Fonctions analytiques - Exercices

1 Nombres complexes
Exercice 1.
1. Soit (x, y) ∈ R2 . Calculer les parties réelles, imaginaires et le module de

sin(x + iy), cos(x + iy).

2. Exprimer tan(x + iy) en termes de sin(2x), cos(2x), sinh(2y) et cosh(2y).

3. Soit z = x + iy une racine de tan(z) = z.
(a) Montrer que
x sinh(2y) = y sin(2x).
(b) Montrer que z ∈ R. On pourra se servir des inégalités

|sin(t)| < |t| , |tanh(t)| < |t| , |t| < |sinh(t)| ,

valables pour tout t ∈ R∗ .

Exercice 2 (Facteurs de Blaschke). Soient z, w ∈ C tels que z w̄ 6= 1.

 
 z−w 
1. Si |z| < 1 et |w| < 1, montrer que   < 1.
1 − z w̄ 
 
 z−w 
2. Si |z| = |w| = 1, montrer que   = 1.
1 − z w̄ 

2 Séries entières
Exercice 3. Calculer les quatre premiers termes des développements en séries entières de
1. (1 − T )−1 ,
2. eT sin T ,
3. (sin T )(cos T ),
eT − 1
4. ,
T
1
5. .
cos T
Exercice 4. Exprimer les séries entières comme inverse, composition, dérivées..., de séries entières
plus simples (polynômes, exponentielles, logarithme, fonctions trigonométriques).
∞ ∞ ∞ ∞
X
n
X (−1)n n
X 1 X 1 3n+1
1. nT , 2. T , 3. T n, 4. T ,
n=0 n=1
n n=0
(n + 1)! n=0
n!

∞ ∞ ∞
X (−1)n n
X (1 + i)−n n
X 1
5. T , 6. T , 7. T n.
n=0
n+1 n=0
n! n=1
n(n + 1)

Exercice 5. Calculer v(Fj ) dans chacun des cas :

1. F1 (T ) = tan(log(sin(T )/T )),
2. F2 (T ) = sin2 (sin2 (T )),
1
 3. F3 (T ) = cos(T ) + cosh(T ) − 2,
4. F4 (T ) = sin(sinh(T )) − sinh(sin(T )). On pourra commencer par examiner les conséquences
des relations sin(iT ) = i sinh(T ) et sinh(iT ) = i sin(T ) sur le développement en série entière
de F4 .

Exercice 6. Montrer que exp(log(1 + T )) = 1 + T .

Exercice 7. Les polynômes de Tchébychev de première espèce sont définis, pour tout n ∈ N, par 1

P0 = 1, P1 = X, ∀n > 2, Pn = 2XPn−1 − Pn−2 .

Montrer que
∞
X 1 − TX
Pn T n = .
n=0
1 − 2T X + T 2

Exercice 8. Les nombres de Bernoulli (Bn )n∈N sont définis par le développement en série entière
∞
T X Bn
T
= T n.
e − 1 n=0 n!

1. Montrer la relation de récurrence, pour tout n > 1,

n−1
(
X Bk 1 si n = 1,
=
k=0
k!(n − k)! 0 sinon.

2. Calculer Bn pour n ∈ {0, . . . , 4}.

3. Montrer que B2n+1 = 0 pour tout n > 1.
4. En déduire le développement en série entière de

T eT /2 + e−T /2
,
2 eT /2 − e−T /2
puis celui de
πT cot(πT ).

Exercice 9. Soit (un )n>0 une suite qui satisfait la relation de récurrence

un+d = ad−1 un+d−1 + · · · + a1 un+1 + a0 un

pour tout n ∈ N, où (aj )06j<d sont des nombres complexes. On suppose que le polynôme

P (X) = X d − ad−1 X d−1 − · · · − a1 X − a0

est à racines simples sur C. On note α1 , . . . , αd ∈ C ses racines.

X ∞
1. Montrer que la série entière F (T ) = un T n est une fraction rationelle en T , de dénomi-
n=0
nateur P .
2. En décomposant en éléments simples, montrer qu’il existe λ1 , . . . , λd ∈ C tels que pour
tout n ∈ N, l’on ait
Xd
un = λj αjn .
j=1
1. D’habitude on utilise la notation Tn , mais ici la notation T est réservée pour la variable formelle
2
3 Rayons de convergence
Exercice 10. Calculer les rayons de convergence des séries entières suivantes.
∞ ∞ ∞
X 1 n X
2 n
X 1
T , nT , T n,
n=0
n2 n=0 n=1
(n!)2
∞ ∞ ∞
X X X n! n
3n T n , (log n)T n , T ,
n=0 n=0 n=0
nn
∞   ∞ 3
X 2n n X (n!) n
T , T .
n=0
n n=0
(3n)!

