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    sur 2

    1

    gl
    1

    Moment cinétique
    On définit l'opérateur moment cinétique par les trois opérateurs
    hermétiques J K, J Y et J 2 tel que :
    l.1 ,.\ l-
    i/1r:''k\
    Et par son module au carré : .J ~= .1 2 ~ .I' ➔ \; \
    .1 2
    I

    On introduit les opérateurs non hermétiques :


    J = J + iJ et · J = J - iJ
    + X y - X y

    1°- Propriétés des opérateurs .f et J i


    Montrer que

    a. (J ,J,) =0
    2

    b. lJ,, J , J=±liJ,
    C . lJ. ,J .]=2/iJ,

    d. lJ 2 ' J ' ]=0


    . 2 1 2
    e. J =z{J.J +J J . }+J,

    2°- Valeurs propres de .1 et de .l ,


    On pose
    J , l1r)=al,l1r)
    21 .
    J <r)=bli l1ni
    2 1

    et

    a Jus tifier· que


    les valeur·s propres b de J · sont positives ou nulles.
    - les valeurs propres a de J 2 sont bor nées par Jb .
    b Onpose lrr) =lb, a) et a,noK=j , calculerJ. \b,j) tJJ \b, j\1 d'd .
    e · e n e u1re
    que b=j(j+l)
    c . Montrer que !>i les valeurs propres de .I ,_sont écrites sous la forme
    /imalors : - j ::; m ::; ~ j
    Par la sui 1·e
    \j m; dé note les vecteurs propre s communs à J · et .1 , .
    d . Monter que J _1j ,m) et J . 1j ,tn\ sont des vecteurs propres de J 2 e t de J , .
    e Mon1re'r que s i 1n > -j

    /
    1

    ~I
    1

    Jl j :m) =a (j,rn}ij:m - 1)
    ~urs Et que si 111 < i ~
    J,jj ;m) =a .(j.m}jj:m + 1)

    f . où l.i: 111) dénote les vecteurs pr·opres communs à .J et .1 , .


    g Déduire que :
    a, =hJj(j+l)-m(m±Î)
    h. A partir de ces résultats, montrer alors que j est nécessairement un
    entier ou un demi -entier positif .

    3°- propriétés des vecteurs propres j_j:111) et des opérateurs

    a) Donner les éléments de matrices

    :(j.mJJ
    2
    js.rn·): (j.mlJ,Js .m·): (j.mlJ,Js.m·)
    (j.mlJ. jj' .m') et (j.m/JyjJ ,m')
    b) Appliquer ces formules aux cas j =3/2 e1 donner les ma1rices
    représentant ces opérateurs dans la base / j ; m) .

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