UNIVERSITÉ D’AIX-MARSEILLE

Centre de Télé-enseignement Universitaire

Master 1 Mathématiques

Cours d’Analyse fonctionnelle et

analyse de Fourier
2ème partie
Analyse de Fourier

Mihaı̈ BOSTAN
mihai.bostan@univ-amu.fr

année universitaire 2018-2019

2 Mihaı̈ Bostan
Chapitre 1

Séries de Fourier

1.1 Introduction et définitions

De façon générale l’étude d’une fonction T -périodique f se ramène à
l’étude de la fonction 2π-périodique g, avec g(x) = f (T x/(2π)). Dans la
suite nous nous limiterons à l’étude des fonctions 2π-périodiques. Les fonc-
tions 2π-périodiques les plus connues sont cos(nx), sin(nx) avec n ∈ Z et les
combinaisons linéaires finies (voire infinies) de ces fonctions. Un problème
fondamental est de savoir si toute fonction h 2π-périodique peut être recons-
tituée à l’aide des fonctions élémentaires cos(nx), sin(nx). Par exemple si h
est une somme finie h(x) = cn einx , l’identité
P

Z 2π
1
einx e−ikx dx = δnk (1.1)
2π 0

avec δnk = 1 si n = k et δnk = 0 sinon (symbole de Kronecker), montre que

les cn se reconstituent à partir de h selon la formule
Z 2π
1
cn = h(x)e−inx dx.
2π 0

Précisons quelques notations et définitions.

3
4 2018/2019

– C désigne l’espace des fonctions continues de R dans C, 2π-périodiques.

– Pour tout n ∈ Z on désigne par en la fonction t → eint . Notons que
en ∈ C, n ∈ Z.
– Si 1 ≤ p ≤ ∞, Lp désigne l’espace vectoriel des (classes de) fonctions
f : R → C, 2π-périodiques et Lebesgue-mesurables telles que kf kp < ∞
avec 1/p
 Z 2π
1 p
kf kp = |f (t)| dt si 1 ≤ p < ∞
2π 0

et

kf k∞ = ess supt∈R |f (t)| = borne supérieure essentielle de |f |.

Par l’inégalité de Hölder nous avons

1 ≤ p < q ≤ ∞ =⇒ Lq ⊂ Lp et k · kp ≤ k · kq .

En effet, si q = ∞, on a
 Z 2π 1/p  Z 2π 1/p
1 p 1 p
kf kp = |f (t)| dt ≤ kf k∞ dt = kf k∞ .
2π 0 2π 0
1 1
Si 1 ≤ p < q < ∞, en introduisant r tel que q/p
+ r
= 1, on a, d’après
l’inégalité de Hölder
Z 2π  Z 2π p/q  Z 2π 1/r
1 p 1 q 1 r
|f (t)| dt ≤ |f (t)| dt 1 dt
2π 0 2π 0 2π 0
ou encore
 Z 2π 1/p  Z 2π 1/q
1 p 1 q
kf kp = |f (t)| dt ≤ |f (t)| dt .
2π 0 2π 0
Notons que L2 est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
Z 2π
2 2 1
(f, g) ∈ L × L → hf, gi = f (t)g(t) dt.
2π 0
Un calcul facile montre que (en )n∈Z est un système orthonormal de L2
(nous verrons plus loin que (en )n∈Z est une base orthonormale de L2 ).
Mihaı̈ Bostan 5

– P désigne le sous-espace vectoriel de C engendré par les en . Un élément

P
P de P est une somme finie cn en (où cn ∈ C) et s’appelle un po-
lynôme trigonométrique.
– Si f ∈ L1 et n ∈ Z on définit le n-ième coefficient de Fourier (exponen-
tiel) de f par la formule
Z 2π
1
cn (f ) = f (t)e−int dt.
2π 0

On remarque que si f ∈ L2 alors cn (f ) = hf, en i. Si f ∈ L1 on pose

γ(f ) = (cn (f ))n∈Z .
– On appelle coefficients de Fourier trigonométriques les nombres com-
plexes
Z 2π Z 2π
1 1
an (f ) = f (t) cos(nt) dt, bn (f ) = f (t) sin(nt) dt.
π 0 π 0

On notera que le passage d’une définition à l’autre se fait grâce aux

relations :

an = cn + c−n et bn = i(cn − c−n ), n ∈ N

ou encore

an − ibn an + ibn
cn = et c−n = , n ∈ N.
2 2

– Pour tout N ∈ N, SN (f, t) désigne la somme partielle d’indice N ,

SN (f, t) = N int
P
−N cn (f )e .

– Si f, g ∈ L1 on appelle produit de convolution de f et g la fonction

notée f ∗ g, donnée par
Z 2π
1
(f ∗ g)(x) = f (x − t)g(t) dt, x ∈ R.
2π 0

Cette formule a un sens pour presque tout x.

6 2018/2019

1.2 Règles de calcul

Lemme 1.2.1 Si f : R → C est T -périodique localement intégrable, on a
Z T /2 Z T /2
f (−t) dt = f (t) dt
−T /2 −T /2

et Z T Z a+T Z T
f (t) dt = f (t) dt = f (a + u) du.
0 a 0

Preuve. La première égalité suit par le changement de variable t → −t.

Pour la seconde on écrit
Z a+T Z 0 Z T Z T +a
f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt + f (t) dt
a a 0 T
Z 0 Z T Z a
= f (t) dt + f (t) dt + f (u + T ) du
a 0 0
Z 0 Z T Z a
= f (t) dt + f (t) dt + f (u) du
a 0 0
Z T
= f (t) dt.
0

Par le changement de variable t = a + u on obtient facilement la troisième

égalité Z a+T Z T
f (t) dt = f (a + u) du.
a 0

Proposition 1.2.1 Soit f, h ∈ L1 , a ∈ R, k, n ∈ Z, g ∈ L∞ . Alors

i) cn (f˜) = c−n (f ), où f˜(t) = f (−t)
ii) cn (f ) = c−n (f )
iii) cn (τa f ) = eina cn (f ) où τa f (t) = f (t + a)
iv) cn (ek f ) = cn−k f
v) f ∗ en = cn (f )en
vi) kf ∗ gk∞ ≤ kf k1 kgk∞
Mihaı̈ Bostan 7

vii) Si de plus f est dans C et C 1 par morceaux, cn (f 0 ) = incn (f ).

viii) Si N
P
−N αn en converge uniformément vers f alors f ∈ C et αn = cn (f ),

n ∈ Z.
ix) kf ∗ hk1 ≤ kf k1 khk1 .

Preuve. Voir l’Exercice 1.

Lemme 1.2.2 (Riemann-Lebesgue) Soit a, b ∈ R avec a < b et soit f ∈

L1 (a, b), λ ∈ R. Alors
Z b Z b Z b
iλt
lim f (t)e dt = lim f (t) cos(λt) dt = lim f (t) sin(λt) dt = 0.
|λ|→∞ a |λ|→∞ a |λ|→∞ a

Preuve. Voir l’Exercice 2.

On désigne par c0 l’ensemble des suites u = (un )n∈Z de nombres complexes

telles que limn→+∞ un = 0. C’est une algèbre de Banach pour le produit
usuel et la norme kuk∞ = supn∈Z |un |. Le lemme de Riemann-Lebesgue nous
permet d’établir un homomorphisme d’algèbre de L1 dans c0 .

Proposition 1.2.2 L’application f → γ(f ) = (cn (f ))n∈Z est un homomor-

phisme d’algèbre de norme 1 de L1 dans c0 . De plus γ(f ∗ g) = γ(f )γ(g).

Preuve. Voir l’Exercice 3.

On a vu qu’à toute fonction continue 2π-périodique on peut associer une

série de Fourier. On peut montrer que les coefficients de Fourier déterminent
de manière unique la fonction. Montrons le résultats classique suivant

Théorème 1.2.1 La seule fonction continue 2π périodique dont tous les co-
efficients de Fourier sont nuls est la fonction identiquement nulle.

Preuve. Il suffit de montrer le résultat pour les fonctions continues 2π-

périodiques à valeurs réelles. En vérité les applications
1 1
<f = (f + f ), =f = (f − f )
2 2i
8 2018/2019

sont à valeurs réelles et nous avons

1 1
cn (<f ) = (cn (f ) + c−n (f )) = 0, cn (=f ) = (cn (f ) − c−n (f )) = 0.
2 2i
Si la conclusion de notre théorème est établie pour les fonctions à valeurs
réelles, alors <(f ) = =(f ) = 0 d’où f = 0.
Supposons par réduction à l’absurde qu’il existe f ∈ C à valeurs réelles, non
identiquement nulle, telle que cn (f ) = 0, n ∈ Z. En particulier, pour tout
P
polynôme trigonométrique T = γn en nous avons
Z 2π X Z 2π X
f (t)T (t) dt = γn f (t)en (t) dt = 2π γn c−n (f ) = 0. (1.2)
0 0

Soit t0 tel que f (t0 ) 6= 0. Sans perte de généralité on peut supposer que
t0 = π (sinon prendre l’application 2π-périodique g(s) = f (t0 +π +s) dont les
coefficients de Fourier sont nuls car cn (g) = ein(t0 +π) cn (f )). Soit par exemple
f (π) > 0. Il existe c > 0, d ∈ (0, π) tels que

t ∈ (π − d, π + d) =⇒ f (t) > c > 0.

On considère le polynôme trigonométrique

1 1
T1 (t) = 1 − cos t − cos d = 1 − cos d − eit − e−it
2 2
et on observe que T1 vérifie les propriétés suivantes

T1 (π ± d) = 1, |T1 (t)| < 1, t ∈ [0, π − d) ∪ (π + d, 2π]

T1 (t) > 1, t ∈ (π − d, π + d), T1 (t) > g > 1, t ∈ (π − δ, π + δ), δ ∈ (0, d).

On prend maintenant le polynôme trigonométrique Tn = T1n et observons

que
Z 2π Z π−d Z π−δ Z π+δ Z π+d Z 2π
f (t)Tn (t) dt = ... + ... + ... + ... + ...
0 0 π−d π−δ π+δ π+d
n
≥ −M (π − d) + 0 + 2δcg + 0 − M (π − d)

> 2δcg n − 2πM

Mihaı̈ Bostan 9

où M = kf k∞ . En prenant n assez grand on en déduit que

Z 2π
f (t)Tn (t) dt > 0
0

ce qui contredit (1.2). Par conséquent la seule fonction f ∈ C dont les coef-
ficients de Fourier sont tous nuls est la fonction identiquement nulle.

Corollaire 1.2.1 Si deux fonctions continues 2π-périodiques ont les mêmes

coefficients de Fourier, alors elles coı̈ncident.

Preuve. Soit f, g ∈ C telles que cn (f ) = cn (g), n ∈ Z. Alors l’application

h = f − g ∈ C a tous les coefficients de Fourier nuls, cn (f − g) = cn (f ) −
cn (g) = 0, n ∈ Z et d’après le Théorème 1.2.1 il résulte que f − g = 0.

Une conséquence du résultat précédent est

Proposition 1.2.3 Soit f ∈ C telle que sa série de Fourier converge uni-

formément. Alors la somme de la série coı̈ncide avec la fonction f .

Preuve. On note S(t) = limN →∞ SN (f, t), t ∈ R. Evidemment S ∈ C.

Comme dans la preuve de viii) de la Proposition 1.2.1 on montre que cn (S) =
P
cn (f ), n ∈ Z et alors S = f . En particulier si n |cn (f )| < +∞ alors la série
de Fourier converge uniformément vers la fonction f .

Théorème 1.2.2 Soit f ∈ C et de classe C 1 par morceaux. Alors la série

de Fourier converge normalement sur R vers f .

Preuve. Voir l’Exercice 4.

Remarque 1.2.1 Tout reste valable pour des fonctions T -périodiques, à la

seule condition de remplacer les formules des coefficients de Fourier par
1 T
Z
cn (f ) = f (t)e−i 2πnt/T dt, n ∈ Z.
T 0
10 2018/2019

Remarque 1.2.2 On a vu d’après (1.1) que {en |n ∈ Z} est une partie or-
thonormale de C et par conséquent libre. Le problème qui se pose maintenant
est le suivant : est-ce que toute fonction de C peut s’obtenir comme combi-
naison linéaire infinie des en ? Les trois questions suivantes sont centrales
dans la théorie des séries de Fourier :

1. (SN (f ))N converge-t-elle quand N → +∞ ?