Exercice 11. On suppose que la série entière F (T ) = ∞ n

P
n=0 an T a pour rayon de convergence r ∈
R∗+ . Soit d ∈ N. Déterminer les rayons de convergence des séries entières
∞ ∞ ∞
X
d n
X
n
X an
n an T , (n!)an T , T n.
n=0 n=0 n=0
n!

0
P∞ n
Exercice 12.
P∞ Soient r < r deux réels strictement positifs. On suppose que F (T ) = n=0 an T
et G(T ) = n=0 bn T n sont deux séries entières, de rayons de convergence ρ(F ) = r et ρ(G) = r0 .
1. Déterminer le rayon de convergence de F (T ) + G(T ), et minorer le rayon de convergence
de F (T )G(T ).
2. Minorer le rayon de convergence de la série
∞
X
an b n T n .
n=0

Exercice 13. Définissons la suite de Fibonacci (an )n∈N par

a0 = 0, a1 = 1, ∀n > 2, an = an−1 + an−2 .

∞
X
Déterminer le rayon de convergence de la série F (T ) = an T n .
n=0

Exercice 14 (Nombres de Catalan). Définissons les nombres de Catalan de la façon suivante 2 :

pour tout n ∈ N, Cn ∈ N est le nombre de façons de parenthéser une expression à n + 1 termes :
par exemple
C0 = 1, 1,
C1 = 1, 12,
C2 = 2, (12)3, 1(23),
C3 = 5, (1(23))4, ((12)3)4, (12)(34), 1((23)4), 1(2(34)).
1. Montrer, si le cur vous en dit, la relation de récurrence suivante : pour tout n ∈ N,
n
X
Cn+1 = Ck Cn−k .
k=0

P∞
2. En déduire (même si le cur ne vous en dit pas) que la série formelle F (T ) = n=0 Cn T n
satisfait une certaine équation du second degré.
2. Il y en a beaucoup d’autres !

3
 1/2


3. En déduire une expression explicite de Cn , en termes des coefficients binomiaux k
pour k ∈ N.
4. Déterminer le rayon de convergence de F .
Exercice 15 (Un théorème de Dirac). Soit (bj )j∈N une suite d’entiers strictement croissante, et
pour tout n ∈ N, A(n) le nombre de façons d’écrire n comme une somme de deux termes de (bj ) :

A(n) := card{(j1 , j2 ) ∈ N2 , j1 6 j2 , n = bj1 + bj2 }.

Cela définit une fonction A : N → N. L’objectif est de montrer que, quelle que soit la façon dont
on choisit (bj ), la fonction A ne peut peut jamais être constante à partir d’un certain rang.
1. On pose X
F (T ) = T bj .
j∈N

Quel est le rayon de convergence de F (T ) ?

2. Montrer que lim− F (r) = +∞.
r→1
3. Montrer que X
F (T )2 + F (T 2 ) = 2 A(n)T n .
n∈N

Quel est le rayon de convergence de la série dans le membre de droite ?

4. Supposons qu’il existe n0 ∈ N et C ∈ N, tel que pour tout n > n0 , l’on ait A(n) = C.
Montrer alors qu’il existe un polynôme P ∈ Z[T ] tel que
X T n0
A(n)T n = P (T ) + C .
n∈N
1−T

5. Aboutir à une absurdité en substituant T = −r, où r → 1− , dans les questions précédentes.

4 Fonctions analytiques
1
Exercice 16. Pour z ∈ C r {±i}, définissons f (z) = .
+1 z2
— Montrer que f est développable en série entière sur D(0, 1− ), et déterminer son développe-
ment.
— Montrer que f est développable en série entière autour de 1, et déterminer son développe-
ment.
Exercice 17. On définit la fonction exponentielle sur C par exp(x + iy) = ex (cos y + i sin y).
∞
X zn
Démontrer que exp est analytique sur C, et que exp(z) = .
n=0
n!

Exercice 18. Les fonctions suivantes de z = x + iy sont-elles analytiques ?

y x x y
f1 (z) = x2 − y 2 + 2ixy, f2 (z) = − i , f3 (z) = − i ,
x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2

f4 (z) = x2 y 2 + 2ix2 y 2 , f5 (z) = ez̄ .

Exercice 19. Supposons que Ω est symétrique (z ∈ Ω ⇐⇒ z̄ ∈ Ω), et que f : Ω → C est
analytique. Parmi les fonctions de z suivantes, définies sur Ω, lesquelles sont analytiques ?

f (z̄), f (z̄), f (z), Re(f ), Im(f ), i Re(f ), Re(f ) · Im(f ).

