Calcul numérique d’une intégrale

Arroub Ayoub

CPGE Mohammedia
Informatique
Mohammedia
arryoub@gmail.com

14 mai 2022
Introduction Méthode du rectangle Méthode du point milieu la méthode du trapèze

Introduction

le but de ce cours est de déterminer une "bonne" approximation de l’intégrale

définie :
Z b
Ia,b (f ) = f (x)dx
a
où f est une fonction continue sur le segment [a, b] à valeurs dans R

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Motivation

Dans certains cas très limités, une telle intégrale peut être calculée
analytiquement (à la main). Cependant, ce n’est que très rarement possible, et
le plus souvent un des cas suivants se présente :
Le calcul analytique est long ,compliqué.
Le résultat de l’intégrale est une fonction compliquée qui fait appel à
d’autres fonctions elles-même longues à évaluer
Cette intégrale n’a pas d’expression analytique
Dans tous ces cas, on préférera calculer numériquement la valeur de
l’intégrale Ia,b (f )

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Définitions et notations

Nous allons nous intéresser dans ce cours à certaines méthodes de

quadrature qui consistent à approcher la valeur de l’intégrale par une somme
pondérée finie de valeurs de la fonction f en des points choisis ; en d’autres
termes ces méthodes fournissent une approximation de Ia,b (f ) par la
quantité :
p
∑ αi f (xi)
p
Ia,b (f ) =
i=0
Les coefficients α0 , ..., αp étant des réels et dépendants de l’entier p et des
points x0 , ..., xp appartenant à [a, b].

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Définitions et notations

L’erreur de quadrature est la quantité :

p
Ea,b (f ) = Ia,b (f ) − Ia,b (f )
On dira qu’une méthode de quadrature est d’ordre k quand l’erreur commise
est nulle lorsque f est un polynôme de degré inférieur ou égal à k.

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Définitions et notations

Méthodes de quadratures composites :

Les méthodes de quadratures composites pour calculer une valeur approchée
de l’intégrale, consistent à subdiviser l’intervalle [a, b] en sous-intervalles
a = a0 < a1 < ... < an = b (en général avec un pas constant) et à appliquer
une méthode de quadrature sur chacun des intervalles [ai , ai+1 ]. Dans ce cas,
l’erreur commise est :
n−1
En (f ) = ∑ Ea ,a − (f )
i i 1
i=0
On gardera en mémoire l’expression d’une subdivision de pas régulier
ak = a + k b− a
n ,0 ≤ k ≤ n

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Définitions et notations

Enfin, les différentes majorations des erreurs commises par les méthodes que
nous allons étudier reposent sur le théorème de Rolle, dont on rappelle ici
l’énoncé
Théorème 1
Si g : [a, b] −→ R est continue sur le segment [a, b], dérivable sur l’intervalle ]a, b[
et si g(a) = g(b) alors il existe c ∈]a, b[ tel que g0 (c) = 0.

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Méthode du rectangle

La méthode de quadrature du rectangle est la plus simple qui soit : elle

consiste à approcher la fonction f par la valeur qu’elle prend en un point de
l’intervalle [a, b], en général une de ses extrémités. Si on choisit pour unique
nœud a0 = a et pour poids α0 = b − a, ceci conduit à approcher Ia,b (f ) par :
0
Ia,b (f ) = (b − a)f (a)

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Méthode du rectangle

Théorème 2
La méthode du rectangle est d’ordre 0, et si f est de classe C 1 , l’erreur de quadrature
vérifie :

(b − a)2
|Ea,b (f )| ≤ M1
2
où M1 est un majorant de |f 0 | sur l’intervalle [a, b]

Preuve : Si f est un polynôme constant, on pose f (x) = λ et dans ce cas :

Z b
0
Ia,b (f ) = λdt = (b − a)λ = (b − a)f (a) = Ia,b (f )
a

ce qui montre que la méthode des rectangles est d’ordre 0.

