2 Physique Semi - Notions Base
2 Physique Semi - Notions Base
2 Physique Semi - Notions Base
Département d’Electronique
Faculté de Technologie
Université Batna 2
Domaines d’intérêt:
Technologie des semi-conducteurs
(Matériaux et dispositifs photovoltaïques)
e-mail: a.benhaya@univ-batna2.dz
benhaya_abdelhamid@yahoo.fr
Langue Anglaise
1. Marius Grundmann, The Physics of Semiconductors, Springer-Verlag Berlin Heidelberg,
2006.
2. S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, JOHN WILEY & SONS,2007.
3. http://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/contents.htm
Langue Française
1. A. Vapaille et R. Castagné, Dispositifs et circuits semi-conducteurs, Physique et technologie,
dunod, 1987.
2. CHRISTIAN ET HELENE NGÖ, Introduction à la physique des semi-conducteurs, Dunod,
1998.
3. H. MATHIEU, physique des semi-conducteurs et des composants électroniques, Dunod, 2001.
4. https://www.polytech-lille.fr/cours-atome-circuit-integre/
5. http ://koeniguer.perso.cegetel.net/ips/ips.html
Théorie des bandes d’énergie
d’un semi-conducteur
CHAPITRE 2.
THÉORIE DES BANDES D’ÉNERGIE
D’UN SEMI-CONDUCTEUR
Remarque
la mécanique classique est la limite vers laquelle
tend la mécanique quantique à l’échelle
macroscopique; cela veut dire que la mécanique
quantique englobe la mécanique classique.
NOTIONS DE BASE
Dualité onde-corpuscule
Lors de l’interaction avec la matière, les ondes (ondes
électromagnétiques par exemple) peuvent se comporter
comme des corpuscules (effet photoélectrique).
De même, des corpuscules (électrons par exemple) peuvent
se comporter comme des ondes (diffraction d’un faisceau
d’électron sur un cristal).
Ces deux aspects complémentaires de corpuscules et
d’ondes, qui d’ailleurs ne peuvent pas avoir lieu en même
temps, sont connus sous le nom de “dualité onde-
corpuscule”.
Conclusion
En mécanique quantique, la particule ne peut être ni une
particule ni une onde, mais elle peut avoir l’un ou l’autre de
ces deux comportements et ce selon les conditions de la
situation dans laquelle elle se trouve.
NOTIONS DE BASE
Relation de de Broglie
A la lumière de la dualité onde-corpuscule, on
associe à chaque particule de quantité de
mouvement p, une longueur d’onde donnée par la
relation de de Broglie:
Remarque:
Par analogie à la mécanique classique, on voit que la
notion de vecteur position et de vecteur vitesse est
remplacée par un vecteur d’état qui est un objet
mathématique défini dans l’espace de Hilbert et
contenant toute l’information sur le système.
NOTIONS DE BASE
Remarque
On constate ici, à la différence de la mécanique
classique où l’on manipule directement les grandeurs
physiques, que ces dernières sont remplacées par des
opérateurs (opérations mathématiques) qui
agissent sur le vecteur d’état pour avoir la valeur de
la grandeur concernée.
NOTIONS DE BASE
Remarque
Si l’on compare avec la mécanique classique, nous
avons ici quelque chose qui ressemble à la deuxième
loi de Newton ou aux équations de Lagrange ou celles
de Hamilton.
NOTIONS DE BASE
Remarque :
L’opérateur associé à une fonction plus compliquée
des coordonnées et des quantités de mouvement est
obtenu en faisant les substitutions précédentes dans
l’expression convenablement symétrisée de la
fonction.
NOTIONS DE BASE
Quantité de mouvement P ℏ
Energie Cinétique EC ℏ
2 2
Energie E (Hamiltonien H) ℏ
(Système stationnaire) 2 2
Energie E (Hamiltonien H)
ℏ
(Système dépendant du temps)
Moment cinétique
ℏ
(Composante Z du moment
angulaire)
PHYSIQUE DES SEMI-CONDUCTEURS
NOTIONS DE BASE
Equation de Schrödinger pour les systèmes
stationnaires
L’énergie totale d’un système joue un rôle
important, notamment dans le cas des systèmes
conservatifs où elle devient une constante du
mouvement. On dit, dans une telle situation, que le
système est dans un état stationnaire
L’atome et la matière
Structure de l’atome
Un atome, caractérisé par un
numéro Z dans la
classification périodique, est
constitué par:
• Un noyau de charge positive
Ze comprenant Z protons,
chacun, de charge e et un
certain nombre de neutrons.
