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    MPSI— CPGE de Mohammedia

    TD 07
    Structures algébriques

    2021-2022

    I II
    Groupes Anneaux et corps
    Exercice 1
    Exercice 6
    Soit 𝑮 un ensemble muni d’une loi associative. √
    On suppose qu’il existe un élément neutre à gauche 1𝑮 et On note 𝑨 = {𝒎 + 𝒏 6/ 𝒏, 𝒎 ∈ 𝒁 }.
    que tout élément admet un inverse à gauche. Montrer que 1) Montrer que 𝑨, muni de l’addition et la multiplication
    𝑮 est un groupe. habituelles dans R, est un anneau commutatif intègre.
    Exercice 2 2) Déterminer 𝒖 (𝑨).
    Soient 𝑯 et 𝑲 deux sous-groupes d’un groupe 𝑮. On note
    𝑯 𝑲 = {𝒉𝒌/(𝒉, 𝒌) ∈ 𝑯 × 𝑲 }. Montrer que les propriétés Exercice 7
    suivantes sont équivalentes :
    On considère l’anneau de Boole (𝑨, +, ×), c’est-à-dire un
    1) 𝑯 𝑲 est un sous-groupe de 𝑮 anneau où tout élément 𝒙 ∈ 𝑨 vérifie : 𝒙 2 = 𝒙.
    2) 𝑯 𝑲 = 𝑲 𝑯
    1) Montrer que : ∀(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑨2 , 𝒙𝒚 + 𝒚𝒙 = 01 , et en déduire
    Exercice 3 que : ∀𝒙 ∈ 𝑨, 𝒙 + 𝒙 = 0𝑨 . En déduire que 𝑨 est un an-
    neau commutatif.
    Soit 𝑯 un sous groupe d’un groupe fini 𝑮 tel que
    2Card(𝑯 ) > Card(𝑮). Montrer que 𝑯 = 𝑮. 2) Montrer que : ∀(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑨2, 𝒙𝒚(𝒙 + 𝒚) = 0𝑨 . En déduire
    Indication : On pourra raisonner par absurde en suppo- qu’un anneau de Boole ne peut pas être intègre dès que
    sant l’existence d’un élément 𝒙 ∈ 𝑮 r 𝑯 et en utilisant son cardinal est supérieur ou égal à 3.
    l’application :
    Exercice 8
    𝒇: 𝑯 −→ 𝒙𝑯
    𝒚 −→ 𝒙𝒚 On considère un anneau (𝑨, +, ×), et soit (𝒂, 𝒃) ∈ 𝑨2 .
    1) Montrer que si 𝒂𝒃 est nilpotent alors 1𝑨 − 𝒂𝒃 est inver-
    sible et déterminer son inverse.
    Exercice 4
    Soit (𝑮, .) un groupe. On note : 2) Si 𝒂𝒃 et 𝒃𝒂 sont nilpotents, exprimer (1 −𝒃𝒂) −1 en fonc-
    tion de (1 − 𝒂𝒃) −1 .
    𝒁 (𝑮) = {𝒙 ∈ 𝑮/ ∀𝒚 ∈ 𝑮, 𝒙𝒚 = 𝒚𝒙}
    3) On ne suppose plus 𝒂𝒃 ni 𝒃𝒂 nilpotents, montrer que si
    Montrer que (𝒁 (𝑮), .) est un sous groupe abélien de 𝑮. (1 − 𝒂𝒃) est inversible alors (1 − 𝒃𝒂) l’est aussi.

    Exercice 5 Exercice 9
    On note : 2
    √ Pour (𝒙, 𝒚) ∈ R , on pose :
    𝑯 = {𝒙 + 𝒚 3/ 𝒙, 𝒚 ∈ Z, 𝒙 2 − 3𝒚 2 = 1}
    𝒙>𝒚 = 𝒙 + 𝒚 − 1; 𝒙 ∗ 𝒚 = 𝒙𝒚 − 𝒙 − 𝒚 + 2
    que 𝑯 ⊂ R∗ .
    C PG E d e Mo h a m m e d i a

    ´
    1) Etablir
    2) Montrer que (𝑯 , ×) est un groupe. Montrer que (R, >, ∗) est un corps.

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