elles portent 2 charges ngatives pour chaque SiO3. Elles
sont unies par des cations Mg hexacoordonns (en rouge) des atomes d'oxygne et des cations
Ca (en bleu) entours de 8 atomes d'oxygne.
Structure du diopside
La structure de la trmolite, Ca2Mg5(S4O11)2(OH)2

est caractrise par la chane double des amphiboles. Sur le dessin, les chanes sont vues en bout.
Entre les chanes on voit les atomes de Mg situs
au centre d'octadres (en jaune) dont les sommets
sont occups par les atomes d'oxygne des ttradres SiO4 ou par des groupes OH. Le calcium (en
rouge) est coordonn 8 atomes d'oxygne.
Structure de la trmolite
76
Dans les phyllosilicates, ou silicates en couches, les ttradres sont polymriss dans deux directions d'extension pour
former de vritables couches anioniques Si2O5. Les phyllosilicates ressemblent donc des sandwiches, et ils se subdivisent
en plusieurs types structuraux suivant la manire dont les couches se superposent.
Parmi ces types, mentionnons celui de la kaolinite,
Al2Si4O10(OH)8. La couche de ttradres est fortement lie
une couche octadrique constitue d'un atome central d'Al li
deux atomes d'oxygne (les atomes libres du ttradre, en
rouge) et 4 groupes OH (en vert). Ces couches sont
lectriquement neutres et ne sont maintenues ensemble que par Polymrisation des ttradres
des liaisons de van der Waals. Les proprits mcaniques de ces SiO4 dans 2 directions d'extension.
minraux sont trs faibles et le clivage parallle au plan des
couches est extrmement ais.
Structure de la kaolinite
La muscovite, KAl2(AlSi3O10)(OH)2, montre une structure

un peu plus complexe. Une couche d'octadres est prise en
sandwich entre deux couches ttradriques SiO4. On trouve
un atome d'aluminium au centre des octadres, li deux
atomes d'oxygne (communs aux ttradres) et 4 groupes
OH. Les sommets des ttradres sont dirigs vers les octadres. Ces couches mixtes octadres/ttradres ne sont pas
neutres car il y a substitution partielle de Si+4 par Al+3 dans
les couches ttradriques dans la proportion de un ttradre
AlO4 pour 3 ttradres SiO4. C'est pour cela que la couche
ttradrique est dsigne par (AlSi3O10). Pour lier ces couches entre elles (et compenser l'excs de charges ngatives)
on trouve une couche intermdiaire de cations K. La faible
liaison au niveau des atomes de potassium est responsable
du plan de clivage caractristique des micas.
Dans les tectosilicates, les ttradres sont polymriss dans
les trois directions de l'espace. Chaque ttradre partage
ses 4 atomes d'oxygne avec 4 ttradres voisins. La proportion est thoriquement alors SiO2, formule
Structure de la muscovite
lectriquement neutre qui correspond celle du quartz et de ses diverses formes polymorphes
(tridymite, cristobalite..). L aussi, le remplacement partiel du silicium par l'aluminium au centre
77
des ttradres, permet d'admettre divers cations dans la structure. Ainsi, dans l'importante famille des feldspaths, on trouve l'orthose K(AlSi3O8), l'albite Na(AlSi3O8), dans lesquels la substitution d'un atome de Si par un atome d'Aluminium dans un ttradre sur quatre, permet l'introduction d'un atome monovalent dans la structure (K, Na). Il faut un taux de substitution plus lev (1:2), pour permettre l'arrive de cations bivalents. C'est le cas de l'anorthite, Ca(Al2Si2O8).
La sodalite montre une structure cellulaire de ttradres SiO4. Un remplacement de la moiti des
atomes de Si par des atomes d'Al permet d'incorporer dans la structure des atomes Na et de Cl,
aboutissant alors la structure de la sodalite Na4Cl(SiAlO4)3. Les atomes de Cl prennent alors
place aux sommets et au centre du cube, les atomes de Na sur les diagonales internes du cube,
diverses hauteurs.
Disposition des ttradres SiO4

dans la structure de la sodalite
________________
78
A sp e ct et p ro p ri t s d e s min ra u x
X. Aspect et proprits des minraux