2. Si oui, en quel sens a lieu la convergence ?

3. Quel rapport la limite éventuelle a-t-elle avec f ?

1.3 Inégalité de Bessel. L’identité de Parseval

Soit f ∈ C. On souhaite calculer kf − SN (f )k22 . En utilisant la formule

kg − hk22 = kgk22 + khk22 − 2<hg, hi

nous obtenons
N
X N
X N
X
kf − cn (f )en k22 = kf k22 + k cn (f )en k22 − 2<hf, cn (f )en i
−N −N −N
N
X
= kf k22 − |cn (f )|2
−N

car la famille (en )n∈Z étant orthonormée nous avons

N
X N
X
k cn (f )en k22 = |cn (f )|2
−N −N

et
N
X N
X
hf, cn (f )en i = |cn (f )|2 .
−N −N

Alors pour tout N ∈ N nous avons l’inégalité

N
X N
X
2
|cn (f )| − kf k22 = −kf − cn (f )en k22 ≤ 0. (1.3)
−N −N
Mihaı̈ Bostan 11

|cn (f )|2 converge et sa somme satisfait l’inégalité,

P
En particulier la série n

dite de Bessel
X
|cn (f )|2 ≤ kf k22 .
n

Remarque 1.3.1 Par l’inégalité de Bessel on en déduit que les suites (cn (f ))n∈N
et (c−n (f ))n∈N sont convergentes vers 0 (à comparer avec le Lemme 1.2.2).

En effet on a même égalité dans l’inégalité précédente.

Théorème 1.3.1 (Identité de Parseval)

Soit f ∈ C et notons par (cn (f ))n∈Z , (an (f ), bn (f ))n∈N les coefficients de
Fourier exponentiels et trigonométriques respectivement. Alors nous avons
les identités
i)
X
|cn (f )|2 = kf k22
n∈Z

ii)
|a0 (f )|2 1 X
+ {|an (f )|2 + |bn (f )|2 } = kf k22 .
4 2 n∈N?

iii) De plus nous avons la convergence de la série de Fourier vers f en norme

L2

lim kf − SN (f )k = 0.
N →+∞

Preuve. Voir l’Exercice 6.

Le Théorème 1.3.1 donne un résultat de convergence en moyenne (norme

L2 ). On peut s’intéresser également à la convergence simple (ponctuelle).
Pour analyser cette question nous devons introduir quelques outils, parmi
lesquels le noyau de Dirichlet.
12 2018/2019

1.4 Le noyau de Dirichlet

Définition 1.4.1 On appelle noyau de Dirichlet d’ordre N ∈ N le polynôme
trigonométrique DN = N
P
−N en .

Proposition 1.4.1 Le noyau de Dirichlet vérifie

1
Rπ
i) Dn est pair et 2π −π
DN (t) dt = 1.
ii) DN (x) = sin[(N + 1/2)x]/ sin(x/2) si x ∈ R \ 2πZ et DN (x) = 2N + 1 si
x ∈ 2πZ.
2 sin(N x)
iii) |x| ≤ π =⇒ DN (x) = x
+ rN (x), où sup|x|≤π,N ∈N |rN (x)| < +∞.
4
iv) kDN k1 = π2
ln N + O(1) quand N → +∞.
v) SN (f ) = f ∗ DN pour tout f ∈ L1 et N ∈ N.

Preuve. Voir l’Exercice 7.

1.5 Le théorème de convergence de Dirichlet

Théorème 1.5.1 (Dirichlet) Soit f : R → C une application 2π-périodique,
mesurable, localement intégrable. Soit x0 ∈ R. On suppose que les limites

f + := lim f (x0 + t), f − := lim f (x0 − t) (1.4)

t&0 t&0

existent et qu’il existe δ > 0 tel que

δ δ
|f (x0 + t) − f + | |f (x0 − t) − f − |
Z Z
dt < +∞, dt < +∞. (1.5)
0 t 0 t

Alors on a
1
lim SN (f, x0 ) = (f + + f − ).
N →+∞ 2

Preuve. Voir l’Exercice 8.

Mihaı̈ Bostan 13

Remarque 1.5.1 Les cas les plus fréquents d’application du théorème de

Dirichlet sont ceux où f possède une dérivée à droite et une dérivée à gauche
en x0
f (x0 + t) − f + f (x0 − t) − f −
∃ lim et ∃ lim . (1.6)
t&0 t t&0 t

Il est clair que (1.6) implique (1.5).

1.6 Exercices

Exercice 1. Prouver les assertions de la Proposition 1.2.1.

Exercice 2. Prouver le Lemme de Riemann-Lebesgue 1.2.2.

Exercice 3. Prouver la Proposition 1.2.2.

Exercice 4. Prouver le Théorème 1.2.2.

Exercice 5. Soit f une fonction 2π-périodique, de carré localement intégrable.

i) Pour tout N ∈ N montrer que f − SN (f ) ⊥ PN , où PN est le sous-espace
vectoriel de C engendré par e−N , ..., e0 , ..., eN .
ii) Montrer que kf − N
P 2 2
PN 2
−N αn en k2 = kf − SN (f )k2 + −N |αn − cn (f )| .

iii) Déterminer inf{kf − P k2 , P ∈ PN }.

Exercice 6. Démontrer le Théorème de Parseval 1.3.1.

Exercice 7. Démontrer les propriétés du noyau de Dirichlet de la Proposition

1.4.1

Exercice 8. Démontrer le Théorème de Dirichlet 1.5.1.

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Exercice 9. Soit f une fonction de L1 , 2π-périodique. Montrer que

i) Si f est paire
Z π N
1 X
cn (f ) = f (t) cos(nt) dt, SN (f, t) = c0 (f ) + 2 cn (f ) cos(nt).
π 0 1

ii) Si f est impaire

π N
−i
Z X
cn (f ) = f (t) sin(nt) dt, SN (f, t) = 2i cn (f ) sin(nt).
π 0 1

Exercice 10. (Fonction signal) Soit ε ∈ (0, π) et σε l’application de L∞ , 2π-

périodique telle que

σε (t) = 1 si |t| ≤ ε et σε (t) = 0, si ε < |t| ≤ π

i) Calculez les coefficients de Fourier exponentiels.

ii) Calculez SN (σε , t).
iii) En déduire la formule
+∞
X sin(na) π−a
= , 0 < a < 2π.
1
n 2

Exercice 11. (Fonction triangle) Soit ε ∈ (0, π) et ∆ε ∈ C l’application

définie par

|t|
∆ε (t) = 1 − , |t| ≤ ε, ∆ε (t) = 0, ε < |t| ≤ π.
ε

i) Calculer les coefficients de Fourier exponentiels de ∆ε .

ii) Justifier la formule
+∞
X 1 − cos(nε)
ε
∆ε (t) = +2 2 πε
cos(nt), t ∈ R.
2π 1
n
Mihaı̈ Bostan 15

iii) Retrouver les identités

+∞ +∞
X 1 π2 X 1 π2
= , = .
0
(2p + 1)2 8 1
n2 6

Exercice 12. (Exponentielle apériodique) Soit a ∈ C\Z et la fonction f ∈ C

définie par
f (t) = eiat , −π ≤ t < π.

i) Calculer les coefficients de Fourier de f .

ii) Calculer les sommes partielles SN (f, π).
iii) Retrouver la formule
+∞
1 X 1
π cot(πa) = + 2a 2 2
, a ∈ C \ Z.
a 1
a − n

Exercice 13. Soit a 6= 0 un nombre réel donné. On définit f : R → R,

2π-périodique par
∀x ∈ [0, 2π[, f (x) = eax .

i) Déterminer la série de Fourier associée à f et étudier son mode de conver-

gence (convergence simple, uniforme, normale). Quelle est la somme de cette
série ?
ii) Calculer la somme
X a
n≥1
a2 + n2
et en déduire que
X 1 π2
= .
n≥1
n2 6

Exercice 14. i)Démontrer les formules suivantes :

π2 X cos nx
∀x ∈ [−π, π], x2 = +4 (−1)n
3 n≥1
n2
X sin nx
∀x ∈ ] − π, π[, x = 2 (−1)n+1 .
n≥1
n
16 2018/2019

ii) Développer en série de Fourier la fonction 2π-périodique f définie sur

[−π, π[ par f (x) = x3 . En déduire n≥1 n16 .
P

Exercice 15. On souhaite montrer l’inégalité de type Poincaré

Z 1 Z 1
∃C>0 : 2
(f (x)) dx ≤ C (f 0 (x))2 dx, ∀ f ∈ C 1 ([0, 1], R), f (0) = f (1) = 0.
0 0

i) Pour chaque fonction f ∈ C 1 ([0, 1], R) vérifiant f (0) = f (1) = 0 on

considère f˜ la fonction 2-périodique, impaire sur [−1, 1] telle que f˜ = f
sur [0, 1]. Vérifier que f˜ est de classe C 1 sur R.
ii) Soit g la fonction définie par g(t) = f˜(t/π), t ∈ R. Que dire de la fonction
g?
iii) Déterminer les coefficients et la série de Fourier de l’application g.
iv) Même question pour l’application g 0 .
v) Trouver une constante C̃ (indépendante de g) telle que
Z 2π Z 2π
2
(g(t)) dt ≤ C̃ (g 0 (t))2 dt.
0 0

vi) Conclure.
vii) Indiquer les fonctions f telles qu’on ait égalité dans l’inégalité de Poincaré
ainsi obtenue.

Exercice 16. i) En utilisant les développement en séries de Fourier de f , f 0 ,

montrer que pour toute application 2π-périodique de C 1 (R, R) de moyenne
R 2π
nulle i.e., 0 f (t) dt = 0 nous avons l’inégalité (dite de Wirtinger)
Z 2π Z 2π
2
(f (t)) dt ≤ (f 0 (t))2 dt.
0 0

ii) Indiquer les fonctions telles qu’on ait égalité dans l’inégalité de Wirtinger.
R 2π
iii) L’inégalité reste-t-elle vraie si on supprime l’hypothèse 0 f (t) dt = 0 ?
Mihaı̈ Bostan 17

Exercice 17. Soit f 2π-périodique définie par


 t si t ∈] − π, π[
f (t) =
 0 si t = π.

Déterminer f ∗ f et montrer que

X cos nt 3t2 − 6π|t| + 2π 2
∀t ∈] − π, π[, = .
n≥1
n2 12

P
Exercice 18. i) Soit n≥1 bn sin(nt) une série trigonométrique, où bn ≥
0, n ≥ 1. On suppose que cette série est une série de Fourier. Montrer que
bn
P
n≥1 n < +∞.

ii) Montrer que la série trigonométrique (partout convergente) n≥2 sin(nt)

P
ln n

n’est pas une série de Fourier.

