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    Communication Analogique Et Numérique: Exercice Exercice

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    Fatima EL Fasihi

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    sur 2

    Royaume du Maroc

    Université Abdelmalek Essaadi


    Faculté des Sciences et Techniques d’Al Hoceima
    Département de Physique
    Filière STT (S6)

    Communication Analogique et Numérique


    TD N o 1
    Signaux et systèmes
    Exercice 1 Exercice 4

    Tracer les signaux suivants et déterminer s’il s’agit de 1. Montrer que si x(t) ←→ X(ω), alors
    signaux à énergie finie, à puissance finie ou n’appar- 1 1
    x(t)cosω0 t ←→ X(ω − ω0 ) + X(ω + ω0 )
    tenant à aucune de ces deux catégories, u(t) est une 2 2
    fonction échelon. 2. Quelle est la structure de la transformée de Fou-
    1. x(t) = Asin(t), avec − ∞ < t < ∞ rier d’un signal x(t) périodique, de période T ?

    2. x(t) = u(t) 3. Calculer la transformée de Fourier du train d’im-


    X∞

    3. x(t) = tu(t) pulsions périodique δT (t) = δ(t − nT ).


    n=−∞
    4. x(t) = A[u(t + a) − u(t − a)], a>0
    Exercice 5
    Exercice 2
    1. Démontrer le théorème temporel de la convolu-
    1. Vérifier la propriété suivante : x(t)δ(t − t0 ) = tion : x1 (t) ∗ x2 (t) ←→ X1 (ω)X2 (ω).
    x(t0 )δ(t − t0 )
    2. Calculer la transformée de Fourier d’un signal
    2. Trouver la série de Fourier complexe du signai : y(t) = x(t)cos(ω0 t).
    x(t) = cosω0 t + sin2 ω0 t
    3. Z
    Démontrer
    ∞
    le théorème
    Z ∞ de Parseval :
    2 1
    3. Trouver la décomposition en série de Fourier du |x(t)| dt = |X(ω)|2 dω
    train d’impulsions δT (t) défini par la relation : −∞ 2π −∞
    X∞
    δT (t) = δ(t − nT )
    n=−∞ Exercice 6
    4. Calculer et tracer le spectre d’amplitude du si-
    gnal carré périodique x(t) pour : Soit x1 (t) et x2 (t) des signaux dont la transformée de
    (a) d = T /4 Fourier X1 (ω) et X2 (ω)
    (b) d = T /8 1. Montrer que la fonction d’intercorrélation des si-
    gnaux x1(t) et x2(t) peut s’écrire sous forme
    d’une convolution : R12 (τ ) = x1 (τ ) ∗ x2 (τ )
    2. Monter que : F [R12 (τ )] = X1 (ω)X2 (ω) et
    F [R11 (τ )] = X1 (ω)X1 (ω).
    3. Démontrer que si x1 (t) est réel, alors :
    S11 (ω) = F [R11 (τ )] = |X1 (ω)|2 ,

    Exercice 3
    Exercice 7
    1. Calculer est la transformée de Fourier de l’impul-
    1. Calculer la fonction d’autocorrélation moyennée
    ( x(t) d’expression :
    sion rectangulaire
    temporellement du signal sinusoïdal :
    1 |t| < a 2π
    x(t) = pa (t) = x(t) = Asin(ω1 t + φ) avec ω1 = .
    0 |t| > a T
    2. Calculer la transformée de Fourier du signal x(t), 2. Vérifier la relation
    Z : Z ∞
    sin(at) 1 T /2 2 1
    qui a pour expression : x(t) = P1 = lim |x(t)| dt = S 11 dω.
    T →+∞ T −T /2 2π −∞
    πt

    [ 1|2 ]
    Exercice 8 2. admettant que cette SIR est appliquée à un filtre
    passe-bas d’ordre 1 (figure 2) et de fréquence de
    coupure fc = 10kHz.
    1. Déterminer si les systèmes proposés ci-après sont
    linéaires ou non. (a) Déterminer la fonction de transfert du filtre.

    (a) P [x(t)] = x(t)cosωt (b) Que valent l’amplitude et la phase des com-
    posantes à 10[kHz], 40[kHz] et 150[kHz] ?
    (b) P [x(t)] = [A + x(t)]cosωt
    2. Considérons le système dont la relation entre le
    signal d’entrée x(t) et le signal de sortie y(t) est
    linéaire : y(t) = ax(t) + b où a et b sont des
    constantes. Peut-on dire que ce système est li-
    néaire ?

    Exercice 9

    Considérons un filtre de fonction de transfert


    H(ω) = 1/(1 + jω) auquel on applique un signal d’en-
    trée x(t) = e−2t u(t).
    1. Calculer la densité spectrale énergétique du si-
    gnal de sortie figure 1
    2. Monter que l’énergie délivrée en sortie est le tiers
    de celle qui est fournie à l’entrée du filtre.

    Exercice 10

    Considérant une SIR (suite d’impulsion rectangulaire,


    figure 1) centrée de période T = 100[µs], de largeur
    ∆t = 20[µs] et d’amplitude A = 10[V ],
    1. calculez le pourcentage de puissance comprise
    dans le premier lobe du sinus cardinal figure 2

    [ 2|2 ]

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