Les minraux ne prsentent que rarement les belles formes crissommet
tallines. Ce sont le plus souvent des grains informes (surtout lorsqu'ils apparaissent comme lments constitutifs des roches), des
masses mamelonnes, feuilletes, des stalactites, des encrotements, etc... On rserve donc le nom de cristal ceux qui monarte
trent une forme cristalline sur laquelle on distingue des faces, des
artes et des sommets.
face
Toutefois, mme si la plupart des minraux ne montrent pas de
formes cristallines bien dveloppes, il prsentent tout de mme
un certain nombre de caractres organoleptiques 14 et des proprits physiques qui permettent de les dcrire. Les proprits chimiques, physiques, optiques et cristallographiques ne sont pas discernables directement par les organes des sens et il faut recourir
des instruments de mesure pour les dterminer. Laspect extrieur
des minraux, directement observable loeil, dpend globalement de lensemble de ces proprits mais ne permet en aucune manire de les dfinir, tant la variabilit de leur aspect est grand
d'un gisement l'autre pour une mme espce minrale. Aussi, dans les lignes qui vont suivre,
nous dcrirons tout dabord les aspects extrieurs des minraux puis leurs proprits physiques
tout en faisant ressortir les liens qui relient ces deux entits
Habitus
Lhabitus dcrit les diffrentes formes, propres chaque minral. Pour dcrire ces particularits
on utilise divers qualificatifs prcisant la forme cristalline, un aplatissement ou un allongement.
On parle alors dhabitus octadrique, pyramidal, prismatique ou encore dhabitus isomtrique,
allong, prismatique, aciculaire, tabulaire, etc...
Quelques adjectifs utilise pour qualifier un habitus
Les minraux ne sont isomtriques que s'ils appartiennent au systme cubique. Ceux des autres
systmes cristallins montrent souvent un aplatissement ou un allongement dans une direction
prfrentielle. Il est intressant de noter que, structuralement, la tendance l'allongement d'un
minral correspond une direction d'aplatissement de sa maille lmentaire. De mme une
maille allonge provoque l'aplatissement du minral. En effet, nous avons vu prcdemment que
la frquence d'apparition d'une face dpendait de la densit rticulaire du plan correspondant.
14 Perceptible par les sens
79
Les faces les plus dveloppes sont donc celles auxquelles correspondent les plans de plus grande
densit rticulaire. Ces derniers sont caractriss aussi par des distances rticulaires plus grandes.
Une maille lmentaire allonge va provoquer un dveloppement plus marqu des faces normales cet allongement. Le tableau ci-dessous illustre de phnomne.
Habitus de quelques minraux en fonction
des dimensions de leur maille lmentaire.
minral
tourmaline
actinote
9.84
18.1
4.59
5.19
hmatite
gypse
15.8
rutile
muscovite
9.03
5.04
5.68
15.18
aspect
7.1
prismatique selon c
5.28
aciculaire selon c
2.98
allong selon c
20.05
aplati selon c
13.78
tabulaire selon c
6.29
aplati selon b
Il est intressant aussi de souligner qu'une mme espce minrale peut apparatre avec des habitus diffrents suivant les conditions de pressions et de tempratures dans lesquelles elle s'est
forme ou sous l'influence d'une trs lgre modification de sa composition chimique. Ainsi le bryl qui forme des prismes hexagonaux allongs lorsqu'il est vert (varit meraude), ne donne
plus que des prismes trapus lorsqu'il est rose (varit morganite) et devient franchement tabulaire lorsqu'il est incolore (varit goshenite).
Groupement de minraux
Lorsque les minraux sont groups, on leur attribue leur faon de s'associer des qualificatifs
vocateurs : massif, granulaire, fibreux, fibro-radi, foliac, dendritique, stalactitique, globulaire...
Quelques adjectifs qui qualifient les habitus de groupement de minraux
Clivage
De nombreux minraux prsentent la proprit de se dbiter selon des plans prcis lorsqu'on
exerce sur eux une pression mcanique. Ce phnomne est particulirement bien marqu pour les
cristaux de calcite qui se dbitent en rhombodres et pour les micas qui se dbitent en feuillets.
Les plans de clivage correspondent, au niveau de la structure, des directions de liaison faible
80
entre les atomes. Comme les proprits physiques sont aussi soumises aux lois de la symtrie, une
direction de plan de clivage unique ne peut exister que dans des minraux basse symtrie
Dans les autres cas, ils sont obligatoirement rpts par les lments de symtrie du minral.
Ainsi on pourra observer un clivage cubique, octadrique, rhombodrique etc... Un clivage est dit
facile ou difficile selon le degr de l'effort mcanique qu'il a fallu exercer pour l'obtenir.
On parle aussi de clivage parfait si la surface obtenue est bien lisse et rflchissante comme un
miroir. Il est dit imparfait lorsque le plan obtenu ne rflchit qu'imparfaitement un signal lumineux.
Quelques adjectifs utiliss pour dfinir divers types de clivages
L'examen des plans de clivage est parfois important pour le diagnostic d'une espce minrale.
Par exemple, la distinction entre les minraux des importantes familles des pyroxnes et des amphiboles peut se faire en examinant l'angle didre que forme les clivages {110} : environ 90 chez
les pyroxnes contre 120 chez les amphiboles.
Distinction des pyroxnes et des amphiboles par langle des clivages
Les macles
Section prismatique d'un pyroxne
Section prismatique d'une amphibole
Le plus souvent, les agrgats de cristaux d'une mme espce cristalline s'agencent entre eux
d'une manire quelconque. Parfois cependant, on observe des cristaux qui font penser des "frres siamois" : deux par deux, ils sont souds l'un l'autre avec une orientation mutuelle qui est
toujours la mme. On parle de cristaux macls. Une tude plus attentive permet de dterminer les
lois de macle, qui dcrivent du point de vue gomtrique l'orientation mutuelle des deux individus. Les cristaux sont soit accols par un plan commun, le plan de macle, soit interpntrs. Dans
le cas de la macle du spinelle, on peut facilement identifier le plan de macle, le plan commun, et
un oprateur de symtrie, l'axe de macle qui, dans le cas prsent, est un axe binaire perpendiculaire au plan. Un des individus a donc effectu une rotation de 180 autour de l'axe de macle. Le
plan de macle est un plan de symtrie de la macle.
Loi de macle du rutile. On distingue le plan de macle et l'axe de macle.
81
aspect des individus macls
reconstitution de l'octadre par rotation
Il faut remarquer que le plan de macle ne peut pas tre un

plan de symtrie du cristal et que l'axe de macle ne doit pas tre
un axe binaire.
La macle de la pricline, frquente chez les plagioclases, montre un axe de macle situ non plus perpendiculairement au plan
de macle, mais contenu dans celui-ci. Le plan d'accolement n'est
plus le plan de symtrie de la macle. Il fait partie de la zone parallle [010] mais ne correspond aucune face du cristal.
Macle dite "de la pricline" :
Lorsqu'on tudie attentivement les lois de macles on distingue
l'axe
de macle est parallle au
trois types distincts :
plan de macle.
1. L'hmitropie normale : l'axe de macle est normal une face

possible du cristal qui devient le plan de macle. Ce dernier est aussi le plan d'association.
2. L'hmitropie parallle : l'axe de macle est une arte possible du cristal (axe de zone). Il est
situ dans le plan d'accolement des individus macls. Ce dernier n'est pas forcment une face
possible du cristal
3. Les macles complexes : l'axe de macle est normale une arte possible du cristal. Il est situ
dans le plan d'accolement.
L'hmitropie normale est le cas le plus frquent. Les deux autres cas
sont beaucoup plus rares. Du point de vue structural, les rseaux bipriodiques dtermins par les noeuds des deux surfaces d'accolement (une par individu), doivent concider leur contact.
Concidence des noeuds sur le
plan commun d'individus macls.
Les macles sont frquentes et leur reconnaissance est une aide utile
pour l'identification des minraux. On leur a attribu des noms vocateurs tirs soit du gisement o elles ont t dcrites pour la premire fois, soit de la forme laquelle elles font penser : macle de Carlsbad, macle en genou, macle en fer de lance, macle en croix etc... La macle en genou concerne trois minraux quadratiques,
la cassitrite, le rutile et le zircon. Le plan de macle est (011) et il s'agit d'une hmitropie normale.
La macle dite "en genou". Le rutile peut prsenter plusieurs individus successifs.
cassitrite
rutile
zircon
Il est trs rare de rencontrer un groupe macl complet. Par contre, on trouve souvent des fragments de minraux sur lesquels on peut reconnatre la prsence d'une macle. L'exemple le plus
82
frappant est celui de la cassitrite sur laquelle on voit un angle rentrant, seul tmoin vident de la
prsence d'une macle. C'est le fameux "bec d'tain".
Souvent les individus s'interpntrent et il n'est plus possible de reconnatre un plan d'accolement.
La fluorine, par exemple, montre des cubes interpntrs avec un axe de macle confondu avec un
des axes de symtrie ternaires. De mme on trouve deux dodcadres pentagonaux de pyrite parfaitement interpntrs. L'axe de macle est un des axes binaires et la rotation est de 90.
Dans le cas de la staurotide on a deux macles "en croix"possibles. Les 2 plans de macles possibles
sont parallles soit {032}, soit {232}. L'orthose montre frquemment la macle de Carlsbad : les
deux individus interpntrs sont accols par un plan irrgulier parallle (010), l'axe de macle
tant [001].
On a parfois, en particulier dans les feldspaths, des macles multiples comportant plus de deux
individus. Si on observe toute une srie d'individus macls, parallles les uns aux autres, rptant
alternativement la mme loi, on parle de macle polysynthtique. L'albite montre de pareilles macles. Il s'agit d'une hmitropie parallle dont l'axe de macle est [001].
Gypse, macle en fer de lance Fluorine, interpntration
Staurotide, deux sortes de macles en croix
Pyrite, interpntration
Orthose, macle par

