Haouam Marwa

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur

Université 8 mai 1945 Guelma
Faculté des Mathématiques et de l’Informatique et des Sciences de la Matière
Département des Sciences de la Matière
Mémoirede fin d’études

Master
Spécialité : Physique de la Matière Condensée
Présenté par :
HAOUAM MARWA
Etude des propriétés structurales, électroniques et

thermoélectriques des alliages Heusler
Sous la Direction de :
Dr. HAMIDANI ALI
Juin 2019
Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier Dieu le tout puissant et miséricordieux,
qui m’a donné la force et la patience d’accomplir ce modeste travail.
En second lieu, je tiens à saisir cette occasion pour adresser mes profonds
remerciements et reconnaissances au Docteur HAMIDANI Ali, mon
encadreur de mémoire de fin d’étude, pour ses précieux conseils et son
orientation tout au long de ce travail.
Je suis très reconnaissante envers Monsieur ZANAT Kamel pour son aide,
sa générosité et grande patience dont su a su faire preuve.
Je remercie également les membres de jury pour avoir accepter d'examiner

ce travail.
Je tiens à remercier très sincèrement tous les membres du Laboratoire de

Physique de Guelma (LPG), particulièrement tous les enseignants qui ont
contribué à ma formation durant mon parcours des études et pendant la
réalisation de ce travail.
Mes remerciements pour mes chers Parents et mes chers frères qui par
leurs prières et leurs encouragements, j’ai pu sur monter tous les obstacles.
Je tiens à remercier toute personne qui a participé de prés ou de loin à

l’exécution de ce modeste travail.
Dédicace
Je dédie ce modeste travail à :
A Les plus chères personnes dans ma vie : ma mère et mon père,

Que dieu leur procure bonne santé et longue vie
A mes chers frères ‹‹ Saleh, Abde alli, Akram, Louey››

et Ma sœur ‹‹ Hanane ››, Ceux que j’aime beaucoup et qui m’ont
soutenu tout au long de ce projet
A Toute ma famille, mes amis qui ont toujours été à mes côtés et
avec qui j’ai partagé les meilleurs moments et à tous ceux qui ont
contribué de près ou de loin pour que ce projet soit possible, je vous
dis merci.
HAOUAM marwa
Résumé
Notre travail porte sur l’étude des propriétés structurelles, électroniques et
thermoélectriques du composes semi-Heusler TaIrSn dopés par un élément de transition
(Rh) sous la forme TaIr1−x Rhx Sn avec différentes Concentrations x = (0, 0.25, 0.50,
0.75, 1).
Les calcules des propriétés structurelles et électroniques on été effectués par la méthode
de calcul des ondes planes augmentées (FP-LAPW) qui se base sur la théorie de la
fonctionnelle de la densité (DFT) implémentée dans le code Wien2k. Le potentiel
d’échange et de corrélation a été évalué par l’approximation du gradient généralisé
(GGA).
Les propriétés structurales, telles que le paramètre de réseau a0, le module de
compressibilité B0 et sa dérivée B’ sont en bon accord avec les résultats expérimentaux
et théoriques disponibles.
Les résultats obtenus pour la structure de bandes et les densités d’états (DOS) montrent
que les composés ont un gap indirect.
La théorie semi-classique de Boltzmann a été considérée pour le calcul des propriétés
thermoélectriques. Les résultats obtenus montrent que le coefficient de Seebeck, la
conductivité électrique et le facteur de mérite dépendent fortement de dopage et de la
température. On trouve que le composé TaIr0.25 Rh0.75 Sn est un bon candidat pour la
conversion thermoélectrique, notamment à haute température.
Mots clés :
Propriétés structurales, propriétés électroniques, propriétés thermoélectriques, semi-

Heusler, FP-LAPW, DFT, Wien2k, GGA.
‫ملخص‬
‫يتركز عملنا على دراسة الخصائص البنيوية‪ ,‬اإللكترونية والكهروحرارية لمركبات نصف‪ ,Heusler-‬حيث‬
‫المركب ‪ TaIrSn‬مطعم بواسطة عنصر االنتقال (‪ (Rh‬على شك ل ‪ TaIr1−x Rhx Sn‬بتركيزات مختلفة‬
‫(‪2x =)5,52.0,52.0,0‬‬
‫قمنا بتطبيق الدراسة بواسطة استخدام طريقة األمواج المستوية المتزايدة خطيا )‪ (FP-LAPW‬التي تعتمد على‬
‫نظرية الكثافة الدالية (‪ )DFT‬و التي تم برمجتها في ‪ 2Wien2k‬و تم حساب كمون التبادل واالرتباط بتقريب‬
‫التدرج المعمم (‪2)GGA‬‬
‫لقد وجدنا أنه يوجد توافق في الخصائص البنيوية‪ ،‬مثل معلمة الشبكة ‪ ،a0‬وحدة االنضغاط ‪ B0‬ومشتقها ’‪ B‬مع‬
‫النتائج التجريبية والنظرية المتاحة‪2‬‬
‫توضح النتائج التي تحصلنا عليها بالنسبة لبنية العصابات وكثافة الحالة (‪ )DOS‬أن للمركبات فجوة غير مباشرة‪2‬‬
‫قمنا باستخدام نظرية بولتزمان شبه الكالسيكية لحساب الخواص الكهروحرارية‪ 2‬و أظهرت النتائج التي تم الحصول‬
‫عليها أن معامل سيبك والتوصيل الكهربائي وعامل الجدارة يعتمدان بشدة على المنشطات ودرجة الحرارة‪ 2‬لقد وجد‬
‫أن المركب ‪ TaIr0.25 Rh0.75 Sn‬مرشح جيد للتحويل الكهروحراري ‪ ،‬خاصة في درجات الحرارة العالية‪2‬‬
‫الكلمات المفتاحية ‪:‬‬
‫الخصائص البنيوية‪ ،‬الخصائص اإللكترونية‪ ،‬الخصائص الكهروحرارية‪ ،‬نصف‪DFT ، FP-LAPW ،heusler-‬‬

‫‪2GGA ،Wien2k ،‬‬
Abstract
First principles calculations were carried out to study the structural, electronic and
thermoelectric properties of the half-Heusler TaIrSn compounds doped by transition
element (Rh) in the form TaIr(1-x) Rhx Sn with different concentrations x = (0, 0.25,
0.50, 0.75, 1).
Structural and electronic properties are calculated by the augmented plane wave method
(FP-LAPW) which is based on the density functional theory (DFT) implemented in the
Wien2k code. The exchange and correlation potential was evaluated by the generalized
gradient approximation (GGA). The structural properties, such as the lattice parameter
a0, the bulk modulus B0 and its derivative B' are in good agreement with the available
experimental and theoretical results.
The obtained results for the bands structure and the densities of states (DOS) show that
the compounds are semiconductors and have an indirect gap.
The semi-classical Boltzmann theory was used for the calculation of thermoelectric
properties. The results obtained show that the Seebeck coefficient, the electrical
conductivity and the merit factor strongly depend on doping and temperature. It is found
that the compound TaIr0.25Rh0.75Sn is a good candidate for thermoelectric conversion,
especially at high temperature.
Key words:
Structural properties, electronic properties, thermoelectric properties, Half-Heusler, FP-
LAPW, DFT, Wien2k, GGA.
Sommaire
Liste des figures .............................................................................................................. V

Liste des tableaux ......................................................................................................... VII
Introduction générale ..................................................................................................... 1
Références ......................................................................................................................... 3
Chapitre I. Notions de base de la thermoélectricité

I.1. Introduction ............................................................................................................... 4
I.2. L’équation de transport de Boltzmann ...................................................................... 4
I.3. Équation différentielle pour 𝑓(r, k, 𝑡) ........................................................................ 5
I.3.1. Changement de 𝑓(r, k, 𝑡) en raison de collisions ....................................... 8

I.4. Approximation du temps de relaxation ................................................................... 10
I.5. Transport électrique dans les métaux ....................................................................... 11
I.6. Sources de diffusion électronique ............................................................................ 13
I.6.1. Couplage électron-phonon......................................................................... 13
I.6.2. Diffusion des impuretés ionisées .............................................................. 14
I.7. Coefficients de transport........................................................................................... 15
I.7.1. Coefficient de Seebeck .............................................................................. 15
I.7.2. Conductivité thermique ............................................................................. 15
I.7.3. Mobilité électronique................................................................................. 16
I.7.4. Effet Hall ................................................................................................... 16
I.7.5. Concentration d'électrons .......................................................................... 17
I.8. Propriétés des porteurs de charge ............................................................................. 17
I.8.1. Relation de dispersion ............................................................................... 17
I.8.2. Masse effective .......................................................................................... 18
I.8.3. Les trous .................................................................................................... 21
I.8.4. Densité d'états ............................................................................................ 23
I.9. L'énergie de Fermi dans les métaux ......................................................................... 23
I
I.10. L'énergie de Fermi dans les semi-conducteurs ....................................................... 25
I.11. Bandes d'énergie ..................................................................................................... 26
I.11.1. Modèle multi-bandes ............................................................................... 27
I.11.2. Modèle de masse effective ...................................................................... 28
Références ....................................................................................................................... 30
Chapitre II. La méthode de calcul
II.1. THEORIE DE LA FONCTIONNELLE DE LA DENSITE (DFT) ........................ 31

II.1.1. Introduction .......................................................................................................... 31
II.1.2. Equation de Schrödinger d’un solide .................................................................. 31
II.1.3. Approximations de base ....................................................................................... 32
II.1.3.1. Approximation de Born-Oppenheimer ................................................. 32
II.1.3.2. Approximation de Hartree..................................................................... 33
II.1.3.3. Approximation de Hartree-Fock ........................................................... 34
II.1.4. Théorie de Fonctionnelle de Densité (DFT) ........................................................ 35
II.1.4.1. Théorèmes d’Hhenberg-khon................................................................ 35
II.1.4.1.1. Premier théorème ..................................................................... 35
II.1.4.1.2. Deuxième théorème ................................................................. 36
II.1.4.2. Equations de kohn-Sham....................................................................... 36
II.1.4.3. Résolution des équations de kohn-sham ............................................... 38
II.1.4.4. Approximation de la densité locale (LDA) ........................................... 40
II.1.4.5. Approximation du gradient généralisé (GGA) ...................................... 41
II.2. LA METHODE DES ONDES PLANES AUGMENTEES LINEARISEES (FB-
LAPW) ............................................................................................................................ 42
II.2.1. Méthode des Ondes planes Augmentées (APW) ................................................. 42
II.2.2. Principe de la méthode FP-LAPW ....................................................................... 45
II.2.3. Les rôles des énergies de linéarisation (𝐸𝑙 ) .......................................................... 46

II.2.4. Représentation de la densité de charge et du potentiel ........................................ 46
II.2.4.1. La construction des étoiles .................................................................... 47
II.2.4.2. La construction des harmoniques du réseau .......................................... 48
II
II.2.5. La construction des fonctions radiales ................................................................. 50
II.2.5.1. Les fonctions radiales non relativistes .................................................. 51
II.2.5.2. Les fonctions radiales relativistes ......................................................... 52
II.2.5.3. Détermination des coefficients 𝐴𝑙𝑚 et 𝐵𝑙𝑚 .......................................... 54

II.2.6. Détermination des potentiels ................................................................................ 56
II.2.6.1. La résolution de l’équation de poisson.................................................. 56
II.2.6.2. Potentiel d’échange et de corrélation .................................................... 58
Références ....................................................................................................................... 60
Chapitre III. Résultats et discussions

III.1. Introduction ............................................................................................................ 62
III.1.1. Structure cristalline Des alliages full-Heusler .................................................... 62
III.1.2. Structure cristalline Des alliages semi-Heusler .................................................. 63
III.2. Détails de calcul ..................................................................................................... 63
III.3. Test de convergence............................................................................................... 64
III.4. Propriétés structurales ............................................................................................ 65
III.5. Propriétés électroniques ......................................................................................... 68
III.5.1. Structure de bandes d’énergie ................................................................. 68
III.5.2. Les densités d’états (DOS) ..................................................................... 71
III.6. TaIrSn dopé par le Rhodium (Rh) ........................................................................ 72
III.6.1. Le choix des paramètres NKpoint et RKmax ......................................... 73
III.6.2. Propriétés structurales du TaIrx−1 Rhx Sn .............................................. 73
III.6.3. Propriétés électroniques du TaIrx−1 Rhx Sn ............................................ 74

III.6.3.1. Structure de bandes d’énergie .................................................... 74
III.6.3.2. Les densités d’états (DOS) ....................................................... 75
III.7. Les propriétés thermoélectriques ........................................................................... 76
III.7.1. Le coefficient de hall .............................................................................. 76
III.7.2. Conductivité électronique ....................................................................... 77
III.7.3. Le coefficient de Seebeck ....................................................................... 77
III.7.4. Conductivité /taux ................................................................................... 78
III.7.5. Le facteur de mérite ZT .......................................................................... 79
III
Références ....................................................................................................................... 81
Conclusion générale ...................................................................................................... 83
IV
Liste des Figures
Figure I.1 : à l'instant t = 0, les particules de la position 𝐫 ′ = 𝐫 − 𝐯(𝐤)dt atteignent la

position 𝐫 à un moment ultérieur dt ................................................................................. 5
Figure I.2 : représente en et hors diffusion .................................................................... 8
Figure I.3 : le vecteur d'onde et l'énergie pour l’absorption et l’émission .................... 13
Figure I.4 : La relation de dispersion E en fonction de K. ............................................. 18

Figure I.5 : Relation de dispersion d'un groupe d'électrons avec seulement des
interactions entre plus proche voisin. ............................................................................. 19
Figure I.6 : représente la masse effective de l’électron léger et lourd, inferieur à zéro 20
Figure I.7 : la trajectoire des électrons et les trous en présence un champ électrique .. 21
Figure I.8 : La concentration en électrons n est donnée par l'aire sous la courbe de
densité d'états jusqu'à l'énergie de Fermi EF. .................................................................. 23
Figure I.9 : La concentration en électrons n dans un semi-conducteur est donnée par

l'aire sous la courbe de densité d'états et par l'énergie de Fermi EF à la température
ambiante .......................................................................................................................... 26
Figure I.10 : Diagrammes de niveaux d'énergie pour un métal, un semi-conducteur et
un isolant ........................................................................................................................ 27
Figure I.11 : Structures de bandes d'un semi-conducteur comprenant la bande de
conduction et les bandes de valence .............................................................................. 27
Figure II.1.1 : Interdépendance des équations de Kohn-Sham .................................... 38
Figure II.1.2 : Schéma de cycle auto-cohérent pour la résolution des équations de
Kohn-Sham .................................................................................................................... 39
Figure II.2.1 : Schéma de la répartition de la maille élémentaire en sphères atomiques
et en région interstitielle ................................................................................................ 43
Figure II.2.2 : Construction des étoiles ........................................................................ 48
Figure II.2.3 : La construction des harmoniques du réseau ......................................... 50
Figure II.2.4 : La résolution de l’équation de poisson par la méthode de la pseudo-
charge ............................................................................................................................. 57
Figure II.2.5 : Calcul du potentiel d’échange et de corrélation ..................................... 59
Figure III.1 : Structure cristalline des alliages full-Heusler X 2 YZ ................................ 62

Figure III.2 : Structure cristalline des alliages half-Heusler XYZ ................................ 63
V
Figure III.3 : la variation de l’énergie totale en fonction de NKpoint de TaIrSn ......... 64
Figure III.4 : la variation de l’énergie totale en fonction de RKmax de TaIrSn ........... 65
Figure III.5 : la variation de l’énergie totale en fonction de volume de TaIrSn ........... 67
Figure III.6 : La variation de l’énergie totale en fonction de volume de TaRhSn ........ 67
Figure III.7 : la structure de bandes de TaIrSn ............................................................. 69
Figure III.8 : la structure de bandes de TaRhSn ........................................................... 70
Figure III.9 : première zone de Brillouin de la maille cfc avec les points de haute
symétrie ........................................................................................................................... 71
Figure III.10 : les densités d’états électroniques totales et partielles du composé TaIrSn
........................................................................................................................................ 71
Figure III.11 : densité d’état totale des éléments Rh et Ir ............................................. 72
Figure III.12 : La structure cristalline de TaIrSn dopés avec 50% de Rh .................... 73
Figure III.13 : La variation de l’énergie totale en fonction de c/a .............................. 73
Figure III.14 : la structure de bandes des composé TaIrx−1 Rhx Sn avec (x = 0.25, 0.50
et 0.75) ........................................................................................................................... 74
Figure III.15 : Les densités d’états totales des composés TaIrx−1 Rhx Sn avec (x = 0,
0.25, 0.50 et 0.75) .......................................................................................................... 75
Figure III.16 : variation du coefficient de hall du composé TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25,

0.5, 0.75) en fonction de la température ......................................................................... 76
Figure III.17 : variation du Conductivité électronique du composé TaIr1−x Rhx Sn (x =

0, 0.25, 0.5, 0.75) en fonction de la température ........................................................... 77
Figure III.18 : variation du coefficient de Seebeck du composé TaIr1−x Rhx Sn (x = 0,

0.25, 0.5, 0.75) en fonction de la température ............................................................... 78
Figure III.19 : variation du Conductivité/taux du composé TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25,

0.5, 0.75) en fonction de la température ......................................................................... 79
Figure III.20 : variation du coefficient ZT du composé TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25, 0.5,

0.75) en fonction de la température ............................................................................... 79
VI
Liste des Tableaux
Tableau III.1 : Paramètre constitutifs utilisées par la méthode FP-LAPW pour TaIrSn
........................................................................................................................................ 65
Tableau III.2 : les propriétés structurales de TaIrSn et TaRhSn. Paramètre du réseau
𝑎(Å), le module de compression B(GPa) et la dérivée 𝐵 ′ .............................................. 68
Tableau III.3 : les gaps énergétiques des composés TaIrx−1 Rhx Sn avec (x = 0.25, 0.50,
0.75 et 1) ......................................................................................................................... 75
VII
Introduction générale
Depuis la révolution industrielle, la consommation mondiale en électricité est en

croissance exponentielle. En raison de l’impact de la production de cette énergie sur
l’environnement et l’épuisement des ressources fossiles (pétrole, gaz, uranium, etc.).
Ainsi que la politique énergétique de nombreux pays à travers le monde est orientée
vers des énergies renouvelables et des énergies propres, parce que l’utilisation massive
des énergies fossiles provoque Le réchauffement de la planète, Pollution atmosphérique
et l'émission de CO2. De plus, ils constituent une source d'énergie inépuisable. Ces
sources sont diverses et variées telles que l’énergie solaire, l’éolien, l’hydroélectrique,
la biomasse, etc. Malgré le développement de toutes ces technologies, il demeure
qu’environ de la moitié de l’énergie globale produite par l’homme (centrales
thermiques, nucléaires, industries, usines, voitures, etc.) est perdue sous forme de
chaleur.
La thermoélectricité fait partie de ces nouvelles sources d’énergies renouvelables.
L’effet thermoélectrique est un phénomène physique caractéristique de certains
matériaux contribuant à la conversion de l’énergie [1]. Un matériau thermoélectrique
permet de transformer directement de la chaleur en électricité (génération d’électricité)
ou de déplacer des calories par l'application d'un courant électrique (application de
réfrigération) [2-4].
La majorité des dispositifs thermoélectriques existants sont à base des matériaux
capables de transformer un flux de chaleur directement en électricité ou inversement,
mais chaque matériau présent des qualités optimales uniquement dans une gamme de
température donnée. Les matériaux les plus efficaces sont à base de tellurure ; Pour des
usages proches de la température ambiante (Bi2Te3 et Sb2Te3) [5], Aux températures
intermédiaires (PbTe et SnTe) [6] ou bien à haute température comme les composés du
système Ge-Si Ces matériaux fonctionnent sur une gamme de température de 800 K à
1300 K [7]. Ils sont principalement utilisés dans les générateurs thermoélectriques à
radio-isotope.
Pour améliorer les performances thermoélectrique et diminue l’interdépendance

entre les propriétés électriques et de la conductivité thermique du réseau, deux stratégies
de base sont largement utilisées. L'une consiste à améliorer le facteur de puissance
électrique (PF) par l’adaptation la bande interdite électronique [8]. L’autre consiste à
1
réduire la conductivité thermique du réseau en introduisant des centres de diffusion de

phonons à plusieurs dimensions, c’est-à-dire des défauts (substitution, interstitielle,
lacune).
Dans ce travail, nous nous intéressons aux composés Heusler : TaIrSn et leur
alliage. Ce composé possède une structure cristalline particulière dite structure Semi-
Heusler. Cette catégorie de matériaux possède généralement un coefficient Seebeck
élevé, une bonne conduction électronique et une conductivité thermique relativement
basse. Cependant, peu de travail est rapporté sur leurs propriétés [9,10].
Ce travail de mémoire porte sur l'étude des propriétés structurales, électroniques et

thermoélectriques des alliages Heusler TaIr1-xRhxSn. Pour présenter ce travail, ce
manuscrit de mémoire se compose de trois chapitres.
Le chapitre I introduit les principales notions de la thermoélectrique et les exigences.