1.7 Exercices corrigés

Exercice 1. En utilisant le Lemme 1.2.1 on en déduit
i) Z π Z π
1 1
cn (f˜) = f (−t)e −int
dt = f (t)eint dt = c−n (f ).
2π −π 2π −π

ii)
Z 2π Z 2π
1 −int 1
cn (f ) = f (t)e dt = f (t)eint dt = c−n (f ).
2π 0 2π 0

iii)
Z 2π Z a+2π
1 −int 1
cn (τa f ) = f (t + a)e dt = f (u)e−in(u−a) du = eina cn (f ).
2π 0 2π a

iv)
Z 2π Z 2π
1 ikt −int 1
cn (ek f ) = f (t)e e dt = f (t)e−i(n−k)t dt = cn−k (f ).
2π 0 2π 0
18 2018/2019

v)
Z 2π Z 2π
1 1
(f ∗ en )(x) = f (t)e in(x−t)
dt = f (t)einx e−int dt = einx cn (f ).
2π 0 2π 0

vi)
Z 2π Z 2π
1 1
|(f ∗g)(x)| ≤ |g(x−t)| |f (t)| dt ≤ kgk∞ |f (t)| dt = kgk∞ kf k1 .
2π 0 2π 0

vii) D’après l’hypothèse on peut écrire [0, 2π[= ∪l−1

j=0 [aj , aj+1 [, où 0 = a0 <

... < al = 2π et où f est de classe C 1 sur [aj , aj+1 ]. Une intégration par partie
donne
Z aj+1 Z aj+1
0 −int
f (t)e dt = [f (t)e−int ]aajj+1 + in f (t)e−int dt.
aj aj

Sommant ces égalités de j = 0 à j = l − 1 et divisant par 2π, nous obtenons

par la périodicité de f
1
cn (f 0 ) = [f (t)e−int ]2π
0 + incn (f ) = incn (f ).
2π
PN
viii) Evidemment −N αn en ∈ C, N ∈ N. Par la convergence uniforme on
en déduit que f ∈ C et gràce à l’égalité (1.1) on obtient
Z 2π X N N
1 −int
X
cn (f ) = lim αk ek (t)e dt = lim αk δkn = αn .
N →+∞ 2π 0 N →+∞
−N −N

ix)
Z 2π  Z 2π 
1 1 
kf ∗ hk1 =  f (x − t)h(t) dt dx
2π 0  2π 0
Z 2π  Z 2π 
1 1
≤ |h(t)| |f (x − t)| dx dt
2π 0 2π 0
Z 2π
1
= |h(t)|kf k1 dt
2π 0
= kf k1 khk1 .

Exercice 2 (Lemme de Riemann-Lebesgue)

Il est bien connu que l’ensemble des fonctions de classe C 1 sur [a, b] est dense
Mihaı̈ Bostan 19

dans L1 (a, b). Par conséquent, pour tout ε > 0 il existe fε de classe C 1 sur
[a, b] telle que
Z b
ε
|f (t) − fε (t)| dt <
a 2
et on peut écrire
Z b  Z b  Z b 
 iλt
  iλt
  iλt

 f (t)e dt ≤  (f (t) − fε (t))e dt +  f ε (t)e dt
     
a a a
Z b 
ε  
≤ + fε (t)eiλt dt . (1.7)
2 a

Une intégration par parties donne

b b
eiλt b iλt
Z Z
e
fε (t)e iλt
dt = fε (t) | − fε0 (t) dt
a iλ a a iλ

ce qui implique
Z b 
 ≤ 2 kfε k∞ + b − a kfε0 k∞ ≤ ε
 iλt

 f ε (t)e dt |λ| (1.8)

a |λ| 2

pour |λ| ≥ Λε := 2ε (2kfε k∞ + (b − a)kfε0 k∞ ). En combinant (1.7), (1.8) il

résulte Z b 
 iλt

 f (t)e dt ≤ ε, |λ| ≥ Λε
 
a

ou encore
Z b
lim f (t)eiλt dt = 0.
|λ|→∞ a

Exercice 3. Soit f ∈ L1 . D’après le Lemme 1.2.2 cn (f ) → 0 quand |n| →

+∞ et donc γ(f ) ∈ c0 . Il est clair que l’application γ est linéaire. D’autre
part
2π Z 2π
 Z 
1 1
f (t)e−int

|cn (f )| =  dt ≤
 |f (t)| dt = kf k1
2π 0 2π 0
et alors kγ(f )k∞ = supn∈Z |cn (f )| ≤ kf k1 d’où kγk ≤ 1. De plus ke0 k1 = 1 et
kγ(e0 )k∞ ≥ |c0 (e0 )| = 1, donc kγk = 1. Montrons maintenant que γ(f ∗ g) =
20 2018/2019

γ(f )γ(g). On note h = f ∗ g, ϕ(x, t) = f (x − t)g(t)e−inx . La fonction ϕ est

intégrable pour la mesure produit dxdt sur [0, 2π] × [0, 2π] car
Z
1
|ϕ(x, t)| dxdt = kf k1 kgk1 < +∞.
4π 2 0≤x,t≤2π

Par le théorème de Fubini on obtient

Z 2π
1
cn (h) = h(x)e−inx dx
2π 0
Z
1
= f (x − t)g(t)e−int e−in(x−t) dxdt
4π 2 0≤x,t≤2π
Z 2π Z 2π 
1 −int −in(x−t)
= g(t)e f (x − t)e dx dt
4π 2 0 0
Z 2π Z 2π 
1 −int −inx
= g(t)e f (x)e dx dt
4π 2 0 0
Z 2π
1
= g(t)e−int (2πcn (f )) dt
4π 2 0
= cn (g)cn (f ).

Exercice 4. Pour tout n ∈ Z? nous avons cn (f ) = 1

c (f 0 ).
in n
Par l’inégalité
de Bessel on en déduit que
X
|cn (f 0 )|2 ≤ kf 0 k22
n∈Z?

d’où
X
n2 |cn (f )|2 < +∞.
n∈Z
P
Par conséquent la série n∈Z |cn (f )| est convergente car
!1/2 !1/2
X X X 1
|cn (f )| ≤ n2 |cn (f )|2 < +∞.
n∈Z? n∈Z? n∈Z?
n2

Finalement la série de Fourier converge normalement

X X
sup |cn (f )e−int | = |cn (f )| < +∞
t
n∈Z n∈Z
Mihaı̈ Bostan 21

et donc uniformément vers la fonction f , d’après la Proposition 1.2.3.

Exercice 5. i) Un calcul simple montre que pour tout n ∈ {−N, ..., N } nous
avons
hf, en i = hSN , en i = cn (f )

d’où hf − SN , en i = 0, ou encore f − SN ⊥ PN .
ii) En écrivant f − N
P PN
−N αn en = f − SN (f ) + −N (cn (f ) − αn )en et en

utilisant l’orthonormalité de la base (en )n on en déduit que

N
X N
X
kf − αn en k22 = kf − SN (f )k22 + |cn (f ) − αn |2 .
−N −N

PN
iii) En particulier nous avons kf − −N αn en k2 ≥ kf − SN (f )k2 d’où

inf{kf − P k2 : P ∈ PN } = kf − SN (f )k2

l’infimum étant atteint pour αn = cn (f ), n ∈ {−N, ...N }.

Exercice 6. (Identité de Parseval)

i) Pour tout x ∈ R on note
Z 2π
1
F (x) = f (x + t)f (t) dt.
2π 0

Evidemment F ∈ C et ses coefficients de Fourier sont donnés par

Z 2π
1
cn (F ) = F (x)e−inx dx
2π 0
Z 2π Z 2π
1 1
= f (x + t)f (t) dt e−inx dx
2π 0 2π 0
Z 2π Z 2π
1
= f (t)e −int f (x + t)e−in(x+t) dxdt
4π 2 0 0
Z 2π
1
= f (t)e−int 2πcn (f ) dt =
4π 2 0
= |cn (f )|2 .
22 2018/2019
P
D’après l’inégalité de Bessel n∈Z |cn (F )| converge et alors la série de Fourier
associée à F converge uniformément vers F
N
X
F (x) = lim |cn (f )|2 en (x), uniformément par rapport à x ∈ R.
N →+∞
n=−N

En particulier pour x = 0 on trouve

Z 2π +∞
1 2
X
F (0) = |f (t)| dt = |cn (f )|2 .
2π 0 n=−∞

ii) En utilisant les formules

an − ibn an + ibn
cn = , c−n = , n∈N
2 2
on en déduit que
+∞ +∞
X |a0 (f )|2 1 X
kf k22 2 2 2
= |c0 (f )| + {|cn (f )| +|c−n (f )| } = + {|an (f )|2 +|bn (f )|2 }.
n=1
4 2 n=1
iii) D’après (1.3) nous avons
N
X X
kf − SN (f )k22 = kf k22 − |cn (f )|2 = |cn (f )|2 → 0, N → +∞
n=−N |n|>N

d’où la dernière conclusion du théorème.

Exercice 7. (Noyau de Dirichlet)

i) Nous avons
N
X N
X N
X
D̃N = ẽn = e−n = e n = DN
−N −N −N
et Z π
1
DN (t) dt = c0 (DN ) = 1.
2π −π
ii) Pour x ∈ R \ 2πZ nous avons
2N (2N +1)ix
−i N x
X
i jx −i N x e −1
DN (x) = e e = e
j=0
eix − 1
e(2N +1)ix/2 (e(2N +1)ix/2 − e−(2N +1)ix/2 )
= e−i N x
eix/2 (eix/2 − e−ix/2 )
sin[(N + 1/2)x]
= .
sin(x/2)
Mihaı̈ Bostan 23

Evidemment, si x ∈ 2πZ, alors DN (x) = DN (0) = 2N + 1 = limx→0 sin[(N +

1/2)x]/ sin(x/2).
iii) Si 0 < |x| ≤ π alors

sin(N x) cos(x/2) + sin(x/2) cos(N x)

DN (x) =
sin(x/2)
= sin(N x) cot(x/2) + cos(N x)
 
2
= sin(N x) + ρ(x) + cos(N x)
x
2 sin(N x)
= + (sin(N x) ρ(x) + cos(N x))
x

avec sup0<|x|≤π |ρ(x)| < +∞. D’où le résultat par continuité en 0, avec
rN (x) = ρ(x) sin(N x) + cos(N x).
R 2π Rx
iv) Posons α = 0 | sin t| dt/(2π) = 2/π et ϕ(x) = 0 | sin t| dt − αx. Nous
avons Z 2π
ϕ(x + 2π) − ϕ(x) = | sin t| dt − 2πα = 0,
0

donc ϕ ∈ C et même ϕ ∈ C 1 , car ϕ 0 (x) = | sin x| − α. D’après iii)

Z π  Z π 
2  sin(N x)  2  sin(N x) 
kDN k1 =   dx + O(1) =   dx + O(1)
2π −π  x  π 0  x 
Z Nπ Z Nπ
2 | sin y| 2 | sin y|
= dy + O(1) = dy + O(1)
π 0 y π 1 y
2 Nπ α 2 N π ϕ 0 (y)
Z Z
= dy + dy + O(1)
π 1 y π 1 y
 Z Nπ 
4 2 ϕ(N π) ϕ(1) ϕ(y)
= ln(N π) + − + dy + O(1)
π2 π Nπ 1 1 y2
4
= ln(N ) + O(1)
π2
R∞
car ϕ étant bornée, l’intégrale 1 |ϕ(y)|
y2
dy est convergente.
v) D’après la Proposition 1.2.1 v) on a
N
X N
X N
X
SN (f ) = cn (f )en = f ∗ en = f ∗ en = f ∗ DN .
−N −N −N
24 2018/2019

Exercice 8. (Théorème de Dirichlet)

Par translation on peut supposer x0 = 0. En utilisant la Proposition 1.4.1 on
a
Z π
1 + − 1 1
SN (f, 0) − (f + f ) = f (−t)DN (t) dt − (f + + f − )
2 2π −π 2
Z π Z π
1 1
= {f (t) + f (−t) − f + − f − }DN (t) dt = h(t) sin ((N + 1/2)t) dt
4π 0 2π 0

où on a posé

f (t) − f + + f (−t) − f −
h(t) = , 0 < t < π.
2 sin(t/2)

Par l’hypothèse (1.5) il résulte que h ∈ L1 (0, π). D’après le lemme de Riemann-
Lebesgue on a donc
Z π
lim h(t) sin ((N + 1/2)t) dt = 0
N →+∞ 0

ce qui prouve notre conclusion.