interpntration
Plagioclase,
macles multiples
Dans certains cas on observe un rseau de nombreux individus

orients les uns par rapport aux autres selon une loi gomtrique bien prcise. Le rutile, TiO2, en est l'exemple le plus frappant : on peut rencontrer ce minral sous forme d'un rseau
serr d'aiguilles entrelaces dans un mme plan, parallles 3
directions orientes 120 l'une de l'autre. C'est Horace-Bndict de Saussure qui a dcrit le premier cette association. Il l'a
baptise sagnite, du latin sagena, la grille.
Sagenite : cas particulier de rutile macl
Il arrive, beaucoup plus rarement, que deux espces minrales

diffrentes s'associent selon une loi gomtrique bien dfinie. Une telle association porte le nom
83
d'pitaxie. Une des plus connues est l'association du Rutile (TiO2) et de l'hmatite (Fe2O3). La
face (110) du rutile est en contact avec la face (0001) de l'hmatite.
Les macles du quartz

Les cristaux de quartz sont trs frquemment macls mais, paradoxalement, les macles courantes sont difficiles observer car les cristaux jumels sont compltement interpntrs et ce n'est
que la rptition insolite de certaines faces spcifiques (le trapzodre, par exemple) qui permet
de dceler la prsence d'une macle. Les macles les plus frquentes sont celles dites "du Dauphin"
o un des individus a effectu une rotation de 180 autour de l'axe vertical, ainsi que celle "du
Brsil" o l'un des individus est rpt par rflexion sur un plan vertical. Mais la plus connue et la
plus facile observer, (bien qu'elle soit rare) est la macle du Japon (ou de la Gardette) constitue
de deux individus ayant une face prismatique commune et dont les axes du prisme forment un
angle de 84.
La macle du Dauphin est la plus frquente. Elle nest dcelable quen prsence des faces du trapzodre. Laxe vertical se transforme alors en un axe snaire.
La macle du Brsil est moins frquente que la prcdente. Elle n'est dcelable qu'en prsence
des faces du trapzodre. La symtrie nouvelle fait apparatre des plans de symtrie verticaux.
La macle du Japon est trs rare mais elle est immdiatement reconnaissable. Les deux individus
ont une face prismatique commune et les axes des prismes font entre eux un angle de 8433'.
84
Macle du Japon
Le polymorphisme
Pour une mme composition chimique on observe parfois des structures cristallines diffrentes :
c'est le polymorphisme. L'exemple le plus frappant est celui du carbone qui, suivant la faon dont
les atomes sont arrangs, peut donner des minraux aussi diffrents que le diamant et le graphite.
Pour un mme compos chimique ce sont les conditions de cristallisation qui dterminent l'apparition d'une structure plutt qu'une autre. Pour cristalliser dans sa forme cubique, le diamant a besoin d'une pression norme alors qu' faible pression c'est la structure du graphite qui apparat.
structure du diamant
structure du graphite
Un autre exemple bien connu est celui du carbonate de calcium CaCO3 qui cristallise le plus
souvent dans le systme rhombodrique sous forme de calcite, plus rarement dans le systme orthorhombique : l'aragonite. A ce propos, notons un phnomne assez curieux : les coquilles des
ufs des oiseaux sont en calcite, celles des reptiles en aragonite !
L'oxyde de titane TiO2 cristallise habituellement sous forme de rutile, quadratique. Mais on peut
le trouver galement sous forme d'anatase, galement quadratique mais avec des paramtre diffrents, ou encore sous forme de brookite, orthorhombique.
Certaines formes sont instables. La marcassite (FeS2), orthorhombique, se forme dans des conditions particulires basse temprature. Elle se transforme rapidement en pyrite (cubique) si on la
chauffe. Cette opration n'est pas rversible.
Par contre le quartz (rhombodrique), forme stable de la silice temprature ordinaire, se
transforme en tridymite orthorhombique si on le chauffe au dessus de 867, puis en cristobalite au
dessus de 1470. Ces transformations sont rversibles si le refroidissement n'est pas trop rapide.
L'isomorphisme
C'est la proprit que prsentent certains composs chimiques diffrents de cristalliser dans une
mme structure. Les compositions chimiques sont gnralement analogues et les constantes cristallographiques sont trs proches, L'exemple le plus connu est celui des carbonates. Certains cristallisent dans le systme rhombodriques, d'autres dans le systme orthorhombique. Voici ces
deux sries :
85
Srie rhombodrique
Minral
Chim.
magnsite
Mg CO3
sidrite
Srie orthorhombique
rayon cation
Minral
Chim.
rayon cation
0.66
aragonite
Ca CO3
0.99
Fe CO3
0.74
strontianite
Sr CO3
1.12
rhodochrosite
Mn CO3
0.80
whitrite
Ba CO3
1.34
smisthsonite
Zn CO3
0.74
crusite
Pb CO3
1.20
calcite
Ca CO3
0.99
Nous avons dj compar la structure de la calcite un assemblage cubique compact dform