Le chapitre II présente les fondements théoriques de l’outil de la simulation utilisé, à
savoir la théorie de la fonctionnelle de la densité. Nous détaillerons le support théorique
sur lequel est fondée cette théorie ainsi que les approximations utilisées pour décrire
l’échange-corrélation. Le troisième chapitre fera l’objet des résultats obtenus avec leurs
interprétations. Il comporte deux parties : la première est consacrée à l’étude des
composés ternaires, notamment les composés de Heusler TaIrSn et TaRhSn. Dans la
deuxième partie, l’intérêt a été porté à l’étude des alliages TaIrx-1RhxSn.
2
Références
[1] G.J. Snyder and E.S. Toberer, ‘’Complex thermoelectric materials’’ Nat. Mater. 7
(2008) 105.
[2] I. Vaskivskyi, J. Gospodaric, S. Brazovskii, D. Svetin, P. Sutar, E. Goreshnik, I.A.
Mihailovic, T. Mertelj, and D. Mihailovic, ‘’Controlling the metal-to-insulator
relaxation of the metastable hidden quantum state in 1T-TaS2 Sci. Adv. 1, e1500168
(2015).
[3] W.G. Zeier, J. Schmitt, G. Hautier, U. Aydemir, Z.M. Gibbs, C. Felser, and G.J.
Snyder, ‘’ Engineering half-Heusler thermoelectric materials using Zintl chemistry‘’
Nat. Rev. Mater. 1 (2016) 16032.
[4] C. Goupil, W. Seifert, K. Zabrocki, E. Müller, and G.J. Snyder, ‘’ Thermodynamics
of Thermoelectric Phenomena and Applications‘’ Entropy 13 (2011) 1481.
[5] V. Rama, S. Edward, C. Thomas, O. Brooks, ‘’ Thin-film thermoelectric devices
with high room-temperature figures of merit’’ Nature. 413 (2001) 597.
[6] L. D. Hicks, T. C. Harman, X. Sun, M. S. Dresselhaus, ‘’ Experimental study of the
effect of quantum-well structures on the thermoelectric figure of merit‘’ Phys. Rev. B.
R10493 (1996) 53.
[7] G. Joshi, H. Lee, Y. Lan, X. Wang, G. Zhu, D. Wang, R. W. Gould, D. C. Cuff, M.
Y. Tang, M. S. Dresselhaus, G. Chen et Z. Ren. ‘’Enhanced thermoelectric figure of
merit in nanostructured p-type silicon germanium bulk alloys’’. Nano Letters, vol. 8
(2008) 4670-4674.
[8] X. J. Tan, H. Z. Shao, J. He, G. Q. Liu, J. T. Xu, J. Jiang et H. C. Jiang, “ Band
engineering and improved thermoelectric performance in M-doped SnTe (M = Mg, Mn,
Cd, and Hg)” Phys. Chem. Chem. Phys., 18 (2016), 7141.
[9] K. Kaur, R. Kumar, ‘’ Giant thermoelectric performance of novel TaIrSn Half
Heusler compound’’ Phys. Lett. A 381 (2017) 3760.
[10] R. Gautier, X. Zhang, L. Hu, L. Yu, A.Zunger, ‘’ Prediction and accelerated
laboratory discovery of previously unknown 18-electron ABX compounds‘’ Nat.Chem.7
(2015) 308.
3
Chapitre I
Notions de base de la
thermoélectricité
Chapitre I Notions de base de la thermoélectricité
I.1. Introduction
L’effet thermoélectrique est un phénomène physique présent dans certains

matériaux contribuant à la conversion de l’énergie. Lorsqu’un matériau
thermoélectrique est exposé à une variation de température, les électrons qu’il renferme
se déplacent de l’extrémité la plus chaude vers la plus froide : cela génère un courant
électrique.
Pour décrire le transport d’électrons avec gradients de température, nous partons d’une
distribution de Maxwell-Boltzmann hors équilibre. On utilise l’équation de transport de
Boltzmann (ETB). Cette équation a été initialement établie pour décrire le
comportement de gaz dilués. Cependant, il a été démontré qu’elle peut être appliquée à
un grand nombre de types de particules, qui interagissent les unes avec les autres par
des forces à courte portée. L’ETB est fondamentale car elle est valide même à l’échelle
microscopique, quand l’équilibre thermodynamique dans l’espace et le temps ne peut
pas être défini proprement. Les équations macroscopiques comme la loi de Fourier, la
loi d’Ohm, la loi de Fick, et l’équation de conduction de la chaleur peuvent êtres
dérivées de l’ETB dans la limite macroscopique.
I.2. L’équation de transport de Boltzmann
L’équation de transport de Boltzmann c’est une équation de transport semi-

classique dans laquelle la trajectoire des particules est décrite de manière classique et
leur interaction (collisions) de manière quantique [1]. Elle relie la diffusion, la dérive et
les collisions dans un système de particules
𝜕𝑓 𝜕𝑓
+ 𝒗̇ ∇𝑣 𝑓 + 𝒓̇ ∇𝑟 𝑓 = ( ) (I.1)
𝜕𝑡 𝜕𝑡 coll
Les propriétés physiques de l'équation de transport de Boltzmann (BTE), qui traite les
électrons comme des particules ayant une position particulière 𝒓(𝑡) et une impulsion
𝒑(𝑡) à l'instant t. Dans cette équation, les particules (électrons) sont décrites par une
fonction de distribution 𝑓(𝒓, 𝒌, 𝑡), c'est-à-dire l’évolution temporelle de la fonction de
distribution de la position et de la quantité de mouvement de la particule. Puisqu’il
4
définit à la fois la position et la quantité de mouvement de la particule. Cependant, cela

ℏ
contredit le principe d’incertitude de Heisenberg ∆𝒙∆𝒑 ≥ 2.
Il est donc, en principe, impossible de déterminer à la fois la position et l’élan avec une
précision arbitraire. Malgré ses limites pour la description précise des effets de la
mécanique quantique. L’équation semi-classique de transport de Boltzmann est
décrivent la trajectoire d’un électron dans l’espace de la position (𝒓, 𝒌), et considérée
comme la meilleure description mathématique des transporteurs et des distributions de
porteurs dans la modélisation de dispositifs à semi-conducteurs [2].
L'équation de transport de Boltzmann a été développée pour décrire la fonction de

distribution en présence de forces externes et de processus de diffusion. La distribution
est très importante pour le calcul des propriétés macroscopiques des matériaux.
I.3. Équation différentielle pour 𝒇(𝐫, 𝐤, 𝑡)
Pour décrire la fonction de distribution en présence de forces externes, nous

développons l'équation de transport de Boltzmann. Notons 𝒇(𝐫, 𝐤) la concentration
locale des électrons dans l'état 𝐤 au voisinage de𝐫. L'approche de Boltzmann commence
par tenter de déterminer comment 𝒇(𝐫, 𝐤) change avec le temps. Il y a trois raisons
possibles expliquent le changement de la distribution des électrons dans l’espace 𝐤 et
l’espace 𝐫 :
Figure I.1: à l'instant t = 0, les particules de la position 𝒓′ = 𝒓 − 𝒗(𝒌)𝑑𝑡 atteignent la

position 𝒓 à un moment ultérieur 𝑑𝑡. Ce concept simple est important pour établir
l'équation de transport de Boltzmann.
1. les porteurs vont sortir ou rentrer de tout élément de volume autour de r à cause du
mouvement des électrons.
5
2. En raison de l'influence des forces externes, les électrons vont changer leur moment
𝑑𝐤
(ou 𝐤 valeur) en fonction de 𝐹𝑒𝑥𝑡 =ℏ 𝑑𝑡 .
3. du fait des processus de diffusion, les électrons passeront d'un état k à un autre.
Nous allons maintenant déterminer ces trois processus en évaluant la dérivée temporelle
partielle de la fonction 𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡) due à chaque source. En supposant qu'il n'y ait pas de
collision pendant l'intervalle de temps infinitésimal dt. De plus on considère que 𝐫 et 𝐤
évoluent selon les équations semi-classiques du mouvement :
𝐫̇ = 𝐯(𝐤) (I.2)
𝑑P 𝟏
p = ℏ𝐤 , = ℏ𝐤̇ = −𝑒 (𝐄 + 𝑐 𝐯 × 𝐇) = 𝐅(𝐫, 𝐤) (I.3)
𝑑𝑡
Ces équations semi-classiques décrivent la trajectoire d'un électron dans l'espace de la

quantité de mouvement (𝐫, 𝐤).
Nous considérons explicitement l'évolution temporelle de 𝐫 et 𝐤 de 𝑡 ′ à 𝑡 (expansion

linéaire en 𝑑𝑡):
𝑡 ′ = 𝑡 − 𝑑𝑡 →𝑡 (I.4)
𝐫 ′ = 𝐫 − 𝐯(𝐤)𝑑𝑡 →𝐫 (I.5)
𝐅
𝐤′ = 𝐤 − ℏ
𝑑𝑡 →𝐤 (I.6)
Le nombre d’électrons qui occupent le volume de l'espace des phases ∆𝐫∆𝐤 centré dans
𝐫 et 𝐤 à l'instant t est:
∆𝐫∆𝐤
𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡) (I.7)
8π3
Nous excluons la dégénérescence des spins et de manière analogue, le nombre

d’électrons occupant le volume de l'espace de phase ∆𝐫 ′ ∆𝐤 ′ centré en 𝐫 ′ et 𝐤 ′ à l'instant
𝑡 ′ est:
∆𝐫′∆𝐤′ ∆𝐫 ′ ∆𝐤 ′ 𝐅
𝑓(𝐫′, 𝐤′, 𝑡′) = 𝑓 (𝐫 − 𝐯(𝐤)𝑑𝑡, 𝐤 − ℏ 𝑑𝑡, 𝑡 − 𝑑𝑡) (I.8)
8π3 8π3
S'il n'y a pas de collision (pas de dispersion), la trajectoire d’électrons dans l'espace de
phase est tels que tous les électrons se trouvent dans le volume de l'espace des phases
6
∆𝐫′∆𝐤′ centré en 𝐫′et k′ au moment 𝑡′, sont également dans le volume de l'espace de
phase ∆𝐫∆𝐤 centré dans 𝐫 et 𝐤 au moment 𝑡, donc:
∆𝐫∆𝐤 ∆𝐫 ′ ∆𝐤 ′ 𝐅
𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡) = 𝑓 (𝐫 − 𝐯(𝐤)𝑑𝑡, 𝐤 − ℏ 𝑑𝑡, 𝑡 − 𝑑𝑡) (I.9)
8π3 8π3
Pour le théorème de Liouville:
∆𝐫∆𝐤 ∆𝐫′∆𝐤′
= (I.10)
8π3 8π3
à l'absence de diffusion:
𝐅
𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡) − 𝑓 (𝐫 − 𝐯(𝐤)𝑑𝑡, 𝐤 − 𝑑𝑡, 𝑡 − 𝑑𝑡) = 0 (I.11)
ℏ
𝐅
Nous considérons l’expansion de 𝑓 (𝐫 − 𝐯(𝐤)𝑑𝑡, 𝐤 − ℏ 𝑑𝑡, 𝑡 − 𝑑𝑡) en fonction de
𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡) On obtient:
𝐅
𝑓 (𝐫 − 𝐯(𝐤)𝑑𝑡, 𝐤 − 𝑑𝑡, 𝑡 − 𝑑𝑡) =
ℏ
𝜕 𝜕 𝐅 𝜕
𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡) − 𝑓 ∙ 𝐯(𝐤)𝑑𝑡 − − 𝑓∙ 𝑑𝑡 − − 𝜕𝑡 𝑓𝑑𝑡 (I.12)
𝜕𝐫 𝜕𝐤 ℏ
Donc à l'absence de diffusion on obtient:
𝜕 𝜕 𝐅 𝜕
𝑓 ∙ 𝐯(𝐤) + 𝑓∙ + 𝑓=0 (I.13)
𝜕𝐫 𝜕𝐤 ℏ 𝜕𝑡
𝜕
 𝑓 ∙ 𝐯(𝐤) représente la diffusion à travers un élément de volume 𝑑 3 𝒓 autour du
𝜕𝐫
𝜕
point r dans l'espace de phase dû à un gradient 𝜕𝐫 𝑓.
𝜕 𝐅
 𝑓∙ représente la dérive à travers un élément de volume 𝑑 3 𝒓 à propos du
𝜕𝐤 ℏ
𝜕 1
point k dans l'espace de phase en raison d'un gradient 𝜕𝐤 𝑓 (ℏ𝑘̇=e(E+𝑐 𝑣 × 𝐵) en
présence de champs électriques et magnétiques) Où e devrait prendre une valeur

négative pour un électron.
𝜕
 𝑓 représente le gradient de concentration.
𝜕𝑡
Lorsque les collisions introduisent, due à la diffusion des électrons, l’équation

précédente n’est plus nulle:
7
𝜕 𝜕 𝐅 𝜕 𝜕𝑓
𝑓 ∙ 𝐯(𝐤) + 𝑓∙ + 𝑓=( ) (I.14)
𝜕𝐫 𝜕𝐤 ℏ 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝑐𝑜𝑙𝑙𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛
Où (𝜕𝑓/𝜕𝑡)𝑐 est le terme de collision et rend compte de la diffusion des électrons à

partir d'un point k (cela peut être dû à la diffusion sur réseau ou à une impureté ionisée).
La force appliquée sur l'électron 𝐅 est la force de Lorentz classique. Les effets
quantiques dans le mouvement des électrons ne sont exprimés que par la vitesse de
groupe de l'électron 𝐯 qui dépend de l'énergie de la nième bande (pour un matériau semi-
conducteur intrinsèque) [3].
I.3.1. Changement de 𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡) en raison de collisions
Nous supposons que les collisions sont uniques, instantanées, indépendantes de

la force motrice et très localisées dans l’espace et le temps, de sorte que ceux qui se
produisent aux électrons dans 𝐫 au temps 𝑡 sont totalement déterminés par les propriétés
de système aux alentours de 𝐫 et proche du temps 𝑡 → par souci de simplicité, on laisse
tomber dépendance explicite de 𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡) sur 𝐫 et 𝑡 dans ce qui suit.
Nous considérons donc les collisions et prennent des particules de 𝐤 à 𝐤 ′ (diffusion non
diffusée) ou de 𝐤 ′ à 𝐤 (en diffusion diffusée) [4]. Qui modifient simultanément le
moment cristallin d’un volume ∆𝐤 centré dans 𝐤 à un volume ∆𝐤′ centré dans 𝐤 ′ . On
distingue la diffusion événements qui augmentent l'occupation des états électroniques
en 𝐤 et ceux qui la diminuent:
Figure I.2 : représente en et hors diffusion.
𝜕𝑓 𝐸𝑁 𝜕𝑓 HORS
( 𝜕𝑡 ) >0 , ( 𝜕𝑡 ) <0 (I.15)
𝑐𝑜𝑙𝑙 𝑐𝑜𝑙𝑙
Nous n'avons pas besoin de spécifier quel est le mécanisme de diffusion; il sera décrit
dans n'importe quel cas par une matrice de diffusion 𝑊𝑘k′ pour un électron souffrant
d'une diffusion à partir d'un état 𝐤 à 𝐤 ′ .
8
Hors diffusion: Les électrons dispersés à l’extérieur du volume ∆𝐤 centré en 𝐤 iront

ailleurs dans l’espace des phases, dans les volumes ∆𝐤′ centrés sur tout le 𝐤 ′ possible, à
condition que les états soient disponibles (pas déjà occupés, car le principe de Pauli doit
être satisfait). Par conséquent, la contribution de tels événements de diffusion à la
variation de 𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡)
𝜕𝑓 HORS ∆𝐤′
( 𝜕𝑡 ) = − 𝑓(𝐤) ∫ 8π3 𝑊𝑘k′ (1 − 𝑓(𝐤 ′ )) (I.16)
𝑐𝑜𝑙𝑙
Où nous avons également introduit un facteur de pondération 𝑓(𝐤) qui est l'occupation
des états du volume ∆𝐤 centré sur 𝐤 et du signe − puisqu'il s'agit d'une réduction de
l'occupation. Où le dernier terme entre parenthèses représente le principe des exclusions
de Pauli (dégénérescence de l'état final après la dispersion).
En diffusion: Les électrons qui sont dispersés dans le volume ∆𝐤 centré en 𝐤 viennent
d’ailleurs dans l’espace des phases, des volumes ∆𝐤′ centrés sur tout le 𝐤 ′ possible, à
condition que ces états soient remplis. Par conséquent, la contribution de tels
événements de diffusion à la variation de 𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡)
𝜕𝑔 EN ∆𝐤′
( 𝜕𝑡 ) = (1 − 𝑓(𝐤)) ∫ 8π3 𝑊k′k 𝑓(𝐤 ′ ) (I.17)
𝑐𝑜𝑙𝑙
Où nous avons également introduit un facteur de (1 − 𝑓(𝐤)) qui est la disponibilité des
états du volume ∆𝐤 centrés en 𝐤 (ils ne devraient pas être déjà occupés, car le principe
de Pauli doit être respecté).
On garde à l’esprit que ces événements de diffusion sont supposés être LOCALISÉS (ne
dépendent que de 𝐫 et 𝑡, pas de 𝐫 ′ et 𝑡 ′ ). Le solde total des événements de diffusion
donne la somme des équations (I.16) et (I.17):
𝜕𝑓 ∆𝐤′
( 𝜕𝑡 ) = − ∫ 8π3 {𝑊kk′ 𝑓(𝐤)[1 − 𝑓(𝐤 ′ )] − 𝑊k′k 𝑓(𝐤 ′ )[1 − 𝑓(𝐤)] (I.18)
𝑐𝑜𝑙𝑙
𝑊kk′ : taux de diffusion de l'état occupé k à l'état non occupé 𝐤 ′
𝑊k′k : taux de diffusion taux de diffusion de l'état non occupé 𝐤′ à l'état occupé 𝐊
On remplace (I.18) dans (I.14) on obtient l’équation de Boltzmann avec collision
𝜕 𝜕 𝐅 𝜕 ∆𝐤′
𝑓 ∙ 𝐯(𝐤) + 𝑓∙ + 𝑓 = − ∫ 8π3 {𝑊kk′ 𝑓(𝐤)[1 − 𝑓(𝐤 ′ )] − 𝑊k′k 𝑓(𝐤 ′ )[1 −
𝜕𝐫 𝜕𝐤 ℏ 𝜕𝑡
𝑓(𝐤)] (I.19)
9
Si nous spécifions les forces et le terme de collision, nous rencontrons un problème de

valeur initiale pour déterminer 𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡). Cela pourrait en général être très compliqué,
puisque la connaissance explicite du terme de collision est difficile. Pour remplacer le
terme de droite avec quelque chose de beaucoup plus simple on utilise l’approximation
du temps de relaxation [3].
I.4. Approximation du temps de relaxation
Nous supposons que les électrons avant les collisions, autour de k , ont la
distribution 𝑓(𝐤) et que les événements de diffusion EN dépendent uniquement de la
fonction de répartition de l'équilibre local 𝑓0 (𝐤)qui représente la distribution de Fermi-
Dirac :
1
𝑓0 (𝐸) = 𝑒 (𝐸−𝐸𝐹)/𝑘𝐵 𝑇 +1 (I.20)
Nous pouvons simplifier les termes de collisions EN et HORS de la manière suivante:
𝜕𝑓 HORS 𝑓(𝐤)
( 𝜕𝑡 ) = − 𝜏(𝐤) (I.21)
𝑐𝑜𝑙𝑙
𝜕𝑓 EN 𝑓0 (𝐤)
( 𝜕𝑡 ) = (I.22)
𝑐𝑜𝑙𝑙 𝜏(𝐤)
Où τ(𝐤) est un peu de temps de relaxation. Le résultat final:
𝜕𝑓 𝑓(𝐤)−𝑓0 (𝐤)
( 𝜕𝑡 ) ≈− (Approximation du temps de relaxation) (I.23)
𝑐𝑜𝑙𝑙 𝜏(𝐤)
Où 𝑓(𝐤) et 𝑓0 (𝐤) sont, respectivement, la fonction de distribution hors équilibre et

d’équilibre.
Ce qui donne l'équation de Boltzmann sous cette forme:
𝜕 𝜕 𝜕 𝐅 𝛿𝑓
𝑓 + 𝜕𝐫 𝑓 ∙ 𝐯(𝐤) + 𝑓∙ = − 𝜏(𝐤) (I.24)
𝜕𝑡 𝜕𝐤 ℏ
Le terme de collision du côté droit a été approximé par un temps de diffusion [3].
Suggère que les collisions ont la tendance à rétablir l'équilibre, en équilibrant l'effet des
termes de dérive.
10
Maintenant, nous étudions la solution de l'état stationnaire quand il n'y a pas de

dépendance. D’après les équations (I.14), (I.23) en écrivons l'équation de Boltzmann,
sous la forme :
𝑒 𝜕 𝜕𝑓(𝐤) 𝑓(𝐤)−𝑓0 (𝐤)
(𝐸 + 𝑣 × 𝐵) ∙ 𝑓(𝐤) = ( ) =− (I.25)
ℏ 𝜕𝐤 𝜕𝑡 𝑐𝑜𝑙𝑙 𝜏
𝑒 𝜕 𝑓(𝐤)−𝑓0 (𝐤)
𝐸 ∙ 𝜕𝐤 f (𝐤) = − (I.26)
ℏ 𝜏(𝐤)
𝑒 𝜕
𝑓(𝐤) = 𝑓0 (𝐤) + 𝜏(𝐤)𝐸 ∙ 𝜕𝐤 𝑓(𝐤) (I.27)
ℏ
Et parce que nous nous intéressons à l'équation linéaire on trouve:
𝑒 𝜕 𝑒
𝑓(𝐤) = 𝑓0 (𝐤) + 𝜏(𝐤)𝐸 ∙ 𝜕𝐤 𝑓0 (𝐤) (I.28) , 𝑓(𝐤) ≅ 𝑓0 (𝐤 + 𝜏(𝐤)𝐸) (I.29)
ℏ ℏ
I.5. Transport électrique dans les métaux
La description quantique de la densité de courant d’un solide est donnée par :
1
𝑗𝑛 = (2𝜋)3 ∫ 𝑣(𝑘)𝑓(𝑘)𝑑𝑘 (I.30)
Nous étudions uniquement les relations linéaires entre 𝐸 et 𝑗
𝑒
𝑗 = (2𝜋)3 ∫ 𝑣(𝑘)𝑓(𝑘)𝑑𝑘 (I.31)
𝑒𝜏(𝑘) 𝜕𝑓
La relation (I.28) par rapport à 𝑥 est : 𝑓(𝑘) = 𝑓0 (𝑘) + 𝐸 𝜕𝑘0 (I.32)
ℏ 𝑥
En remplaçant 𝑓(𝑘) on obtient :

