Intégration Et Séries (TD)

CPGE MPSI Intégrales - Séries Numériques MELHAFI
Exercice 1 Soit 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⟶ 𝐼𝐾 de classe 𝐶 1

𝑏
Montrer que : lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑒 𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑛→∞
(−1)𝑘−1
Exercice 2 On considère la suite (𝑆𝑛 ) définie par : ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ , 𝑆𝑛 = ∑𝑛𝑘=1 𝑘²
−1 𝜋 (−1)𝑛−1
1)a)Montrer que : : ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ , 2𝜋 ∫0 𝑡 2 cos(𝑛𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑛²
b) Exprimer la somme 𝑆𝑛 à l′ aided′ une intégrale

1
𝑠𝑖𝑛(𝑛+ )𝑡 1
2)Montrer que pour tout réel 𝑡 différent de 2𝑝𝜋 (𝑝 ∈ ℤ) , 𝑆𝑛 = ∑𝑛𝑘=1 cos(𝑘𝑡) = 2
𝑡 −2
2𝑠𝑖𝑛( )
2
𝑡²
3)On considère la fonction 𝑔 définie par ∶ 𝑔(𝑡) = 𝑡 si 𝑡 ∈ ]0,2𝜋[ et 𝑔(0) = 0
𝑠𝑖𝑛( )
2
Montrer que 𝑔 est de classe 𝐶 1 sur [0,2𝜋[
𝜋² 1 𝜋 1
4)a) Montrer que : ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ , 𝑆𝑛 = − ∫ 𝑔(𝑡)𝑠𝑖𝑛 (𝑛 + ) 𝑡 𝑑𝑡
12 4𝜋 0 2
b) En déduire lim 𝑆𝑛
𝑛→∞
Exercice 4
1) Soient 𝑓 , 𝑔 ∶ [𝑎, 𝑏] ⟶ 𝐼𝑅 continues avec 𝑓 > 0

𝑏 𝑏
Montrer qu’il existe 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[ tel que ∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑐) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥
2)Déterminer lim+ ∫𝑥 𝑑𝑥
𝑥→0 𝑥²
Exercice 5 Soient 𝑎 , 𝑏 deux réels strictement positifs

+∞ 𝑑𝑥
On pose 𝐼 = ∫0 (𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)
1)Montrer que 𝐼 est convergente
2)Déterminer la valeur de 𝐼 en fonction de 𝑎 et 𝑏
Exercice 6
+∞ 𝑠𝑖𝑛3 𝑡
On pose 𝐼 = ∫0 𝑡²
𝑑𝑡
1)Montrer que 𝐼 converge
+∞ 𝑠𝑖𝑛3𝑡 3 3𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑡
2)Montrer que : ∀𝑥 > 0 , ∫𝑥 𝑡²
𝑑𝑡 = 4 ∫𝑥 𝑡²
𝑑𝑡
3)En déduire la valeur de 𝐼

𝜋 𝜋 𝜋
𝑠𝑖𝑛2 (𝑛𝑥) 𝑠𝑖𝑛2 (𝑛𝑥) 𝑠𝑖𝑛2(𝑛𝑥)
Exercice 7 On pose : 𝐴𝑛 = ∫02 𝑡𝑎𝑛²(𝑥)
𝑑𝑥 , 𝐼𝑛 = ∫02 𝑥²
𝑑𝑥 , 𝐵𝑛 = ∫02 𝑠𝑖𝑛²(𝑥)
𝑑𝑥
1)Montrer que : 𝐴𝑛 ≤ 𝐼𝑛 ≤ 𝐵𝑛
+∞ 𝑠𝑖𝑛2(𝑥) 𝐼𝑛
2)On pose 𝐽 = ∫0 𝑑𝑥 . Montrer que 𝐽 converge et que 𝐽 = lim
𝑥² 𝑛→∞ 𝑛
𝜋
𝑠𝑖𝑛2(𝑛𝑥)
3)a) On pose 𝐶𝑛 = ∫02 𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑑𝑥 . Montrer que 𝐵𝑛+1 − 𝐵𝑛 = 𝐶2𝑛+1
b) Calculer 𝐶2𝑛+1 −𝐶2𝑛−1 , puis en déduire la valeur de 𝐵𝑛
4)Déterminer 𝐴𝑛 , puis en déduire la valeur de 𝐽

+∞ 𝑠𝑖𝑛(𝑥)
5)Montrer que ∫0 𝑥
𝑑𝑥 converge et déterminer sa valeur
𝑥
Exercice 8 Pour 𝑥 > 0 , on pose 𝑓 (𝑥) = ∫0 𝑒 𝑖𝑡² 𝑑𝑡
𝑒 𝑖𝑥² −1 1 𝑥 𝑒 𝑖𝑡² −1
1)Montrer que : 𝑓 (𝑥) = + ∫ 𝑑𝑡
2𝑖𝑥 2𝑖 0 𝑡²
2)En déduire que 𝑓 admet une limite finie λ en +∞
1 +∞ 𝑒 𝑖𝑡² 𝑒 𝑖𝑥²
3)On pose 𝑔(𝑥) = λ − 𝑓(𝑥) . Montrer que : ∀𝑥 > 0 , 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑑𝑡 −
2𝑖 𝑥 𝑡² 2𝑖𝑥
𝑒 𝑖𝑥² 1 +∞ 𝑒 𝑖𝑡²
4)Montrer que : 𝑔(𝑥) = − 2𝑖𝑥 + 𝑂+∞ (𝑥 3) (IPP pour ∫𝑥 𝑡²
𝑑𝑡)
5)En déduire un développement asymptotique de 𝑓 en + ∞