Exercice 9. i) Nous avons

Z π Z π Z π
1 −int 1 i
cn (f ) = f (t)e dt = f (t) cos(nt) dt− f (t) sin(nt) dt.
2π −π 2π −π 2π −π

Les fonctions t → f (t) cos(nt) et t → f (t) sin(nt) étant paire respectivement

impaire, nous avons
Z π
1 π
Z Z π
1 1
f (t) cos(nt) dt = f (t) cos(nt) dt, f (t) sin(nt) dt = 0
2π −π π 0 2π −π

et alors Z π
1
cn (f ) = f (t) cos(nt) dt.
π 0

En particulier la suite n → cn (f ) est paire, d’où

N
X N
X
SN (f, t) = c0 (f ) + cn (f )en (t) = c0 (f ) + 2 cn (f ) cos(nt).
−N 1
Mihaı̈ Bostan 25

ii) De la même façon, si f est impaire, en utilisant le fait que les applications
t → f (t) cos(nt) et t → f (t) sin(nt) sont impaire respectivement paire, nous
obtenons
π N
−i
Z X
cn (f ) = f (t) sin(nt) dt, SN (f, t) = 2i cn (f ) sin(nt).
π 0 1

Exercice 10. i) La fonction σε est paire et alors

1 ε
Z
sin(nε)
cn (σε ) = cos(nt) dt = , si n 6= 0.
π 0 nπ
Si n = 0 nous obtenons c0 (σε ) = ε/π.
ii) La somme partielle est
N
ε X sin(nε)
SN (σε , t) = + 2 cos(nt).
π 1
nπ

iii) On applique le théorème de Dirichlet à σε au point x0 = ε. Nous obtenons

limN →+∞ SN (σε , ε) = 1/2, autrement dit
+∞ +∞
ε X sin(nε) cos(nε) ε X sin(2nε) 1
+2 = + = .
π 1
nπ π 1
nπ 2

Posant 2ε = a on obtient
+∞
X sin(na) π−a
= , 0 < a < 2π.
1
n 2

Exercice 11. i) La fonction ∆ε est paire. Après une intégration par parties
on trouve pour n 6= 0
Z ε 
1 t 1 − cos(nε)
cn (∆ε ) = 1− cos(nt) dt =
π 0 ε n2 πε
tandis que c0 (∆ε ) = ε/(2π). Notons que +∞
P
−∞ |cn (∆ε )| < +∞ et nous avons

la convergence uniforme
N
!
ε X 1 − cos(nε)
∆ε (t) = lim SN (∆ε , t) = lim +2 2 πε
cos(nt) , t ∈ R.
N →+∞ N →+∞ 2π 1
n
26 2018/2019

iii) Faisant ε = π et t = 0 on obtient

1 X
1= + cn (∆π )
2 n6=0
ou encore
+∞
X 1 − cos(nπ) +∞
1 1 X 1
1= +2 2π2
= + 4 2π2
.
2 1
n 2 0
(2p + 1)

On retrouve les identités classiques

+∞ +∞ +∞
X 1 π2 X 1 4X 1 π2
= , = = .
0
(2p + 1)2 8 1
n2 3 0 (2p + 1)2 6

Exercice 12. i) Par calcul direct on trouve l’expression suivante pour les
coefficients de Fourier trigonométriques
Z π
1 sin(πa)
cn (f ) = ei(a−n)t dt = (−1)n .
2π −π π(a − n)
Considérons x0 = π. Notons que

lim f (π + t) = lim f (−π + t) = e−iaπ

t&0 t&0

et
lim f (π − t) = lim eia(−t+π) = eiaπ .
t&0 t&0

D’autre part
N N
sin(πa) X n sin(πa) inπ
X sin(πa) −inπ
SN (f, π) = + (−1) e + (−1)n e
πa 1
π(a − n) 1
π(a + n)
N  
sin(πa) sin(πa) X 1 1
= + +
πa π 1
a−n a+n
N
sin(πa) 2a sin(πa) X 1
= + .
πa π 1
a − n2
2

Le théorème de Dirichlet nous donne

1 1
lim SN (f, π) = (f + + f − ) = (e−iaπ + eiaπ ) = cos(aπ).
N →+∞ 2 2
Mihaı̈ Bostan 27

Nous avons obtenu

N
sin(πa) 2a sin(πa) X 1
cos(πa) = +
πa π 1
a2 − n 2

ou encore
+∞
1 X 1
π cot(πa) = + 2a , a ∈ C \ Z.
a 1
a − n2
2

Exercice 13. i) Un calcul simple montre que

e2πa − 1
cn (f ) = , n ∈ Z.
2π(a − in)

La série de Fourier ne converge pas uniformément (ni normalement) car f

n’est pas continue. Elle converge simplement, par le Théorème de Dirichlet
1.5.1 vers la fonction 2π-périodique f˜ donnée par

1 + e2πa
f˜(x) = f (x), x ∈ (0, 2π), f˜(0) = .
2

Nous avons
X e2πa − 1
einx = f˜(x).
n∈Z
2π(a − in)
ii) En particulier pour x = 0 on trouve
X e2πa − 1 1 + e2πa
=
n∈Z
2π(a − in) 2

d’où
X a e2πa + 1
= π .
n∈Z
a2 + n 2 e2πa − 1
L’égalité précédente implique

1 X 1 π e2πa + 1
+ 2 =
a2 n≥1
a2 + n2 a e2πa − 1

ou encore
X 1 π e2πa + 1 1
2 2 2
= 2πa
− 2.
n≥1
a +n ae −1 a
28 2018/2019

On souhaite passer à la limite pour a → 0. Avec la notation 2πa = y on a

X 1  y 
2 1e +1 2
2 = lim 2π −
n≥1
n2 y→0 y ey − 1 y 2
2π 2 y y(ey + 1) − 2(ey − 1)
= lim
y→0 ey − 1 y3
1 + yey − ey
= 2π 2 lim
y→0 3y 2
2π 2
=
6
d’où la conclusion.

Exercice 14. i) On considère la fonction 2π- périodique donnée par g(x) =

x2 , x ∈ [−π, π). Un calcul simple, en utilisant des intégrations par parties
successives, montre que
2(−1)n π2
cn (g) = , n 6
= 0, et c 0 (g) = .
n2 3
Par le Théorème de Dirichlet nous avons pour tout x ∈ [−π, π] (car g est
continue)
X π 2 X 2(−1)n inx
g(x) = cn (g)einx = + 2
(e + e−inx )
n∈Z
3 n≥1
n
2 X (−1)n
π
= +4 cos(nx).
3 n≥1
n2

En appliquant l’identité de Parseval on obtient

π4 X π4 X 4
= kgk22 = |cn (g)|2 = +2
5 n∈Z
9 n≥1
n4
ou encore
X 1 π4
4
= . (1.9)
n≥1
n 90
De la même manière, les coefficients de Fourier de l’application 2π-périodique
donnée par
h(x) = x, x ∈ [−π, π)
Mihaı̈ Bostan 29

sont
i(−1)n
c0 (h) = 0, cn (h) = , n 6= 0
n
d’où
X X i(−1)n
h(x) = cn (h)einx = (einx − e−inx )
n6=0 n≥1
n
X (−1)n+1
= 2 sin(nx), x ∈ (−π, π).
n≥1
n

L’identité de Parseval conduit à

π2 X X 1
= khk22 = |cn (h)|2 = 2
3 n∈Z n≥1
n2

d’òu
X 1 π2
2
= . (1.10)
n≥1
n 6

ii) Les coefficients de Fourier de l’application f sont

iπ 2 (−1)n 3i π2
 
6
c0 (f ) = 0, cn (f ) = − cn (g) = i(−1)n − 3 .
n n n n

Par l’identité de Parseval on obtient

π6 2
X
2
X  π 4 36 12π 2 
= kf k2 = |cn (f )| = 2 + − 4 .
7 n∈Z n≥1
n2 n6 n

En combinant avec (1.9), (1.10) on en déduit que

X 1 π6
6
= .
n≥1
n 945

Exercice 15. i) Il faut vérifier la dérivabilité de f˜ en 0 et 1. Nous avons

d’une part

f˜(x) − f˜(0) −f (−x) f (y)

f˜g0 (0) = lim = lim = lim = f˜d0 (0).
x%0 x x%0 x y&0 y
30 2018/2019

D’autre part, par 2-périodicité

f˜(x) − f˜(1) f˜(x − 2) f (y)

f˜d0 (1) = lim = lim = lim = f˜g0 (1).
x&1 x−1 x&1 x − 1 y%1 y − 1

ii) Bien évidemment la fonction g est impaire, 2π-périodique, de classe C 1

sur R.
iii) Nous avons
Z π Z π
−int
2πcn (g) = g(t)e dt = −2i g(t) sin(nt) dt
−π 0
Z 1
= −i2π f (x) sin(nπx) dx
0

d’où
Z 1
cn (g) = −i f (x) sin(nπx) dx, n ∈ Z.
0

La série de Fourier associée à l’application g s’écrit

X X X
cn (g)eint = cn (g)(eint − e−int ) = 2i cn (g) sin(nt).
n∈Z n≥1 n≥1

iv) Les coefficients de Fourier de g 0 sont donnés par

Z 2π Z 2π
0 0 −int
2πcn (g ) = g (t)e dt = in g(t)e−int dt
0 0

d’où cn (g 0 ) = incn (g), n ∈ Z. La série de Fourier s’écrit

X X X
cn (g 0 )eint = cn (g 0 )(eint + e−int ) = 2 cn (g 0 ) cos(nt)
n∈Z n≥1 n≥1
X
= 2i ncn (g) cos(nt).
n≥1

v) Par l’identité de Parseval nous obtenons

Z 2π
1 X X
(g(t))2 dt = |cn (g)|2 = 2 |cn (g)|2
2π 0 n∈Z n≥1
Mihaı̈ Bostan 31

et
Z 2π
1 X X
(g 0 (t))2 dt = |cn (g 0 )|2 = 2 |cn (g 0 )|2
2π 0 n∈Z n≥1
X
= 2 n2 |cn (g))|2 .
n≥1

Clairement nous avons

Z 2π Z 2π
1 1
2
(g(t)) dt ≤ (g 0 (t))2 dt
2π 0 2π 0

avec égalité si et seulement si cn (g) = 0 pour tout |n| > 1, et par conséquent
on peut prendre C̃ = 1.
vi) Mais
Z 2π Z π Z 1
2 2
(g(t)) dt = 2 (g(t)) dt = 2π (f (x))2 dx
0 0 0

et
Z 2π Z π Z 1
0 0 2
(f (t)) dt = 2 2
(f (t)) dt =2
(f 0 (x))2 dx.
0 0 π 0

Finalement on en déduit que

Z 1 Z 1
1
2
(f (x)) dx ≤ 2 (f 0 (x))2 dx
0 π 0

c’est-à-dire on peut prendre C = π −2 .

vii) Les fonctions f recherchées sont celles telles que cn (g) = 0, |n| > 1. Un
calcul simple montre que les coefficients de Fourier de g − 1n=−1 cn (g)eint
P

sont tous nuls et alors

1
X
g(t) = cn (g)eint = c1 (g)(eit − e−it ) = 2ic1 (g) sin(t)
n=−1

où c1 (g) ∈ C. On en déduit que

f (x) = g(πx) = 2ic1 (g) sin(πx) = λ sin(πx), x ∈ [0, 1]

32 2018/2019

où λ est une constante réelle, car f est supposée à valeurs réelles.

Exercice 16.i) L’application f étant de moyenne nulle, c0 (f ) = 0. En tenant

compte du fait que cn (f 0 ) = incn (f ), n ∈ Z nous avons par l’identité de
Parseval
Z 2π Z 2π
1 X X 1
2
(f (t)) dt = 2
|cn (f )| ≤ 2 2
n |cn (f )| = (f 0 (t))2 dt
2π 0 n6=0 n6=0
2π 0

avec égalité si et seulement si cn (f ) = 0, |n| > 1.

ii) Les fonctions f pour lesquelles on a égalité sont

f (t) = c−1 (f )e−it + c1 (f )eit , t ∈ R.

Comme f est à valeurs réelles nous obtenons

f (t) = a cos t + b sin t, a, b ∈ R

iii) L’inégalité ne reste pas vraie si on supprime l’hypothèse de moyenne nulle.

En vérité f = 1 ne vérifie pas l’inégalité de Wirtinger.

