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    Corrigé Exercice 1

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    Hajar AMENAOU
    Ce document présente un exercice de détermination des représentations matricielles des opérations de symétrie dans un système cubique, notamment les plans miroirs, les axes d'ordre 2 et 4.

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    cristallographie

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    Corrigé_exercice_1

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    Radiocristallographie & cristallochimie II

    Travaux dirigés
    2020/2021

    K. ELATAOUI (k.elataoui@uca.ac.ma)

    1
    Exercice 1:
    Déterminer la représentation matricielle des opérations
    de symétrie suivantes (système cubique):
    1) Un plan miroir confondu avec le plan YOZ.
    2) Un plan miroir confondu avec le plan XOZ.
    3) Un axe d’ordre 2, bissectrice de l’angle XOY.
    4) Un axe d’ordre 2, bissectrice de l’angle XOZ.
    5) Un axe d’ordre 4, parallèle à l’axe OZ.
    6-a) Un axe 4, parallèle à l’axe OX.
    6-b) Un axe 4ത , parallèle à l’axe OX
    2
    1) Déterminer la représentation matricielle du plan miroir confondu avec le plan YOZ
    La méthode la plus simple pour déterminer la matrice associée à une opération de symétrie
    donnée, c’est de s’intéresser à la transformation de vecteurs de base de la maille par
    l’application de cette opération.

    Réflexion

    matrice associée au plan miroir (YOZ)


    3
    L’application de cette matrice sur les positions (x, y, z) d’un atome P
    conduit à un atome équivalent P’ de positions (x’, y’, z’).

    𝑥′ 𝑥
    𝑦′ = M 𝑦
    𝑧′ 𝑧

    𝑥′ −1 0 0 𝑥 𝑥′ = 𝑥
    ′ 𝑦
    𝑦 = 0 1 0 ቐ𝑦 ′ = 𝑦
    𝑧′ 0 0 1 𝑧
    𝑧′ = 𝑧

    Les positions générées par le plan (YOZ) sont :(x, y, z) et (𝑥,ҧ y, z )

    4
    2) La matrice associée à un plan miroir confondu avec le plan XOZ

    Réflexion

    1 0 0
    M(mxoz ) = 0 −1 0
    0 0 1

    𝑥′ 1 0 0 𝑥 𝑥′ = 𝑥
    ′
    𝑦 = 0 −1 0 𝑦 ቐ𝑦 ′ = 𝑦
    𝑧′ 0 0 1 𝑧 𝑧′ = 𝑧

    Les positions générées par le plan (XOZ) sont :(x, y, z) et (x, 𝑦,


    ത z) 5
    3) Déterminer la représentation matricielle d’un axe d’ordre 2, bissectrice de l’angle XOY.
    𝜋
    Système cubique: a = b = c et α = β = ϒ =
    2

    0 1 0
    M(𝟐)𝑏𝑖𝑠𝑠xoy = 1 0 0
    0 0 −1
    𝑥′ 0 1 0 𝑥 𝑥′ = 𝑦
    𝑦′ = 1 0 0 𝑦 ቐ 𝑦′ = 𝑥
    𝑧′ 0 0 −1 𝑧 𝑧 ′ = 𝑧ҧ

    Les positions équivalentes sont :(x, y, z) et (𝑦, x, 𝑧ҧ ) 6


    4) Déterminer la représentation matricielle d’un axe d’ordre 2, bissectrice de l’angle XOZ.

    0 0 1
    M(𝟐)𝑏𝑖𝑠𝑠 xoz = 0 −1 0
    1 0 0

    𝑥′ 0 0 1 𝑥 𝑥′ = 𝑧
    𝑦 ′ = 0 −1 0 𝑦 ቐ𝑦′ = 𝑦
    𝑧′ 1 0 0 𝑧 𝑧′ = 𝑥

    Les positions équivalentes sont :(x, y, z) et (𝑧, 𝑦,


    ത 𝑥) 7
    5) Déterminer la représentation matricielle d’un axe d’ordre 4, parallèle à l’axe OZ

    0 −1 0
    M(𝟒) ∕∕ (𝑜𝑧) = 1 0 0
    0 0 1

    𝑥′ 0 −1 0 𝑥 𝑥 ′ = 𝑦ത
    𝑦′ = 1 0 0 𝑦 ቐ 𝑦′ = 𝑥
    𝑧′ 0 0 1 𝑧 𝑧′ = 𝑧

    Les positions générées par l’axe 4 ∕∕ (oz) sont : (x, y, z) , (𝑦,


    ത x, z ), (𝑥,ҧ 𝑦,
    ത z ) et (𝑦, 𝑥,ҧ z ) 8
    6-a) Déterminer la représentation matricielle de 4, parallèle à l’axe OX

    𝜋
    Rotation de
    2

    1 0 0
    M(𝟒) ∕∕ (𝑜𝑥 ) = 0 0 −1
    0 1 0

    9
    ഥ, parallèle à l’axe OX
    6-b) Déterminer la représentation matricielle de l’axe 𝟒
    −1 0 0
    M(ഥ
    𝒙)= M(𝒙) * M(𝒊) =M-1 (𝒙) M(𝒊) = 0 −1 0
    0 0 −1
    matrice associée à l’inversion)

    1 0 0
    M(𝟒
    ഥ) 𝑜𝑥 = M(𝟒) 𝑜𝑥 ∗ M(𝒊) avec M(𝟒) ∕∕ (𝑜𝑥 ) = 0 0 −1
    ∕∕ ( ) ∕∕ ( )
    0 1 0
    1 0 0 −1 0 0 −1 0 0
    M(𝟒
    ഥ) 𝑜𝑥
    ∕∕ ( )
    = 0 0 −1 0 −1 0 = 0 0 1
    0 1 0 0 0 −1 0 −1 0

    * On peut aussi déterminer la matrice de l’axe inverse, en inversant la matrice de l’axe direct:

    −1 0 0
    M(𝟒
    ഥ) = M-1(𝟒) = 0 0 1
    0 −1 0
    ഥ) ∕∕ (𝑜𝑥)
    matrice associée à l’axe (𝟒 10

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