𝑒 𝑒𝜏(𝑘) 𝜕𝑓
𝑗 = (2𝜋)3 ∫ 𝑣(𝑘)[𝑓0 (𝑘) + 𝐸 𝜕𝑘0 ]𝑑𝑘𝑖 (I.33)
ℏ 𝑥
Pour les cristaux cubiques, 𝑗𝑦 = 𝑗𝑧 = 0
C’est une intégrale sur la BZ et 𝑓0 (𝑘) a une symétrie d’inversion autour de 𝑘 = 0,

l’intégrale sur 𝑣𝑥 𝑓0 s’annule et depuis
𝜕𝑓0 𝜕𝑓0
= ℏ𝑣𝑥 (I.34)
𝜕𝑘𝑥 𝜕𝜀
𝑒2 𝜕𝑓0
𝑗𝑥 = − (2𝜋)3 𝐸𝑥 ∫ 𝑑𝑘𝑣𝑥2 𝜏(𝑘) (I.35)
𝜕𝜀
𝑗 𝑒2 𝜕𝑓0
Donnant 𝜎 = 𝐸𝑥 = − (2𝜋)3 ∫ 𝑑𝑘𝑣𝑥2 𝜏(𝑘) (I.36)
𝑥 𝜕𝜀
11
Si la région sur laquelle la fonction de Fermi 𝑓0 change rapidement et présente une

symétrie d’inversion autour de 𝐸𝐹 , 𝑓0 (𝐸𝐹 ) = 1/2
𝜕𝑓0
= −𝛿(𝐸 − 𝐸𝐹 ) (I.37)
𝜕𝐸
En utilisant cette approximation avec
𝑑𝐸 𝑑𝐸
𝑑𝑘 = 𝑑𝑆𝐸 𝑑𝑘 = 𝑑𝑆𝐸 |∇ = 𝑑𝑆𝐸 ℏ𝑣(𝑘) (I.38)
𝑘 𝐸|
On obtient :
𝑒2 𝑣𝑥2 (𝑘)
𝜎 ≅ (2𝜋)3 ∫ 𝑑𝑆𝐸 𝑑𝐸 𝜏(𝑘)𝛿(𝐸 − 𝐸𝐹 ) (I.39)
ℏ 𝑣(𝑘)
𝑒2 𝑣𝑥2 (𝑘)
𝜎 ≅ (2𝜋)3 ℏ ∫𝐸=𝐸 𝜏(𝑘)𝑑𝑆𝐸 (I.40)
𝐹 𝑣(𝑘)
𝑣 et 𝜏 dépendent de 𝑘 sur la surface de Fermi (seuls les électrons proches de 𝐸𝐹

contribuent au courant)
Pour le cas simple d’une surface de Fermi sphérique avec une masse effective 𝑚∗
ℏk
𝑣(𝐸𝐹 ) = 𝑚∗ (I.41)
∫𝐸 𝑑𝑆𝐸 = 2(4𝜋𝑘𝐹2 ) (I.42)

𝐹
43
2( )𝜋𝑘𝐹
3
𝑛= (I.43)
(2𝜋)3
𝑒 2 𝜏(𝐸𝐹 )
𝜎≅ 𝑛 (I.44)
𝑚∗
𝑒𝜏
𝜇= (I.45)
𝑚
𝑒 𝜏(𝐸𝐹 )
𝜇≅ (I.46)
𝑚∗
Remarque
La dépendance à la température dans les semi-conducteurs est plus compliquée car 𝑛
dépend fortement de la température mais dans un métal c'est une constante.
12
I.6. Sources de diffusion électronique
Les paramètres influençant la mobilité des charges sont la température et le

nombre volumique d'impuretés. On distingue deux sources de diffusion électronique.
 Couplage électron-phonon.
 Impuretés ionisées.
I.6.1. Couplage électron-phonon
Le couplage électron-phonon caractérise les interactions qui se produisent, dans

un solide, entre le mouvement des électrons et les vibrations des molécules ou de sa
structure entière. Ces interactions influent sur les propriétés optiques, magnétiques et
électroniques de solide. Le couplage électron-phonon joue un rôle important dans le
transport électronique, notamment comme source de diffusion des électrons dans les
métaux.
L'interaction électron-phonon est classée selon le mode (acoustique ou optique), la
polarisation (transversale ou longitudinale) et le mécanisme (potentiel de déformation,
polaire, piézoélectrique).
Au cours des processus de diffusion entre électrons et phonons, le vecteur d'onde et
l'énergie sont conservés à l'ordre le plus bas dans la théorie des perturbations. Ceci est
illustré schématiquement dans les figures ci-dessous.
Figure I.3: le vecteur d'onde et l'énergie pour l’absorption et l’émission.
Pour l'émission, 𝐸k′ ≥ ℏ𝜔𝐪 doit tenir, sinon il est interdit par la conservation de
l'énergie. Il existe donc un seuil d'émission en énergie
Émission : 𝑛𝐪′ = 𝑛𝐪 + 1 Absorption: 𝑛𝐪′ = 𝑛𝐪 − 1
13
I.6.2. Diffusion des impuretés ionisées
La diffusion des impuretés ionisées doit être prise en compte pour le transport
d'électrons à travers les régions fortement dopées. Contrairement à la diffusion de
phonons, la diffusion d’impuretés ionisées est un processus élastique, c’est-à-dire
qu’elle ne modifie pas l’énergie.
Supposons qu'il existe des donneurs ou accepteurs ionisés, impuretés de substitution,

états de surface chargés, etc. Le potentiel dû à une seule impureté ionisée avec une
charge 𝑍𝑒 est:
Z𝑒 2
𝑉i0 (r) = − (I.47)
4𝜋𝜀𝑟
Pour le taux de diffusion dû aux impuretés, nous avons besoin à la règle de Fermi de
l’élément de matrice entre les états de Bloch initial et final
′
⟨𝑛′ , 𝐤 ′ |𝑉𝑖 (𝐫)|𝑛, 𝐤⟩ = 𝑉 −1 ∫ 𝑑𝐫𝑢𝑛∗ ′ ,𝑘 ′ 𝑒 −𝑖𝐤 ∙𝐫 𝑉𝑖 (𝐫)𝑢𝑛,𝑘 𝑒 𝑖𝐤∙𝐫 (I.48)
La périodicité de réseau, développez dans l'espace réciproque
′
= ∑G 𝑉 −1 ∫ 𝑑𝐫𝑒 −𝑖𝐤 ∙𝐫 𝑉𝑖 (𝐫)𝑒 𝑖𝐤∙𝐫 𝑒 −𝑖G∙𝐫 𝑈𝑛𝑛′ 𝑘𝑘 ′ (𝐆) (I.49)
′ ′
= ∑G 𝑉 −1 ∫ 𝑑𝐫𝑒 −𝑖𝐤 ∙𝐫 𝑉𝑖 (𝐫)𝑒 𝑖𝐤∙𝐫 𝑒 −𝑖G∙𝐫 ∫Ω 𝑑𝐫 ′ 𝑢𝑛∗ ′ ,𝑘 ′ (𝐫 ′ )𝑢𝑛,𝑘 (𝐫 ′ )𝑒 −𝑖G∙𝐫 (I.50)
Pour la diffusion d'impuretés, l'élément de matrice a une dépendance de type 1/q , ce

qui signifie généralement que les termes G ≠ 0 sont petits
′
𝑉 −1 ∫ 𝑑𝐫𝑒 −𝑖𝐤 ∙𝐫 𝑉𝑖 (𝐫)𝑒 𝑖𝐤∙𝐫 ∫Ω 𝑑𝐫 ′ 𝑢𝑛∗ ′ ,𝑘 ′ (𝐫 ′ )𝑢𝑛,𝑘 (𝐫 ′ ) = 𝑉𝑖 (𝐪)𝐼𝑘𝑘 ′ (I.51)
𝑛𝑛′
L’argument habituel est que, puisque les 𝑢 sont normalisés dans une cellule unitaire
(c’est-à-dire égale à 1), l’intégrale de recouvrement de Bloch I est approximativement
égale à 1 pour 𝑛′ = 𝑛 [inter bands (vallée)]. Par conséquent, pour la diffusion des
impuretés, l’élément de matrice pour la diffusion est environ.
𝑍2𝑒4
|⟨𝐤 ′ |𝑉𝑖 (𝐫)|𝐤⟩|2 = |𝑉𝑖 (𝐪)|2 ≅ 2 2 2 2 (I.52)
Ω (𝑞 +𝜆 )𝜀 𝑠𝑐
Où Ω est le volume et le vecteur d'onde dispersé est: 𝐪 = 𝐤 − 𝐤′
Si nous supposons qu'il y a des impuretés 𝑁𝑖 dans le cristal et que la diffusion est
complètement non corrélée entre les impuretés:
14
′ 𝑁𝑖 𝑍 2 𝑒 4
𝑉𝑖𝑘𝑘 ≅ 2 (I.53)
Ω (𝑞 2 +𝜆2 )𝜀𝑠𝑐
2
Où 𝑛𝑖 est la densité d'impuretés (par unité de volume).
Le taux de diffusion total de 𝐤 à 𝐤 ′ est tiré de la règle d’or de Fermi en tant que
𝑖 2𝜋𝑛 𝑍 2 𝑒 4
𝑖
Γ𝑘𝑘 ′ = 𝛿(𝐸k′ − 𝐸𝐾 ) (I.54)
Ωℏ(𝑞 2 +𝜆2 )𝜀 2 𝑠𝑐
Si 𝜃 est l'angle entre 𝐤 et 𝐤 ′ , alors:
𝑞 = |𝐤 − 𝐤 ′ | = 𝑘 2 + 𝑘 ′2 − 2𝑘𝑘 ′ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝑘 2 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) (I.55)
I.7. Coefficients de transport
Ces coefficients seront utilisés pour étudier le transport des électrons et des
trous dans les matériaux de semi-conducteurs.
I.7.1. Coefficient de Seebeck
Un gradient de température peut également entraîner un courant électrique. La

proportionnalité entre le gradient thermique et le champ électrique en circuit ouvert est
le coefficient de Seebeck S:
∇𝑉
𝑆 = − ∇𝑇 (I.56)
Ici ∇𝑉 = −𝐸 est le gradient de potentiel électrique dans la même direction que le

gradient thermique [5].
I.7.2. Conductivité thermique
On définit la conductivité thermique des matériaux comme étant le rapport entre

la densité de flux de chaleur et le gradient de température selon la loi de Fourier, c’est-
à-dire :
𝒋𝒒 = −𝐤∇𝑇 (I.57)
𝐤 c’est la constante de proportionnalité est appelée conductivité thermique. Elle est

positive puisque le courant thermique se propage dans la direction opposée au gradient
de température [6].
15
I.7.3. Mobilité électronique
La mobilité électronique est définie par l'équation :
𝑒𝜏
𝑣𝑑 = 𝜇. 𝐸 , 𝜇 = 𝑚∗ (I.58)
où 𝐸 est la grandeur du champ électrique appliqué à un matériau, 𝑣𝑑 est l'amplitude de

la vitesse de dérive des électrons provoquée par le champ électrique, et 𝜇 est la mobilité
des électrons.
I.7.4. Effet Hall
L’effet Hall se produit lorsqu’un champ magnétique B est appliqué

perpendiculairement à une densité de courant J dans un échantillon. Une tension de Hall
est développée dans la direction perpendiculaire à la densité de courant J et au champ
magnétique B. Nous supposons que l’échantillon placé le long de l’axe 𝑥 , soumis à un
champ électrique 𝐸𝑥 , transporte un courant électrique de densité𝑗𝑥 , Et que B est
parallèle à la direction z, la tension de Hall sera ensuite développé dans la direction y
La présence de champs électriques et magnétiques signifie que la force exercée sur un

électron est maintenant égale à 𝐹 = −𝑒(𝐸 + 𝑉 × 𝐵).
𝑑𝑉 𝑒 𝑒 𝑉
=− 𝐸− 𝑉×𝐵− (I.59)
𝑑𝑡 𝑚𝑒 𝑚𝑒 𝜏
En régime stabilisé, le côté gauche disparaît et les deux composantes de l’équation sont
lues.
𝑒𝜏
𝑣𝑥 = − 𝑚 𝐸𝑥 − 𝜔𝑐 𝜏𝑣𝑦 (I.60)
𝑒
𝑒𝜏
Et 𝑣𝑦 = − 𝑚 𝐸𝑦 + 𝜔𝑐 𝜏𝑣𝑥 (I.61)
𝑒
𝑒𝐵
Où nous avons écrit 𝜔𝑐 = 𝑚 (I.62)
𝑒
𝜔𝑐 : La fréquence angulaire du cyclotron classique
Si nous imposons la condition 𝑣𝑦 = 0 (pas de courant dans la direction y), nous avons
𝐸𝑦
= −𝜔𝑐 𝜏 (I.63)
𝐸𝑥
16
L'écriture 𝐽𝑥 = −𝑒𝑛𝑣𝑥 , Les équations (I.60) et (I.63) peuvent être combinées pour
donner
𝐸𝑦 1
𝑅𝐻 ≡ 𝐽 = − 𝑛𝑒 (I.64)
𝑥𝐵
𝑅𝐻 Est connu comme le coefficient de Hall.
I.7.5. Concentration d'électrons
La concentration d'électrons n en déséquilibre thermique est exprimée en
∞
𝑛 = ∫0 𝑔(𝐸)𝑓(𝐸)𝑑𝐸 (I.65)
Où 𝑓(𝐸) est la probabilité d'occupation dépendant de la température en déséquilibre

thermique. Elle devient la distribution de Fermi-Dirac 𝑓0 (𝐸) en équilibre thermique, qui
devient unité au zéro absolu lorsque E est inférieur à EF et égal à E lorsque E est
supérieur à EF (figure I.8). La concentration d'électrons 𝑛 en équilibre thermique est
∞
𝑛 = ∫0 𝑔(𝐸)𝑓0 (𝐸)𝑑𝐸 (I.66)
En utilisant les équations (I.20) et (I.89), la concentration d’électrons 𝑛 à l’équilibre

thermique est :
∗ 3/2
1 2𝑚𝑑 ∞ 𝐸 1/2
𝑛 = 2𝜋2 ( ) ∫0 (I.67)
ℏ2 𝑒 (𝐸−𝐸𝐹 )/𝑘𝐵 𝑇 +1
I.8. Propriétés des porteurs de charge
I.8.1. Relation de dispersion
D’après la combinaison de modèle de Bohr et l'onde de Broglie On a
h
𝜆=p (I.68)
Ceci est connu comme la longueur d'onde de Broglie. Utiliser la définition du vecteur
d'onde k = 2𝜋/𝜆 , on a
p
k=ℏ (I.69)
17
Connaissant la quantité de mouvement p = mv, on obtient les états d'énergie possibles

d'un électron libre. La relation de dispersion entre l’énergie et le vecteur d’onde s’écrit
1 p2 ℏ2 k2
𝐸 = 2 mv 2 = 2m = (I.70)
2m
m : La masse de l'électron.
ℏ : Constante de Planck réduite.
La figure suivante représente La relation de dispersion
Figure I.4 : La relation de dispersion 𝐸 en fonction de 𝐾.
La relation de dispersion est une parabole croissante et monotone possédant une

symétrie sphérique, ce qui facilite le calcul de la densité d’états électronique.
I.8.2. Masse effective
En réalité, un électron dans un cristal subit à des forces complexes émanant

d'atomes ionisés. Nous imaginons que les atomes de la chaîne linéaire forment le
potentiel périodique électrique. Si la masse d'électrons libres m est remplacée par la
masse effective m*, La masse effective est une grandeur qui caractérise le
comportement dynamique de l’électron sous l’effet d’actions extérieures donc nous
pouvons traiter le mouvement des électrons dans la bande de conduction comme des
électrons libres. Cependant, une valeur définie exacte du vecteur d’onde k implique une
incertitude totale sur la position de l’électron dans l’espace réel. Mathématiquement, la
localisation peut être décrite en exprimant l’état de l’électron sous forme de paquet
d’onde, c’est-à-dire une vitesse de groupe. La vitesse de groupe des électrons de la
figure I.5 est la pente de la relation de dispersion.
𝜕𝜔
vg = (I.71)
𝜕k
18
Puisque la longueur d'onde est le double de la constante de réseau a, les limites de la

zone dans l'espace k sont k = ±𝜋/𝑎 La fréquence 𝜔 associée à un vecteur d'onde de
l'énergie E est :
p
E = 𝜔ℏ et k=ℏ (I.72)
Où les deux équations sont connues sous la relation de Planck-Einstein.
Figure I.5 : Relation de dispersion d'un groupe d'électrons avec seulement des
interactions entre plus proche voisin. Nous remarquons que 𝜔 est linéaire pour 𝑘 petit,
et que 𝜕𝜔/𝜕𝑘 disparaît aux limites de la zone de Brillouin [7].
La courbe de dispersion devient en fait plate (autrement dit, la vitesse de groupe

s’annule) lorsque k atteint ±𝜋/𝑎.
1 𝜕𝐸
v𝑔 = ℏ 𝜕k (I.73)
La dérivée de l'équation (I.73) en fonction du temps est
𝜕𝑉𝑔 1 𝜕2 𝐸 1 𝜕2 𝐸 𝜕𝑘
= ℏ 𝜕𝑘𝜕𝑡 = ℏ 𝜕𝑘 2 𝜕𝑡 (I.74)
𝜕𝑡
𝜕𝑉𝑔 𝜕k
De l'équation (I.72), on a mv𝑔 = ℏk et m 𝜕𝑡 = ℏ 𝜕𝑡 .La force agissant sur le groupe
d'électrons est alors
𝜕𝑉𝑔 𝜕k
𝐹=m = ℏ 𝜕𝑡 (I.75)
𝜕𝑡
La combinaison des équations (I.74) et (I.75) donne
ℏ2 𝜕𝑉𝑔
𝐹 = 𝜕2 𝐸/𝜕k2 𝜕𝑡
(I.76)
19
Cela indique qu'il existe une masse effective m*, qui remplacera la masse électronique
m [7].
1 1 𝜕2 𝐸
= ℏ2 𝜕k2 (I.77)
𝑚∗
-la masse effective 𝑚𝑛∗ pour la bande n :
1 1 𝑑2 𝐸𝑛
∗ = ℏ2 (I.78)
𝑚𝑛 𝑑k2
1 1 𝜕2 𝐸𝑛
- élément du tenseur masse effective : 𝑚∗ = ℏ2 𝜕𝑘 (I.79)
𝛼 𝛼 𝜕𝑘𝑛
1 1 𝜕2 𝐸
- masse effective dynamique est définie par : 𝑚 = ℏ2 𝜕𝑘 𝜕𝑘 (I.80)
𝑖𝑗 𝑖 𝑗
La masse effective m* est le second ordre de dérivée d'énergie par rapport au vecteur
d'onde, qui est proportionnelle à la courbure de la relation de dispersion dans un espace
tridimensionnel et proportionnelle à l’inverse de la courbure de la structure de bande
[8]. La masse effective est un tenseur symétrique et peut être obtenue
expérimentalement ou numériquement [7].
Figure I.6: la masse effective de l’électron léger, lourd et inferieur à zéro.
Nous remarquons que lorsque la bande devient plus plate, la masse effective devient
plus grande.
𝑚∗ > 0 Prés d’un minimum de bande.
𝑚∗ < 0 Prés d’un maximum de bande.
20
I.8.3. Les Trous
Les propriétés des états vacants dans une bande presque pleine sont très
importantes dans la physique des semi-conducteurs et en physique électronique. Les
états vacants dans une bande presque pleine sont appelées trous. Lorsqu’on applique un
champ magnétique ou un champ électrique, un trou réagit comme s’il était porteur
d’une charge +𝑒.
Figure I.7 : la trajectoire des électrons et les trous en présence un champ électrique.
Bande pleine d’électrons Avec un état vide
Tous les électrons se déplacent La lacune d’électron se déplace
Dans l’espace des k de gauche à Dans l’espace des k de droite à
Droite. Gauche.
a. Vecteur d'onde du trou
L’impulsion des trous est opposée à celle des électrons. D’où 𝐤 𝑡 = −𝐤 𝑒 (I.81)
b. Charge du trou
𝜕𝐤 𝜕𝐤
On sait que : ℏ 𝑑𝑡 = 𝐅𝑒𝑥𝑡 , pour l’électron : ℏ 𝑑𝑡𝑒 = 𝑞𝑒 𝐄 = (−𝑒)𝐄
𝜕𝐤
Pour le trou : ℏ 𝑑𝑡𝑡 = 𝑞𝑡 𝐄
Et 𝐤 𝑡 = −𝐤 𝑒 (I.82)
Donc : 𝑞𝑡 = +𝑒
c. L'énergie des trous
Enlèvement d'un électron d'énergie E𝑒 (k 𝑒 )