Exercice 17. Par définition la convolution f ∗ f est donnée par (f ∗ f )(t) =

1
Rπ
2π −π
f (t − s)f (s) ds. Si t ∈ [−π, 0) nous avons
Z t+π Z π
2π(f ∗ f )(t) = sf (t − s) ds + sf (t − s) ds
−π t+π
Z t+π Z π
= s(t − s) ds + s(t − s + 2π) ds
−π t+π
Z π Z π
= s(t − s) ds + 2π s ds
−π t+π
2
= − π 3 − πt2 + 2π 2 |t|.
3
Mihaı̈ Bostan 33

Si t ∈ [0, π) alors
Z t−π Z π
2π(f ∗ f )(t) = sf (t − s) ds +
sf (t − s) ds
−π t−π
Z t−π Z π
= s(t − s − 2π) ds + s(t − s) ds
−π t−π
Z π Z t−π
= s(t − s) ds − 2π s ds
−π −π
2
= − π 3 − πt2 + 2π 2 |t|.
3
Finalement on obtient la formule
π 2 t2
(f ∗ f )(t) = − − + π|t|, t ∈ [−π, π).
3 2
Mais d’après la Proposition 1.2.2 on sait que cn (f ∗ f ) = (cn (f ))2 , n ∈ Z.
Comme les coefficients de Fourier de f sont donnés par
i(−1)n
c0 (f ) = 0, cn (f ) = , n 6= 0
n
il résulte que
1
c0 (f ∗ f ) = 0, cn (f ∗ f ) = − , n 6= 0.
n2
Par le théorème de Dirichlet on peut écrire pour tout t ∈ (−π, π)
X X cos(nt)
(f ∗ f )(t) = cn (f ∗ f )eint = −2
n∈Z n≥1
n2

et on en déduit que
X cos(nt) 3t2 − 6π|t| + 2π 2
= , t ∈ (−π, π).
n≥1
n2 12

Exercice 18. i) Supposons qu’il existe f ∈ C telle que c0 (f ) = 0, cn (f ) =

− ib2n , c−n (f ) = ib2n , n ≥ 1. Comme c0 (f ) = 0, il résulte que la primitive
Rt
F (t) = 0 f (s) ds est une fonction continue, 2π-périodique. Puisque F 0 = f
on en déduit que
cn (f ) = cn (F 0 ) = incn (F )
34 2018/2019

bn
d’òu cn (F ) = c−n (F ) = − 2n , n ≥ 1. D’après le théorème de Dirichlet on a
pour tout t ∈ R
X X X bn
F (t) = cn (F )eint = c0 (F )+ cn (F )(eint +e−int ) = c0 (F )−2 cos(nt).
n∈Z n≥1 n≥1
2n

En particulier
X bn
0 = F (0) = c0 (F ) −
n≥1
n

et alors n≥1 bnn < +∞.

P

ii) Si n≥2 sin(nt) 1

P P
ln n
était une série de Fourier, alors n≥2 n ln n
< +∞ ce qui
est faux, car
Z n+1 Z +∞ Z +∞
X 1 X dx dx dy
≥ = = = +∞.
n≥2
n ln n n≥2 n x ln x 2 x ln x ln 2 y
Chapitre 2

Les espaces Lp

2.1 Les espaces Lp avec 1 ≤ p < ∞

Soient (E, T, m) un espace mesuré, 1 ≤ p < ∞ et f ∈ M(E, T ). Alors
|f |p ∈ M+ , car |f |p = ϕ ◦ f , où ϕ est la fonction continue, donc borélienne
R
définie par ϕ(s) = |s|p pour tout s ∈ R. La quantité |f |p dm ∈ R+ est bien
définie.

Définition 2.1.1 (Les espaces Lp )

Soient (E, T, m) un espace mesuré, 1 ≤ p < ∞ et f une fonction définie de
E dans R, mesurable.

1. On dit que f ∈ Lp = LpR (E, T, m) si |f |p dm < +∞. On pose alors

R
R
1/p
kf kp = |f |p dm .
R
2. On dit que f ∈/ Lp si |f |p dm = +∞. On pose alors kf kp = +∞.

Définition 2.1.2 (Les espaces Lp )

Soient (E, T, m) un espace mesuré, 1 ≤ p < ∞.

1. On définit l’espace Lp = LpR (E, T, m) comme l’ensemble des classes

d’équivalence des fonctions de Lp pour la relation d’équivalence égalité

35
36 2018/2019

p.p..

2. Soit F ∈ LpR (E, T, m). On pose kF kp = kf kp . Cette définition est

cohérente car kf kp ne dépend pas du choix de f dans F = f˜ = {g ∈
Lp : g = f p.p.}.

Proposition 2.1.1
Soient (E, T, m) un espace mesuré et 1 ≤ p < ∞. Alors

1. LpR (E, T, m) est un espace vectoriel sur R.

2. LpR (E, T, m) est un espace vectoriel sur R.

Preuve.
1. Soit α ∈ R, f ∈ Lp . On a αf ∈ M (car M est un espace vectoriel) et
R R
|αf |p dm = |α|p |f |p dm < +∞, donc αf ∈ Lp . Soient f, g ∈ Lp . On
veut montrer que f + g ∈ Lp . On sait que f + g ∈ M (car M est un espace
vectoriel) et
|f (x) + g(x)|p ≤ 2p |f (x)|p + 2p |g(x)|p

d’òu
Z Z Z
p p p p
|f (x) + g(x)| dm ≤ 2 |f | dm + 2 |g|p dm < +∞

ce qui montre que f + g ∈ Lp .

2. La structure vectorielle de Lp suit comme dans le cas p = 1.

Dans la suite on montre que f → kf kp est une semi-norme sur Lp et une

norme sur Lp .

Lemme 2.1.1 (Inégalité de Young)

Soient a, b ∈ R+ et p, q ∈]1, +∞[ tels que 1/p + 1/q = 1. Alors nous avons
l’inégalité
ap b q
ab ≤ + .
p q
Mihaı̈ Bostan 37

Preuve.
On utilise la convexité de la fonction exponentielle

exp(tθ1 + (1 − t)θ2 ) ≤ t exp(θ1 ) + (1 − t) exp(θ2 ).

Soient a, b > 0, t = 1/p, exp(θ1 ) = ap , exp(θ2 ) = bq . On obtient

ap b q
ab = (exp(θ1 ))t (exp(θ2 ))1−t ≤ t exp(θ1 ) + (1 − t) exp(θ2 ) = + .
p q

Lemme 2.1.2 (Inégalité de Hölder)

Soient (E, T, m) un espace mesuré et p, q ∈]1, +∞[ tels que 1/p + 1/q = 1.
Soient f ∈ LpR (E, T, m) et g ∈ LqR (E, T, m). Alors f g ∈ L1R (E, T, m) et

kf gk1 ≤ kf kp kgkq . (2.1)

Le même résultat est vrai avec Lp , Lq , L1 au lieu de Lp , Lq , L1 .

Preuve.
Nous avons f g ∈ M, car f, g ∈ M. Par l’inégalité de Young on a pour tout
x∈E
|f (x)|p |g(x)|q
|f (x)g(x)| ≤ +
p q
et donc Z Z Z
1 p 1
|f g| dm ≤ |f | dm + |g|q dm < +∞.
p q
La fonction f g appartient bien à L1 . On considère les trois cas suivants.

1. On suppose kf kp = 0 ou kgkq = 0. On a alors f = 0 p.p. ou g = 0 p.p..

On en déduit que f g = 0 p.p., d’òu kf gk1 = 0 et (2.1) est vérifiée.

2. On suppose que kf kp = 1 et kgkq = 1. On écrit

Z Z Z
1 p 1 1 1
kf gk1 = |f g| dm ≤ |f | dm+ |g|q dm = + = 1 = kf kp kgkq .
p q p q
38 2018/2019

f g
3. On suppose que kf kp > 0 et kgkq > 0. On pose f1 = kf kp
, g1 = kgkq
.
Alors kf1 kp = kg1 kq = 1 et d’après le cas précédent on a

kf gk1
= kf1 g1 k ≤ 1
kf kp kgkq

ce qui donne (2.1).

Lemme 2.1.3 (Inégalité de Minkowski)

Soit (E, T, m) un espace mesuré et 1 ≤ p < ∞. Soit f, g ∈ LpR (E, T, m).
Alors f + g ∈ Lp et kf + gkp ≤ kf kp + kgkp . Le même résultat est vrai avec
Lp au lieu de Lp .

Preuve.
Le cas p = 1 a déjà été traité. Supposons que p > 1. On sait déjà que
f + g ∈ Lp et on peut supposer que kf + gkp > 0. En utilisant l’inégalité de
Hölder avec p et q tels que 1/p + 1/q = 1, on a
Z Z 1/p Z 1/q
p−1 p (p−1)q
|f | |f +g| dm ≤ |f | dm |f + g| dm = kf kp kf +gkp/q
p

Z Z 1/p Z 1/q
p−1 p (p−1)q
|g| |f +g| dm ≤ |g| dm |f + g| dm = kgkp kf +gkp/q
p .

En combinant avec l’inégalité triangulaire, on obtient

Z Z Z
p p p−1
kf + gkp = |f + g| dm ≤ |f | |f + g| dm + |g| |f + g|p−1 dm

≤ (kf kp + kgkp )kf + gkp/q

p

ou encore
kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
Mihaı̈ Bostan 39

Proposition 2.1.2
Soient (E, T, m) un espace mesuré et 1 ≤ p < ∞.

1. L’application f → kf kp est une semi-norme sur Lp .

2. L’application f → kf kp est une norme sur Lp . L’ensemble Lp muni de

cette norme est un espace vectoriel réel normé.

Théorème 2.1.1 (L’espace Lp est complet)

Soient (E, T, m) un espace mesuré et 1 ≤ p < ∞. L’espace vectoriel normé
(Lp , k · kp ) est complet.

2.2 L’espace L2
Définition 2.2.1 (Produit scalaire)

1. Soit H un espace vectoriel sur R. On appelle produit scalaire sur H une

application de H × H dans R, notée (·|·) telle que

(a) (u|u) > 0 pour tout u ∈ H \ {0}.

(b) (u|v) = (v|u) pour tout u, v ∈ H.

(c) u → (u|v) est une application linéaire de H dans R, pour tout

v ∈ H.

2. Soit H un espace vectoriel sur C. On appelle produit scalaire sur H une

application de H × H dans C, notée (·|·) telle que

(a) (u|u) ∈ R?+ pour tout u ∈ H \ {0}.

(b) (u|v) = (v|u) pour tout u, v ∈ H.

(c) u → (u|v) est une application linéaire de H dans C, pour tout

v ∈ H.

Remarque 2.2.1
40 2018/2019

1. Soit (·|·) un produit scalaire sur un espace vectoriel réel. Les propriétés
(b) et (c) assurent que l’application v → (u|v) est également linéaire
de H dans R, pour tout u ∈ H.

2. Soit (·|·) un produit scalaire sur un espace vectoriel complexe. Les pro-
priétés (b) et (c) assurent que pour tout u ∈ H, l’application v → (u|v)
est anti-linéaire de H dans C, c’est-à-dire

(u|v1 + v2 ) = (u|v1 ) + (u|v2 ), v1 , v2 ∈ H

(u|λv) = λ(u|v), v ∈ H, λ ∈ C.

Remarque 2.2.2 (Exemple fondamental)

Soit (E, T, m) un espace mesuré.

1. On prend H = L2R (E, T, m). C’est un espace vectoriel sur R. Par le

Lemme 2.1 avec p = q = 2 on sait que si f, g ∈ L2R (E, T, m), alors f g ∈
R
L1R (E, T, m). L’application (f |g) = f g dm est un produit scalaire sur
H.

2. On prend H = L2C (E, T, m) (voir la Définition 3.0.1 pour les espaces

Lp des fonctions à valeurs dans C). C’est un espace vectoriel sur C. On
montre comme avant que si f, g ∈ L2C (E, T, m), alors f g ∈ L1C (E, T, m).
R
L’application (f |g) = f g dm est un produit scalaire sur H.

Proposition 2.2.1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

1. Soit H un espace vectoriel sur R muni d’un produit scalaire, noté (·|·).
Alors pour tout u, v ∈ H on a

(u|v)2 ≤ (u|u) (v|v).

De plus, on a égalité ssi u et v sont colinéaires.

Mihaı̈ Bostan 41

2. Soit H un espace vectoriel sur C muni d’un produit scalaire, noté (·|·).
Alors pour tout u, v ∈ H on a

|(u|v)|2 ≤ (u|u) (v|v).