( rhombodrique) des radicaux CO3 avec les ions Ca logs dans les interstices octadriques. Les
structures de la magnsite, la sidrite, la rhodochrosite et la smithsonite sont obtenues par substitution de cation bivalent Ca, par Mg, Fe, Mn ou Zn.
Les autres cations bivalents (Sr, Ba, Pb) sont trop volumineux pour entrer dans cette structure.
Elle se dforme alors et se transforme en une structure hexagonale compacte dforme ( orthorhombique) dont les cations occupent toujours les interstices octadriques. Ca CO3. L'ion Ca, qui
possde un rayon proche de la limite, peut cristalliser dans l'une ou l'autre structure (calcite ou
aragonite) suivant les conditions de formation du minral.
= Ca : calcite
= Fe : sidrite
= Mn : rhodochrosite
= Zn : smithsonite
Structure des carbonates rhombodriques : les groupes CO3

forment entre eux une structure pseudo-cubique compacte.
Les sries isomorphes

On peut largir cette notion d'isomorphisme celle de srie isomorphe. Parmi les carbonates
rhombodriques, on remarque que les deux cations, Fe et Mg, peuvent se remplacer indiffremment, c'est dire qu'on peut avoir un carbonate avec n'importe quelle proportion Fe/Mg. On
pourrait crire la formule (Fe,Mg) CO3. On dit alors que la magnsite et la sidrite forment ensemble une srie isomorphe complte.
Ces deux cations (Fe, Mg), trs proches par leur taille et leur structure lectronique, peuvent se
remplacer dans plusieurs sries isomorphes. On connait bien la srie des pridots, (Fe,Mg)2SiO4,
86
dont les termes extrmes sont la fayalite (Fe) et la forstrite (Mg), le terme intermdiaire le plus
connu tant l'olivine.
Srie isomorphe entre la forstrite et la fayalite
forstrite
Mg2SiO4
------------------> olivine --------------------------------------------------->
fayalite
------------> (Mg,Fe)2SiO4 ---------> (Fe,Mg)2SiO4 -------->
Fe2SiO4
D'autres sries sont incompltes, o il n'existe qu'un seul terme intermdiaire comme la dolomite CaMg(CO3)2, renfermant Ca et Mg en proportions gales.
La srie isomorphe la plus connue est celle des plagioclases dont les termes extrmes sont l'albite
NaAlSi3O8, et l'anorthite CaAl2Si2O8. Cette srie est intressante car il s'agit du remplacement
d'un cation monovalent par un autre bivalent. Cela est rendu possible par la substitution progressive d'atomes de Si par Al, dans le ttradre SiO4.
Les plagioclases (ou feldspaths calco-sodiques
albite
0-10% an
oligoclase
andsine
10-30% an
30-50% an
NaAlSi3O8 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! "
!!!!!!
labrador
"
50-70% an
Bytownite
70-90% an
anorthite
90-100% an
CaAl2Si2O8
diminution de la teneur en silice ! ! ! ! ! !
Les plagioclases proches de lalbite se trouvent dans les roches riches en silice, ceux proches de lanorthite caractrisent les roches pauvres en silice.
Les minraux ne sont pas toujours bien dans leur peau

Certains minraux prsentent parfois des formes trangres leur propre symtrie. Ce sont des
pseudomorphoses. Elles sont dues la transformation chimique d'une espce minrale en une
autre, sans modification de sa forme extrieure. L'ancienne forme joue en quelque sorte le rle
d'un moule l'intrieur duquel la transformation s'est effectu. Des cubes de pyrite, FeS2 peuvent, par exemple, s'oxyder en goethite, FeO(OH) tout en conservant la forme originelle du cube.
Pseudomorphoses classiques
minral nouveau
quartz
goethite
malachite
pyromorphite
talc
minral remplac
calcite, fluorine, asbeste, talc
pyrite, sidrite, magntite
cuprite, azurite
galne
quartz
On peut rapprocher ce phnomne de celui de la fossilisation : une ammonite pyritise peut tre
considre comme de la pyrite qui a "emprunt" la forme d'une ammonite. Un cas intressant est
celui de la varit de silice connue sous le nom d'il-de-tigre qui est le rsultat de la silicification
plus ou moins complte de la crocidolite, une amiante bleue : c'est du quartz qui a conserv la
87
structure fibreuse de l'amiante. Suivant le degr d'oxydation, les rsidus ferreux qui subsistent
encore, confrent l'il-de-tigre des teintes brun jaune dor avec des zones bleutres pour les
parties les moins oxydes.
Ammonite pyritise
Talc, pseudomorphose de quartz
Lanisotropie
L'tat cristallin se distingue de l'tat amorphe (verre, certains plastiques) par l'anisotropie qui
affecte la plupart de ses proprits physiques. En clair, cela signifie que les proprits sont diffrentes suivant la direction dans laquelle on les considre. L'aspect le plus vident de cette anisotropie est la vitesse de croissance des faces d'un cristal. Si la vitesse de croissance tait identique
dans toutes les directions, on aboutirait la formation de sphres! C'est justement la variation
discontinue de la vitesse de croissance d'un minral selon la direction qui est responsable de la
forme des cristaux.
Le degr d'anisotropie des proprits physiques est diffrent d'une espce minrale l'autre. Il
dpend troitement de leur structure et de leur symtrie. Les minraux appartenant au systme
cubique font exception cette rgle : la plupart de leurs proprits physiques sont isotropes.
Aspect des faces

