3 Cauchy

Deuxième partie
Formule de Cauchy globale

Dans la partie précédente, nous avons vu les deux résultats voisins suivants :
— Si Ω est étoilé, que f : Ω → C est holomorphe et que γ est un chemin fermé dans Ω, alors
Z
f = 0. (1)
γ
— Si γ est un cercle orienté positivement, contenu dans Ω, et que f : Ω → C est holomorphe,

alors pour tout z à l’intérieur du cercle γ, on a
Z
1 f (w)
f (z) = dw. (2)
2πi γ w − z
Ces deux
Z énoncés se ressemblent beaucoup, et encore plus si l’on écrit la deuxième égalité sous la
f (w) − f (z)
forme dw = 0. Cela amène alors les deux questions suivantes :
γ w−z
— Pour quels ouverts Ω et quels chemins fermés dans Ω a-t-on l’égalité (1) ?
— Quelle valeur obtient-on pour l’intégrale dans le membre de droite de (2) si l’on change γ
par un autre chemin fermé dans Ω ?
L’objectif de cette partie est de répondre à ces deux questions. Le résultat est une formule
appelée “formule de Cauchy globale”. Elle fait intervenir une notion géométrique importante, celle
de l’indice d’un point par rapport à un lacet.
1 Indices d’un point par rapport lacet

Dans cette section, Ω est un ouvert dans C, sur lequel on ne fait aucune hypothèse.
Notation 1.1. L’image d’un chemin Ω est l’ensemble des points qui sont précisément sur le
chemin. On le note γ ∗ := γ([a, b]) = {γ(t), t ∈ [a, b]}.
La notion que nous allons définir maintenant correspond à l’idée que l’on se fait intuitivement
du “nombre de tours” que fait un lacet autour d’un point. Étant donné un lacet γ et un nombre z ∈
C r γ ∗ , on définit informellement (pour le moment) l’indice de z par rapport à γ comme le nombre
de tours que fait γ autour de z, comptés avec leur sens (+1 pour chaque tour dans le sens positif,
et −1 pour chaque tour dans le sens négatif). Voici quelques exemples :
— Un cercle orienté positivement : l’indice vaut 1 à l’intérieur du cercle.
1
— Un cercle orienté négativement : l’indice y vaut −1.
— L’aller-retour.
— Un contour plus biscornu.
2
— L’indice peut valoir 0 “à l’intérieur” d’un lacet.
Comme cela arrive parfois en mathématique, cela peut être très compliqué de formaliser cette
définition intuitivement évidente sous une forme qui soit facile à manipuler mathématiquement.
Il sera plus simple de définir l’objet par une définition formelle, puis de montrer que celle-ci
correspond à l’intuition.
Définition 1.2. Soit γ un lacet dans Ω, et z ∈ C r γ ∗ . On définit l’indice de z par rapport au

lacet γ comme la quantité Z
1 dw
I(γ, z) := .
2πi γ w − z
Proposition 1.3.
— La fonction z 7→ I(γ, z) est continue sur C r γ ∗ , et à valeurs entières.
— L’ensemble {z ∈ C r γ ∗ : I(γ, z) 6= 0} est borné.
En particulier, la valeur de I(γ, z) est la même sur chaque composant connexe de Ω r γ ∗ . La

proposition suivante permet de calculer précisément la valeur de l’indice.
Proposition 1.4. Supposons que γ : [a, b] → C est un paramétrage C 1 par morceaux du che-
min γ, et soit t0 ∈ (a, b). On suppose que γ(t0 ) est un point simple du chemin (c’est-à-dire
que γ −1 ({γ(t0 )}) = t0 ), et que γ 0 (t0 ) 6= 0. Pour tout ε > 0 suffisamment petit, les points
z1 = γ(t0 ) + iεγ 0 (t0 ), z2 = γ(t0 ) − iεγ 0 (t0 )
sont dans C r γ ∗ , et
I(γ, z1 ) − I(γ, z2 ) = 1.
Cette proposition est représentée sur l’image suivante.
3
Il est facile de se perdre lors du calcul de I(γ, z), si le lacet n’est pas particulièrement simple.
Pour s’en sortir facilement, la recette suivante est utile :
— Choisir un point z∞ ∈ C loin du lacet.
— Tracer un chemin η du point z∞ au point z, en évitant les points doubles.
— Alors I(γ, z) = ng − nd , où ng (resp. nd ) est le nombre d’intersection de η avec γ où γ arrive
de la gauche (resp. de la droite) dans le sens de la circulation de η.
Voici trois exemples extraits du livre de Colmez (page 388). Dans les trois cas, le chemin η est
en pointillé.
4
2 Chemins homologues et homotopes
On considère maintenant un ouvert Ω, et un lacet dans Ω. Prenons le point de vue d’un·e
observateur·trice qui peut se placer à n’importe quel affixe z ∈ C r Ω, et à qui l’on divulgue
uniquement les nombres I(γ, z). Lui est-il possible de deviner quel est le lacet ? (Ω est représenté
par la zone grisée).
Donc : essayons de tracer un lacet qui fait deux tours dans le sens positif autour du trou en
haut, et un tour dans le sens négatif autour du trou en bas. Voici une des premières possibilités
qui vient à l’esprit.
En voici une autre.
5
On a envie de dire que c’est la “même chose”, car on a simplement “bougé” le lacet un petit
peu. Mais que dire de cette troisième possibilité ?
Là c’est très différent : en s’imaginant que le lacet est un élastique, que l’on peut déformer
à souhait à condition de rester à l’intérieur de Ω (donc, on ne peut pas traverser les trous), on
n’arrive pas à superposer le lacet γ3 aux deux précédents.
Définition 2.1 (Lacets homologues). Soit Ω un ouvert, et γ1 , γ2 deux lacets dans Ω, au sens
où γ1∗ , γ2∗ ⊂ Ω. On dit que γ1 et γ2 sont homologues dans Ω si pour tout z ∈ C r Ω, l’on a
I(γ1 , z) = I(γ2 , z).
“Être homologue” est une relation d’équivalence sur l’ensemble des lacets dans Ω. Sur l’exemple
ci-dessus, les lacets γ1 , γ2 et γ3 sont homologues pour l’ouvert Ω représenté en gris.
Définition 2.2 (Lacets homotopes). Soit Ω un ouvert, et γ1 , γ2 deux lacets dans Ω (comme dans
la définition précédente). Supposons que γ1 et γ2 soient paramétrés sur [0, 1]. On dit que γ1 et γ2
sont homotopes dans Ω, s’il existe une application continue φ : [0, 1]2 → Ω, telle que