De plus, on a égalité ssi u et v sont colinéaires.

Proposition 2.2.2 (Norme induite par un produit scalaire)

Soit H un espace vectoriel sur K, avec K = R ou K = C, muni d’un produit
p
scalaire noté (·|·). Pour tout u ∈ H, on pose kukH = (u|u). Alors k · kH est
une norme sur H. On l’appelle la norme induite par le produit scalaire (·|·).

Preuve.
Bien évidemment on a kukH ∈ R+ pour tout u ∈ H et kukH = 0 ssi (u|u) = 0,
ou encore ssi u = 0. On a bien pour tout α ∈ K, u ∈ H
p p p
kαukH = (αu|αu) = |α|2 (u|u) = |α| (u|u) = |α|kukH

Pour montrer l’inégalité triangulaire on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz

ku + vk2H = (u + v|u + v) = (u|u) + (u|v) + (v|u) + (v|v) = kuk2H + 2<(u|v) + kvk2H

≤ kuk2H + kvk2H + 2kukH kvkH = (kukH + kvkH )2 .

On obtient donc ku + vkH ≤ kukH + kvkH pour tout u, v ∈ H.

Définition 2.2.2 (Espace de Hilbert)

1. Un espace préhilbertien (réel ou complexe) est un espace vectoriel (sur

R ou sur C) normé, dont la norme est induite par un produit scalaire.

2. Un espace de Hilbert (réel ou complexe) est un espace vectoriel (sur R

ou sur C) normé, complet, dont la norme est induite par un produit
scalaire. C’est donc un espace de Banach, dont la norme est induite
par un produit scalaire.
42 2018/2019

Théorème 2.2.1 (L’espace L2 )

Soit (E, T, m) un espace mesuré.

1. L’espace L2R (E, T, m) muni de la norme k · k2 est un espace de Hilbert

R
(réel) et le produit scalaire associé à la norme est (f |g)2 = f g dm.

2. (a) Soit f une application mesurable de E dans C (donc |f | ∈ M+ ).

On dit que f ∈ L2C (E, T, m) si |f | ∈ L2R (E, T, m). Pour f ∈
R
1/2
L2C (E, T, m), on pose kf k2 = k |f | k2 = |f |2 dm . Alors
L2C (E, T, m) est un espace vectoriel sur C et f → kf k2 est une
semi-norme sur L2C (E, T, m).

(b) On appelle L2C (E, T, m) l’espace quotient de L2C (E, T, m) par la

relation d’équivalence égalité p.p.. Pour F ∈ L2C (E, T, m), on pose
kF k2 = kf k2 , avec f ∈ F (noter que kf k2 ne dépend pas du choix
de f dans F ). Alors L2C (E, T, m), muni de k · k2 est un espace de
Banach (complexe).

(c) L’espace L2C (E, T, m), muni de la norme k · k2 est un espace de

Hilbert (complexe) et le produit scalaire associé à la norme est
R
(f |g)2 = f g dm.

2.3 L’espace L∞
Définition 2.3.1 (L’espace L∞ )
Soit (E, T, m) un espace mesuré et f une fonction mesurable (de E dans R).

1. On dit que f est essentiellement bornée, ou encore que f ∈ L∞ =

L∞
R (E, T, m) s’il existe une constante C ∈ R+ telle que |f | ≤ C p.p..

2. Si f ∈ L∞ , on pose kf k∞ = inf{C ∈ R+ : |f | ≤ C p.p.}.

/ L∞ , on pose kf k∞ = +∞.
3. Si f ∈
Mihaı̈ Bostan 43

Lemme 2.3.1
Si f ∈ L∞ , alors |f | ≤ kf k∞ p.p..

Proposition 2.3.1
Si (E, T, m) = (R, B(R), λ) et f ∈ C(R, R), alors

kf ku := sup |f (x)| = kf k∞ .
x∈R

Définition 2.3.2
Soient (E, T, m) un espace mesuré et L∞ = L∞
R (E, T, m).

1. On définit L∞ = L∞
R (E, T, m) comme l’ensemble des classes d’équivalence

sur L∞ pour la relation d’équivalence égalité p.p..

2. Soit F ∈ L∞ . On pose kF k∞ = kf k∞ avec f ∈ F , de sorte que F =

{g ∈ L∞ : g = f p.p.}. Cette définition est cohérente, car kf k∞ ne
dépend pas du choix de f dans F .

Proposition 2.3.2
Soient (E, T, m) un espace mesuré, L∞ = L∞
R (E, T, m) et L
∞
= L∞
R (E, T, m).

1. L∞ est un espace vectoriel sur R et l’application définie de L∞ dans R

par f → kf k∞ est une semi-norme sur L∞ .

2. L∞ est un espace vectoriel sur R et l’application définie de L∞ dans R

par F → kF k∞ est une norme sur L∞ .

Proposition 2.3.3
Soit (E, T, m) un espace mesuré. L’espace L∞
R (E, T, m) est un espace de Ba-

nach, c’est-à-dire un espace vectoriel normé complet.

44 2018/2019

2.4 Exercices et corrections

Exercice 2.4.1
Soient (E, T, m) un espace mesuré, et f, g, h des fonctions mesurables de E
1 1 1
dans R. Soient p, q, r ∈]1, +∞[, tels que p
+ q
+ r
= 1. En convenant que
0 × (+∞) = 0, montrer que
Z
|f gh| dm ≤ kf kp kgkq khkr .

Correction
En utilisant la convexité de la fonction exponentielle, on établit l’inégalité de
Young (voir le Lemme 2.1.1)

ap bq cr 1 1 1
abc ≤ + + , a, b, c ∈ R+ , + + = 1.
p q r p q r

Ensuite on procède exactement comme dans la preuve de l’inégalité de Hölder

(voir le Lemme 2.1).

Exercice 2.4.2 (Produit Lp − Lq )

Soient (E, T, m) un espace mesuré, p ∈ [1, +∞] et q le conjugué de p.
Soient (fn )n ⊂ LpR (E, T, m), (gn )n ⊂ LqR (E, T, m), f ∈ LpR (E, T, m), g ∈
LqR (E, T, m) telles que fn → f dans LpR (E, T, m) et gn → g dans LqR (E, T, m).
R R
Montrer que fn gn dm → f g dm lorsque n → +∞.

Correction
En utilisant l’inégalité de Hölder, nous avons
Z Z  Z  Z 
     
 fn gn dm − f g dm ≤  fn (gn − g) dm +  (fn − f )g dm
     

≤ kfn kp kgn − gkq + kfn − f kp kgkq .

Mihaı̈ Bostan 45

Comme fn → f dans LpR (E, T, m), la suite (kfn kp )n est bornée. Les conver-
gences de (fn )n vers f dans Lp et de (gn )n vers g dans Lq entraı̂ne

lim kfn kp kgn − gkq = 0, lim kfn − f kp kgkq = 0

n→+∞ n→+∞

et par conséquent
Z Z
lim fn gn dm = f g dm.
n→+∞

Exercice 2.4.3 (Convergence de k · kp quand p → +∞)

Soit f une fonction de R dans R, continue à support compact. Montrer que
kf kp → kf k∞ lorsque p → +∞.

Correction
Rappelons que le support d’une fonction continue est défini par suppf =
{x ∈ R : f (x) 6= 0}. Soit A ∈ R?+ tel que suppf ⊂ [−A, A]. Nous avons
l’inégalité |f | ≤ kf k∞ 1[−A,A] . Par la monotonie de l’intégrale, on en déduit
que
Z Z
p
|f | dλ = |f |p 1[−A,A] dλ ≤ kf kp∞ 2A.

Ainsi, pour tout 1 ≤ p < +∞ nous avons

kf kp ≤ kf k∞ (2A)1/p

et en passant à la limite supérieure on en déduit que lim supp→+∞ kf kp ≤

kf k∞ . Prenons maintenant α < kf k∞ . Il existe donc x0 ∈ R tel que α <
|f (x0 )| ≤ kf k∞ . Par la continuité de |f | au point x0 il résulte qu’il existe un
intervalle I0 de longueur strictement positive, contenant x0 , tel que |f |1I0 ≥
α1I0 . Par la monotonie de l’intégrale, on peut écrire
Z Z
kf kpp ≥ p
|f | 1I0 dλ ≥ αp 1I0 dλ = αp λ(I0 ).
46 2018/2019

On en déduit que kf kp ≥ αλ(I0 )1/p et par conséquent lim inf p→+∞ kf kp ≥ α,

pour tout α < kf k∞ . En faisant tendre α vers kf k∞ on obtient lim inf p→+∞ kf kp ≥
kf k∞ . Nous avons donc démontré que

kf k∞ ≤ lim inf kf kp ≤ lim sup kf kp ≤ kf k∞

p→+∞ p→+∞

ce qui montre que limp→+∞ kf kp = kf k∞ .

Exercice 2.4.4 (Convergence presque partout et convergence des normes,

par Fatou)
Soit (E, T, m) un espace mesuré. Pour p ∈ [1, +∞], on note Lp l’espace
LpR (E, T, m). Soit p ∈ [1, +∞[, (fn )n une suite d’éléments de Lp et f ∈ Lp .
On suppose que fn → f p.p. et que kfn kp → kf kp , quand n → +∞.

1. On suppose que p = 1. Pour n ∈ N, on pose gn = |fn | + |f | − |fn − f |.

Montrer que gn ≥ 0 pour tout n ∈ N. En utilisant le lemme de Fatou,
montrer que fn → f dans L1 .

2. Supposons maintenant que p ∈]1, +∞[. En utilisant le lemme de Fatou

pour une suite convenable, montrer que fn → f dans Lp .

Correction

1. Par l’inégalité triangulaire on a |fn −f | ≤ |fn |+|f | et donc gn ≥ 0 pour

tout n ∈ N. La convergence p.p. de (fn ) vers f implique la convergence
p.p. de (gn )n vers 2|f |, quand n → +∞. En utilisant le lemme de Fatou,
on a
Z Z Z
2|f | dm = lim gn dm ≤ lim inf gn dm = 2kf k1 −lim sup kfn −f k1
n→+∞ n→+∞ n→+∞

ou encore lim supn→+∞ kfn − f k1 ≤ 0, d’ou limn→+∞ kfn − f k1 = 0.

2. Procéder de la même façon, en utilisant la suite gn = 2p |fn |p + 2p |f |p −

|fn − f |p .
Mihaı̈ Bostan 47

Exercice 2.4.5 (Lp n’est pas un espace de Hilbert si p 6= 2)

Montrer que LpR (R, B(R), λ), muni de sa norme usuelle, n’est pas un espace
de Hilbert, si 1 ≤ p ≤ +∞, p 6= 2.

Correction
On va montrer que l’identité du parallélogramme n’est pas vérifiée si p 6= 2.
Pour cela on prend f = 1]0,1[ et g = 1]1,2[ . Nous avons (en convenant que
21/p = 1 si p = +∞)

kf kp = kgkp = 1, kf + gkp = kf − gkp = 21/p

d’où

kf + gk2p + kf − gk2p − 2(kf k2p + kgk2p ) = 22/p + 22/p − 2(1 + 1) 6= 0, si p 6= 2.

Exercice 2.4.6 (L∞ est complet)

Soit (E, T, m) un espace mesuré. Montrer que l’espace L∞
R (E, T, m) est de

Banach.

Correction
Il faut montrer que toute suite de Cauchy est convergente. Soit (Fn )n une
suite de Cauchy dans L∞ ∞
R (E, T, m). Pour tout n on note fn ∈ LR (E, T, m) un

représentant de la classe Fn . Pour tout couple (n, p) ∈ N2 , il existe Anp ∈ T ,

m(Anp ) = 0 tel que

|fn (x) − fp (x)| ≤ kfn − fp k∞ , x ∈ E \ Anp .

S
On note A = (n,p)∈N2 Anp ∈ T . Par σ sous-additivité, on en déduit que
m(A) = 0. Pour tout n on pose gn = 1Ac fn . Ce sont des fonctions mesurables,
gn ∈ Fn et nous avons pour tout n, p ∈ N

|gn (x) − gp (x)| ≤ kfn − fp k∞ = kFn − Fp k∞ , x ∈ E.