Les faces des cristaux ne sont pas toujours parfaitement planes et brillantes. Elles peuvent tre
aussi mates, rugueuses, stries. Elles peuvent mme prsenter une apparence courbe due une
croissance en gradins. L'aspect des faces peut parfois nous renseigner sur la symtrie du cristal.
Par exemple, les faces des cubes de pyrite sont souvent stries paralllement aux artes. Cela indique que les axes de symtrie perpendiculaires aux faces de ce cube ne sont pas des axes d'ordre
4, mais seulement des axes binaires !
Les inclusions
Lorsqu'un minral se forme relativement rapidement (dans le cas des pegmatites, par exemple),
la croissance n'est pas toujours uniforme, et de nombreuses inclusions viennent voiler la limpidit
des cristaux. Ce sont souvent de minuscules inclusions liquides, solides ou gazeuses qui sont les reliques des lments nourriciers qui ont assur la croissance du minral et qui sont restes emprisonnes dans le cristal. Les inclusions sont souvent mixtes, gouttelette renfermant une bulle de gaz avec
88
parfois mme un petit cristal libre, isol dans le liquide. On parle alors d'inclusion une, deux ou
trois phases.
Dans d'autres cas, un minral en voie de formation a simplement inclus des cristaux qui existaient dj auparavant.
L'exemple le plus connu est celui des aiguilles de rutile
qu'on trouve frquemment dans le quartz.
Aiguilles de rutile dans un cristal de quartz
Le poids spcifique
C'est le poids d'une unit de volume. On l'exprime en grammes par centimtre cube [g/cm3].
Quant la densit d'un minral, c'est le rapport de son poids spcifique celui de l'eau. Les deux
valeurs sont les mmes, ceci prs que la densit est exprime par un nombre sans unit. Il est
utile de savoir qu'en anglais, "specific gravity" correspond notre dfinition de la densit !
Le poids spcifique d'un minral dpend directement de sa composition chimique et de sa structure. Il correspond au poids de tous les atomes contenus dans la maille lmentaire, divis par le
volume de celle-ci. Par exemple, pour les divers polymorphes de la silice on observe les poids spcifiques suivants :
minral
P.sp.
minral
P.sp.
trydimite
2.26
quartz
2.65
cristobalite
2.32
coesite
2.93
Les atomes sont donc plus serrs l'intrieur de la coesite qu lintrieur de la trydimite. Cela
fait apparatre la notion de coefficient de remplissage P.I. (en anglais packing index) :
Packing index =
volume des ions

volume de la maille
10
Pour les formes polymorphes de TiO2 et Al2SiO5, nous obtenons ainsi :

P. sp.
P.I.
P. sp.
P.I.
TiO2
rutile
4.25
6.6
Al2SiO5
disthne
3.63
TiO2
brookite
4.14
6.4
Al2SiO5
sillimanite
3.24
6.2
TiO2
anatase
3.90
6.3
Al2SiO5
andalousite
3.15
6.0
Il est bien vident que le poids atomique des atomes constitutifs est responsable pour une
grande part du poids spcifique des minraux, comme le montre le tableau suivant :
Minral
Chim.
P. sp.
P. A.
aragonite
CaCO3
2.93
40
strontianite
SrCO3
3.78
87.6
whitrite
BaCO3
4.31
137.3
crusite
PbCO3
6.58
207
89
Il est possible de calculer le poids spcifique d'un minral en partant du volume de la maille lmentaire et de son remplissage. Pour la halite, la maille est un cube de 5.6402 d'arte et elle renferme 4 atomes de Na et 4 atomes de Cl. Connaissant les poids atomiques de ces deux lments
nous calculons :
Poids spcifiquecalc. =
4 (22.9898 + 35.453)
(5.6402 10-8)3 (6.025 1023)
= 2.164 gr/cm3
En pratique, c'est la densit qu'on mesure en comparant le poids d'un chantillon avec le poids
du volume d'eau qu'il dplace. La densit mesure ne correspond pas toujours au poids spcifique calcul. En effet, les minraux n'ont pas toujours la composition chimique idale qu'on leur
attribue, car il y a frquemment de petites substitutions entre atomes du mme type. La formule
idalise de la blende est bien ZnS. Toutefois, si on effectue une analyse chimique prcise on
trouve presque toujours de petites quantits de Fe et de Mn qui remplacent partiellement Zn.
La densit de certains minraux fournissent des renseignements intressants sur leur composition
chimique. La colombo-tantalite, (Fe,Mn)2(Cb,Ta)2 O6 , constitue une srie isomorphe complte
entre la columbite, (Fe,Mn)2 Cb2O6, de densit 5.20, jusqu' la tantalite, (Fe,Mn)2Ta2O6, de
densit 7.80. L'augmentation de la densit est presque linaire en regard de la teneur en Ta2O6.
On peut donc connatre approximativement la proportion de tantalite dans la columbo-tantalite
par la relation :
% tantalite = dens. mesure - 5.20
0.026
La mesure de la densit n'est pas toujours aise car il est souvent difficile d'isoler un fragment de
minral auquel n'adhre aucune impuret. Si le grain obtenu est suffisant volumineux, on utilise
une balance de prcision quipe d'un double plateau, le plateau infrieur tant immerg dans
de l'eau. On effectue la double pese et on calcule la densit par la relation bien connue :
Pair
Pair - Peau
Si le grain est trs petit on utilise des liqueurs denses, en particulier la liqueur de Clerici (d = 4.)
qu'on peut diluer avec de l'eau en toutes proportions. Pour cela on utilise un trs petit tube essai. On dilue lentement la liqueur avec de l'eau jusqu'au moment o le grain ni ne flotte, ni ne
sombre, mais reste immobile au milieu du mlange. Le mlange possde alors la mme densit
que l'chantillon. Pour connatre la densit de la liqueur on utilise le fait que son indice de rfraction varie sensiblement en fonction de sa densit. On en mesure donc l'indice au moyen d'un rfractomtre et on en tire la densit l'aide du tableau ci-dessous :
Densit =
90
L'emploi des liqueurs denses reste limit aux densits infrieures 4.3. Par ailleurs elles sont
d'un emploi dlicat en raison de leur toxicit leve. Elles peuvent servir sparer des fractions
minrales, en particulier elles permettent de sparer les feldspaths et le quartz d'une part, des
lments ferro-magnsiens et des minraux denses d'autre part.
Quelques liqueurs d'emploi courant
dens.
diluable dans :
bromoforme
CHBr 3
2.89
benzne
ttrabromthane
C2H2B4
2.96
benzne
iodure de mthylne
CH2I2
3.32
toluol, benzne
4.28
eau
liqueur de Clerici
La duret
La duret reflte la rsistance de la structure cristalline des efforts mcaniques. Pratiquement
c'est la rsistance la rayure. Un minral est dit plus dur qu'un autre minral lorsquil raye ce
dernier. La mesure de la duret est empirique et se fait par comparaison avec 10 minraux de rfrence qui constituent l'chelle de duret dite de Mohs. La mesure de la duret est facile. Quand
on dit que la pyrite a une duret de 6.5, cest quelle raye l'apatite mais est raye par le quartz.
1
2
3
4
5
Echelle de duret de Mohs