• Un nuage électronique
formé par Z électrons,
chacun, de charge -e répartis
dan des orbitales (volume
dans l’espace).
NOTIONS DE BASE
− η2
∆ψ + ( E − V )ψ = 0
2m
C’est l’équation de l’onde
associée à un électron dans un
état stationnaire; elle s’applique
aussi bien à la propagation des
électrons dans l’espace qu’a celle Equation de Schrödinger d’un électron
sous l’influence du potentiel d’un noyau
des électrons dans un atome. de numéro atomique Z (Z protons)
NOTIONS DE BASE
s: Outre les nombres quantiques n, l et m, chaque électron dans une orbitale, est
caractérisé par son nombre quantique de spin s correspondant au moment cinétique
propre S de l’électron ou spin. Ce nombre ne peut prendre que la valeur s= 1/2 (c’est sa
projection ms qui prend les deux valeurs ±1/2).
NOTIONS DE BASE
Ordre de remplissage
NOTIONS DE BASE
Exemples :
Couches électroniques
2. Le principe de stabilité: Les électrons occupent les niveaux les plus bas dans
la limite des places disponibles.
3. Règle de HUND
-Quand des électrons se placent dans une sous-couche multiple, ils occupent le
maximum d’orbitales.
-Dans une même sous-couche, des électrons célibataires ont des spins parallèles
(mêmes valeurs de mS).
7N :
8O :
26Fe :
NOTIONS DE BASE
Exemple
Atome d’Hydrogène (H)
NOTIONS DE BASE
Atome H (suite)
Niveau d’énergie
de l’électron dans
l’atome H isolé
Niveaux d’énergie
des 2 électrons dans
la molécule H2
Orbitales Orbitales
moléculaires atomiques
NOTIONS DE BASE
6C
Solide
(Atomes très Atomes
rapprochés) isolés
DIFFÉRENCES DU POINT DE VUE ÉNERGÉTIQUE
P i2 P 2j
Hˆ = +
i 2m j 2M j
énergie cinétique des électrons énergie cinétique des noyaux
1 1 Z j Z j' e 2 1 1 e2
+ +
2 4π ε 0 j , j ' R j − R j ' 2 4π ε 0 i , i ' r i − r i '
énergie de répulsion coulombien ne entre les noyaux énergie de répulsion coulombien ne entre les électrons
1 Z j e2
−
4π ε 0 i , j r i − R j
énergie d'interactio n coulombien ne entre les noyaux et les électrons
INTRODUCTION AU CALCUL DES BANDES D’ÉNERGIE
Paramètres de l’hamiltonien
ri et Pi la position et l’impulsion de l’électron i ;
Rj et Pj la position et l’impulsion du noyau j ;
Les électrons ont tous une masse m et une charge –e ;
le noyau j de numéro atomique Zj a une masse Mj et une charge
Zje (le cristal peut être composé d’atomes différents).
Remarque 2 : Les deux premières sommes doivent se faire sur tous les
électrons et tous les noyaux ;
A) Approximations de base
Les différents modèles proposés ont en commun les trois
approximations suivantes :
1. Séparation des électrons : Cette première
approximation consiste à séparer les électrons en deux
groupes :
Les électrons de valence
Les électrons du cœur.
Les électrons du cœur appartiennent à des orbitales
complètement remplies et sont localisés prés du noyau auquel
ils appartiennent. On les associe donc aux noyaux pour
former des ions qui occupent les nœuds du réseau cristallin
Les électrons de valence, qui appartiennent aux orbitales de
valence non complètement remplies, sont les seuls électrons à
considérer dans l’Hamiltonien . Par conséquent, le domaine
de variation des indices i et i’, j et j’ se réduit respectivement
à celui des électrons de valence et celui des noyaux avec leurs
électrons du cœur.