48 2018/2019

Il résulte immédiatement que pour tout x ∈ E, la suite (gn (x))n est de Cauchy
dans R, donc convergente dans R. On note f (x) = limn→+∞ gn (x) ∈ R,
pour tout x ∈ E. Les fonctions (gn )n étant mesurables, on en déduit que f
est mesurable. Soit F la classe représentée par f . On vérifie facilement que
limn→+∞ kFn − F k∞ = limn→+∞ kgn − f k∞ = 0.
Chapitre 3

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier permet d’analyser les fonctions définies de RN

dans R. Parmi les applications on mentionne la théorie du signal, la théorie
des probabilités, l’analyse des équations aux dérivées partielles. On travaille
dans l’espace mesuré (RN , B(RN ), λN ) et on note dλN (x) = dx. On montre
qu’une fonction f définie de RN dans C est mesurable ssi ses parties réelle
et imaginaire sont mesurables (les ensembles RN , R, C sont munis de la tribu
borélienne).

Définition 3.0.1 (Espaces LpC (RN , B(RN ), λN ), LpC (RN , B(RN ), λN ))

Soit N ≥ 1, p ∈ [1, +∞] et f une fonction mesurable de RN dans C (c’est-
à-dire f −1 (A) ∈ B(RN ) pour tout A ∈ B(C)).

1. On dit que f ∈ LpC (RN , B(RN ), λN ) si |f | ∈ LpR (RN , B(RN ), λN ) et on

définit kf kp par la norme de |f | dans LpR (RN , B(RN ), λN ).

2. L’espace LpC (RN , B(RN ), λN ) est l’espace quotient de LpC (RN , B(RN ), λN )
par la relation d’équivalence égalité p.p.. C’est un espace de Banach
(c’est-à-dire un espace vectoriel normé sur C complet).

Remarque 3.0.1

49
50 2018/2019

Soit N ≥ 1, p ∈ [1, +∞] et f une fonction définie de RN dans C. On vérifie

facilement que f ∈ LpC (RN , B(RN ), λN ) ssi ses parties réelle et imaginaire
sont dans LpR (RN , B(RN ), λN ).

On note x · y le produit scalaire euclidien de x, y ∈ RN , c’est-à-dire x · y =

PN p N p p N N
i=1 xi yi . On note aussi LC (R ) ou LC , l’espace LC (R , B(R ), λN ).

Définition 3.0.2 (Transformée de Fourier dans L1 )

Soit N ≥ 1 et f ∈ L1C (RN ). Pour t ∈ RN , l’application x → e−ix·t f (x)
(définie de RN dans C) appartient à L1C (RN ). On définit fˆ(t) par
Z
1
fˆ(t) = f (x)e−ix·t dx.
(2π)N/2

La fonction fˆ s’appelle la transformée de Fourier de f , qu’on note également

F(f ).

Rappelons quelques notations. On désigne par C0 (RN , C) l’espace

C0 (RN , C) = {g ∈ C(RN ; C) telle que lim g(t) = 0}.

|t|→+∞

C’est un espace de Banach, lorsqu’il est muni de la norme de la convergence

uniforme
kϕku = sup |ϕ(t)|.
t∈RN

Rappelons aussi deux résultats qui seront utilisés par la suite.

Théorème 3.0.1 (Continuité sous le signe d’intégration)

Soient (E, T, m) un espace mesuré, f une fonction de E×R dans R, vérifiant
f (·, t) ∈ L1R (E, T, m) pour tout t ∈ R et t0 ∈ R. On suppose que

1. L’application f (x, ·) définie pour presque tout x ∈ E par t → f (x, t)

est continue en t0 , pour presque tout x ∈ E.
 51

2. Il existe ε > 0 et G ∈ L1R (E, T, m) tels que |f (·, t)| ≤ G p.p., pour tout
t ∈]t0 − ε, t0 + ε[.
R R
Alors F , définie de R dans R, par F (t) = f (·, t) dm = f (x, t) dm(x), est
continue en t0 .

Preuve.
Soit (tn )n∈N? ⊂]t0 − ε, t0 + ε[ une suite convergeant vers t0 , lorsque n → +∞.
On considère les fonctions fn (x) = f (x, tn ). Comme fn → f (·, t0 ) p.p. et
|fn | ≤ G p.p., on peut appliquer le théorème de convergence dominée à la
suite (fn )n . Il donne F (tn ) → F (t0 ), quand n → +∞.

Théorème 3.0.2 (Continuité en moyenne)

Soient f ∈ L1R (RN , B(RN ), λN ) et h ∈ RN . On note par fh la translatée de
f , c’est-à-dire fh (x) = f (x + h), pour presque tout x ∈ RN . Alors
Z
kfh − f k1 = |f (x + h) − f (x)| dx → 0 lorsque h → 0.

Preuve.
Montrer d’abord le résultat pour les fonctions continues à support compact
dans RN , puis prolonger ce résultat à tout f ∈ L1R , en utilisant la densité de
Cc (RN ) dans L1 (RN ).

Proposition 3.0.1 (Linéarité de la transformée de Fourier)

Soit N ≥ 1. L’application F qui à f ∈ L1C (RN ) associe sa transformée de
Fourier est linéaire, continue de L1C (RN ) dans C0 (RN ; C).

Preuve.
On applique le Théorème 3.0.1 à la fonction (x, t) → e−ix·t f (x). On en déduit
52 2018/2019

que fˆ est continue. Montrons que fˆ ∈ C0 (RN ; C). On commence par le cas
N = 1. Pour tout t 6= 0 on a grâce à l’égalité eiπ = −1
Z
ˆ 1
f (t) = − √ e−i(x−π/t)t f (x) dx
2π
et après le changement de variable x − π/t = y on obtient
Z
1
fˆ(t) = − √ e−iy·t f (y + π/t) dy.
2π
On en déduit que
Z
1
2fˆ(t) = √ e−ix·t [f (x) − f (x + π/t)] dx
2π
ce qui implique
1
|fˆ(t)| ≤ √ kf (·) − f (· + π/t)k1 .
2 2π
D’après le Théorème 3.0.2, on obtient que lim|t|→+∞ fˆ(t) = 0.
Dans le cas N > 1, pour tout t = (t1 , ..., tN ) 6= 0, on considère j ∈ {1, ..., N }
tel que |tj | = max1≤k≤N |tk | et on écrit, grâce à l’égalité eiπ = −1
Z Z  
1 1 π
fˆ(t) = − e−i(x−π/t j ej )·t
f (x) dx = − e −iy·t
f y + ej dy.
(2π)N/2 (2π)N/2 tj

On en déduit que 2|fˆ(t)| ≤ (2π)−N/2 kf (·)−f (·+π/tj ej )k1 et on peut conclure

√
par le Théorème 3.0.2, car |tj | ≥ |t|/ N → +∞ lorsque |t| → +∞.

3.1 Convolution
Une propriété intéressante de la transformée de Fourier est son comporte-
ment par rapport à la convolution. Soient f, g ∈ L1 (RN ) = L1R (RN , B(RN ), λN ).
R R
On rappelle que la notation f (x) dx désigne f (x) dλN (x). On veut définir
le produit de convolution entre f et g, noté f ? g, par
Z
f ? g(x) = f (t)g(x − t) dt.
Mihaı̈ Bostan 53

Proposition 3.1.1 (Convolution)

Soient f, g ∈ L1 (RN ).

1. Pour presque tout x ∈ RN , la fonction f (·)g(x−·) appartient à L1 (RN ).

R
On pose donc f ? g(x) = f (t)g(x − t) dt. La fonction f ? g est donc
définie p.p. sur RN .

2. La fonction f ? g appartient à L1 (RN ).

3. Nous avons l’inégalité kf ? gk1 ≤ kf k1 kgk1 .

Preuve.
On considère seulement le cas N = 1 (le cas N > 1 suit de manière ana-
logue). On choisit des représentants de f et g dans L1 (R) = L1R (R, B(R), λ).
On applique le théorème de Fubini à H : R2 → R, H(x, y) = f (y)g(x −
y) avec les espaces mesurés (Ei , Ti , mi ) = (R, B(R), λ), pour i ∈ {1, 2}.
Comme λ est σ-finie, il suffit de vérifier que H est B(R2 ) mesurable et que
R R

|H(x, y)| dx dy < +∞. Pour montrer que H est B(R2 ) mesurable, on
observe que H = H1 ◦ ψ, avec H1 (x, y) = f (x)g(y) et ψ(x, y) = (y, x − y). La
fonction H1 est mesurable de R2 dans R et ψ est mesurable de R2 dans R2
car continue. La fonction H est mesurable comme produit de composition de
fonctions mesurables. Nous avons
Z Z  Z Z  Z Z 
|H(x, y)| dx dy = |f (y)g(x − y)| dx dy = |f (y)| |g(x − y)| dx dy.

Par changement de variable, on en déduit que

Z Z
|g(x − y)| dx = |g(x)| dx = kgk1

et par conséquent
Z Z  Z
|H(x, y)| dx dy = kgk1 |f (y)| dy = kgk1 kf k1 < +∞.
54 2018/2019

On peut appliquer le théorème de Fubini et on en déduit que H(x, ·) ∈ L1 (R)

pour presque tout x ∈ R, donc f (·)g(x−·) ∈ L1 (R) pour presque tout x ∈ R.
Le même théorème donne que f ? g ∈ L1 (R). Enfin, on remarque que
Z Z  Z Z 
 
kf ?gk1 =  f (y)g(x − y) dy  dx ≤
  |H(x, y)| dx dy = kf k1 kgk1 .

On indique ici quelques propriétés de la convolution. Soit N ≥ 1. Pour p ∈

[1; +∞] on pose Lp (RN ) = LpR (RN ; B(RN ), λN ).

1. Soit f, g ∈ L1 (RN ). On a alors f ? g = g ? f p.p..

2. Soit 1 < p < +∞, f ∈ Lp (RN ), g ∈ L1 (RN ). Alors f ? g est définie p.p.
sur RN , f ? g ∈ Lp (RN ) et kf ? gkp ≤ kf kp kgk1 .

3. Soit p, q ∈ [1, +∞] tels que 1/p + 1/q = 1, f ∈ Lp (RN ), g ∈ Lq (RN ).

Alors f ?g est définie partout sur RN et f ?g ∈ Cb (RN ; R) (ici Cb (RN ; R)
désigne l’espace des fonctions continues, bornées de RN dans R).

4. Soit p ∈ [1, +∞]. Soit f ∈ Lp (RN ) et g ∈ Cc∞ (RN ; R). Alors f ? g est
définie partout sur RN et f ? g ∈ C ∞ (RN ; R).

Proposition 3.1.2 (Transformée de Fourier d’un produit de convolution)

Soient f, g ∈ L1C (RN ). Alors nous avons l’égalité

? g = (2π)N/2 fˆĝ.
f[

Preuve.
Par la Proposition 3.1.1 on sait que f ? g ∈ L1C (RN ) et pour presque tout
R
x ∈ RN , f ? g(x) = f (x − y)g(y) dy. On écrit pour tout t ∈ RN
Z Z 
1
f[? g(t) = N/2
f (x − y)g(y) dy e−ix·t dx
(2π)
Z Z 
1 −i(x−y)·t −iy·t
= f (x − y)g(y)e e dy dx.
(2π)N/2
Mihaı̈ Bostan 55

On applique le théorème de Fubini à la fonction

(x, y) → f (x − y)g(y)e−i(x−y)·t e−iy·t

qui est bien intégrable sur R2N , car son module est la fonction (x, y) →
|f (x − y)g(y)|, dont l’intégrale sur R2N est égale à kf k1 kgk1 . On obtient
Z Z 
−N/2 −i(x−y)·t
f[? g(t) = (2π) f (x − y)e dx g(y)e−iy·t dy.

Mais pour tout y ∈ RN , on a par changement de variable

Z Z
f (x − y)e−i(x−y)·t
dx = f (z)e−iz·t dz = (2π)N/2 fˆ(t)

d’où Z
? g(t) = fˆ(t)
f[ g(y)e−iy·t dy = (2π)N/2 fˆ(t)ĝ(t).

