Exercices Suites Numeriques
Exercices Suites Numeriques
Exercices Suites Numeriques
Exercice 5
𝑢 −3
On considère la suite (𝑢𝑛 ) de reels, definie par 𝑢0 = 1; 𝑢𝑛 = 𝑛−1 (𝑛 ∈ ℕ∗ )
2
On pose 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 + 3.
1.) Montrer que la suite (𝑣𝑛 ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
2.) Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.
3.) Etudier la limite de (𝑣𝑛 ) .
Exercice 6
Partie A :
𝑥
1
I.) Soient les equations differentielles (𝐸): 𝑦 ′ + 𝑦 = 0 𝑒𝑡 (𝐸 ′ ): 𝑦 ′ + 𝑦 = − 𝑒 −2 − 2.
2
𝑥
1.) Montrer qu’il existe une fonction ℎ definie par ℎ(𝑥) = 𝑝𝑒 −2 + 𝑞 solution de (𝐸 ′ ) ou 𝑝 𝑒𝑡 𝑞 etant des
nombres reels que l’on determinera
2.) Montrer qu’une fonction 𝑓 = 𝑔 + ℎ est solution de (𝐸 ′ ) si, et seulement si 𝑔 est solution de (𝐸).
3.) Resoudre (𝐸′) .
𝑥
II.) Soit 𝑓 la fonction definie par 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥 − 𝑒 −2 − 2 et (𝐶𝑓 ) sa courbe dans un repere orthonorme (𝑂; 𝐼; 𝐽).
1.) Montrer que 𝑓 verifie l’equation (𝐸 ′ ).
2.) Etudier les variations de 𝑓 puis dresser son tableau de variation.
3.) Tracer (𝐶𝑓 ).
Partie B
𝑛
1
Soit (𝑢𝑛 ) la suite numerique definie par 𝑢0 = 1 𝑒𝑡 𝑢𝑛+1 + 𝑢𝑛 = − 𝑒 − 2 − 2, 𝑛 ∈ ℕ (1)
2
𝑛
1.) Déterminer une suite (𝑎𝑛 ) definie par 𝑎𝑛 = 𝑏𝑒 −2 + 𝑐 telle que (𝑎𝑛 ) vérifie la propriété (1).
2.) On pose 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 𝑎𝑛 . Montrer que la suite (𝑣𝑛 ) est une suite géométrique dont on précisera le premier
terme et la raison.
3.) Exprimer 𝑣𝑛 , puis 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
4.) On pose 𝑆𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢𝑛 . Calculer 𝑆𝑛 en fonction de 𝑛. La suite (𝑆𝑛 ) est-elle convergente ?