21
L'énergie du système : −E𝑒 (k 𝑒 ) > 0
Cette énergie correspond à l'énergie d'un trou avec k 𝑒 , ou
E𝑡 (k 𝑒 ) = −E𝑒 (k 𝑒 )
Mais E𝑡 (k 𝑒 ) = E𝑡 (−k 𝑡 ) = E𝑡 (k 𝑡 )
Donc E𝑡 = −E𝑒 (I.83)
d. Masse effective des trous
On sait que la masse effective est proportionnelle à la courbure de la relation de

dispersion.
Donc lorsque la masse effective de l’électron est négative (courbure vers le bas), celle
du trou est positive
𝑚𝑡∗ = −𝑚𝑒∗ (I.84)
e. Vitesse du trou
L’impulsion des particules s’écrit : Pour l’électron : ℏ𝐤 𝑒 = 𝑚𝑒∗ ∙ 𝐯𝑒
Pour le trou : ℏ𝐤 𝑡 = 𝑚𝑡∗ ∙ 𝐯𝑡
On a 𝐤 𝑡 = −𝐤 𝑒 et 𝑚𝑡 = −𝑚𝑒
1 𝜕𝐸𝑛
Donc 𝐯𝑡 = 𝐯𝑒 , avec 𝐯𝑒 = ℏ 𝜕𝑘
1 𝜕𝐸𝑒 (𝑘𝑒 )
Alors la vitesse de groupe pour l’électron : v𝑔𝑒 = ℏ (I.85)
𝜕𝑘𝑒
1 𝜕𝐸𝑡 (𝑘𝑡 )
Et pour le trou : v𝑔𝑡 = ℏ = v𝑔𝑒 (I.86)
𝜕𝑘𝑡
f. Densité de courant
On sait que 𝑞𝑒 = −𝑒 , 𝑞𝑡 = +𝑒
Donc la Densité de courant pour l’électron : 𝐽 = − ∑𝑘𝑒 𝑜𝑐𝑐𝑢𝑝é −𝑒v𝑔 (I.87)
pour le trou : 𝐽 = − ∑𝑘𝑡𝑜𝑐𝑐𝑢𝑝é +𝑒v𝑔 (I.88)
22
I.8.4. La densité d'états
Il sera utile de disposer d’une fonction décrivant le nombre d’états d’électrons

dans un intervalle d’énergie donnée. Nous allons commencer Par substituer une valeur
générale de k au lieu de k 𝐹 . Cela résulte n (𝑘), le nombre d'états par unité de volume
d'espace r avec des vecteurs d'onde inférieurs à |k| Pour les électrons libres, avec
l'énergie 𝐸 = ℏ2 k 2 /2𝑚𝑒 , on peut alors définir une densité d'états, 𝑔(𝐸) où 𝑔(𝐸)𝑑𝐸 est
le nombre d'électrons par unité de volume d'espace r avec des énergies comprises entre
E et 𝐸 + 𝑑𝐸. la densité d’états en fonction de 𝑚∗ est:
𝑑𝑛 𝑑𝑛 𝑑k 1 2𝑚∗ 3/2
g= = = 2(
) (𝐸)1/2 (I.89)
𝑑𝐸 𝑑𝑘 𝑑𝐸 2𝜋 ℏ2
I.9. L'énergie de Fermi dans les métaux
La distribution de Fermi-Dirac implique qu’au zéro absolu (dans l’état

fondamental d’un système) les plus larges Fermions (électrons, trous, etc.) soient
remplis dans la densité d’états, dont l’énergie est souvent appelée énergie de Fermi,
mais ici nous la redéfinissons spécifiquement comme l’énergie de Fermi au zéro absolu.
Ainsi, l’énergie de Fermi dépend de la température. On l'appelle parfois le niveau de
Fermi ou le potentiel chimique. En général, le potentiel chimique (en fonction de la
température) n'est pas égal à l'énergie de Fermi au zéro absolu.
Figure I.8 : La concentration en électrons n est donnée par l'aire sous la courbe de
densité d'états jusqu'à l'énergie de Fermi EF. La courbe en pointillé représente la
densité des orbitales remplies à une température finie. Les électrons sont excités
thermiquement de la région 1 à la région 2 [7].
23
N est Le plus grand nombre d'états, peut être défini lorsqu'une sphère de rayon de Fermi
kF est divisée par le plus petit volume (2𝜋/ L) 3 dans l'espace k.
43
2∙ 𝜋𝑘𝐹
𝑁= 3
2𝜋 3
(I.90)
( )
3
Où le facteur 2 représente le principe d'exclusion de Pauli. Le volume du cristal étant

défini par V = L3, le vecteur d’onde de Fermi est :
1
1
3𝜋 2 𝑁 3
𝑘𝐹 = ( ) = (3𝜋 2 𝑛)3 (I.91)
𝑉
Où N / V est la densité électronique (ou concentration d'électrons) 𝑛 à la surface de

Fermi, qui peut être obtenue à partir des points du réseau, de la constante du réseau et de
la masse de l'atome. Les vecteurs d'onde de Fermi forment la surface de Fermi, qui
sépare les niveaux occupé des niveaux inoccupés. La surface de Fermi est l’une des
constructions fondamentales de la théorie moderne des métaux; en général, il n'est pas
sphérique. L'énergie de Fermi est :
2
ℏ2
𝐸𝐹 = 2𝑚 (3𝜋 2 𝑛)3 (I.92)
Ou la concentration d'électrons 𝑛 est :
3
2(2𝑚)1/2 𝑚
𝑛= 𝐸𝐹
2
(I.93)
3𝜋 2 ℏ3
Ceci peut également être obtenu en intégrant l’équation (I.67) de zéro à EF avec 𝑓0 ≈ 1
pour (E − EF)/𝐾𝐵 T ≪ 0 dans la plupart des métaux. La vitesse de Fermi à la surface de
Fermi est :
1
ℏ𝑘𝐹 ℏ
𝑉𝐹 = = 𝑚 (3𝜋 2 𝑛)3 (I.94)
𝑚
Pour les métaux, la vitesse de Fermi est de l'ordre de 108 cm/s. C'est une vitesse
importante (environ 1% de la vitesse de la lumière). Du point de vue des mécanismes
statistiques classiques, ce résultat est assez surprenant, car nous décrivons l’état
fondamental (T = 0), et toutes les particules d’un gaz classique ont une vitesse nulle à T
= 0 (énergie d’équipartition classique 1 / 2mv2 = 3 / 2kB T). La vitesse de Fermi n'est
qu'une approximation de la vitesse moyenne des électrons; cette approximation
24
fonctionne mieux dans les métaux et dans les semi-conducteurs fortement dopés. Le
libre parcours moyen des électrons  être approché par [7] :
≈ 𝑉𝐹 𝜏(I.95)
Où 𝜏 est le temps de relaxation. Le libre parcours moyen est une mesure de la distance
moyenne entre des événements de diffusion successifs. Le temps de relaxation est le
temps moyen entre les collisions successives.
La longueur d'onde 𝜆 des électrons peut être estimée par l'expression de de Broglie.
ℎ 2𝜋ℏ
𝜆= ≈ (I.96)
𝑃 𝑚𝑣𝐹
I.10. L'énergie de Fermi dans les semi-conducteurs
Dans les semi-conducteurs, nous avons généralement (E − EF)/𝐾𝐵 T ≫ 1 , et

alors exp((E − EF)/𝐾𝐵 T) devient beaucoup plus grand que 1. Par conséquent, éliminer
celui que nous avons
1 𝐸−𝐸𝐹
𝑓0 (𝐸) = 𝑒 (𝐸−𝐸𝐹)/𝑘𝐵 𝑇 +1 = 𝑒𝑥𝑝 (− ) (I.97)
𝑘𝐵 𝑇
La concentration d'électrons n en équilibre de l'équation (I.67) est
3
∗ 1
1 2𝑚𝑑 2 ∞ 𝐸 −𝐸
𝑛 = 2𝜋2 ( ) ∫0 𝐸 2 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑘𝐹 ) 𝑑𝐸 (I.98)
ℏ2 𝐵𝑇
La concentration en électrons 𝑛 en bande unique est réduite à :
3
∗
𝑚𝑑 𝑘𝐵 𝑇 2 𝐸
𝑛 = 𝑁𝑉 2 ( 2𝜋∙ℏ2 ) 𝑒𝑥𝑝 (𝑘 𝐹𝑇) (I.99)
𝐵
Où 𝑁𝑉 est la dégénérescence (nombre de bandes ou de vallées ayant la même énergie de

bord de bande et le même vecteur d'onde).nous avons
3
∗ −
n 𝑚𝑑 𝑘𝐵 𝑇 2
𝐸𝐹 = 𝑘𝐵 𝑇ln (2N ( 2𝜋∙ℏ2 ) ) (I.100)
v
Dans les semi-conducteurs typiques, l'énergie de Fermi 𝐸𝐹 peut être inférieure au bord
EC de la bande de conduction. La bande interdite 𝐸𝑔 est la différence entre EC et EV, qui
est généralement beaucoup plus grande que 𝑘𝐵 𝑇, comme le montre la figure I.9. La
25
concentration en électrons 𝑛 est la zone ombrée sous la courbe de densité d'états et

l'énergie de Fermi à la température ambiante. Nous remarquons que l'énergie de Fermi
affecte grandement la concentration d'électrons 𝑛 dans la bande de conduction, qui est
beaucoup plus petite que celle d'un métal (Figure I.8)
Figure I.9 : La concentration en électrons 𝑛 dans un semi-conducteur est donnée par

l'aire sous la courbe de densité d'états et par l'énergie de Fermi EF à la température
ambiante. L’énergie Fermi EF est située sous le minimum de bande de conduction. La
courbe en pointillé représente la densité des orbitales remplies à une température finie
[7].
I.11. Bandes d'énergie
Les électrons dans les cristaux sont disposés en bandes d’énergie séparées par
des régions d’énergie pour lesquelles il n’existe pas d’orbite électronique en forme
d’onde. Ces régions interdites sont appelées lacunes énergétiques ou bandes
interdites.(𝐸𝐺 ) qui sont illustrés à la figure I.10, où les différences entre un métal, un
semi-conducteur et un isolant sont résumées schématiquement.
Le cristal se comporte comme un isolant si les bandes d'énergie autorisées sont

toutes remplies ou vides, aucun électron ne pouvant alors se déplacer dans un champ
électrique. Le cristal se comporte comme un métal si une ou plusieurs bandes sont
partiellement remplies. Le cristal est un semi-conducteur ou semi-métal si une ou deux
bandes sont légèrement remplies ou légèrement vides.
26
Figure I.10 : Diagrammes de niveaux d'énergie pour un métal, un semi-conducteur et

un isolant. Les métaux ont une bande partiellement occupée (ombrée). Pour les semi-
conducteurs et les isolants, le niveau de Fermi est compris entre la bande de valence
occupée et la bande de conduction inoccupée.
I.11.1. Modèle multi-bandes
Il peut y avoir deux bandes distinctes: une bande de conduction pour les
électrons et une bande de valence pour les trous, comme illustré à la figure I.11 (a).
Dans de nombreux semi-conducteurs, il peut également y avoir plusieurs bandes ayant
les mêmes niveaux d'énergie, ce qui s'appelle la dégénérescence. Les trous lourds et
légers dégénèrent et le trou fendu de la bande de valence est légèrement en dehors du
bord de la bande de valence (maximum) [7].
Figure I.11 : Structures de bandes d'un semi-conducteur comprenant la bande de

conduction et les bandes de valence. (a) Un modèle de bande de conduction et une
bande de valence, et (b) Un modèle de multi-bandes.
27
I.11.2. Modèle de masse effective
a) Modèle parabolique
Au voisinage d’un extremum d’énergie 𝑘0 , la relation de dispersion 𝐸(𝑘) est

souvent approchée par une forme quadratique, les dérivées partielles premières étant
1
nulles en ce point. Le tenseur de masse effective (𝑚∗)est alors défini à partir des
dérivées secondes de l’énergie par rapport au vecteur d’onde c’est l’équation (I.80):
1 1 𝜕2 𝐸
(𝑚∗ ) = ℏ2 𝜕𝑘 𝜕𝑘 (I.101)
𝑖𝑗 𝑖 𝑗
L’énergie autour de 𝑘0 est alors approchée par son développement de Taylor :
ℏ2 1
𝐸(𝑘) = 𝐸(𝑘0 ) + (𝑚∗ ) (𝑘 − 𝑘0 )𝑖 (𝑘 − 𝑘0 )𝑗 (I.102)
2 𝑖𝑗
Un autre avantage de l’approximation de la masse effective est la simplification de

l’équation de Schrödinger dans un potentiel extérieur V:
ℏ2
[− 2𝑚 ∆ + 𝑈𝑐 (𝑟) + 𝑉(𝑟)] 𝜓 = 𝐸𝜓 (I.103)
0
La fonction d’onde peut être approchée par l’onde de Bloch en 𝑘0 modulée par la
fonction enveloppe ϕ(r) :
𝜓(𝑟) ϕ(r)𝑢𝑛,𝑘0 (𝑟)𝑒 𝑖𝑘0 ∙𝑟 (I.104)
La fonction enveloppe vérifie une équation de Schrödinger simplifiée :
ℏ2 1 𝜕2 ϕ
− (𝑚 ∗ ) + 𝑉(𝑟) ϕ= 𝐸 ′ ϕ (I.105)
2 𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗
Ce résultat Produit à partir de la théorie 𝑘. 𝑝 restreinte à une seule bande. L’effet du

potentiel cristallin est pris en compte dans le tenseur de masse effective.
En se plaçant maintenant dans un système d’axes dans lequel le tenseur est diagonal,
celui-ci .s’écrit :
28
1
0 0
𝑚𝑙
1
( ∗) = 1
𝑚 0 0
𝑚𝑡
[0 0 𝑚𝑡 ]
L’équation de Schrödinger pour la fonction enveloppe peut alors s’écrire plus

simplement :
ℏ2 𝜕 2 ϕ ℏ2 𝜕 2 ϕ ℏ2 𝜕 2 ϕ
− 2𝑚 − 2𝑚 − 2𝑚 + 𝑉(𝑟)ϕ = 𝐸 ′ ϕ (I.106)
𝑙 𝜕𝑥 2 𝑡 𝜕𝑦 2 𝑡 𝜕𝑧 2
Les équations pour les deux vallées ∆𝑦 et les deux vallées ∆𝑧 se déduisent de celle-ci
par symétrie [1].
b) Correction des bandes non-paraboliques
Pour étendre la gamme d’énergie sur laquelle l’approximation de la masse

effective est valable, un coefficient de non parabolicité peut être introduit comme suit
ℏ2 𝑘 2
𝐸(1 + 𝛼𝐸) = (I.107)
2𝑚∗
Pour une bande à masse isotrope centrée au point  de la zone de Brillouin. Dans le cas
1
cubique, l’hypothèse 𝛼 ≈ (𝑒𝑣)−1 est généralement utilisée [1].
2
29
Références
[1] S. Guarnay. ‘’Étude des mécanismes de dégradation de la mobilité sur les

architectures FDSOI pour les nœuds technologiques avancés (<20nm) ‘’ (thèse de
doctorat). Université paris-sud école doctorale : Laboratoire de Simulation et de
Modélisation, (2015) 43-47.
[2] K. Rupp. ‘’Numerical Solution of the Boltzmann Transport Equation using

Spherical Harmonics Expansions‘’ (mémoire de master). Institut d'analyse et
d'informatique scientifique de l'Université de technologie de Vienne, (2009) 22.
[3] N. W. Ashcroft andN. D. Mermin: ‘’Solid State Physics‘’ (Saunders College,

Philadelphia, Penn., 1976), Chapter 13 & 16.
[4] D. Vasileska‘’Boltzmann Transport Equation and Scattering Theory‘’, (2011) 22-

41.
[5] S. D. Kang. ‘’Charge transport analysis using the seebeck coefficient conductivity
relation‘’ (thèse de doctorat). California Institute of Technology, Pasadena, California.
(2018) 7.
[6] J. D. Grenon. ‘’Système de mesure des propriétés thermoélectriques appliqué au

phosphore noir‘’ (Mémoire de maîtrise). Département de Génie Physique, école
polytechnique de Montréal, (2016) 15.
[7] L. Onsager, Phys. Rev. 37 (1931) 406-407.
[8] C. Winkelmann, ‘’Dynamique des électrons de Bloch‘’. Cours de physique de

solide, Chapter 4.
30
Chapitre II
La méthode de calcul
Chapitre II La méthode de calcul
II.1. THEORIE DE LA FONCTIONNELLE DE LA

DENSITE (DFT)
II.1.1. Introduction
Le solide est un ensemble d’atome, où les atomes sont constitués par une
association de particules élémentaires : les ions et les électrons. Le problème
fondamental de la physique des solides est de comprendre l'organisation de ces
particules à l'origine de leurs propriétés. Mais dans ce cas, la mécanique classique
s'avère être insuffisante et il faut faire appel à la mécanique quantique dont la base est la
résolution de l'équation de Schrödinger.
Le problème général peut être posé sous la forme d'une équation du mouvement
de toutes les particules présentes dans le système.
II.1.2. Equation de Schrödinger d’un solide
Toutes les propriétés physiques d’un système constitué de noyaux et d’électrons

sont obtenues par la mécanique quantique dont la base est résolvant l’équation de
Schrödinger indépendante du temps qui s’écrit sous la forme:
𝐻𝛹 = 𝐸𝛹 (II.1)
Avec 𝐻 est l’hamiltonien, 𝐸 est l’énergie totale du système et 𝛹 c’est la fonction

d’onde.
L’hamiltonien exact d’un système (non relativiste) résulte de la présence des forces
électrostatiques d'interaction : répulsion ou attraction suivant la charge des particules
(ions, électrons) [1].
𝐻𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑇𝑒 + 𝑇𝑛 + 𝑉𝑒−𝑛 + 𝑉𝑒−𝑒 + 𝑉𝑛−𝑛 (II.2)
Avec :
ℏ2
𝑇𝑒 = − ∑𝑖 2𝑚 ∇2𝑟𝑖 L’énergie cinétique des électrons.
𝑒
31
ℏ2
𝑇𝑛 = − ∑𝐼 ∇2𝑅𝐼 L’énergie cinétique des noyaux.
2𝑀𝐼
𝑍 𝑒2
𝑉𝑒−𝑛 = − ∑𝑖𝐼 |𝑅 𝐼−𝑟 | L’énergie potentielle d’attraction noyaux-électrons.
𝐼 𝑖
1 𝑒2
𝑉𝑒−𝑒 = 2 ∑𝑖<𝑗 |𝑟 −𝑟 | L’énergie potentielle de répulsion entre les électrons.
𝑖 𝑗
1 𝑍 𝑍 𝑒2
𝑉𝑛−𝑛 = 2 ∑𝐼<𝐽 |𝑅𝐼 −𝑅
𝐽
|
L’énergie potentielle d’interaction entre les noyaux.
𝐼 𝐽
Où ℏ : est la constante de Planck divisée par 2𝜋.
𝑚𝑒 : est la masse de l’électron.
𝑀𝐼 : est la masse du noyau.
𝑟𝑖 , 𝑟𝑗 : sont les positions des électrons (𝑖) et (𝑗) respectivement.
𝑅𝐼 , 𝑅𝐽 : sont les positions des noyaux (𝐼) et (𝐽)respectivement.
𝑍𝐼 , 𝑍𝐽 : Les nombres atomiques des noyaux (𝐼) et (𝐽) respectivement.
D’où on peut écrire L’hamiltonien de tout le système sous la forme suivante :
ℏ2 ℏ2 𝑍 𝑒2 1 𝑒2 1 𝑍 𝑍 𝑒2
𝐻𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = − ∑𝑖 2𝑚 ∇2𝑟𝑖 − ∑𝐼 2𝑀 ∇2𝑅𝐼 − ∑𝑖𝐼 |𝑅 𝐼−𝑟 | + 2 ∑𝑖<𝑗 |𝑟 −𝑟 | + 2 ∑𝐼<𝐽 |𝑅𝐼 −𝑅
𝐽
(II.3)
𝑒 𝐼 𝐼 𝑖 𝑖 𝑗 𝐼 𝐽|
Pratiquement, La solution de l'équation (II.3) conduit à la résolution d’un problème à N

corps qui n’est accessible qu’au impose un certain nombre d’approximations.
II.1.3. Approximations de base
II.1.3.1. Approximation de Born-Oppenheimer (1927)
L’approximation de Born-Oppenheimer, appelée aussi approximation

adiabatique [2], suppose que l’on peut découpler le mouvement des électrons de celui
des noyaux, partant du simple constat que les électrons sont beaucoup moins lourds que
les noyaux et que leur mouvement est beaucoup plus rapide. Par conséquent, on
considère que les électrons évoluent dans un potentiel créé par des atomes fixes. On
néglige ainsi l’énergie cinétique 𝑇𝑛 des noyaux et l’énergie potentielle noyaux-noyaux
32
𝑉𝑛−𝑛 devient une constante. L’hamiltonien de l’équation (II.3) peut donc se réduire à un
hamiltonien électronique :
ℏ2 𝑍 𝑒2 1 𝑒2
𝐻𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = − ∑𝑖 2𝑚 ∇2𝑟𝑖 − ∑𝑖𝐼 |𝑅 𝐼−𝑟 | + 2 ∑𝑖<𝑗 |𝑟 −𝑟 (II.4)
𝑒 𝐼 𝑖 𝑖 𝑗|
L’équation de Schrödinger réécrite alors de la façon suivante :
𝐻𝑒 𝛹𝑒 = 𝐸𝑒 𝛹𝑒 (II.5)
Où 𝛹𝑒 et 𝐸𝑒 : l’état propre et l’énergie propre du système de 𝑁𝑒 électrons.
II.1.3.2. Approximation de Hartree (1928)
En 1928, Hartree [3] fut le premier à proposer une méthode où il suppose qu’on
peut substituer à un système d’électrons en interaction par un système d’électrons
indépendants. Pour contourner la complication du système multi-corps au sein de
solides. L’approximation de Hartree basée sur la fonction d’onde multiélectronique d’un
système à 𝑁 électrons qui s’écrit comme le produit des fonctions d’onde mono-
électronique de tous les électrons.
ψ(𝒓𝟏 , 𝒓𝟐 , … 𝒓𝑵 ) = ∏𝑁
𝑖 ψ𝑖 (𝒓𝒊 ) (II.6)
Les équations de Schrödinger mono-électroniques dans l’approche de Hartree s’écrivent