Le produit de convolution a un sens aussi lorsque f ∈ Lp (RN ), g ∈ Lq (RN ),

avec 1 ≤ p, q ≤ ∞, 1/p + 1/q = 1. En effet, nous avons pour presque tout
x ∈ RN Z 
 
|(f ? g)(x)| =  f (x − y)g(y) dy  ≤ kf kp kgkq
RN
et par conséquent kf ? gk∞ ≤ kf kp kgkq . Si f, g ∈ L1 (RN ), nous avons par le
théorème de Fubini que (f ? g)(x) est défini pour presque tout x ∈ RN et

kf ? gk1 ≤ kf k1 kgk1 .

Ce sont des cas particuliers de l’inégalité de Young. Commençons par le

lemme suivant.

Lemme 3.1.1
Soient 1 ≤ p, q, r < ∞ tels que 1/p + 1/q + 1/r = 2, f ∈ Lp (RN ), g ∈
Lq (RN ), h ∈ Lr (RN ). Alors
Z
|(f ? g)(x)h(x)| dx ≤ kf kp kgkq khkr .
RN
56 2018/2019

Preuve.
Supposons pour l’instant que f, g, h sont à valeurs positives. Si r = 1, alors
p, q sont des exposants conjugués et

kf ? gk∞ ≤ kf kp kgkq .

On en déduit que
Z
(f ? g)(x)h(x) dx ≤ kf ? gk∞ khk1 ≤ kf kp kgkq khk1 .
RN

Le cas r = ∞ résulte facilement, en observant que p = q = 1 et

kf ? gk1 ≤ kf k1 kgk1 .

Si p = 1, alors q, r sont des exposants conjugués, et comme avant, nous

obtenons, avec la notation g̃(x) = g(−x)
Z Z
(f ? g)(x)h(x) dx = f (y)(g̃ ? h)(y) dy ≤ kf k1 kg̃ ? hk∞ ≤
RN RN

≤ kf k1 kg̃kq khkr = kf k1 kgkq khkr .

Le cas q = 1 suit de la même façon que le cas p = 1, car f ? g = g ? f . A

partir de maintenant nous supposons que 1 < p, q, r, < ∞ et on considère les
exposants conjugués respectifs de p, q, r, c’est-à-dire

1/p + 1/p0 = 1, 1/q + 1/q 0 = 1, 1/r + 1/r0 = 1.

On définit les fonctions

0 0 0 0 0 0
γ(x, y) = f (x−y)p/r g(y)q/r , α(x, y) = g(y)q/p h(x)r/p , β(x, y) = h(x)r/q f (x−y)p/q .

Nous avons
Z Z Z
r0 p
γ(x, y) d(x, y) = f (x) dx g(y)q dy
R2N RN RN
Mihaı̈ Bostan 57

d’où Z 1/r0
r0 0 q/r0
kγkr0 = γ(x, y) d(x, y) = kf kp/r
p kgkq .
R2N

De manière analogue, on a
Z 1/p0
p0 0 0
kαkp0 = α(x, y) d(x, y) = kgkq/p
q khkr/p
r
R2N
Z 1/q0
q0 0 p/q 0
kβkq0 = β(x, y) d(x, y) = khkr/q
r kf kp .
R2N

Evidemment nous avons 1/p0 + 1/q 0 + 1/r0 = 1, d’où

1/p = 1/q 0 + 1/r0 , 1/q = 1/r0 + 1/p0 , 1/r = 1/p0 + 1/q 0 .

Nous obtenons

kαkp0 kβkq0 kγkr0 = kf kp kgkq khkr , (αβγ)(x, y) = f (x − y)g(y)h(x).

Cela conduit, grâce à l’inégalité de Hölder, à

Z Z
(f ? g)(x)h(x) dx = f (x − y)g(y)h(x) d(x, y)
RN ZR
2N

= (αβγ)(x, y) d(x, y)
R2N

≤ kαkp0 kβkq0 kγkr0

= kf kp kgkq khkr .

Dans le cas général, lorsque f, g, h sont mesurables, à valeurs réelles, on peut

conclure aisément en se ramenant au cas des fonctions à valeurs positives
Z Z
|(f ? g)(x)h(x)| dx ≤ (|f | ? |g|)(x)|h|(x) dx
RN RN

≤ k |f | kp k |g| kq k |h| kr

≤ k f kp k g kq k h kr .
58 2018/2019

Théorème 3.1.1 (Inégalité de Young)

Soient 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ tels que 1/p + 1/q = 1 + 1/r et f ∈ Lp (RN ), g ∈
Lq (RN ). Alors f ? g est défini presque partout et appartient à Lr (RN ), avec

kf ? gkr ≤ kf kp kgkq .

Preuve. Si r = 1, alors p = q = 1 et le résultat est déjà connu

f ? g ∈ L1 (RN ), kf ? gk1 ≤ kf k1 kgk1 .

Si r = ∞, alors p, q sont conjugués, et le résultat est aussi connu

kf ? gk∞ ≤ kf kp kgkq .

En particulier, si p = ∞, alors q = 1, r = ∞ et

kf ? gk∞ ≤ kf k∞ kgk1 .

Si q = ∞, alors p = 1, r = ∞ et

kf ? gk∞ ≤ kf k1 kgk∞ .

Par la suite nous allons supposer que 1 < r < ∞, 1 ≤ p, q < ∞. On note
r0 l’exposant conjugué de r et donc 1/p + 1/q + 1/r0 = 2. D’après le lemme
0
précédent, nous avons pour tout h ∈ Lr (RN )
Z
|(f ? g)(x)||h(x)| dx ≤ kf kp kgkq khkr0
RN

ce qui implique f ? g ∈ Lr (RN ) et kf ? gkr ≤ kf kp kgkq .

On peut se demander si la transformée de Fourier d’une fonction f ca-

ractérise-t-elle la fonction f . Autrement dit si fˆ = ĝ, peut-on déduire que
f = g p.p. ? Ou encore, peut-on retrouver la fonction f à partir de sa trans-
formée de Fourier ? Les réponses à ces questions sont données par le théorème
d’inversion de Fourier.
Mihaı̈ Bostan 59

Théorème 3.1.2 (Formule d’inversion pour la transformée de Fourier)

Soit N ≥ 1 et f ∈ L1C (RN ) telle que fˆ ∈ L1C (RN ). On a alors f = F(fˆ(− ·))
p.p., c’est-à-dire pour presque tout x ∈ RN on a
Z Z
1 1
f (x) = fˆ(−t)e−it·x dt = fˆ(t)eit·x dt.
(2π)N/2 (2π)N/2

3.2 Exercices et corrections

Exercice 3.2.1 (Inversion de Fourier dans L1C )

Soit H(t) = e−|t| , t ∈ R. Pour λ > 0 on pose
Z
1
hλ (x) = √ H(λt)eitx dt, x ∈ R.
2π R

1. Montrer que
√
2 λ
Z √
hλ (x) = √ 2 et hλ (x) dx = 2π.
π λ + x2 R

2. Soit f ∈ L1C (R, B(R), λ). Montrer que pour tout x ∈ R on a

Z
f ∗ hλ (x) = H(λt)fˆ(t)eixt dt.
R

3. Soit g une fonction mesurable bornée de R dans C, continue en 0.

√
Montrer que g ∗ hλ (0) → 2πg(0) quand λ → 0.

4. Soit f ∈ L1C (R, B(R), λ). Montrer que

√
lim kf ∗ hλ − 2π f k1 = 0.
λ→0

5. En déduire de ce qui précède le Théorème d’inversion de Fourier 3.1.2.

Correction
60 2018/2019
√
e−|λt| cos(tx) dt
R
1. Comme H est une fonction paire, on a 2πhλ (x) = R

et donc
√ Z n
2πhλ (x) = 2 lim e−λt cos(tx) dt.
n→+∞ 0
Après deux intégrations par parties on obtient
Z n Z n
−λt 1 x2
lim e cos(tx) dt = − 2 lim e−λt cos(tx) dt
n→+∞ 0 λ λ n→+∞ 0
d’où √
2 λ
hλ (x) = √ 2 .
π λ + x2
R
Pour calculer R
hλ (x) dx on utilise le changement de variable x = λy,
ce qui conduit à
√ Z
Z
2 dy √
hλ (x) dx = √ = 2π.
R π R 1 + y2
2. Comme f ∈ L1C (R, B(R), λ) et hλ ∈ L∞
R (R, B(R), λ), le produit de

convolution f ∗ hλ (x) est défini pour tout x ∈ R et on a

Z Z Z 
1 i(x−t)y
f ∗hλ (x) = f (t)hλ (x−t) dt = √ f (t) H(λy)e dy dt.
R 2π R
Par le théorème de Fubini on obtient
Z Z  Z
1
f ∗hλ (x) = √ H(λy)e ixy
f (t)e−ity
dt dy = H(λy)eixy fˆ(y) dy.
2π R R R

3. Comme hλ ∈ L1C et g ∈ L∞
C , le produit de convolution g ∗ hλ (x) est

défini pour tout x ∈ R. Pour x = 0 on a

Z √ Z
2 λ
g ∗ hλ (0) = g(x)hλ (x) dx = √ g(x) dx.
π λ + x2
2

Par le changement de variable y = x/λ on obtient

√ Z
2 1
g ∗ hλ (0) = √ g(λy) dy.
π R 1 + y2
En utilisant le théorème de convergence dominée on en déduit que
√
2
Z
1 √
lim g ∗ hλ (0) = √ g(0) 2
dy = 2πg(0).
λ→0 π R 1+y
Mihaı̈ Bostan 61
R √
4. Comme R
hλ (y) dy =
2π, on a
√ Z Z 
 
kf ∗ hλ − 2πf k1 =  (f (x − y) − f (x))hλ (y) dy  dx
 
R R
Z Z 
≤ |f (x − y) − f (x)|hλ (y) dy dx.
R R

En utilisant le théorème de Fubini-Tonelli, on en déduit que

√ Z Z 
kf ∗ hλ − 2πf k1 ≤ |f (x − y) − f (x)| dx hλ (y)dy = g ∗ hλ (0)
R R
R
avec g(y) = |f (x + y) − f (x)| dx. Le théorème de continuité en
moyenne dans L1 donne que g est continue en 0, et aussi continue de R
dans R (ainsi elle est mesurable de R dans C). Elle est aussi bornée, car
|g(y)| ≤ 2kf k1 pour tout y ∈ R. Par la question précédente on obtient
√
que limλ→0 g ∗ hλ (0) = 0, ou encore limλ→0 kf ∗ hλ − 2πf k1 = 0.

5. Soit f ∈ L1C . On a donc fˆ ∈ C0 (R, C). On suppose que fˆ ∈ L1C . Soit

(λn )n ⊂ R?+ une suite telle que limn→+∞ λn = 0. D’après la question
√
précédente on a f ∗ hλn → 2πf dans L1 et la question 2 donne pour
tout n ∈ N et tout x ∈ R
Z
f ∗ hλn (x) = H(λn t)fˆ(t)eixt dt.
R

On utilise le théorème de convergence dominée. Noter que fˆ ∈ L1 et

que |H(λn t)fˆ(t)eixt | ≤ |fˆ(x)|. Comme limn→+∞ H(λn t) = 1, pour tout
t ∈ R, on obtient
Z √ ˆ
lim f ∗ hλn (x) = fˆ(t)eixt dt = 2π fˆ(−x).
n→+∞
√
Enfin, comme f ∗ hλn → 2πf dans L1 , on peut supposer, après ex-
√
traction d’une sous-suite, que f ∗ hλn → 2πf p.p.. On a finalement
√ √ ˆ ˆ
2πf = 2π fˆ(−·) p.p., ou encore f = fˆ(−·) p.p..
62 2018/2019
Bibliographie

[1] H. Brézis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et applications, Masson 1983.

[2] T. Gallouët, R. Herbin, Mesure, intégration, probabilités, Ellipses 2013.

[3] W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Masson 1978.

[4] H. Queffélec, C. Zuily, Analyse pour l’agrégation, Cours et exercices

corrigés, Dunod 2007.

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