talc
6 apatite
gypse
7 quartz
calcite
8 topaze
fluorine
9 corindon
orthose
10 diamant
Cette chelle a t tablie en 1822 par le minralogiste autrichien Friedrich Mohs. Une estimation grossire de la duret peut se faire avec une lamelle de verre (d 5.5) et l'ongle (d 3). La
duret dpend de la structure du minral, de la taille des atomes qui le constituent, du type de
liaison atomique et de la compacit de la structure. Dans la srie des carbonates rhombodriques
la duret augmente avec la diminution de la taille des cations :
minral
chim.
ion
duret
calcite
CaCO3
0.99
rhodochrosite
MnCO3
0.80
sidrite
FeCO3
0.74
4 - 4.5
smithsonite
ZnCO3
0.74
4 - 4.5
magnsite
MgCO3
0.66
4.5
91
Bote construite par un amateur renfermant les

minraux de duret de 2 9. Elle comprent
aussi une plaquette de porcelaine, une plaquette de verre (d =5.5), un petit chalumeau et
un ensemble de tiges serties de minraux pour
les durets de 5.5 9.
Tiges serties de minraux dont la duret va de 5.5 9
Les polymorphes de la silice prsentent une augmentation de la duret parallle l'augmentation de la densit : la duret diminue aussi considrablement lorsque les minraux renferment des
groupes hydroxyles OH ou des molcules d'eau. Un bon exemple est celui des oxydes d'aluminium.
dens.
duret
dens
duret
tridymite
2.26
6.5
corindon
Al2O3
4.0
cristobalite
2.32
6.5
diaspore
AlO(OH)
3.4
quartz
2.65
gibbsite
Al(OH)3
2.4
coesite
2.93
7.5
Anisotropie de duret
Un des seuls exemples danisotropie de duret concerne le
disthne. Ce minral forme des cristaux tabulaires allongs. La duret mesure sur la face aplatie est de 4.5 dans
le sens de lallongement, et de 7 dans la direction perpendiculaire celui-ci.
Disthne
Duret relative, duret absolue

On peut mesurer la duret d'une manire quantitative plus rigoureuse qu'avec l'chelle empirique de Mohs. On mesure, par exemple, soit le diamtre de l'empreinte laisse par la pression d'un
cne de diamant appliqu avec une force connue. On peut aussi mesurer la force qu'il faut appliquer pour obtenir une empreinte de dimension constante.
92
La fusibilit
C'est la plus ou moins grande facilit que prsentent les minraux fondre sous l'effet de l'lvation de la temprature. Il est difficile de parler de point de fusion comme pour les mtaux. En
effet les minraux restent souvent pteux entre des limites de temprature assez grandes ou ils se
dcomposent avant d'atteindre l'tat liquide, ou bien encore ils se transforment en une autre
phase minrale.
Malgr ces considrations, les minralogistes ont cr une chelle de fusibilit un peu arbitraire
qui subdivise les minraux en sept chelons se rfrant sept minraux de comparaison. La mesure n'est pas toujours aise. Il faut slectionner une fine esquille du minral et en exposer l'extrmit la plus fine au sommet de la flamme d'un petit chalumeau.
Echelle de fusibilit des minraux
1 stibine
fond immdiatement la moindre flamme dans un tube ferm (575)
2 chalcopyrite
fond aisment au chalumeau mais difficilement sur une flamme lumineuse (bougie) ou dans un tube ferm (env. 800).
3 almandin
fond facilement au chalumeau mais ne fond ni dans un tube ferm, ni

dans une flamme lumineuse (1050).
4 actinote
les artes de lesquille fondent rapidement mais les parties plus massives
fondent peu ou pas du tout.
5 orthose
les artes de lesquille fondent difficilement; les parties plus massives ne

sont que lgrement arrondies (1300).
6 enstatite
seules les parties les plus aigus des artes sont arrondies (env. 1400)
7 quartz
infusible au chalumeau.
Les proprits optiques

Nous n'envisageons ici que l'aspect macroscopique des proprits optiques et laissons des ouvrages plus spcialiss l'tude de l'optique cristalline proprement dite.
La transparence
Nous ne dcrirons ici que les proprits optiques des minraux dont les effets sont perceptibles
loeil nu mais nous naborderons pas loptique cristalline qui implique lemploi de divers appareils, en particulier du microscope polarisant.
En premier lieu on distingue les minraux transparents de ceux qui sont opaques. Les premiers
se laissent traverser par la lumire alors que les seconds larrtent plus ou moins compltement.
La limite nest pas franche. La notion de transparence est subjective et dpend beaucoup de la
puissance des moyens dinvestigations utiliss. La plupart des minraux constitutifs des roches
sont transparents, vus en section mince (0.03 mm), sous le microscope, bien que beaucoup dentre eux semblent opaques loeil nu.
Cest parmi les sulfures et les oxydes mtalliques quon rencontre les minraux vraiment opaques, alors que la plupart des minraux des autres classes sont transparents.
Cest labsorption plus ou moins slective de la lumire par les minraux qui dtermine leur
transparence, leur opacit et leur couleur. Lindice de rfraction, associ aux diverses proprits
dopacit et dabsorption, est responsable de lclat dun minral, cest--dire son aspect plus ou
moins brillant, chatoyant ou terne.
93
La couleur est trompeuse

La couleur est un des caractres le plus souvent utiliss dans la description des minraux. Il faut
toutefois tre trs prudent dans lutilisation de ce critre car, si beaucoup de minraux ont une couleur propre, de nombreux autres peuvent prendre des colorations trs diffrentes dun gisement
lautre. Les premiers sont dits idiochromatiques, les seconds allochromatiques.
Les minraux idiochromatiques possdent dans leur structure un lment chimique - dit chromatophore - directement responsable de la couleur. Ce sont Fe, Ti, V, Cr, Mn, Co, Ni et Cu. Le cuivre colore les minraux en vert (malachite, dioptase) ou en bleu (azurite), le manganse en rose (rhodochrosite), le vanadium en jaune (vanadinite). La prsence de Fe3+ provoque une coloration jaune
rouge, alors que Fe2+ colore les minraux en bleu-vert. La prsence simultane de Fe2+ et Fe3+
colore les minraux en bleu fonc noir.
Couleur due un lment chromatophore constitutif du minral