∀t ∈ [0, 1], φ(0, t) = γ1 (t),

∀t ∈ [0, 1], φ(1, t) = γ2 (t), .

∀u ∈ [0, 1], φ(u, 0) = φ(u, 1).

Toute fonction φ satisfaisant ces propriétés est appelée fonction d’homotopie entre γ1 et γ2 .
6
“Être homotope” est aussi une relation d’équivalence sur l’ensemble des lacets dans Ω. Sur
l’exemple ci-dessus, γ1 et γ2 sont homotopes, mais γ1 et γ3 ne le sont pas.
Remarque 2.3. L’homologie et l’homotopie dépendent fortement de Ω. Ainsi, tous les lacets sont
homologues et homotopes dans Ω = C :
— Homologues : c’est évident, car alors le quantificateur ∀z ∈ C r Ω est vide.
— Homotopes : étant donnés deux lacets γ1 , γ2 : [0, 1] → C, il suffit de considérer
φ(u, t) = (1 − u)γ1 (t) + uγ2 (t).
L’homotopie est une notion plus “intuitive” que l’homologie (il s’agit d’imaginer que les lacets
sont des élastiques ; deux lacets sont homotopes si l’on peut déformer le premier pour obtenir le
second). Mais c’est aussi une notion plus forte (ce qui est une bonne chose ou une mauvaise, selon
le goût et les circonstances...).
Proposition 2.4. Si les lacets γ1 et γ2 sont homotopes dans Ω, alors ils sont homologues dans Ω.
Définition 2.5. Soit Ω un ouvert et γ un lacet dans Ω. On dit que γ est homologue à 0 dans Ω,
si I(γ, z) = 0 pour tout z ∈ C r Ω.
Dans les cas les plus simples, cela revient à dire que “l’intérieur” du lacet γ est à l’intérieur
de Ω. Mais comme on l’a vu, il arrive que le concept d’intérieur soit parfois trompeur.
Définition 2.6. Un ouvert Ω est dit simplement connexe, si Ω est connexe par arcs, et que tout
lacet dans Ω est homotope à un point.
Par exemple, C, un disque ouvert et C r R− sont tous simplement connexes. Mais C∗ ne l’est
pas.
Remarque 2.7. La propriété d’être simplement connexe est stable par homéomorphisme de C.
3 Formule de Cauchy globale

Théorème 3.1. Soit Ω un ouvert, et γ un lacet homologue à 0 dans Ω. Soit f une fonction
holomorphe sur Ω, et z ∈ C r γ ∗ . Alors
Z
1 f (w)dw
= f (z)I(γ, z),
2πi γ w − z
où le membre de droite est interprété comme 0 si z 6∈ Ω.
Corollaire 3.2. Soit Ω un ouvert, γ un lacet homologue à 0 dans Ω, et f une fonction holomorphe
sur Ω. Alors Z
f = 0.
γ
Remarque 3.3. Si Ω est simplement connexe, les deux énoncés qui précèdent sont automatique-
ment vrais sans condition sur γ (puisqu’alors, par définition, tout lacet dans Ω est homologue
à 0).

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Deuxième partie

Formule de Cauchy globale

— Si γ est un cercle orienté positivement, contenu dans Ω, et que f : Ω → C est holomorphe,

1 Indices d’un point par rapport lacet

— Un contour plus biscornu.

Définition 1.2. Soit γ un lacet dans Ω, et z ∈ C r γ ∗ . On définit l’indice de z par rapport au

En particulier, la valeur de I(γ, z) est la même sur chaque composant connexe de Ω r γ ∗ . La

z1 = γ(t0 ) + iεγ 0 (t0 ), z2 = γ(t0 ) − iεγ 0 (t0 )

Cette proposition est représentée sur l’image suivante.

En voici une autre.

φ(u, t) = (1 − u)γ1 (t) + uγ2 (t).

3 Formule de Cauchy globale

où le membre de droite est interprété comme 0 si z 6∈ Ω.

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