:
ℏ2
[− 2𝑚 ∇2𝑟 + 𝑉𝑒𝑓𝑓 (𝒓)] 𝜓𝑖 (𝒓) = 𝜀𝑖 𝜓𝑖 (𝒓) (II.7)
𝑒
Où le premier terme corresponde à l’énergie cinétique et 𝑉𝑒𝑓𝑓 (𝒓)est le potentiel que

subit l’électron, dit effectif. Le choix de ce potentiel est tel que l’équation (II.7) a une
solution. Celle-ci est basée sur le principe variationnel. En outre, ce potentiel doit tenir
compte de l’interaction électron- noyau :
1
𝑉𝑁 (𝒓) = −𝑍𝑒 2 ∑𝑹 |𝒓−𝑹| (II.8)
Les vecteurs 𝒓 et 𝑹 expriment les positions spatiales de l’électron et du noyau

respectivement.
𝑉𝐻 (𝒓) le potentiel de Hartree s’écrit :
33
1
𝑉𝐻 (𝒓) = −𝑒 ∫ 𝑑 3 𝒓′ 𝜌( 𝒓′ ) |𝒓−𝒓′ | (II.9)
Où 𝜌(𝒓′ ) est la densité électronique en 𝒓′ .
Enfin on exprime le potentiel effectif comme la somme de ces deux contributions :
𝑉𝑒𝑓𝑓 (𝒓) = 𝑉𝐻 (𝒓) + 𝑉𝑁 (𝒓) (II.10)
Les fonctions propres résultant de la solution de l’équation (II.7) permettent de calculer

une nouvelle densité électronique :
𝜌(𝒓) = ∑𝑖 𝜓𝑖∗ (𝒓)𝜓𝑖 (𝒓) (II.11)
La relation ≪ densité-potentiel ≫ est obtenue par l’équation de Poisson :
𝜌(𝒓)
∆𝑉𝐻 (𝒓) = − (II.12)
𝜀0
Où ∆𝑉𝐻 (𝒓) est le potentiel de Hartree en 𝒓 et 𝜌(𝒓) est la densité électronique. 𝜀0 Est le
constant diélectrique du vide.
La fonction d’onde dans la théorie de Hartree ne tient pas compte du principe

d’exclusion de Pauli, ainsi elle n’est pas antisymétrique lors de l’inter-échange des
coordonnées de deux électrons. Ces défauts sont rectifiés par la théorie de Hartree-Fock
[3].
II.1.3.3. Approximation de Hartree-Fock (1930)
Le système électronique dans l’approximation de Hartree est incomplètement

décrit. En effet il y a une différence entre l’énergie du système multiélectronique réel et
l’énergie obtenue dans l’approximation de Hartree, cette différence représente le reste
des interactions électroniques. Une des interactions manquantes est l’échange. C’est
l’effet qui exprime l’antisymétrie de la fonction d’onde par rapport à l’échange des
coordonnées de n’importe quels deux électrons menant à décrire le système à N corps
(électrons) par l’égalité :
ψ(𝒓𝟏 , 𝒓𝟐 , … , 𝒓𝑵 ) = −ψ(𝒓𝟏 , 𝒓𝟐 , … , 𝒓𝑵 ) (II.13)
ψ : La fonction d’onde antisymétrique. Donc, peut s’écrire sous la forme d’un

déterminant de Slater construit à partir de n fonctions d’onde mono-électroniques ψ𝑖
34
pour tenir compte du principe d’exclusion de Pauli.
ψ1 (𝒓𝟏 ) ψ1 (𝒓𝟐 ) … ψ1 (𝒓𝑵 )

ψ𝑯𝑭 = ψ(𝒓𝟏 , 𝒓𝟐 , … , 𝒓𝑵 ) =
1
| ψ2…(𝒓𝟏 ) ψ2 (𝒓𝟐 ) … ψ2 (𝒓𝑵 ) | (II.14)
√N! … … …
ψ𝑁 (𝒓𝟏 ) ψ𝑁 (𝒓𝟐 ) … ψ𝑁 (𝒓𝑵 )
1
: Coefficient de normalisation.
√N!
Les méthodes de Hartree-Fock sont basées sur l’hypothèse des électrons libre, mais
elles sont moins précises pour les solides. Il existe une méthode plus moderne et
probablement plus puissante qui est la théorie de la fonctionnelle de densité (DFT).
II.1.4. Théorie de Fonctionnelle de Densité (DFT)
La théorie de la densité fonctionnelle (DFT) représente l’une des plus

performante méthodes pour le calcul des propriétés de la matière, elle est une théorie
quantique connue pour sa haute précision dans le calcul des structures électroniques et
magnétiques des matériaux son concept de base est que l’énergie d’un système
électronique peut être exprimée en fonction de sa densité de charge électronique, ceci
permettra de contourner le problème d’une fonction d’onde à N-électrons.
Les premières idées de la DFT furent introduites dans les travaux de Thomas [4] et
Fermi [5] en 1927 puis amélioré par Dirac (1930). Notons cependant que la DFT a été
réellement établie avec l’apparition des deux théorèmes fondamentaux exacts
d’Hohenberg et Kohn en 1964 [6].
II.1.4.1. Théorèmes d’Hhenberg-khon (1964)
Le formalisme de base de la DFT est basé sur le théorème de Hohenberg-Kohn

(1964) [6]. Cette approche s’applique pour tout système à plusieurs particules en
interaction évoluant dans un potentiel externe. Elle repose sur deux théorèmes :
II.1.4.1.1. Premier Théorème
L’énergie totale de l’état fondamental 𝐸 d’un système à 𝑁 électrons en présence

d’un potentiel externe 𝑉𝑒𝑥𝑡 (𝑟) peut-être déterminée uniquement par sa densité
électronique 𝜌(𝑟) et Peut être écrit comme suit:
𝐸 = 𝐸[𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑 ] = 𝐹𝐻𝐾 [𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑 ] + ∫ 𝑉𝑒−𝑛 (𝑟)𝜌(𝑟)𝑑𝑟 (II.15)
35
Avec :
𝐹𝐻𝐾 [𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑 ] = 𝑇[𝜌] + 𝑉[𝜌] (II.16)
Où 𝐹𝐻𝐾 [𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑 ] La fonctionnelle de Hohenberg et Kohn composée de 𝑇[𝜌] L’énergie
cinétique et 𝑉[𝜌] L’interaction électron-électron.
II.1.4.1.2. Deuxième théorème
Hohenberg et Kohn montrent que la fonctionnelle d’énergie 𝐸[𝑟] est minimum

quand une densité électronique quelconque 𝜌[𝑟] correspond à la densité électronique de
l’état fondamental 𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑 (𝑟).
𝐸(𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑 ) = 𝑚𝑖𝑛𝐸(𝜌) (II.17)
Ce théorème montre que l'énergie se met sous forme de fonctionnelle et que la densité
qui minimise ce fonctionnel est la densité exacte de l'état fondamental.
Cependant, la difficulté n'est toujours pas écartée ; il n'existe pas d'expression

analytique exacte de la fonctionnelle 𝐹𝐻𝐾 [𝜌] pour un système à N électrons
interagissant.ces deux théorèmes, nous avons recours à des approximations qui
correspondent aux équations de Kohn-Sham.
II.1.4.2. Equations de Kohn-Sham (1965)
En 1965 Walter Kohn et Lu Sham [7] proposent une méthode pratique

permettant d’utiliser la théorie de la fonctionnelle de la densité. Ils supposent qu’il
existe un système fictif de N électrons indépendants ayant la densité dans son état
fondamental. L’intérêt vient du fait que les expressions de l’énergie potentiel et
l’énergie cinétique pour ce système fictif sont connues. Puis, ils montrent que pour qu’il
en soit ainsi, ces électrons doivent être plongés dans un potentiel extérieur effectif, c’est
la première équation de Kohn-Sham (K.S) 𝑉𝑒𝑓𝑓 [𝜌(𝑟⃗)] qui exprimée par l'expression
suivante :
𝑉𝑒𝑓𝑓 [𝜌(𝑟⃗)] = 𝑉𝑒−𝑛 (𝑟⃗) + 𝑉𝐻𝑎𝑡𝑟𝑒𝑒 (𝑟⃗) + 𝑉𝑥𝑐 [𝜌(𝑟⃗)] (II.18)
Avec 𝑉𝐻𝑎𝑡𝑟𝑒𝑒 (𝑟⃗) le potentiel de Hartree qui définie par :
36
⃗⃗⃗⃗′ )𝑑𝑟
𝜌(𝑟 ⃗⃗⃗⃗′
𝑉𝐻𝑎𝑡𝑟𝑒𝑒 (𝑟⃗) = ∫ ⃗⃗⃗⃗′ |
(II.19)
|𝑟⃗−𝑟
Et 𝑉𝑥𝑐 [𝜌(𝑟⃗)] le potentiel d’échange et corrélation :
𝛿𝐸𝑥𝑐 [𝜌]
𝑉𝑥𝑐 [𝜌(𝑟⃗)] = (II.20)
𝛿𝜌(𝑟⃗)
Dans cette expression (II.20) 𝐸𝑥𝑐 est l’énergie d’échange-corrélation, qui regroupe tout
ce qui n’est pas connu dans le système, à savoir les effets de corrélations dues à la
nature quantique des électrons. Ce terme définie par :
⃗⃗⃗⃗′ )𝜌(𝑟⃗)
𝜌(𝑟
𝑒2
𝐸𝑥𝑐 [𝜌] = 𝐹𝐻𝐾 [𝜌] − 8𝜋𝜀 ∫ 𝑑3 𝑟 ′ ⃗⃗⃗⃗′ |
− 𝑇𝑓𝑜𝑛𝑑 [𝜌] (II.21)
0 |𝑟⃗−𝑟
Où 𝑇𝑓𝑜𝑛𝑑 [𝜌] Est l’énergie cinétique des électrons de Kohn-Sham et le second terme le
terme électrostatique de Hartree.
Pour calculer la densité électronique 𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑 et l’énergie E du système, On a résoudre une

équation de Schrödinger à une seule particule (mono-électronique) utilisant le potentiel
𝑉𝑒𝑓𝑓 qui permet d’obtenir la seconde équation de Kohn-Sham à 𝑁𝑒 états 𝜓𝑗 .
ℏ2
𝐻𝐾𝑆 𝜓𝑗 (𝑟⃗) = 𝜀𝑗 𝜓𝑗 (𝑟⃗) ≡ (− 2𝑚 𝛻 2 + 𝑉𝑒𝑓𝑓 ) 𝜓𝑗 (𝑟⃗) = 𝜀𝑗 𝜓𝑗 (𝑟⃗) (II.22)
On donne l’expression de la densité électronique en fonction des 𝑁𝑒 fonctions d’onde

𝜓𝑗 . C’est la troisième équation de Schrödinger.
2
𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑 (𝑟⃗) = ∑𝑁
𝑗=1|𝜓𝑗 (𝑟
⃗)| (II.23)
Ces trois équations interdépendantes doivent être résolues de manière auto-cohérente

afin de trouver la densité de l’état fondamental (figure II.1.1). Tous les calculs de type
DFT sont basées sur la résolution itérative de ces équations. Cependant, la DFT reste
inapplicable car le potentiel d’échange et de corrélation reste inconnu. Il est donc
nécessaire d’approximer ce potentiel.
37
Figure II.1.1 : Interdépendance des équations de Kohn-Sham.
II.1.4.3. Résolution des équations de Kohn-Sham
La résolution des équations de Kohn-Sham (II.23) nécessite le choix d'une base

pour les fonctions d'onde que l'on peut prendre comme une combinaison linéaire
d'orbitales appelées orbitales de Kohn-Sham sont données par:
𝛹𝑗 (𝑟⃗) = ∑ 𝐶𝑗𝛼 𝜑𝛼 (II.24)
Où 𝜑𝛼 (𝑟⃗) : sont les fonctions de base.
𝐶𝑗𝛼 : sont les fonctions de l'expansion
La résolution des équations de KS revient à déterminer les 𝐶𝑗𝛼 pour les orbitales
occupées qui minimisent l'énergie totale. Ils sont pour les points de symétrie dans la
première zone de Brillouin permet de simplifier les calculs. Cette résolution se fait d'une
manière itérative en utilisant un cycle d'itération auto-cohérent illustré par
l'organigramme de la figure II.1.2. Ceci est réalisé en injectant la densité de charge
initiale 𝜌𝑖𝑛 pour diagonaliser l'équation séculaire:
(𝐻 − 𝜀𝑗 𝑆)𝐶𝑗 = 0 (II.25)
Avec 𝐻 : représente la matrice hamiltonienne.
𝑆 : La matrice de recouvrement.
Ensuite, la nouvelle densité de charge 𝜌𝑜𝑢𝑡 est construite avec les vecteurs
propres de cette équation séculaire en utilisant la densité de charge totale qui peut être
obtenue par une sommation sur toutes les orbitales occupées.
38
Si les calculs ne concordent pas, on mélange les deux densités 𝜌𝑖𝑛 et 𝜌𝑜𝑢𝑡 de la
manière suivante:
𝑗+1 𝑗 𝑗
𝜌𝑖𝑛 = (1 − 𝛼)𝜌𝑖𝑛 + 𝛼𝜌𝑜𝑢𝑡 (II.26)
Où 𝑗 : Représente la 𝑗 é𝑚𝑒 itération.
𝛼 : Un paramètre de mixage.
𝑖𝑛 : indique une donnée entrante.
𝑜𝑢𝑡 : indique une donnée résultante.
Ainsi la procédure itérative peut être poursuivie jusqu'à ce que la convergence soit
réalisée.
Figure II.1.2 : Schéma de cycle auto-cohérent pour la résolution des équations de

Kohn-Sham.
La résolution des équations de Kohn et Sham n’est possible qu’en donnant une forme
analytique à l’énergie d’échange et de corrélation. Les approximations les plus utilisées
sont: l’approximation de la densité locale (LDA) et l’approximation du gradient
généralisé (GGA).
39
II.1.4.4. Approximation de la densité locale (LDA)
L’approximation de la densité locale (LDA) [8] considère le potentiel d’échange

et corrélation comme une quantité locale, définie en un point 𝑟, dépendant faiblement
des variations de la densité autour de ce point 𝑟 [9 ,10]. Ainsi, en un point 𝑟 auquel
correspond une densité 𝜌(𝑟) , il sera associé un potentiel d’échange et corrélation
comparable à celui d’un gaz homogène d’électrons de même densité 𝜌(𝑟) et constitue
l’approximation la plus simple pour exprimer le terme d’échange et de corrélation.
L’énergie d’échange et corrélation s’exprime de la manière suivant :
𝐿𝐷𝐴 [𝜌]
𝐸𝑥𝑐 = ∫ 𝜌(𝑟)𝜀𝑥𝑐 [𝜌(𝑟⃗)]𝑑𝑟⃗ (II.27)
Où : 𝜀𝑥𝑐 représente l’énergie d’échange et corrélation pour une particule d’un gaz
homogène d’électrons de densité 𝜌. De plus, Elle peut-être considérer comme la somme
d’une contribution d’échange et corrélation :
𝐸𝑥𝑐 = 𝜀𝑥 (𝜌) + 𝜀𝑐 (𝜌) (II.28)
Où 𝜀𝑥 (𝜌) : est l’énergie d’échange.
𝜀𝑐 (𝜌) : est l’énergie de corrélation.
Avec Le terme d’échange 𝜀𝑥 (𝜌), considérée comme étant l’énergie de Dirac [11], est
connue exactement par la relation suivante :
3/4
3 3
𝐸𝑥𝑐 = − 4 (𝜋 𝜌(𝑟⃗)) (II.29)
La partie corrélation 𝜀𝑐 (𝜌) ne peut être exprimée de manière exacte.
Le terme d’échange peut être exprimé analytiquement, tandis que le terme de

corrélation a été calculé avec précision, utilisant la technique de Monte Calro Monte-
Carlo quantique par Ceperley et Alder (1980) [12]. Il existe aussi dans la littérature des
paramétrisations, numériques ou analytiques de 𝜀𝑐 (𝜌) comme celle de Hedin et
Lundqvist (1971) [13] ou Perdew et al [14].
Enfin, notons qu’un précurseur de LDA a été introduit par Slater en 1951 [15] où il
proposa la méthode Xα comme une simplification de la méthode Hartree Fock. Cette
simplification aboutit à l’équation suivante :
40
ℏ 2
⃗⃗𝑗2 + 𝑉𝑒−𝑛 (𝑟⃗) + 𝑉𝐻𝑎𝑟𝑡𝑟𝑒𝑒 (𝑟⃗) + 𝑉𝑋𝛼
(− 2𝑚 ∇ 𝐿𝐷𝐴 (𝑟
⃗)) 𝜑𝑗 (𝑟⃗) = 𝜀𝑗 𝜑𝑗 (𝑟⃗) (II.30)
𝑒
Avec le potentiel local 𝑉𝑿𝜶 :
1/3
3 3
𝑉𝑋𝛼 (𝜌) = − 4 𝛼 (𝜋 𝜌(𝑟⃗)) (II.31)
𝛼 : désigne un paramètre qui a été initialement pris comme étant égal à 1.
Ensuite il a été évalué pour tous les atomes neutres par Schwarz [16]. Il faut aussi noter
que Kohn et Sham ont réalisé que l’équation 𝑋𝛼 était équivalente à la LDA, si la
corrélation était ignorée et si en plus 𝛼 = 2/3 La méthode 𝑋𝛼 peut donc être considérée
comme un formalisme de fonctionnelle de densité, qui néglige la corrélation et dont
l’énergie est donnée par ;
1
9 3 3
𝐸𝑋𝐿𝐷𝐴 [𝜌] = − 8 𝛼 [4] ∫ 𝜌(𝑟⃗)1/3 𝑑𝑟⃗ (II.32)
II.1.4.5. Approximation du gradient généralisé (GGA)
L’approximation du gradient généralisé ou GGA a été introduite pour améliorer

la précision des résultats de la LDA, Elle consiste à écrire l’énergie d’échange et de
corrélation non seulement en fonction de la densité électronique mais aussi de son
gradient :
𝐺𝐺𝐴 [𝜌; 𝐺𝐺𝐴

𝐸𝑥𝑐 ∇𝜌] = ∫ 𝜀𝑥𝑐 (𝜌(𝑟), ∇𝜌(𝑟))𝑑𝑟 (II.33)
Souvent les contributions pour l’échange et la corrélation sont développées séparément

comme suit :
𝐺𝐺𝐴 [𝜌;
𝐸𝑥𝑐 ∇𝜌] = 𝜀𝑥𝐺𝐺𝐴 (𝜌, ∇𝜌) + 𝜀𝑐𝐺𝐺𝐴 (𝜌, ∇𝜌) (II.34)
Le problème majeur de la LDA provenant de l’échange, une attention toute particulière

fut portée sur le développement de cette partie :
3
𝐸𝑥𝐺𝐺𝐴 (𝜌; ∇𝜌) = 𝜀𝑥𝐿𝐷𝐴 − ∫ 𝐹(𝑆(𝑟))𝜌4 (𝑟)𝑑𝑟 (II.35)
Où 𝐹 est une fonction du gradient de densité réduite (sans dimension) :
41
⃗⃗𝜌(𝑟)|
|∇
𝑆(𝑟) = 3 (II.36)
𝜌4 (𝑟)
En revanche, il existe plusieurs façons d’inclure le gradient de la densité [17,18]. Dans

ce travail, on a systématiquement préféré la formulation de Perdew, Burke et Ernzerhof
(PBE) [19], ces travaux montrent que l’approximation GGA fait des améliorations
importantes sur les résultats obtenus par rapport à ceux des LDA.
II.2. LA METHODE DES ONDES PLANES AUGMENTEES

LINEARISEES (FP-LAPW)
Différentes méthodes de calcul ont été développées, basées sur le formalisme de

la DFT. Ces méthodes diffèrent par la forme utilisée du potentiel et par les fonctions
d’onde prises comme base. Parmi ces méthodes on rencontre celle utilisée dans nos
calculs : la méthode des ondes planes augmentées et linéarisées ''Full Potential
Linearized Augmented Plane Waves'' (FP LAPW) [20] est l’une des méthodes les plus
précises.
Dans cette méthode aucune hypothèse de forme particulière n’est faite au niveau
du potentiel. La méthode des ondes planes augmentées linéarisées (LAPW), développée
par Andersen [21], Elle est une modification fondamentale de la méthode des ondes
planes augmentées (APW) élaborée par Slater. Alors avant d’exposer le principe de
LAPW, nous allons revoir les différents aspects de la méthode APW.
II.2.1. Méthode des Ondes planes Augmentées (APW)
En 1937, Slater [22] proposa les fonctions d’ondes planes augmentées (APW)
comme base pour résoudre l’équation de Schrödinger. Au voisinage d'un noyau
atomique, le potentiel et les fonctions d'onde sont de la forme «Muffin-Tin» (MT)
présentant une symétrie sphérique à l'intérieur de la sphère MT de rayon R 𝛼 . Entre les
atomes le potentiel et les fonctions d'onde peuvent être considérés comme étant plane.
Les fonctions d'onde du cristal sont développées dans des bases différentes selon la
région considérée (Figure II.2.1):
 Des fonctions radiales de l'équation de Schrödinger à l'intérieur de la sphère MT

(région I).
 Des ondes planes dans la région interstitielle (région II).
42
Figure II.2.1 : Schéma de la répartition de la maille élémentaire en sphères atomiques

et en région interstitielle.
Donc la fonction d’onde 𝜙(𝑟) s’écrit sous la forme :
∑𝑙𝑚 𝐴𝑙𝑚 𝑈𝑙 (𝑟)𝑌𝑙𝑚 (𝑟) 𝑟 < 𝑅𝛼 (I)

𝜙(𝑟) = { 1 𝑖(𝐺+𝐾)𝑟 (II.37)
∑𝐺 𝐶𝐺 𝑒 𝑟 > 𝑅𝛼 (II)
√Ω
Où 𝑅𝛼 : Représente le rayon de la sphère muffin-tin.
Ω : est le volume de la cellule élémentaire.
𝐺 : est le vecteur du réseau réciproque.
𝐶𝐺 Et 𝐴𝑙𝑚 les coefficients du développement en harmonique sphériques 𝑌𝑙𝑚 .
La fonction 𝑈𝑙 (𝑟) est une solution régulière de l’équation de Schrödinger pour la partie
radiale qui s’écrit sous la forme :
𝜕2 𝑙(𝑙+1)
{− 𝜕𝑟 2 + 𝑉(𝑟) − 𝐸𝑙 } 𝑟𝑈𝑙 (𝑟) = 0 (II.38)
𝑟2
Où 𝐸𝑙 : l'énergie de linéarisation.
𝑉(𝑟): représente le potentiel Muffin-Tin.
Les fonctions radiales sont définies par l’équation précédente, sont automatiquement
orthogonales à tout état propre du cœur, cette orthogonalité disparaît sur la limite de la
sphère [24]. Comme le montre l'équation de Schrödinger suivante:
𝑑2 𝑟𝑈1 𝑑2 𝑟𝑈2
(𝐸2 − 𝐸1 )𝑟𝑈1 𝑈2 = 𝑈2 − 𝑈1 (II.39)
𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 2
Où 𝑈1 et 𝑈2 sont des solutions radiales pour les énergies 𝐸1 et 𝐸2 respectivement.
43
Dans cette méthode, Slater justifie a faire un choix particulier pour les fonctions
d’ondes, en notant que les ondes planes sont les solutions de l’équation de Schrödinger
dans un potentiel constant. Alors que les fonctions radiales sont la solution dans le cas
du potentiel sphérique. Donc, Quand 𝐸𝑙 est égale à la valeur propre 𝐸.
Cette approximation est très bonne pour les matériaux dont la structure est cubique à
faces centrées, et de moins en moins satisfaisante avec la diminution de symétrie du
matériau.
Cependant, Pour assurer la continuité de la fonction 𝜙(𝑟) à la surface de la sphère MT,