Elment
Couleur
minral
formule chimique
malachite
azurite
Cu2 CO3 (OH)2
Cuivre
vert
bleu
bleu-vert
turquoise
CuAl6 (PO4)4 (OH)8.5H2O
Lithium
rose
rubellite
Na(Li,Al)3 Al6 (BO3 )3 Si6O18 (OH)4
rhodonite
rhodochrosite
Mn SiO3
Manganse
rose
rose
orange
spessartine
Mn3 Al2 Si3 O12
vert
ouvarovite
Ca3 Cr2 Si3 O12
Chrome
Cu3 (CO3)2 (OH)2
Mn CO3
Les minraux allochromatiques doivent leur coloration soit la prsence dimpurets (lments chromatophores) en traces infimes, soit une dformation de leur structure sous leffet de
radiations. Comme exemple citons le corindon qui est normalement incolore. La prsence de traces doxyde de chrome le colore en rouge (rubis) alors que des traces doxyde de fer et de titane
lui confrent une coloration bleue (saphir).
Couleur due une impuret en trs faible quantit
minral
comp. chim.
varit
couleur
corindon
Al2O3
rubis
saphir bleu
saphir vert
rouge
bleu
vert
Cr
Ti + Fe
Fe
spinelle
MgAl2O4
spinelle rouge
spinelle bleu
rouge
bleu
Cr
Fe
bryl
Be3Al2Si6O18
meraude
aigue-marine
vert
bleu ple
Cr
Fe
94
Impuret
Pour des causes identiques le bryl peut tre parfaitement incolore (goshnite), vert (meraude),
bleu (aigue-marine), ou rose (morganite). Le bryl prsente aussi une curieuse particularit : la
varit goshnite montre un habitus tabulaire, la morganite ressemble un petit tonneau et
l'meraude est prismatique !
La coloration peut tre due aussi la prsence dinclusions solides microscopiques : quartz vert,
color par des inclusions de chlorite.
Dautres minraux, le quartz, la fluorine ou le zircon par exemple, montrent des teintes trs varies qui disparaissent lorsquon les chauffe. Il ne sagit pas de colorations dues des impurets
mais plutt des drangements dans leur structure, qui ont t provoqus par la radioactivit
naturelle. Le quartz fum devient incolore si on le chauffe. Il ne reprend plus sa couleur une fois
refroidi. Par contre on peut fumer artificiellement un quartz incolore en l'exposant une source
de radiations ionisantes.
La couleur du trait
Le degr de division dun minral en petites particules joue un rle important sur lapparence de sa couleur, et si on le divise finement - en poudre par
exemple - sa couleur sclaircit. Lhmatite, qui parat gris-noir, donne une couleur rouge bruntre
lorsquelle est rduite en poudre. Pour observer cette
coloration il suffit de frotter le minral sur une surface rugueuse dure. On utilise gnralement une
plaquette de porcelaine non vernisse sur laquelle le
minral laisse un trait color. La couleur du trait
figure en bonne place dans les descriptions de minraux.
Lindice de rfraction
Lindice de rfraction est un nombre sans unit qui exprime le rapport de la vitesse de la lumire
dans lair celle mesure lintrieur du minral :
n=
__Vitesse de la lumire dans l'air __

Vitesse de la lumire dans le minral
Cette diffrence de vitesse est responsable de la dviation des rayons lumineux la limite de
sparation de deux milieux dindices diffrents. Plus la diffrence des indices est grande, plus cette
dviation est importante. Cest la dviation des rayons lumineux qui permet de distinguer un
corps transparent incolore plong dans un
autre milieu transparent.
Relief apparent de divers
minraux plongs dans l'eau
Le relief dun minral plong dans leau
est dautant plus marqu que la diffrence
des deux indices est grande. Sur le dessin cidessus, on voit que la glace et la cryolite, qui ont un indice de rfraction assez proche de celui de
l'eau, ne sont que peu perceptibles. Le quartz est dj plus contrast alors que le diamant, avec
son haut indice de rfraction, est mis en vidence par un contraste lev.
95
Lclat permet de briller

Lclat est une apprciation quelque peu subjective qui dpend directement du pouvoir rflecteur. Ce dernier est dfini comme tant la proportion de lumire rflchie par rapport la quantit de lumire reue.
Pour les minraux transparents, le pouvoir rflecteur est toujours assez faible et ne dpend que
de l'indice de rfraction. Les lois qui rgissent le pouvoir rflecteur des minraux opaques sont
plus complexes. Ils peuvent prsenter parfois des pouvoirs rflecteurs trs levs.
pouvoir rflecteur R =
quantit de lumire rflchie

quantit de lumire reue
La relation entre le pouvoir rflecteur et lindice de rfraction vaut :

R = (n-1) 2
(n+1)2
n = indice de rfraction du minral.
Lclat gras ou vitreux caractrise les minraux transparents faible indice de rfraction
(quartz, fluorine, tourmaline), lclat adamantin caractrise les minraux transparents haut
indice de rfraction (cassitrite, rutile, diamant).
Quant aux minraux opaque, leur clat est plus ou moins mtallique suivant l'importance de
leur pouvoir rflecteur. !
La nature de la surface du minral ou la prsence dinclusions microscopiques peut modifier
lclat, et il existe toute une srie de qualificatifs qui caractrisent ces aspects : rsineux, laiteux, terreux, soyeux, terne, etc...
Relation entre lclat et lindice de rfraction

Eclat des minraux transparents
Eclat des minraux opaques
clat
pouvoir
rflecteur
indice de
rfraction
clat
pouvoir
rflecteur
gras
4.8%
1.3 1.5
submtallique
8 20 %
vitreux
6.0%
1.5 1.8
mtallique
20 50 %
subadamantin
12%
1.8 2.2
supermtallique
17.5%
> 2.2
adamantin
> 50 %
La nature de la surface du minral ou la prsence dinclusions microscopiques peut modifier

lclat, et il existe une srie de qualificatifs qui caractrisent ces aspects : rsineux, laiteux, terreux,
soyeux, terne, etc...
La photoluminescence
Cest lmission de lumire que produit un minral excit par un bombardement de photons
nergtiques. La lumire mise possde toujours une longueur donde plus grande que celle qui
provoque lexcitation. Ainsi si on irradie un minral susceptible de photoluminescence avec la
lumire prise dans le spectre visible, lmission secondaire aura lieu dans linfrarouge et ne sera
pas perceptible loeil. Il faut donc irradier les minraux avec une lumire ultraviolette pour que
lmission secondaire se situe dans le spectre visible. Les minraux sujets ce phnomne sont
dits luminescents.
96
On utilise parfois le terme de fluorescence dont ltymologie vient du minral fluorine qui prsente souvent ce phnomne. Parfois mme, certains minraux mettent de la
lumire quelques instants encore aprs l'extinction de la
source excitatrice : on parle alors de phosphorescence.
Il ny a que trs peu de minraux qui sont toujours fluorescents : la scheelite (CaWO4) et la willmite (ZnSiO4). Par
contre beaucoup dautres minraux sont occasionnellement luminescents (fluorine, apatite, calcite, aragonite,
zircon..). Ce sont des impurets, dites phosphognes, qui
sont responsables de cette luminescence occasionnelle, en
particulier le manganse (Mn) et le bismuth (Bi).
Schma du phnomne de fluoresccence
Les proprits lectriques