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Méthode du rectangle

Preuve (suite) : Si f est une fonction de classe C 1 , l’erreur commise vaut :

Rb Rb
Ea,b (f ) = a f (t)dt − (b − a)f (a) = a (f (t) − f (a))dt
Rb
donc |Ea,b (f )| ≤ a |f (t) − f (a)|dt
Fixons t ∈]a, b] et considérons la fonction g : x −→ f (x) − f (a) − K(x − a),
telle que K est choisie de sorte que g(t) = 0. g est de classe C 1 et vérifie
g(a) = g(t) = 0 donc d’après le théorème de Rolle il existe c ∈]a, t[ tel que
g0 (c) = 0, ce qui signifie que K = f 0 (c).On a donc f (t) − f (a) = f 0 (c)(t − a), ce
qui prouve la majoration :|f (t) − f (a)| ≤ M1 (t − a). On en déduit :

(b − a)2
Z b
|Ea,b (f )| ≤ M1 (t − a)dt ≤ M1
a 2

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Méthode du rectangle composite

La méthode du rectangle composite consiste à considérer une subdivision

(a0 , a1 , ..., an ) de [a, b] de pas régulier et à utiliser la linéarité de l’intégrale :
Z b n−1 Z ak+1
Ia,b (f ) =
a
f (t)dt = ∑ f (t)dt
k=0 ak

pour approcher chacune des intégrales Iak ,ak+1 (f ) par

b−a b−a
(ak+1 − ak )f (ak ) = f (a + k )
n n
.

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Méthode du rectangle composite

Autrement dit, cette méthode consiste à approcher Ia,b (f ) par :

b − a n−1 b−a
n k∑
f (a + k )
=0
n

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Méthode du rectangle composite

Théorème 3
Si f est de classe C 1 , l’erreur de la méthode du rectangle composite vérifie :

(b − a)2
|En (f )| ≤ M1
2n
où M1 est un majorant de |f 0 | sur l’intervalle [a, b]
−1
Preuve : En effet, |En (f )| ≤ ∑nk= 0 |Eak ,ak+1 (f )|
2
(b−a)
Or, |Eak ,ak+1 (f )| ≤ M1 2n2
Donc
(b − a)2
|En (f )| ≤ M1
2n

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Méthode du point milieu

Une amélioration très simple de la méthode du rectangle consiste à

approcher la fonction f par la valeur qu’elle prend au point milieu de
l’intervalle [a, b], autrement dit à choisir pour unique nœud x0 = a+ b
2 = w et
pour poids α0 = (b − a), ce qui conduit à approcher Ia,b (f ) par :

0
Ia,b (f ) = (b − a)f (w)

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Méthode du point milieu

Théorème 4
La méthode du point milieu est d’ordre 1, et si f est de classe C 2 , l’erreur de
quadrature vérifie :

(b − a)3
|Ea,b (f )| ≤ M2
24
où M2 est un majorant de |f 00 | sur l’intervalle [a, b]

Preuve : Si f est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1, on pose

f (x) = ux + v et dans ce cas :
Z b
u 2 a+b
Ia,b (f ) = (ut + v)dt = (b − a2 ) + v(b − a) = (b − a)(u 0
+ v) = Ia,b (f )
a 2 2
ce qui montre que la méthode du point milieu est d’ordre 1.

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Preuve (suite) : Si f est une fonction de classe C 2 , l’erreur commise vaut :

Z b Z b
Ea,b (f ) = f (t)dt − (b − a)f (w) = (f (t) − f (w))dt
a a

donc Z b
|Ea,b (f )| ≤ |f (t) − f (w)|dt
a

Fixons t 6= w ∈ [a, b] et considérons la fonction

(x − w)2
g : x −→ f (x) − f (w) − (x − w)f 0 (w) − K
2
, telle que K est choisie de sorte que g(t) = 0. On a g(w) = g(t) = 0 donc
d’après le théorème de Rolle il existe c, dans l’intervalle à extrémité t et w tel
que g0 (c) = 0.

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Méthode du point milieu

Preuve (suite) : Mais g0 (x) = f 0 (x) − f 0 (w) − K(x − w), donc g0 (w) = 0 ; on
peut donc de nouveau appliquer le théorème de Rolle entre c1 et w et affirmer
l’existence d’un réel c2 dans l’intervalle à extrémité w et c1 tel que g”(c2 ) = 0,
égalité qui s’écrit :f ”(c2 ) − K = 0.ce qui signifie que K = f ”(c).
Ainsi, l’égalité g(t) = 0 peut aussi s’écrire
(t−w)2
f (t) − f (w) − (t − w)f 0 (w) = f ”(c2 ) 2 ,
Ainsi on a la R R b (t−w)2
b (b−a)3
majoration :| a (f (t) − f (w) − (t − w)f 0 (w))dt| ≤ M2 a 2 dt = M2 24 .
Rb
Comme a (t − w)dt = 0, On en déduit donc que :