𝐴𝑙𝑚 les coefficients doivent être développés en fonction des coefficients 𝐶𝐺 des ondes
planes existantes dans les régions interstitielles. Ainsi, après quelques calculs
algébriques [23], nous trouvons que l’expression suivante :
4𝜋𝑖 𝑙 ∗
𝐴𝑙𝑚 = 1 ∑𝐺 𝐶𝐺 𝐽𝑙 (|𝐾 + 𝐺|𝑹𝜶 )𝑌𝑙𝑚 (𝐾 + 𝐺) (II.40)
𝛀2 𝑈𝑙 (𝑹𝜶 )
Où 𝐽𝑙 : La fonction de Bessel.
L’origine est prise au centre de la sphère de rayon𝑹𝜶 , Ainsi les 𝐴𝑙𝑚 sont complètement
déterminés par les coefficients des ondes planes 𝐶𝐺 , et le paramètre d’énergie sont
appelés les coefficients variationnels dans la méthode (APW).
Les fonctions d’ondes se comportent comme des ondes planes dans la région
interstitielle, et elles augmentent dans la région de cœur et se comportent comme des
fonctions radiales. Pour l’énergie 𝐸𝑙 . Les fonctions APWs sont des solutions de
l’équation de Schrödinger dans les sphères mais seulement pour l’énergie 𝐸𝑙 , cette
dernière doit être égale à celle de la bande d’indice 𝐺. Ceci signifiait que les bandes
d’énergie ne peuvent pas obtenues par une simple diagonalisation, et qu'il est nécessaire
de traiter le déterminant séculaire comme une fonction de l’énergie.
La fonction qui apparaît dans l’équation (II.39), et peut devenir nulle à la surface de la
sphère MT, cela conduit à la séparation entre les fonctions radiales et les ondes planes.
Pour résoudre ce problème, plusieurs modifications à la méthode APW. Parmi ces
dernières, on cite le travail d’Anderson [24], ainsi que celui de Koelling [25]. La
modification consiste à représenter la fonction d'onde 𝜙(𝑟) à l’intérieur de la sphère par
44
une combinaison linéaire des fonctions radiales 𝑈1 (𝑟) de leurs dérivées 𝑈̇𝑙 (𝑟) par
rapport à l’énergie.
II.2.2. Principe de la méthode FP-LAPW
Dans la méthode FP-LAPW, les fonctions de base à l’intérieur de la sphère sont

des combinaisons linéaires des fonctions radiales 𝑈𝑙 (𝑟)𝑌𝑙𝑚 (𝑟) et leurs dérivés
𝑈̇𝑙 (𝑟)𝑌𝑙𝑚 (𝑟) par rapport à l’énergie. Les fonctions 𝑈𝑙 sont définies comme dans la
méthode (APW) et la fonction 𝑈̇𝑙 (𝑟)𝑌𝑙𝑚 (𝑟) doit satisfaire la condition suivante :
𝑑2 𝑙(𝑙+1)
{− 𝑑𝑟 2 + + 𝑉(𝑟) − 𝐸𝑙 } 𝑟𝑈̇𝑙 (𝑟) = 𝑟𝑈𝑙 (𝑟) (II.41)
𝑟2
La fonction d’onde s’écrit comme suite :
∑𝑙𝑚[𝐴𝑙𝑚 𝑈𝑙 (𝑟) + 𝐵𝑙𝑚 𝑈̇𝑙 (𝑟)]𝑌𝑙𝑚 (𝑟) 𝑟 < 𝑅𝛼 (𝐼)

𝜙(𝑟) = { 𝟏 (II.42)
∑𝐺 𝐶𝐺 𝑒 𝑖(𝐺+𝐾)𝒓 𝑟 > 𝑅𝛼 (𝐼𝐼)
√Ω
Où 𝐴𝑙𝑚 : sont des coefficients correspondant à la fonction 𝑈𝑙 .
𝐵𝑙𝑚 : sont des coefficients correspondant à la fonction 𝑈̇𝑙 .
Les fonctions (FP-LAPW) sont des ondes planes uniquement dans les zones
interstitielles comme dans la méthode APW. Les fonctions radiales peuvent être
développées au voisinage de 𝐸𝑙 [22] comme suit :
𝑈𝑙 (𝐸, 𝑟) = 𝑈𝑙 (𝐸𝑙 , 𝑟) + (𝐸 − 𝐸𝑙 )𝑈̇𝑙 (𝐸𝑙 , 𝑟) + 𝑂((𝐸 − 𝐸𝑙 )2 ) (II.43)
Où 𝑂((𝐸 − 𝐸𝑙 )2 ) représente l’erreur quadratique énergétique.
Avec cette procédure la précision est moins bonne que celle de la méthode APW. Les
erreurs introduites dans le calcul de la fonction d’onde et de l’énergie, sont de
l’ordre(𝐸 − 𝐸𝑙 )2, (𝐸 − 𝐸𝑙 )4 respectivement.
Les fonctions LAPW forment une bonne base qui permet, avec un seul 𝐸𝑙 , d’obtenir
toutes les bandes de valence dans une grande région d’énergie. Lorsque cela n’est pas
possible, on peut généralement diviser en deux parties la fenêtre énergétique, ce qui est
une grande simplification par rapport à la méthode APW. En général, si est égale à zéro
à la surface de la sphère, sa dérivée 𝑈̇𝑙 sera différente de zéro. Par conséquent, le
45
problème de la continuité à la surface de la sphère MT ne se posera pas dans la méthode

FP-LAPW.
II.2.3. Les rôles des énergies de linéarisation (𝑬𝒍 )
𝑈𝑙 Et 𝑈̇𝑙 sont des fonctions orthogonales à n’importe quel état de cœur

strictement limité à la sphère MT. Mais cette condition n’est satisfaite que dans le cas
où il n’y a pas d’états de cœur avec le même 𝑙, et par conséquent, on prend le risque de
confondre les états de semi-cœur avec les états de valence. Ce problème n’est pas traité
par la méthode APW, alors que la non orthogonalité de quelques états de cœur dans la
méthode FP-LAPW exige un choix délicat de 𝐸𝑙 . Dans ce cas, on ne peut pas effectuer
le calcul sans modifier 𝐸𝑙 . La solution idéale dans de tels cas est d’utiliser un
développement en orbitales locales. Cependant, cette option n’est pas disponible dans
tous les programmes, et dans ce cas, on doit choisir un rayon de la sphère le plus grand
possible.
Finalement, il faut remarquer que les divers 𝐸𝑙 devraient être définis indépendamment
les uns des autres. Les bandes d’énergie ont des orbitales différentes. Pour un calcul
précis de la structure électronique, 𝐸𝑙 doit être choisi le plus proche possible de
l’énergie de la bande si la bande a le même 𝑙.
II.2.4. Représentation de la densité de charge et du potentiel
Dans la méthode des ondes planes augmentées linéarisées à potentiel total FP-
LAPW aucune approximation n’est faite pour la forme du potentiel ni de la densité de
charge. Ils sont développés en harmoniques de réseau à l’intérieur de chaque sphère
atomique, et en séries de Fourrier dans les régions interstitielles [26]. Dans la méthode
LAPW, le potentiel est à tous électrons (Full-Potential).
Cette méthode assure donc la continuité du potentiel à la surface de la sphère MT et le

développe sous la forme suivante :
∑𝑙𝑚 𝑉𝑙𝑚 (𝑟)𝑌𝑙𝑚 (𝑟) 𝑟 < 𝑅𝛼 (𝐼)

𝑉(𝑟) = { (II.44)
∑𝑘 𝑉𝑘 𝑒 𝑖𝑘𝑟 𝑟 > 𝑅𝛼 (𝐼𝐼)
46
Afin de simplifier la construction de la densité de charge et réduire la matrice de

l’hamiltonien ainsi le temps de calcul, l’utilisation des symétries du réseau est
nécessaire.
Les symétries utilisées sont :
- La densité à l’extérieur (la région interstitielle) possède la symétrie du groupe

d’espace.
- La densité à l’intérieur de la sphère possède la symétrie du site.
- La densité est une quantité réelle.
- La densité est identique à l’intérieur des atomes équivalents (atomes reliés par
l’opération de symétrie).
L’utilisation des symétries adaptées est nécessaire. Donc, on utilise des étoiles dans la
région interstitielle et les harmoniques du réseau à l’intérieur des sphères.
II.2.4.1. La construction des étoiles
L'étoile est formée d’un ensemble des vecteurs non équivalents. La définition
des étoiles 𝜙𝑠 [27], est donnée par :
1 1
𝜙𝑠 = 𝑁 ∑R 𝑒 iRG(r−tr ) = m ∑m 𝜑m 𝑒 iRm Gr (II.45)
op s
Où R : sont les composants de rotation des opérations du groupe spatial.
𝑁op : est le nombre des opérateurs du groupe d’espace.
ms : est le nombre des ondes planes dans l’étoile.
𝜑m : est le facteur de phase qui assure la symétrie totale du réseau pour chaque étoile.
Il est important de noter que :
- Les réseaux de haute symétrie possèdent plus d’étoiles que d’ondes planes.
- Toutes les composantes des étoiles ont le même G, par contre toutes les ondes
planes ayant le même G ne font pas partie forcément de la même étoile.
La condition d’orthogonalité des étoiles est présentée sous la forme suivante :
1 1
𝛀
∫ 𝜙𝑠∗ 𝜙𝑠′ d3 r = m δss′ (II.46)
s
47
Où 𝛀 : est le volume de la maille unitaire.
La boîte qui contient toutes les ondes planes jusqu’à la limite Gmax , est construite dans
le réseau réciproque.
L’utilisation des opérateurs du groupe d’espace, permet la construction des facteurs de

phase :
R
{ 𝑡 } r = Rr + t (II.47)
Et de l’équation (II.37) on obtient :
m
𝜑m = 𝑁 𝑠 ∑𝑅∈m 𝑒 −iRGt (II.48)
op
Où la somme est sur les opérations du groupe d’espace qui transforme G en RG.
La construction des étoiles est représentée sur la figure II.2.2.
Figure II.2.2 : Construction des étoiles.
II.2.4.2. La construction des harmoniques du réseau
Les harmoniques du réseau 𝐾𝑣,α sont de symétrie sphérique, elles sont utilisées à
l’intérieur des sphères. Néanmoins, les harmoniques du réseau sont référenciées au
centre de la sphère traitée du fait qu’elles sont construites en utilisant la symétrie des
sites. Elles sont données par :
α
𝐾𝑣,α (r − R α ) = ∑𝑚 C𝑣,𝑚 Y𝑙𝑚 (r − R α ) (II.49)
48
R α : est la position du centre de l’atome α.
α
Pour déterminer les coefficients C𝑣,𝑚 , Il faut que les harmoniques du réseau soient
réelles et invariantes sous les opérations de rotation correspondantes au site considéré,
en plus il faut qu’elles soient orthogonales.
Les 𝐾𝑣 sont construites à partir de la matrice de rotation suivante :
𝐷(𝑅) = (−1)𝑙𝑝 𝐷(𝛼, 𝛽, 𝛾) (II.50)
Où 𝛼, 𝛽, 𝛾 : sont les angles d’Euler.
𝑝 : Est le déterminant de 𝑅 qui peut prendre une des deux valeurs ∓1.
L’harmonique du réseau (l=0) est toujours présente, et elle a un seul coefficient. Si la

densité de charge et le potentiel sont presque sphériques (à l’intérieur de la sphère), et
les composantes (l≠0) sont négligées, à ce moment, la composante sphérique peut être
calculée séparément.
Les éléments de la matrice 𝐷(𝛼, 𝛽, 𝛾) sont donnés par :
′
𝐷𝑚𝑚′ (𝛼, 𝛽, 𝛾) = 𝑒 −𝑖𝑚𝛼 d𝑚𝑚′ (𝐵)𝑒 −i𝑚 γ (II.51)
Avec :
1/2
[(𝑙+𝑚)!(𝑙−𝑚)!(𝑙+𝑚′ )!(1−𝑚′ )!] 𝐵 𝑎 𝐵 𝑏
d𝑚𝑚′ (𝐵) = ∑𝑡(−1)𝑡 (1+𝑚−𝑡)!(l−𝑚′ −𝑡)!(𝑡+𝑚′ −𝑚)!
[cos 2 ] [sin 2 ] (II.52)
Où 𝑎 = 2𝑙 + 𝑚 − 𝑚′ − 2𝑡 Et 𝑏 = 2𝑡 + 𝑚′ − 𝑚
La sommation sur t est limitée aux arguments non négatifs des factoriels dans le
dénominateur.
Afin d’obtenir les harmoniques sphériques du réseau, on applique les rotations aux
harmoniques sphérique réelles, et on somme sur tous les R.
𝑀 ∑𝑅[𝐷𝑚𝑀 (𝑅) + (−1)𝑀 𝐷𝑚−𝑀 (𝑅)] 𝑀≥0

𝐶𝑚 ={ (II.53)
∑𝑅 i[𝐷𝑚−𝑀 (𝑅) − (−1)𝑀 𝐷𝑚𝑀 (𝑅)] 𝑀<0
M
Les Cm sont les coefficients de Gramm-Schmidt, et qui ont une norme nulle.
49
Les densités de charge sphériques sont développées en harmoniques de réseau dans une
maille radiale 𝑟𝑖 qui est la même que celle des fonctions d’ondes. Une présentation
exacte nécessite un nombre suffisant d’harmoniques sphériques et une maille radiale
suffisamment dense. Pratiquement on utilise la maille logarithmique.
𝑟𝑖+1 = 𝑟𝑗 𝑒 𝛿𝑥 = 𝑟𝑖 𝑒 𝛿𝑥 (II.54)
Avec le dernier point de maille 𝑟𝑖𝑚 = 𝑅𝛼 (II.55)
L’utilisation de cette maille logarithmique est particulièrement pratique pour

l’intégration et les solutions numériques des équations différentielles.
Figure II.2.3 : La construction des harmoniques du réseau.
II.2.5. La construction des fonctions radiales
La méthode FP-LAPW utilise comme base des fonctions radiales à l’intérieur

des sphères MT et leurs dérivées et des ondes planes dans la région interstitielle. La
construction des fonctions de base de cette méthode se fait en deux étapes essentielles :
1. La détermination des fonctions radiales 𝑈𝑙𝑚 (𝑟) et 𝑈̇𝑙𝑚 (𝑟).

2. La détermination des coefficients 𝐴𝑙𝑚 et 𝐵𝑙𝑚 .
Il excite deux types de fonctions radiales, les fonctions radiales non relativistes et les
fonctions radiales relativistes.
50
II.2.5.1. Les fonctions radiales non relativistes
Les fonctions radiales 𝑈𝑙 (𝑟) non relativistes sont les solutions de l’équation radiale de
Schrödinger avec un potentiel sphérique à l’énergie linéaire 𝐸𝑙 . On a :
𝑑2 𝑙(𝑙+1)
{− 𝑑𝑟 2 + + 𝑉(𝒓) − 𝐸𝑙 } 𝑟𝑈𝑙 (𝑟) = 0 (II.56)
𝑟2
Où
Où 𝑉(𝒓) : Est la partie radiale du potentiel dans la sphère MT pour 𝑙 = 0 . En

appliquant la condition aux limites 𝑟𝑈𝑙 (0) = 0 , La dérivée de l’équation (II.56) par
rapport à l’énergie 𝐸𝑙 est :
𝑑2 𝑙(𝑙+1)
{− 𝑑𝑟 2 + + 𝑉(𝒓) − 𝐸𝑙 } 𝑟𝑈̇𝑙 (𝑟) = 𝑟𝑈𝑙 (𝑟) (II.57)
𝑟2
Il est nécessaire que les solutions radiales doivent être normalisées à l’intérieur des
sphères MT :
𝑅
∫0 [𝑟𝑈𝑙 (𝑟)]2 𝑑𝑟 = 1
𝛼
(II.58)
𝑈𝑙 Est une solution de l’équation inhomogène (II.57) de la forme :
ℎ𝑙 𝑈̇𝑙 − 𝐸𝑈̇𝑙 = 𝑈𝑙 (II.59)
𝑈𝑙 (𝑟) Et sa dérivée 𝑈̇𝑙 (𝑟) sont orthogonales, nous donne :
𝑅𝛼
∫0 𝑟 2 𝑈𝑙 (𝑟)𝑈̇𝑙 (𝑟)𝑑𝑟 = 0 (II.60)
La fonction 𝑈̇𝑙 (𝑟) est normalisée :
𝑅 2
𝑁𝑙 = ∫0 𝛼[𝑟𝑈̇𝑙 (𝑟)] 𝑑𝑟 = 1 (II.61)
Cette condition de normalisation peut être remplacée par l’équation suivante :
𝑅𝛼2 [𝑈𝑙′ (𝑅𝛼 )𝑈̇𝑙 (𝑅𝛼 ) − 𝑈𝑙 (𝑅𝛼 )𝑈̇𝑙′ (𝑅𝛼 )] = 1 (II.62)
Avec
𝜕𝑈𝑙 (𝐸,𝑟)
𝑈𝑙′ (𝐸, 𝑟) ≡ ( 𝜕𝑟
) (II.63)
51
𝜕𝑈 (𝐸,𝑟)
𝑈̇𝑙 (𝐸, 𝑟) ≡ ( 𝑙 ) (II.64)
𝜕𝑟
Cette équation sert à déterminer les fonctions 𝑈𝑙 (𝑟) et 𝑈̇𝑙 (𝑟) numériquement. Avec cette
normalisation la fonction 𝑈𝑙 peut être développée sous la forme :
𝑈𝑙 (𝐸 + 𝛿) = 𝑈𝑙 (𝐸) + 𝛿𝑈̇𝑙 (𝐸) + ⋯ (II.65)
Avec le choix de la norme de 𝑈̇𝑙 qui est ‖𝑈̇𝑙 ‖ , permet une indication sur l’intervalle où
la linéarisation de l’énergie sera une bonne et raisonnable approximation. Les erreurs de
linéarisation sont acceptables quand :
‖𝑈̇𝑙 ‖|𝐸𝑙 − 𝜀| ≤ 1 (II.66)
Où 𝐸𝑙 : est le paramètre d’énergie et 𝜀 l’énergie des bandes.
Si un tel choix n’est pas possible, de nombreuses options sont disponibles :
a) Diviser l’intervalle d’énergie en fenêtres, et on les traites séparément.