Les proprits lectriques dpendent du type de liaison qui unit les atomes. Les minraux liaisons mtalliques sont conducteurs d'lectricit. Les minraux liaisons ioniques ou covalentes
sont isolants ou montrent des proprits de semi-conducteurs.
Les minraux non conducteurs auxquels il manque le centre de symtrie peuvent tre lectriss
par chauffage (pyrolectricit) ou par compression (pizolectricit). Les exemples les plus connus
sont la tourmaline qui, chauffe, devient porteuse de charges positives lune de ses extrmits,
ngatives lautre, et le quartz qui laisse apparatre des charges de signes opposs sur les deux
faces dune plaquette (taille perpendiculairement un axe de symtrie binaire) lorsquon la
comprime. Ce dernier phnomne est trs important et il a de nombreux usages en lectronique
(montre quartz par exemple).
La montre quartz
La faible symtrie et labsence dun centre dinversion confre au quartz des proprits pizo-lectriques. En clair cela signifie quune plaquette de quartz soumise une pression mcanique voit apparatre sur chacune de ses faces des charges lectriques de signe oppos. Rciproquement, lapplication
chacune de ces faces de charges lectriques de signe oppos, dforme lgrement la plaquette.
Si on introduit une plaquette de quartz convenablement taille entre les lectrodes dun circuit oscillant,
le quartz se met vibrer avec une frquence propre qu'il va imposer au circuit. La frquence dpend des
dimensions de la plaquette et de son orientation cristallographique. On lutilise donc comme talon de
frquence dans de nombreuses applications de llectronique.
Dans les montres quartz on utilise une plaquette de quartz vibrant 32768 fois par seconde (= 214 vibrations). Un circuit intgr ddouble 14 fois de suite le nombre de ces vibrations qui passe alors une
priode par seconde, impulsion qui commande lavance de laiguille des secondes.
97
Les proprits magntiques

Certains minraux sont sensibles des champs magntiques. Il
faut toutefois des champs magntiques assez puissants pour en
percevoir les effets. C'est le cas, en particulier des minraux renfermant du fer. Pratiquement il n'y a gure que deux minraux
qui sont fortement attirs par un aimant : la magntite (Fe3O4)
et la pyrrhotine (FeS).
Magntite
Ce minral se comporte parfois
comme un vritable aimant
Les proprits chimiques

Sans un appareillage danalyse complexe il nest pas possible davoir une ide prcise de la
composition chimique dun minral. Il ny a gure que la solubilit de certains minraux dans les
acides qui peut apporter quelques indications sur la classe chimique laquelle ils appartiennent.
La solubilit nest pas toujours facile observer. Certains minraux ne se dissolvent que trs lentement ou seulement partiellement. Ce nest que dans le cas de quelques carbonates, en particulier la calcite, que la solubilit dans lacide est facilement observable car la raction entrane le
dgagement de gaz carbonique qui schappe de la solution en faisant effervescence.
Quelques rares minraux laissent un got sur la langue : la halite (NaCl) ou sel de cuisine laisse
un got sal bien reconnaissable alors que la sylvine (KCl) donne une saveur trs piquante.
____________________
Votre avis mintresse !

Si vous avez apprci ce texte ou si vous avez des remarques qui me permettraient
de lamliorer, veuillez me le faire savoir ! Voici mes coordonnes :
Jacques Deferne, 40A, route dHermance, CH-1222 Vsenaz,
mail : deferne.jacques33@gmail.com
98

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Introduction la cristallographie

L'Abb Ren-Just Hay (1743-1822),

Table des matires

II. Premire approche des cristaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .! 7

III. Jouons avec la symtrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!13

IV. Reprsentation graphique des cristaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .! 21

V. Les systmes cristallins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!25

VI. Lorganisation des atomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . !

Motif, rseau et maille lmentaire - Le rseau - La frquence dapparition des faces - Le

VII. Les rayons X au service de la minralogie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . !

VIII. Quelques relations mathmatiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!

Le calcul cristallographique - Les zones - La loi de Weiss.

IX. Un peu de cristallochimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!

X. Aspect et proprits des minraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!85

Les trois tats de la matire

Ltat gazeux : les molcules sont loignes les

Schma de la croissance des minraux d'une roche ruptive.

Minraux informes dans une roche

Halite en cristaux bien dvelopps

II. Premire approche des cristaux

Les beaux cristaux, galement dvelopps dans toutes les directions,

Forme idalise dun cristal de quartz

Sections travers diffrents cristaux de quartz

Thorie de la molcule constituante

Trois formes diffrentes de la calcite Rhombodres de clivage

Ren-Just Hay, 1743-1822, professeur de

Scalnodre ditrigonal reconstitu par empilement

La loi des caractristiques entires

soit dans notre exemple :

Intersection de deux faces, y et z,

La notation des faces

2! Christian Samuel Weiss, cristallographe allemand, 1780-1856.

Orientation des faces de la barytine

Indices de Miller des faces visibles

Choix des axes de coordonnes

Axes orthogonaux avec

Axes non orthogonaux avec

III. Jouons avec la symtrie

Le plan de symtrie, comme un miroir

Les axes de symtrie, comme un carrousel !

Forme cristalline avec

Les axes de symtrie inverses

Axes d'inversion d'ordre 2, 3, 4 et 6

Oprateurs de symtrie ponctuelle et symboles qui les dsignent

Notation Not. interMultiplicit pratique nationale

axe inv. d'ordre 2

axe inv. d'ordre 3

axe inv. d'ordre 4

axe inv. d'ordre 6

quivaut A3 + P3 (plan normal)

peut tre considr comme un axe

Prisme et sphnodre quadratique

Rhombodre avec son axe inverse

Combinaisons d'oprateurs de symtrie

Hmimorphite et ses trois

Les 32 classes de symtrie

On peut reconstituer systmatiquement les 32 classes de symtrie en examinant successivement

Une forme cristalline ne peut avoir que des axes d'ordre 2, 3, 4, 6.

Un axe impair devient un axe inverse s'il existe un centre;