INTRODUCTION AU CALCUL DES BANDES D’ÉNERGIE
ˆ P 1 1 e 1 Z e
= + −
i j
He 2m 2 4π ε 0 i ,i ' r −r 4π ε 0
i i i' i, j
r −R
i j0
INTRODUCTION AU CALCUL DES BANDES D’ÉNERGIE
Hˆ = ( P + V ( r ))
2m
B) Méthodes de résolution
1. Méthode des liaisons fortes: Cette méthode, appelée aussi
méthode LCAO (linear combinations of atomic orbitals),
consiste à développer la fonction d’onde du cristal sous forme de
combinaisons linéaires d’orbitales atomiques en tenant compte
du théorème de Bloch auquel doivent satisfaire les fonctions
d’onde du cristal.
Cette méthode est basée sur l’idée que les états électroniques
sont essentiellement des états atomiques plus au moins
perturbés par la nature du potentiel périodique du cristal.
Cette technique est bien adaptée au calcul des bandes
profondes correspondant aux états du cœur (ces états sont
très peu perturbés lors de la formation du cristal), un peu
moins adaptés au calcul des bandes associées aux états de
valence (ces états sont relativement perturbés) et peu adaptée
au calcul relatif à la bande de conduction (états
délocalisés).
INTRODUCTION AU CALCUL DES BANDES D’ÉNERGIE
Bandes essentielles
1. Bande de valence
La dernière bande d’énergie remplie est appelée la
bande de valence, car les électrons de cette bande
jouent un rôle important dans les phénomènes
électriques.
2. Bande de conduction
La première bande inoccupée située juste au dessus de
la bande de valence est appelée bande de conduction.
3. Bande interdite
La différence d’énergie entre le sommet de la bande de
valence et le bas de la bande de conduction est appelée
la bande interdite ou le gap (mot anglais). Ce dernier
paramètre, le gap, est très important, car il conditionne
les propriétés électriques et optiques du cristal.
INTRODUCTION AU CALCUL DES BANDES D’ÉNERGIE
Nature du gap
Si le maximum d’énergie
de la bande de valence et
le minimum d’énergie de
la bande de conduction
correspondent pour la
même valeur de k, cas de
GaAs, On a un gap direct.
Importance du gap
La valeur du gap et sa nature gouvernent les
performances électroniques et optiques d’un dispositif
électronique à base de matériaux semi-conducteur.
Points
et directions
importants
Conséquence de la symétrie
Les propriétés de symétrie permettent de déduire pas mal de
propriétés sans avoir recours aux calculs.
Dans ce contexte, rappelons les deux points suivants :
Lorsque deux vecteurs d’onde k et k' peuvent être
transformés l’un en l’autre par une opération de symétrie
du réseau réciproque, les niveaux d’énergie électroniques
correspondant sont égaux ; autrement dit les points et les
axes qui se transforment l’un en l’autre par une
opération de symétrie sont équivalents.
Les fonctions d’onde des électrons peuvent être construites
en tenant compte des propriétés de symétrie du cristal.
C’est d’ailleurs la raison pour laquelle la probabilité de
transition entre des états quantiques de symétries
différentes s’annule, ce qui permet de déduire des règles de
sélection dans le processus d’excitation
INTRODUCTION AU CALCUL DES BANDES D’ÉNERGIE
ρ ρ ρ
direct :
ρ ρ
u n,k ( r ) = u n,k ( r + R )
INTRODUCTION AU CALCUL DES BANDES D’ÉNERGIE
Niveau de Fermi
1. Dans un métal : C’est le niveau le plus élevé de
la bande de conduction occupé par les électrons.
Son énergie a pour expression :
2
2 3N 2 3 2
η π η2
E F (0 ) =
2m V
=
2m
(3 n π )3
2
Rayonnement
1. Rayonnements ondulatoires
Ils sont caractérisés par leurs fréquences et leurs vecteurs
d’ondes;
Ils ne s’accompagnent pas de transport de matière.
2. Rayonnements corpusculaires
Ils sont constitués par des corpuscules de masse m
ayant:
une vitesse v, donc une énergie cinétique Ec=1/2mv2;
Le spectre électromagnétique