(𝑛+1)𝜋 sin(𝑡)
Exercice 9 Pour 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ , on pose 𝐽𝑛 = ∫0 |
𝑡
| 𝑑𝑡
(𝑘+1)𝜋 sin(𝑡)
1)En écrivant 𝐽𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 ∫𝑘𝜋 |
𝑡
| , montrer que lim 𝐽𝑛 = +∞
𝑛→+∞
+∞ sin(𝑡)
2)Montrer alors que ∫0 𝑑𝑡 est semi – convergente
𝑡
Exercice 10 Déterminer la nature de la série ∑𝑛 𝑢𝑛 dans les cas suivants :
1 1 𝑥 −𝑛²
a) 𝑢𝑛 = − b) 𝑢𝑛 = (1 + 𝑛) (𝑥 ∈ 𝐼𝑅)
√𝑛²−1 √𝑛²+1
(−1)𝑛
c) 𝑢𝑛 = (𝛼 > 0) d) 𝑢𝑛 = 𝑒 −√𝑛
√𝑛𝛼 +(−1)𝑛
1
Exercice 11 On pose 𝑣𝑛 = ∑+∞
𝑘=𝑛+1 𝑘 3
1)Justifier l’existence de 𝑣𝑛 puis donner un équivalent de 𝑣𝑛
2)Déterminer la nature de la série ∑𝑛 𝑣𝑛

Exercice 12
+∞ 𝑑𝑥
On pose 𝐽𝑛 = ∫0 (1+𝑥 3)𝑛+1
1)Montrer que 𝐽𝑛 converge
2)Déterminer une relation entre 𝐽𝑛 et 𝐽𝑛+1
3)On pose 𝑤𝑛 = 3√𝑛 . 𝐽𝑛
a)Montrer que la suite (ln(𝑤𝑛 )) est convergente

𝐴
b) En déduire que 𝐽𝑛 ~+∞ 3 avec 𝐴 une constante
√𝑛
Exercice 13(Règle D’ABEL)
Soient (𝑢𝑛 ) une suite complexe et (𝑣𝑛 ) une suite positive décoissante et tend vers 0
On pose 𝑆𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘 . On suppose que la suite (𝑆𝑛 ) est bornée
1)Montrer que : ∀(𝑝, 𝑞) ∈ 𝐼𝑁² (𝑝 ≤ 𝑞) , ∑𝑞𝑘=𝑝 𝑢𝑘 𝑣𝑘 = 𝑆𝑞 𝑣𝑞 − 𝑆𝑝−1 𝑣𝑝 + ∑𝑞−1

𝑘=𝑝 𝑆𝑘 (𝑣𝑘 − 𝑣𝑘+1 )
2)Montrer que la série ∑𝑛 𝑣𝑛 𝑢𝑛 est convergente
𝑒 𝑖𝑛
3)Montrer que la série ∑𝑛≥1 𝑛
est semi - convergente

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Exercice 1 Soit 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⟶ 𝐼𝐾 de classe 𝐶 1

b) Exprimer la somme 𝑆𝑛 à l′ aided′ une intégrale

Montrer que 𝑔 est de classe 𝐶 1 sur [0,2𝜋[

1) Soient 𝑓 , 𝑔 ∶ [𝑎, 𝑏] ⟶ 𝐼𝑅 continues avec 𝑓 > 0

Exercice 5 Soient 𝑎 , 𝑏 deux réels strictement positifs

1)Montrer que 𝐼 est convergente

2)Déterminer la valeur de 𝐼 en fonction de 𝑎 et 𝑏

1)Montrer que 𝐼 converge

3)En déduire la valeur de 𝐼

b) Calculer 𝐶2𝑛+1 −𝐶2𝑛−1 , puis en déduire la valeur de 𝐵𝑛

4)Déterminer 𝐴𝑛 , puis en déduire la valeur de 𝐽

2)En déduire que 𝑓 admet une limite finie λ en +∞

5)En déduire un développement asymptotique de 𝑓 en + ∞

Exercice 10 Déterminer la nature de la série ∑𝑛 𝑢𝑛 dans les cas suivants :

1)Justifier l’existence de 𝑣𝑛 puis donner un équivalent de 𝑣𝑛

2)Déterminer la nature de la série ∑𝑛 𝑣𝑛

1)Montrer que 𝐽𝑛 converge

2)Déterminer une relation entre 𝐽𝑛 et 𝐽𝑛+1

3)On pose 𝑤𝑛 = 3√𝑛 . 𝐽𝑛

a)Montrer que la suite (ln(𝑤𝑛 )) est convergente

Exercice 13(Règle D’ABEL)

On pose 𝑆𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘 . On suppose que la suite (𝑆𝑛 ) est bornée

1)Montrer que : ∀(𝑝, 𝑞) ∈ 𝐼𝑁² (𝑝 ≤ 𝑞) , ∑𝑞𝑘=𝑝 𝑢𝑘 𝑣𝑘 = 𝑆𝑞 𝑣𝑞 − 𝑆𝑝−1 𝑣𝑝 + ∑𝑞−1

2)Montrer que la série ∑𝑛 𝑣𝑛 𝑢𝑛 est convergente

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