b) Utiliser un développement des orbitales locales (la méthode quadratique).
c) Réduire la taille de la sphère, donc, on réduit la norme𝑈̇𝑙 (𝑟).
II.2.5.2. Les fonctions radiales relativistes
Les effets relativistes sont pris en compte à l’intérieur de la sphère muffin-tin et

sont négligés dans la région interstitielle [28] Dans la méthode FP-LAPW, puisque les
corrections relativistes sont importantes uniquement lorsque la vitesse de l’électron est
du même ordre de grandeur que la vitesse de la lumière, et dans la région interstitielle la
vitesse de l’électron est limitée par le cutoff dans l’espace 𝐾. Donc les modifications
sont introduites seulement dans les sphères MT, et par conséquent les fonctions radiales
sont les composantes de l’Hamiltonien correspondant.
La modification relativiste consiste à remplacer les équations (II.57) et (II.58) par les
équations de Dirac et leurs dérivées par rapport à l’énergie.
La solution de l’équation de Dirac est écrite comme suit:
g 𝑘 𝜒𝑘𝜇
𝜓𝑘𝜇 = [−𝑖𝑓 𝜎 𝜒 ] (II.67)
𝑘 𝑟 𝑘𝜇
Où 𝑘 : Le nombre quantique relativiste.
52
𝜒𝑘𝜇 : représente les deux composantes spin-orbite.
Les fonctions g 𝑘 et 𝑓𝑘 doivent satisfaire les équations radiales suivantes :
𝑑𝑓𝑘 1 𝑘−1
≡ 𝑓𝑘′ = 𝑐 (𝑉 − 𝐸)g 𝑘 + ( ) 𝑓𝑘 (II.68)
𝑑𝑟 𝑟
𝑑g𝑘 (𝑘+1)
≡ g ′𝑘 = − g 𝑘 + 2𝑀𝑐𝑓𝑘 (II.69)
𝑑𝑟 𝑟
Avec
1
𝑀 = 𝑚 + 2𝑐 2 (𝐸 − 𝑉) (II.70)
Où g ′ : est la dérivée radiale de g.
𝑚 Et 𝑐, la masse et la vitesse de la lumière.
Koelling et Harmon [29] ont utilisé une nouvelle fonction :
1
𝜙𝑘 = 2𝑀𝑐 g ′𝑘 (II.71)
A l’énergie 𝐸 , en négligeant le terme spin-orbite, la solution est réécrite avec les

nombres quantiques 𝑙 et 𝑚 comme:
g 𝑙 𝑌𝑙𝑚 𝜒𝑠
𝜓𝑙𝑚𝑠 = [ i 1 ] (II.72)
𝜎 (−g1′ + 𝑟 g 𝑙 𝜎. 𝐿) 𝑌𝑙𝑚 𝜒𝑠
2𝑀𝑐 𝑟
Où 𝜒𝑠 : est l'opérateur de spin non relativiste (spin-haut, spin-bas).
En posant 𝑃𝑙 = 𝑟g 𝑙 et 𝑄𝑙 = 𝑟𝑐𝜙𝑙 , les équations scalaires relativistes deviennent:
1
𝑃𝑙′ = 2𝑀𝑄𝑙 + 𝑟 𝑃𝑙 (II.73)
Et
1 𝑙(𝑙+1)
𝑄𝑙′ = − 𝑟 𝑄𝑙 + [ 2𝑀𝑟 2 + (𝑉 − 𝐸𝑙 )] 𝑃𝑙 (II.74)
Ces dernières équations peuvent être résolues numériquement de la même façon que
l’équation de Schrödinger non-relativiste, avec la condition aux limites:
1/2
𝑄 [𝑙(𝑙+1)+1−(2𝑍/𝑐)2 ] −1
lim 𝑃 = 𝑐 (II.75)
𝑟→0 (2𝑍/𝑐)
53
𝑉′
Le terme de l’interaction spin-orbite − ( ) (𝑘 + 1)𝑃 doit être ajouté à l’équation
4𝑀2 𝑐 2
(II.74). La dérivée par rapport à l’énergie mène à des équations semblables à celles du
cas non relativiste :
1
𝑃𝑙̇ ′ = 2(𝑀̇𝑄𝑙 + 𝑀𝑄̇𝑙 ) + 𝑟 𝑃̇𝑙 (II.75)
1 𝑙(𝑙+1) 𝑙(𝑙+1)𝑀̇
𝑄̇𝑙′ = − 𝑟 𝑄̇𝑙 + [ 2𝑀𝑟 2 + (𝑉 − 𝐸𝑙 )] 𝑃𝑙̇ − [ 2𝑀2 𝑟 2 + 1] 𝑃𝑙 (II.76)
g 𝑙 Et 𝑓𝑙 sont les composantes, peuvent être déterminées en utilisant les définitions

de 𝑃𝑙 , 𝑄𝑙 et 𝜙𝑙 . Les deux composantes vont être utilisées dans la construction de la
densité de charge ou dans l’évaluation des éléments de matrice. Donc la quantité qui
remplace 𝑈 2 dans l’équation (II.58), est g 2 + 𝑓 2 .
II.2.5.3. Détermination des coefficients 𝑨𝒍𝒎 et 𝑩𝒍𝒎
Les fonctions de base de la méthode LAPW sont construites de façon qu’elles

soient continues aux limites des sphères MT ainsi que leurs dérivées premières. Ceci
permet de déterminer les coefficients 𝐴𝑙𝑚 et 𝐵𝑙𝑚 pour chaque onde plane et pour
chaque atome. Pour atteindre ce but, on utilise :
- La valeur et la dérivée radiale de la décomposition du moment angulaire des

ondes planes.
- La valeur et la dérivée radiale des fonctions 𝑈𝑙 et 𝑈̇𝑙 à la limite de la sphère
𝑟 = 𝑅𝛼 .
Les fonctions de base s’écrivent sous la forme :
 Dans la région interstitielle :
1
𝜙(𝑘𝑛 ) = exp(𝑖𝑘𝑛 . 𝑟) (II.77)
√𝛀
Où 𝛀 est le volume de la cellule élémentaire, 𝑘 est le vecteur d’onde et 𝐾𝑛 est un

vecteur du réseau réciproque. Avec : 𝑘𝑛 = 𝑘 + 𝐾𝑛 .
 Dans la région sphérique :
𝜙(𝑘𝑛 ) = ∑𝑙𝑚[𝐴𝑙𝑚 𝑈𝑙 (𝐸𝑙 ) + 𝐵𝑙𝑚 𝑈̇𝑙 (𝐸𝑙 )]𝑌𝑙𝑚 (𝑟) (II.78)
54
La condition aux limites à la surface de la sphère MT permet d’utiliser un

développement en ondes planes de Rayleigh.
4𝜋 ∗ (𝐾 )𝑌
𝜙(𝑘𝑛 , 𝑅𝛼 ) = ∑𝑙𝑚 𝑖 𝑙 𝑗𝑙 (𝐾𝑛 , 𝑅𝛼 )𝑌𝑙𝑚 𝑛 𝑙𝑚 (𝑅𝛼 ) (II.79)
√𝛀
En tenant compte de la continuité du moment angulaire, on obtient :
4𝜋 ∗
𝐴𝑙𝑚 (𝑘𝑛 ) = 𝑅𝛼2 𝑖 𝑙 𝑌𝑙𝑚 (𝑘𝑛 ) ∙ 𝑎𝑙 (𝑘𝑛 ) (II.80)
√𝛀
Où
𝑑 𝑑𝑈̇𝑙
𝑈̇( )𝑗𝑙 (𝑘𝑛 𝑅𝛼 )−( )𝑗 (𝑘 𝑅 )
𝑑𝑟 𝑙 𝑛 𝛼
𝑎𝑙 (𝑘𝑛 ) = 𝑑𝑟
𝑑𝑈 ̇ (II.81)
2 [( 𝑙 )𝑈̇ −𝑈 (𝑑𝑈𝑙 )]
𝑅𝛼 𝑙 𝑙 𝑑𝑟
𝑑𝑟
Et
4𝜋 ∗
𝐵𝑙𝑚 (𝑘𝑛 ) = 𝑅𝛼2 𝑖 𝑙 𝑌𝑙𝑚 (𝑘𝑛 ) ∙ 𝑏𝑙 (𝑘𝑛 ) (II.82)
√𝛀
Où
𝑑𝑈𝑙 𝑑
( )𝑗𝑙 (𝑘𝑛 𝑅𝛼 )−𝑈𝑙 ( )𝑗𝑙 (𝑘𝑛 𝑅𝛼 )
𝑏𝑙 (𝑘𝑛 ) = 𝑑𝑟 𝑑𝑟
̇ (II.83)
𝑅𝛼2 [(𝑑𝑈𝑙 )𝑈̇ −𝑈 (𝑑𝑈𝑙 )]
𝑑𝑟 𝑙 𝑙 𝑑𝑟
Et compte tenu de l’équation (II.62), les équations (II.80, II.81, II.82 et II.83)
deviennent :
4𝜋 ∗
𝐴𝑙𝑚 (𝑘𝑛 ) = 𝑅𝛼2 𝑖 𝑙 𝑌𝑙𝑚 (𝑘𝑛 ) ∙ 𝑎𝑙 (𝑘𝑛 ) (II.84)
√𝛀
𝑎𝑙 (𝑘𝑛 ) = [𝑈̇𝑙 𝑗𝑙′ (𝑛) − 𝑈̇𝑙′ 𝑗𝑙 (𝑛)] (II.85)
4𝜋 ∗
𝐵𝑙𝑚 (𝑘𝑛 ) = 𝑅𝛼2 𝑖 𝑙 𝑌𝑙𝑚 (𝑘𝑛 ) ∙ 𝑏𝑙 (𝑘𝑛 ) (II.86)
√𝛀
𝑏𝑙 (𝑘𝑛 ) = [𝑈𝑙′ 𝑗𝑙 (𝑛) − 𝑈𝑙 𝑗𝑙′ (𝑛)] (II.87)
Où 𝑗𝑙 (𝑘𝑛 , 𝑅𝛼 )est remplacé par 𝑗𝑙 (𝑛).
Contrairement au formalisme de la méthode APW standard, ou l’énergie 𝐸𝑙 est

constante, et cette procédure dans la méthode LAPW a permis de choisir des valeurs
différentes du paramètre 𝐸𝑙 suivant la valeur du moment angulaire, elle a ainsi éliminé
le problème de l’asymptote qui apparait dans la méthode APW.
55
II.2.6. Détermination des potentiels
Kohn et Sham ont utilisé un potentiel composé d’un terme d’échange et de

corrélation, et un autre coulombien 𝑉𝑐 (𝑟).
II.2.6.1. La résolution de l’équation de poisson
𝑉𝑐 (𝑟) C’est Le potentiel coulombien qui est la somme du potentiel de Hartree et

du potentiel nucléaire. Ce potentiel est déterminé par l’équation de poisson à partir de la
densité de charge comme suit :
∇2 𝑉𝑐 (𝑟) = 4𝜋𝜌(𝑟) (II.88)
La résolution de cette équation se fait avec la méthode dite de la Pseudo-charge

proposée par Hamann [30] et Weinert [31] (la procédure est illustrée sur la figure II.2.4,
elle est basée sur deux observations :
- La densité de charge est continue, elle varie lentement dans la région

interstitielle par contre elle varié rapidement dans la région sphérique.
- Le potentiel coulombien dans la région interstitielle dépend à la fois de la charge
interstitielle et du multi-pôle de la charge à l’intérieur de la sphère.
La densité de charge dans la région interstitielle est développée en série de Fourier.
𝜌(𝑟) = ∑𝐺 𝜌(𝐺)𝑒 𝑖𝐺.𝑟 (II.89)
Les ondes planes 𝑒 𝑖𝐺.𝑟 sont exprimées en termes de fonctions de Bessel 𝑗𝑙 .
𝑅 𝑙+3 𝑗𝑙 (𝐺𝑟)
𝑅 𝐺≠0
∫0 𝑟 𝑙+2 𝑗𝑙 (𝐺𝑟)𝑑𝑟 ={ 𝐺𝑟 (II.90)
𝑅 3 𝜎𝑙,0 𝐺=0
∗ (𝐺)𝑌
𝑒 𝑖𝐺𝑟 = 4𝜋𝑒 𝑖𝐺.𝑟𝛼 ∑𝑙𝑚 𝑖 𝑙 𝑗𝑙 (|𝐺||𝑟 − 𝑟𝛼 |)𝑌𝑙𝑚 𝑙𝑚 (𝑟 − 𝑟𝛼 ) (II.91)
Où 𝑟 : est la coordonnée radiale.
𝑟𝛼 : La position de la sphère 𝛼 de rayon 𝑅𝛼 .
Le potentiel coulombien 𝑉𝑐 (𝐺) est donné par :
4𝜋𝜌(𝐺)
𝑉𝑐 (𝐺) = (II.92)
𝐺2
56
Le potentiel interstitiel 𝑉𝑃𝑊 est donné par :
𝑃𝑊
𝑉𝑃𝑊 = ∑𝑙𝑚 𝑉𝑙𝑚 (𝑟)𝑌𝑙𝑚 (𝑟) = ∑𝑉 𝑉𝜈𝑃𝑊 (𝑟)𝐾𝜈 (𝑟) (II.93)
Où 𝑉𝑃𝑊 : le potentiel interstitiel.
Soit :
𝐾𝜈 (𝑟) = ∑𝑚 𝐶𝜈𝑚 𝑌𝑙𝑚 (𝑟) (II.94)
𝐾𝜈 (𝑟) : Sont les harmoniques sphériques symétriques (les harmoniques du réseau).
Donc :
𝑃𝑊
𝑉𝜈𝑃𝑊 (𝑟) = ∑𝑙𝑚 𝐶𝜈𝑚 𝑉𝑙𝑚 (𝑟) (II.95)
On détermine le potentiel à l’intérieur de la sphère MT par l’utilisation de la fonction de

Green.
𝑟 𝑙 4𝜋 1 𝑟 𝑅
𝑉𝜈(𝑟) = 𝑉𝜈𝑃𝑊 (𝑟) [𝑅] + 2𝑙+1 {𝑟 𝑙+1 ∫0 𝑑𝑟 ′ 𝑟 ′ 𝑙+2 𝜌𝜈 (𝑟 ′ ) + 𝑟 𝑙 ∫0 𝑑𝑟 ′ 𝑟 ′ 𝑙−1 𝜌𝜈 (𝑟 ′ ) −
𝑟𝑙 𝑅𝑟
∫ 𝑑𝑟 ′ 𝑟 ′ 𝑙+2 𝜌𝜈 (𝑟 ′ )}
𝑅 2𝑙+1 0
(II.96)
Où 𝜌𝜈 (𝑟) : sont les parties radiales de la densité de charge.
Figure II.2.4 : La résolution de l’équation de poisson par la méthode de la pseudo-

charge.
57
II.2.6.2. Potentiel d’échange et de corrélation
Le potentiel d’échange et de corrélation traité par l’approximation de la densité

locale (LDA) ou l’approximation du gradient généralisé (GGA) est non linéaire, de ce
fait, il doit être calculé dans l’espace réel où il est linéaire et heureusement diagonal. Le
problème donc consiste à transformer la densité de charge dans l’espace réel, ce qui
permet le calcul de 𝑉𝑒𝑓𝑓 qui contient le potentiel d’échange et de corrélation 𝑉𝑥𝑐 , puis on
le transforme à nouveau dans la représentation LAPW (la procédure est illustrée sur la
figure II.2.5.
La procédure qui doit être appliquée dans la région interstitielle consiste à utiliser
la transformée de Fourier [32,33] pour obtenir directement la charge interstitielle dans
l’espace réel.
Les coefficients des ondes planes sont construits à partir de la représentation en

étoile de la charge interstitielle. Ensuite une transformation de Fourier rapide 𝐹𝐹𝑇 est
utilisée pour transformer ces valeurs dans la grille de l’espace réel. Le potentiel
d’échange et de corrélation 𝑉𝑥𝑐 est calculé à chaque point de la maille. La transformée
de Fourier rapide est utilisée par la suite pour transformer 𝑉𝑥𝑐 de l’espace réel à la
représentation d’onde, à partir de laquelle les coefficients des étoiles sont obtenus.
Une procédure similaire est utilisée à l’intérieur de la sphère, sauf que les
transformations sont différentes à cause des différentes représentations de 𝜌. Puisque la
variation radiale est déjà sur la maille de l’espace réel et les transformations ne sont pas
nécessaires pour ces coordonnées, alors le potentiel d’échange et de corrélation 𝑉𝑥𝑐 peut
être calculé séparément pour chaque valeur de la grille radiale. Ainsi, les
transformations sont intervenues entre la représentation en harmoniques du réseau et la
maille de l’espace réel.
58
Figure II.2.5 : Calcul du potentiel d’échange et de corrélation.
59
Références
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[33] A. D. McLaren, “Optimal Numerical Integration on a Sphere”, Math.Comp., 17
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61
Chapitre III
Résultats et discussions
Chapitre III Résultats et discussions
III.1. Introduction
En 1903, Fritz Heusler [1], a découvert les alliages Heusler, lequel a mis en
évidence le caractère ferromagnétique d’un alliage sans constituants magnétique
Cu2 MnAl [2,3]. Ce sont des alliages ternaires semi-conducteurs ou métalliques. Selon
leur composition chimique. Les alliages Heusler se divise en deux catégories qui
diffèrent par leurs stœchiométries: les Full Heusler et les Half(semi)-Heusler. D’une
composition à l’autre les matériaux Heusler présentent des spectres d’application très
variés. Parmi lesquels nous pouvons citer, la supraconductivité [4, 5], les isolants
topologiques [6, 7], les propriétés magnétiques [8] tel que la magnéto-optique,
magnétocalorique et magnétoélectrique et bien évidemment les propriétés
thermoélectrique [9].
III.1.1. Structure cristalline Des alliages full-Heusler
Les alliages full-Heusler sont caractérisés par la stœchiométrie 2:1:1 avec la forme
X2 YZ et la maille conventionnelle cubique dans la structure 𝐿21 , où les atomes X et Y
sont des métaux de transition, pendant que le Z est un semi-conducteur ou un métal non
magnétique dans le groupe d’espace 𝐹𝑚3̅𝑚(n°225). La structure L21 consiste de quatre
1 1 1
atomes dont l’occupation des sites est la suivant : (0,0,0) et (2 , 2 , 2) pour X ,
1 1 1 3 3 3
et(4 , 4 , 4), et (4 , 4 , 4) pour Y et Z respectivement. La structure de ce type est illustrée
dans la figure (III.1).
Figure III.1 : Structure cristalline des alliages full-Heusler 𝑋2 𝑌𝑍.
62
III .1.2 Structure cristalline des alliages semi-Heusler
Les alliages semi-Heusler Ce sont des alliages ternaires de stœchiométrie 1:1:1

avec la formule XYZ dans la structure 𝐶𝑙𝑏 qui est cubique à face centré (cfc) dans le
groupe d’espace 𝐹4̅3𝑚 (n°216). La structure 𝐶𝑙𝑏 consiste de trois atomes dont
1 1 1 1 1 1
l’occupation des sites est la suivant : (0,0,0) pour X , et(4 , 4 , 4), et (2 , 2 , 2) pour Y et Z
respectivement. Cette structure peut être vue comme quatre réseaux cubiques face-
centrées s’interpénétrant, avec un des sous réseaux vide. La structure de ce type est
illustrée dans la figure (III.2).
Figure III.2 : Structure cristalline des alliages half-Heusler XYZ.
Nous sommes intéressés par la catégorie Half-Heusler avec le composé TaIrSn qui sera
étudié dans ce travail.
III.2. Détail de calcul
Dans ce travail, les calculs sont effectués en utilisant la méthode ondes planes
augmentées linéarisées (FP-LAPW) [10-11], basée sur la théorie de la fonctionnelle de
la densité (DFT) [12,13], décrite dans le deuxième chapitre, comme elle est
implémentée dans le code Wien2k [14]. Pour déterminer le potentiel d’échange et
corrélation nous avons utilisé l’approximation du gradient généralisé (GGA), paramété
par Perdew,Berke et Erenzehof [15].
Nous nous sommes intéressés à l’étude des propriétés électroniques, structurelles

et thermoélectriques du matériau half-Heusler TaIrSn dopés par un élément de transition
63
(Rh) sous la forme TaIr1−x Rhx Sn avec différentes concentrations x=

(0.25,0.5 et 0.75).
Les Configurations électroniques de valence des atomes constituant les alliages Half-
heusler étudiées sont :
Ta : [Xe] 4𝑓 14 5𝑑3 6𝑠 2
Ir : [Xe] 4𝑓 14 5𝑑7 6𝑠 2
Sn :[Kr] 4𝑑10 5𝑠 2 5𝑝2
Rh : [Kr] 4𝑑8 5𝑠1
III.3. Test de convergence
Avant d’entreprendre les calculs sur les propriétés structurales de TaIrSn, des
tests de convergence sur le nombre de points K et de RKmax doivent être effectués.
Pour obtenir les bonnes valeurs du paramètre RKmax et le nombre de point K assurant la
convergence de l’énergie totale du système. La procédure de calcul est effectuée de la
manière suivante : on a fixé la valeur de RKmax égale à 7 et on varie les valeurs de
points K allant de 100 à 1500 points. Pour chacune de ces valeurs on calcule l’énergie
totale. La figure (III.3) représente la variation de l’énergie totale en fonction de NKpoint
de TaIrSn.
D’après cette figure on remarque que l’énergie totale converge dans les limites d’une
grille de 10 × 10 × 10 points K.
Figure III.3 : la variation de l’énergie totale en fonction de NKpoint de TaIrSn.
64
Après la détermination du nombre de points K, on fixe cette dernière à la valeur de

10 × 10 × 10 et on varier RKmax de 6 à 10 avec un pas de 0.5. Pour chacune de ces
valeurs on calcule l’énergie totale et on trace la courbe de sa variation en fonction des
valeurs de RKmax. Les résultats illustrés par la figure (III.4) montrent que l'énergie
diminue proportionnellement avec le RKmax et converge dans les limites de 8.
Figure III.4 : la variation de l’énergie totale en fonction de RKmax de TaIrSn.
Les paramètres utilisés pour le calcul de propriété sont donnés dans le tableau suivant :
Tableau III.1 : Paramètre constitutifs utilisées par la méthode FP-LAPW pour TaIrSn.
Matériau R MT NKpoint RKmax

Ta 2.5
TaIrSn Ir 2.5 10 × 10 × 10 8
Sn 2.38
III.4. Propriétés structurales
Dans nos calculs, l’optimisation de TaIrSn est effectuée en calculant l’énergie

totale en fonction du volume V, donc on varie le volume afin d’obtenir une courbe 𝐸 =
𝑓(𝑣).
65
Pour déterminer le paramètre de réseau à l’équilibre et les valeurs du module de

compressibilité et de sa dérivée par rapport à la pression, la courbe obtenue de l’énergie
totale en fonction du volume ont été ajustées par l’équation de Birch-Murnaghan.
2/3 3 2/3 2 2/3

9𝑉0 𝐵0 𝑉 𝑉 𝑉
𝐸(𝑉) = 𝐸0 + {[( 𝑉0 ) − 1] 𝐵0′ + [( 𝑉0 ) − 1] [6 − 4 ( 𝑉0 ) ]} (III.1)
16
Où 𝐸(𝑉) : représente l’énergie de l’état fondamental avec
𝑉 : Volume de la maille.
𝑉0 : Volume de la maille unité à une pression nulle.
𝐵0 : Est le module de compressibilité.
𝐵0′ : Est la dérivée du module de compressibilité par rapport à la pression.
Le volume 𝑉0 et l’énergie 𝐸0 sont donnés par le minimum de la courbe 𝐸𝑡𝑜𝑡 (𝑉) et le

module de compressibilité 𝐵0 est déterminé par la courbure à 𝑉0.
La mesure du module de compression nous permet de connaître la rigidité du cristal,

c’est-à-dire l’énergie requise pour produire une déformation du cristal ; plus ce module
est grand, plus ce cristal est rigide. Le module de compression 𝐵 est déterminé par :
𝜕2 𝐸
𝐵 = 𝑉 (𝜕𝑉 2 ) (III.2)
La dérivée du module de compression 𝐵0′ est déterminée à partir de l’équation

suivante :
𝜕𝐵
𝐵0′ = ( 𝜕𝑃0 ) (III.3)
Le paramètre du réseau à l’équilibre est donné par le minimum de la courbe E(V).
Dans les figures III.5 et III.6 on présente la variation de l’énergie totale en fonction du
volume pour TaIrSn et TaRhSn respectivement.
66
Figure III.5 : la variation de l’énergie totale en fonction de volume de TaIrSn.
Figure 6 : La variation de l’énergie totale en fonction de volume de TaRhSn.
Les résultats obtenus pour la valeur du paramètre de réseau, les valeurs du module de
compressibilité et sa dérivée première de deux composées sont donnés dans le tableau
III.2, comparées aux valeurs expérimentales et théoriques.
67
Tableau III.2 : les propriétés structurales de TaIrSn et TaRhSn. Paramètre du réseau