(b − a)3
|Ea,b (f )| ≤ M2
24

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Méthode du point milieu composite

Elle consiste à appliquer la méthode du point milieu à une subdivision de pas

Rb
régulier du segment [a, b], ce qui revient à approcher Ia,b (f ) = a f (t)dt par :

b − a n−1 1 b−a
n k∑
f (a + (k + ) )
=0
2 n

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Méthode du point milieu composite

Théorème 5
Si f est de classe C 2 , l’erreur de la méthode du point milieu composite vérifie :

(b − a)3
|En (f )| ≤ M1
24n2
où M2 est un majorant de |f ”| sur l’intervalle [a, b]
−1
Preuve : En effet, |En (f )| ≤ ∑nk= 0 |Eak ,ak+1 (f )|
3
(b−a)
Or, |Eak ,ak+1 (f )| ≤ M2 24n3
Donc
(b − a)3
|En (f )| ≤ M2
24n2

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la méthode du trapèze

La méthode du trapèze consiste à approcher sur [a, b] la fonction f par la

fonction affine f joignant les points (a, f (a)) et (b, f (b)). Il est facile d’obtenir
l’expression de f [a, b]

f (b) − f (a) b−x x−a

f (x) = f (a) + (x − a) = f (a) + f (b)
b−a b−a b−a
Rb
ce qui conduit à approcher a (f ) par
Z b Z b
1 b−t t−a f (a) + f (b)
Ia,b (f ) = f (a) dt + f (b) dt = (b − a)
a b−a a b−a 2

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la méthode du trapèze

Il s’agit donc d’une méthode de quadrature à deux nœuds a0 = a et a1 = b

avec les poids α0 = α1 = b−
2
a

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Méthode du trapèze

Théorème 6
La méthode du point trapèze est d’ordre 1, et si f est de classe C 2 , l’erreur de
quadrature vérifie :

(b − a)3
|Ea,b (f )| ≤ M2
12
00
où M2 est un majorant de |f | sur l’intervalle [a, b]

Preuve : Si f est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1, alors f = f ,

1 (f )
donc Ia,b (f ) = Ia,b
ce qui montre que la méthode du trapèze est d’ordre 1.

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Méthode du trapèze

Preuve (suite) : Si f est une fonction de classe C 2 , l’erreur commise vaut :

Z b
Ea,b (f ) = (f (t) − f (t))dt
a

(x−a)(x−b)
Fixons t ∈]a, b[ et considérons la fonction g : x −→ f (x) − f (x) − K 2 ,
telle que K est choisie de sorte que g(t) = 0
On a g(a) = g(b) = g(t) = 0 donc d’après le théorème de Rolle il existe
c1 ∈]a, t[ et c2 ∈]t, b[ tels que g0 (c1 ) = g0 (c2 ) = 0. Toujours d’après le théorème
de Rolle, il existe c3 ∈]c1 , c2 [ tel que g”(c3 ) = 0. Mais g”(x) = f ”(x) − K donc
K = f ”(c3 ).
(t−a)(t−b)
Ainsi,g(t) = 0 ⇐⇒ f (t) − f (t) = f ”(c3 ) 2 ce qui implique :

(b − a)3
Z b
(t − a)(t − b)
|Ea,b (f )| ≤ M2 dt = M2
a 2 12
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méthode du trapèze composite

Elle consiste à appliquer la méthode du trapèze à une subdivision de pas

Rb
régulier du segment [a, b], ce qui revient à approcher Ia,b (f ) = a f (t)dt par :

(b − a) n−1 f (ak ) + f (ak+1 ) (b − a ) n−1 f (a) + f (b)

n ∑ 2
=
n
( ∑ f (ak ) +
2
)
i=0 i=1

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Méthode du trapèze composite

Théorème 7
Si f est de classe C 2 , l’erreur de la méthode du trapèze composite vérifie :

(b − a)3
|En (f )| ≤ M1
12n2
où M2 est un majorant de |f ”| sur l’intervalle [a, b]

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