4
Exercice 20. 1. Soit f = P + iQ une fonction analytique sur un ouvert connexe Ω, où P et Q
sont à valeurs réelles. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(a) f est constante,
(b) |f | est constante,
(c) f¯ est analytique sur Ω,
(d) P est constante,
(e) Q est constante.
2. Soient f et g deux fonctions analytiques sur Ω. On suppose que g ne s’annule pas sur Ω,
et que f (z)g(z) ∈ R pour tout z ∈ Ω. Montrer qu’il existe c ∈ C tel que f = cg.

Exercice 21.
1. Déterminer le développement en série entière de f (z) = ez en 1. Quel est son rayon de
convergence ?
1
2. Déterminer le développement en série entière de g(z) = 2 en z = 1, et minorer son
z +1
rayon de convergence.
3. En utilisant la décomposition en éléments simples de g, montrer que le développement
√ en
série entière de g en z = 1 a un rayon de convergence au moins égal à 2. Peut-il être
strictement supérieur ?
4. Même question avec h1 (z) = log(z) en z = 2.

Exercice 22. Applications du principe des zéros isolés.

— Montrer qu’il existe une unique fonction analytique f sur C telle que f ( n1 ) = n12 pour
tout n ∈ N>0 .
— Soit f une fonction analytique sur C, telle que f (n) = 0 pour tout n ∈ Z. Le principe des
zéros isolés s’applique-t-il ? Si oui, montrer que f = 0. Si non, trouver un exemple de telle
fonction f 6= 0.
— Trouver une fonction f analytique sur C, qui n’est pas l’identité, telle que f (n) = n pour
tout n ∈ Z.

Exercice 23. 1. Montrer que chacune des fonctions suivantes peut être étendue en une fonction
analytique sur C :
cos, sin, cosh, sinh .
2. Montrer qu’il existe une unique fonction analytique sur C qui satisfait les conditions

f (0) = 1, f 0 (0) = 0, z 2 f 00 (z) + zf 0 (z) = 4z 2 f (z),

et expliciter son développement en série entière en 0.

3. Même question avec

g(0) = 0, g 0 (0) = 0, z 2 g 00 (z) + zg 0 (z) = −z 2 g(z).

Exercice 24. Soit Ω un ouvert connexe, f : Ω → C une fonction analytique, et (a, b) ∈ R2 r{(0, 0)}.
Supposons que la fonction définie sur Ω par

a Re(f ) + b Im(f )

soit constante. Montrer que f est aussi constante.

Exercice 25 (Corollaire du principe du maximum). Soit P ∈ C[X] un polynôme non constant.

Montrer que P a au moins une racine. [Considérer f (z) = 1/P (z).]
5
Exercice 26 (Lemme de Schwartz). Soit D = D(0, 1− ), et f : D → D une application analytique.
On suppose que f (0) = 0.
1. Trouver un exemple (n’importe lequel !) d’une telle application f qui soit bijective de D
dans D.
2. Trouver un exemple d’une telle application f , pas nécessairement bijective, qui ne soit pas
une application linéaire.
3. On revient au cas général. Montrer que l’application g(z) = f (z)/z, initialement définie
sur D r {0}, peut être prolongée analytiquement sur D. On note encore g ce prolongement.
Que vaut g(0) ?
4. On fixe r ∈ ]0, 1[.
(a) Soit z ∈ D tel que |z| = r. Majorez |g(z)|, le mieux possible, en fonction de r seulement.
(b) Montrer que sup |g(z)| = sup |g(z)|.
z∈D(0,r) |z|=r

5. Déduire de la question précédente que |f (z)| 6 |z| pour tout z ∈ D.

6. On suppose que |f 0 (0)| = 1. Montrer que f (z) = f 0 (0)z pour tout z ∈ D.

Exercice 27 (Principe de Phragmén-Lindelöf).

Soit B = {z ∈ C, Re(z) ∈ ]0, 1[}, et B̄ = {z ∈ C, Re(z) ∈ [0, 1]}. Soient un ouvert Ω contenant B̄,
et une fonction analytique f : Ω → C.
On fait les deux hypothèses suivantes :
— (*) Il existe C > 0 tel que pour tout z ∈ B, l’on ait |f (z)| 6 exp(C |Im(z)|).
— Si Re(z) ∈ {0, 1}, on a |f (z)| 6 1.
2
1. Soit ε > 0 un paramètre, et pour tout z ∈ B̄, g(z) = f (z)eεz .
(a) Montrer que g atteint un maximum global sur B̄.
(b) Justifier que ce maximum global est atteint pour une valeur z vérifiant Re(z) ∈ {0, 1}.
2. Conclure que |f (z)| 6 1 pour tout z ∈ B.
3. Montrer, en adaptant la preuve qui précède, que la même conclusion reste encore vraie si
l’on assouplit l’hypothèse (*) en l’hypothèse suivante : il existe un nombre N > 1, ainsi
qu’un réel C > 0, tel que pour tout z ∈ B, l’on ait |f (z)| 6 exp(C |Im(z)|N ).