𝑎(Å), le module de compression B(GPa) et la dérivée 𝐵 ′ .
Composé
TaIrSn TaRhSn
Nos Expérimentale Autre Nos Expérimentale Autre

calculs calculs calculs calculs
𝑎(Å) 6.23 6.17a 6.25b 6.19 _ 6.20c
B(GPa) 182.46 _ 175.50b 165.1557 _ 154.6c
𝐵′ 4.45 _ 4.45b 4.5308 _ 4.67c
a : Réf [16], b : Réf [17], c : Réf [18].
Par comparaison avec les résultats expérimentaux et les travaux théorique

disponible, nous notons que nos calculs surestiment légèrement les constantes de réseau
d’environ 0.96% et 0.16% pour TaIrSn et TaRhSn respectivement.
III.5. Propriétés électroniques
III.5.1. Structure de bandes d’énergie
Les bandes d’énergie donnent les énergies possibles d’un électron en fonction du
vecteur d’onde. Ces bandes sont donc représentées dans l’espace réciproque, et pour
simplifier, seules les lignes de plus haute symétrie dans la première zone de Brillouin
sont traitées :
2𝜋 1 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 1
𝑊= (0, 2 , 1), 𝐿 = (1,1,1), 𝛤 = (0,0,0), 𝑋 = (1,0,0), 𝐾 = (1, 2 , 0)
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Pour les semi-conducteurs le spectre est caractérisé par la présence de bandes de

valence et de conduction dont la plus haute et la plus basse de celles-ci sont
respectivement séparées par une bande interdite ou gap.
68
Figure III.7: la structure de bandes de TaIrSn.
Les figures III.7 et III.8 représentent la structure de bandes des composés TaIrSn et
TaRhSn. On a utilisé les paramètres structuraux optimisées pour effectuer les calcules
Nous observons que les bandes de valence sont peu dispersives suggérant des masses
effectives des trous élevées.
D’après la figure III.7 on observe que le maximum de la bande de valence (VBM) est
situé au point L, par contre le minimum de la bande de conduction (CBM) est situé au
point X, ce qui entraîne une transition de bande d’énergie interdite indirecte (L-X),
c'est-à-dire gap indirect. Les valeurs que nous avons trouvées pour le gap d’énergie pour
Notre calcul : 0.84 eV, Expérimentalement : 2.4 eV et pour Autre calculs:1.14 eV.
69
Figure III.8: la structure de bandes de TaRhSn.
Selon la figure III.8 on observe que le maximum de la bande de valence (VBM) est
situé au point Γ, par contre le minimum de la bande de conduction (CBM) est situé au
point X, ce qui entraîne une transition de bande d’énergie interdite indirecte (Γ-X),
c'est-à-dire gap indirect. Les valeurs que nous avons trouvées pour le gap d’énergie pour
notre calcul : 1.032 eV et pour Autre calculs: 1.25 eV.
On constate que les valeurs que nous avons trouvées pour les gaps d’énergie sont sous-
estimées par rapport à celles trouvées expérimentalement. L’approximation GGA
généralement sous-estime le gap d’énergie. Ceci revient principalement parce qu’elles
ont des formes simples qui ne sont pas suffisamment flexibles pour obtenir la forme
exacte du potentiel d’échange et corrélation.
70
Figure III.9 : première zone de Brillouin de la maille cfc avec les points de haute
symétrie.
III.5.2. Les densités d’états (DOS)
La densité d’états électronique est une grandeur essentielle pour estimer la

distribution d’énergie d’électron dans les bandes de valence et de conduction.
Pour déterminer la nature de la structure électronique de bandes, nous avons calculé la
densité d’états (DOS) totale et partielle de TaIrSn. La figure III.10 illustre les densités
d’états totales et partielles de ce composé.
Figure III.10: les densités d’états électroniques totales et partielles du composé

TaIrSn.
71
Au dessous du niveau de Fermi on distingue les régions :
 La région [-5.5, -4.5] est dominée par les états d de l’atome Ir, avec une
hybridation des états p et s.
 La région [-4.5, -2] est principalement dominée par la contribution de l’état d de
l’atome Ir, avec une petite contribution des états p de l’atome Sn.
 La région [-2, 0] est prédominée par les états d de l’atome Ta, avec une légère
contribution des états p des atomes Ir et Sn.
Au dessus du niveau de Fermi la composante dominante est l’état d de l’atome Ta, avec
une légère contribution des états s et p de l’atome Sn.
Nous observons la DOS autour de EF est dominée principalement par la contribution

des états d. La figure III.11 représente la densité d’état totale des composés TaIrSn
TaRhSn. Dans cette figure on constate qu’il y a un shift des états entre les deux
composés.
Figure 11 : densité d’état totale des éléments Rh et Ir.
III.6. TaIrSn dopé par le Rhodium (Rh)
Dans notre travail, on choisit les concentrations des 25% (0.25), 50% (0.50), 75%
(0.75) et 100% (1) de Rh pour doper TaIrSn sous la forme TaIr1−x Rhx Sn. On utilise des
super-cellules contenant 12 atomes (4 atomes de Ta, 4 atomes de Sn et 4 atomes de Ir).
On fait simplement à remplacer à chaque fois un, deux, Trois et quatre atomes de Ir par
un, deux, trois et quatre atomes de Rhodium respectivement, (figure III.12).
72
Figure III.12 : La structure cristalline de TaIrSn dopés avec 50% de Rh.
III.6.1. Le choix des paramètres NKpoint et RKmax :
Pour la précision de calcul on fait une variation de l’énergie en fonction de RKmax

et de points K et on trouve que la variation converge dans les limites de 8 et une grille
de 6 × 6 × 6 points K respectivement.
III.6.2. Propriétés structurales du 𝐓𝐚𝐈𝐫𝐱−𝟏 𝐑𝐡𝐱 𝐒𝐧
Dans nos calculs, l’optimisation de TaIrx−1 Rhx Sn est effectuée en calculant

l’énergie totale en fonction de rapport c/a, donc on varie le rapport c/a afin d’obtenir
une courbe E = f(c/a).
Figure III.13 : La variation de l’énergie totale en fonction de 𝑐/𝑎.
On remarque que le rapport c/a de l’énergie la plus basse est nul donc il n’existe pas une
variation de (c) par rapport à (a) a cause de la force, on résulte que la maille avant et
après le dopage reste constante ne varie pas donc nous utilisons le paramètre de réseau
de composé sans dopage.
73
III.6.3. Propriétés électroniques du 𝐓𝐚𝐈𝐫𝐱−𝟏 𝐑𝐡𝐱 𝐒𝐧
III.6.3.1. Structure de bandes d’énergie
On a calculé les structures de bandes le long des lignes de plus haute symétrie pour les
composés TaIrx−1 Rhx Sn avec (x = 0.25, 0.50 et 0.75 ).
Les figures suivantes illustrent Les structures de bandes des différentes concentrations.
Figure III.14 : la structure de bandes des composé 𝑇𝑎𝐼𝑟𝑥−1 𝑅ℎ𝑥 𝑆𝑛 avec (x = 0.25, 0.50
et 0.75).
74
Les bandes sont plus dispersives qui traduisant une masse effective plus importante
pour les composés TaIrx−1 Rhx Sn (x = 0.25, 0.50 et 0.75) . On constat que tous les
composes sont des semiconducteurs à un gap indirect de R à .
Nos résultats sont comparés avec les données expérimentales et théoriques disponibles,
tableau (III.3).
Tableau III.3 : les gaps énergétiques des composés 𝑇𝑎𝐼𝑟𝑥−1 𝑅ℎ𝑥 𝑆𝑛 avec (𝑥 = 0, 0.25,
0.50, 0.75 𝑒𝑡 1).
Composé Notre calcul Expérimental Autres calculs
X=0 L → X 0.84 2.4a 1.14b

X=0.25 R →  1 _ _
X=0.50 R →  1.38 _ _
X=0.75 R →  0.97 _ _
X=1 → X 1.032 _ 1.25c
a : Réf [16], b : Réf [17], c : Réf [18]

III.6.3.2. Les densités d’états (DOS)
Les résultats obtenus pour Les densités d’états totales de composé TaIrx−1 Rhx Sn
avec des concentrations ( x = 0, 0.25, 0.5, 0.75 et 1) , sont représentés sur la figure
III.15.
Figure III.15 : Les densités d’états totales des composés 𝑇𝑎𝐼𝑟𝑥−1 𝑅ℎ𝑥 𝑆𝑛 avec (𝑥 =
0, 0.25, 0.50 𝑒𝑡 0.75 𝑒𝑡 1).
75
Dans cette densité d’états il existe :

 La région [-10, -7.5] est un shift entre deux composés TaIr0.75 Rh0.25 Sn et
TaIr0.25 Rh0.75 Sn.
 La région [-5, 5] une légère différence entre les densités mais les pics sont restés
coaxiaux. A cause des bandes plates (peu dispersives) autour de EF donnent lieu
à une forte variation de la DOS pour les concentrations 0.25, 0.5 et 0.75.
III.7. Les propriétés thermoélectriques

Pour le calcul des propriétés thermoélectriques du composé TaIr1−x Rhx Sn avec
différentes concentrations x = (0, 0.25, 0.5 et 0.75), on a utilisé le code BoltzTraP [19],
qui se base sur le modèle de Boltzmann, par l’intermédiaire de l’équation de transport
de Boltzmann. Pour le calcul des paramètres de transport, il est très recommandé de
faire un calcul de très grand nombre de points k. Pour ce faire, on a utilisé une grille de
25 × 25 × 25 points k. On a effectué le calcul du coefficient de hall R H , conductivité
électronique, coefficient du Seebeck S, conductivité /taux (σ/τ) et le facteur de mérite
ZT, pour différentes valeurs de températures (de 50 à 1000 K).
L’objectif de l’étude de composé TaIr1−x Rhx Sn est d’améliorer le facteur de mérite ZT
en jouant sur les différentes concentrations de x.
III.7.1. Le coefficient de hall
Figure III.16 : variation du coefficient de hall du composé 𝑇𝑎𝐼𝑟1−𝑥 𝑅ℎ𝑥 𝑆𝑛 (𝑥 =

0, 0.25, 0.5, 0.75) en fonction de la température.
76
La variation du coefficient de hall en fonction de la température est présentée à la

figure III.16 pour les composés TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25, 0.5, 0.75).
Nous observons que le coefficient de Hall est positif dans toute la gamme de
température c’est le dopage de type P, on note une chute brutale au voisinage de 50 et
100 K pour le composé TaIr1−x Rhx Sn (x = 0) et une diminution légère de façon
linéaire entre 100 et 1000 K pour Toutes compositions.
III.7.2. Conductivité électronique
La dépendance en température de la conductivité électronique des composés

TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25, 0.5, 0.75) est représentée sur la figure III.17.
Figure III.17 : variation du Conductivité électronique du composé TaIr1−x Rhx Sn (x =

Nous remarquons que la conductivité électronique pour toutes les compositions

augmente de façon exponentielle avec la température.
III.7.3. Le coefficient de Seebeck
Les résultats de la dépendance en température de coefficient de Seebeck des

composés TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25, 0.5, 0.75) sont rassemblées figure III.18.
77
Figure III.18 : variation du coefficient de Seebeck du composé 𝑇𝑎𝐼𝑟1−𝑥 𝑅ℎ𝑥 𝑆𝑛 (𝑥 =

La variation du coefficient de Seebeck en fonction de la température du composé

TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25, 0.5, 0.75), est représenté sur la figure III.18. Les résultats
obtenus montrent que l’incorporation d’atomes de Rh dans la structure cristalline de
TaIrSn produit un effet sur le coefficient S. On observe que la valeur maximale est
obtenue pour la concentration x=0.75 entre 500 K et 600 K. Par ailleurs, nous observons
que S est positif sur toute la gamme de température pour tous les
composés TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25, 0.5, 0.75) , ce qui confirme que nos semi-
conducteurs sont de type p.
III.7.4. Conductivité /taux
La figure III.19 représente La variation du rapport σ/ du composé TaIr1−x Rhx Sn

(x = 0, 0.25, 0.5, 0.75) en fonction de la température. La variation de rapport en
fonction de la température du composés, montrent que pour toutes les compositions, La
conductivité augmente lorsque la température augmente dans une gamme comprise
entre 50 K et 1000 K.
78
Figure III.19 : variation du Conductivité/taux du composé 𝑇𝑎𝐼𝑟1−𝑥 𝑅ℎ𝑥 𝑆𝑛 (𝑥 =

III.7.5. Le facteur de mérite ZT
A partir des résultats obtenus pour les trois propriétés de transport, nous avons
calculé le facteur de mérite ZT du composé TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25, 0.5, 0.75) dans
l’intervalle de température 50 – 1000 K (Figure III.20).
Figure III.20 : variation du coefficient ZT du composé 𝑇𝑎𝐼𝑟1−𝑥 𝑅ℎ𝑥 𝑆𝑛 (𝑥 =

79
S2 σ
Sachant que le facteur de mérite s’écrit sous la forme ZT = (III.4)
κe +κl
S: coefficient de Seebeck (μV/K)

σ: conductivité électrique (μΩm)
κl: conductivité thermique du réseau (W/mK)
κe: conductivité thermique électronique (W/mK)
Pour simplifier le calcule et d’après les résultats de la référence [17], on a choisi κl=5
W/mK et =10-14s
La variation du coefficient ZT en fonction de la température du composé TaIr1−x Rhx Sn
(x = 0, 0.25, 0.5, 0.75), montrent que pour toutes les compositions, le facteur de mérite
augmente avec la température dans une gamme comprise entre 300 K et 1000 K on note
que le composé TaIr0.25 Rh0.75 Sn présente un facteur ZT maximal au voisinage de 0.79
à 1000 K.
80
Références
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(1903) 219.
[2] F. Heusler, W. Starck, E. Haupt, ‘‘Magnetisch-chemische studien’’ Verh. Dtsch.

Phys Ges. 5 (1903) 219.
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RPdBi half-Heusler semimetals : A new family of noncentrosymmetric magnetic
superconductors’’. Science Adv., 1(2015) e1500242.
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Leyraud, Atsushi Asamitsu, and Louis Taillefer. ‘‘Superconductivity in the
noncentrosymmetric half-Heusler compound LuPtBi : A candidate for topological
superconductivity‘‘. Phys. Rev. B, 87(2013) 184504.
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Phys. Rev. B, 91 (2015) 094107.
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Bulletin, 39 (2014) 859.
[8] S. Picozzi, A. Continenza, and A. J. Freeman. ‘‘Magneto-optical properties of

Heusler compounds from a first-principles approach‘‘. J. Phys. D : Appl. Phys., 39(5) :,
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[9] Tiejun Zhu, Chenguang Fu, Hanhui Xie, Yintu Liu, and Xinbing Zhao. High
‘‘Efficiency Half-Heusler Thermoelectric Materials for Energy Harvesting‘‘. Adv.
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the electronic structure and total energy of tungsten‘‘, Phys.Rev. B32 (1985) 7792.
81
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Correlation Effects” Phys. Rev. A1133 (1965) 140.
[14] P. Blaha, K. Schwarz, G.K.H. Madsen, D. Kvasnicka, J. Luitz, “WIEN2k An

Augmented Plane Wave+ Local Orbitals Program for Calculating Crystal Properties”,
Karlheinz Schwarz, Techn. Universit ‫ن‬t Wien, Austria, 2001, ISBN: 3-9501031-1-2.
[15] J. Perdew, P.and Wang Y, Phys.Rev.B45 (1992) 1322.
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laboratory discovery of previously unknown 18-electron ABX compounds Nat”. Chem.
7 (2015) 308.
[17] K. Kaur, R. Kumar. “Giant thermoelectric performance of novel TaIrSn”, Phys.

Lett. A 381 (2017) 3760.
[18] K. Kaur, R. Kumar. “High temperature thermoelectric performance of p-type

TaRhSn half Heusler compound: A computational assessment” Cera. Inter. 43 (2017)
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[19] G. K. H. Madsen and D. J. Singh, “BoltzTraP. A code for calculating band-

structure dependent quantities” Comp. Phys. Commun., 175 (2006) 67.
82
Conclusion générale
Dans ce travail, nous avons étudié les propriétés physiques et plus

particulièrement les propriétés structurales, électroniques et thermoélectriques des
composés semi Heusler TaIr1-xRhxSn (x=0, 0.25, 0.5 0.75). Pour cela, nous avons
employé la méthode des ondes planes augmentées linéarisées (FP-LAPW) qui se base
sur la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT) implémentée dans le code Wien2k.
L’objectif ultime de cette étude est de mieux comprendre l’effet de concentration sur les
différentes propriétés.
A partir du calcul de l’énergie totale en fonction du volume, nous constatons que :
Les propriétés structurales, telles que le paramètre de réseau a0, le module de
compressibilité B0 et sa dérivée B’ sont en bon accord avec les résultats expérimentaux
et théoriques disponibles.
Nos résultats obtenus de l’étude de propriétés électroniques indiquent clairement d’une
part, le comportement semiconducteur de nos composés (pour les différentes
concentrations x) et d’autre part, un gap indirect (R-). L’investigation de la variation
du gap énergétique en fonction de la concentration a montré celui-ci varie non
linéairement.
La théorie semi-classique de Boltzmann a été considérée pour le calcul des
propriétés thermoélectriques. Les résultats obtenus montrent que le coefficient de
Seebeck, la conductivité électrique et le facteur de mérite dépendent fortement de
dopage et de la température. D’après ces résultats, nous déduisons qu’une meilleure
performance thermoélectrique peut être possible si la concentration x=0.75.
83

Haouam Marwa

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République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur

Mémoirede fin d’études

Spécialité : Physique de la Matière Condensée

Etude des propriétés structurales, électroniques et

Dr. HAMIDANI ALI

Je remercie également les membres de jury pour avoir accepter d'examiner

Je tiens à remercier très sincèrement tous les membres du Laboratoire de

Je tiens à remercier toute personne qui a participé de prés ou de loin à

A Les plus chères personnes dans ma vie : ma mère et mon père,

A mes chers frères ‹‹ Saleh, Abde alli, Akram, Louey››

Propriétés structurales, propriétés électroniques, propriétés thermoélectriques, semi-

‫الكلمات المفتاحية ‪:‬‬

‫الخصائص البنيوية‪ ،‬الخصائص اإللكترونية‪ ،‬الخصائص الكهروحرارية‪ ،‬نصف‪DFT ، FP-LAPW ،heusler-‬‬

Liste des figures .............................................................................................................. V

Chapitre I. Notions de base de la thermoélectricité

I.3. Équation différentielle pour 𝑓(r, k, 𝑡) ........................................................................ 5

I.3.1. Changement de 𝑓(r, k, 𝑡) en raison de collisions ....................................... 8

Chapitre II. La méthode de calcul

II.1. THEORIE DE LA FONCTIONNELLE DE LA DENSITE (DFT) ........................ 31

II.2.3. Les rôles des énergies de linéarisation (𝐸𝑙 ) .......................................................... 46

II.2.5.3. Détermination des coefficients 𝐴𝑙𝑚 et 𝐵𝑙𝑚 .......................................... 54

Chapitre III. Résultats et discussions

III.6.2. Propriétés structurales du TaIrx−1 Rhx Sn .............................................. 73

III.6.3. Propriétés électroniques du TaIrx−1 Rhx Sn ............................................ 74

Figure I.1 : à l'instant t = 0, les particules de la position 𝐫 ′ = 𝐫 − 𝐯(𝐤)dt atteignent la

Figure I.4 : La relation de dispersion E en fonction de K. ............................................. 18

Figure I.9 : La concentration en électrons n dans un semi-conducteur est donnée par

Figure III.1 : Structure cristalline des alliages full-Heusler X 2 YZ ................................ 62

Figure III.13 : La variation de l’énergie totale en fonction de c/a .............................. 73

Figure III.16 : variation du coefficient de hall du composé TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25,

Figure III.17 : variation du Conductivité électronique du composé TaIr1−x Rhx Sn (x =

Figure III.18 : variation du coefficient de Seebeck du composé TaIr1−x Rhx Sn (x = 0,

Figure III.19 : variation du Conductivité/taux du composé TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25,

Figure III.20 : variation du coefficient ZT du composé TaIr1−x Rhx Sn (x = 0, 0.25, 0.5,

Depuis la révolution industrielle, la consommation mondiale en électricité est en

Pour améliorer les performances thermoélectrique et diminue l’interdépendance

réduire la conductivité thermique du réseau en introduisant des centres de diffusion de

Ce travail de mémoire porte sur l'étude des propriétés structurales, électroniques et

Le chapitre I introduit les principales notions de la thermoélectrique et les exigences.

L’effet thermoélectrique est un phénomène physique présent dans certains

I.2. L’équation de transport de Boltzmann

L’équation de transport de Boltzmann c’est une équation de transport semi-

définit à la fois la position et la quantité de mouvement de la particule. Cependant, cela

L'équation de transport de Boltzmann a été développée pour décrire la fonction de

I.3. Équation différentielle pour 𝒇(𝐫, 𝐤, 𝑡)

Pour décrire la fonction de distribution en présence de forces externes, nous

Figure I.1: à l'instant t = 0, les particules de la position 𝒓′ = 𝒓 − 𝒗(𝒌)𝑑𝑡 atteignent la

Ces équations semi-classiques décrivent la trajectoire d'un électron dans l'espace de la

Nous considérons explicitement l'évolution temporelle de 𝐫 et 𝐤 de 𝑡 ′ à 𝑡 (expansion

Nous excluons la dégénérescence des spins et de manière analogue, le nombre

Pour le théorème de Liouville:

Donc à l'absence de diffusion on obtient:

présence de champs électriques et magnétiques) Où e devrait prendre une valeur

Lorsque les collisions introduisent, due à la diffusion des électrons, l’équation

Où (𝜕𝑓/𝜕𝑡)𝑐 est le terme de collision et rend compte de la diffusion des électrons à

I.3.1. Changement de 𝑓(𝐫, 𝐤, 𝑡) en raison de collisions

Nous supposons que les collisions sont uniques, instantanées, indépendantes de