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M302: Géométrie Affine Et Euclidienne
M302: Géométrie Affine Et Euclidienne
M302: Géométrie Affine Et Euclidienne
1 Structures algébriques 3
1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Homomorphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Groupes opérant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Ensembles quotients - groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Produit direct et produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Espaces affines 12
2.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Vectorialisé d’un espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Dimension, repère affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Barycentres et coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.2 Famille affinement libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Plongement dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 Droite dans un plan en coordonnées cartésiennes et barycentrique . . . . . . . . 18
2.8 Intersection et parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.9 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.10 Groupes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.11 Le groupe des homothéties et translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.12 Projections, symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.13 Affinités et transvections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.14 Théorèmes principaux pour la géométrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.14.1 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.14.2 Le théorème de Ménélaüs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.14.3 Le théorème de Céva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.14.4 Le théorème de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.14.5 Le théorème de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 L’axiomatique de Hilbert 39
3.1 Les axiomes d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Les axiomes d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Axiomes de congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Le postulat d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Axiomes de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Compatibilité et indépendance des axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2
4 Espaces euclidiens 46
4.1 Produit scalaire et distance euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Projections et symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Formes linéaires, dual, adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.1 Adjoint d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.1 Déplacements et anti-déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5.2 Décomposition canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5.3 Génératerurs de Isom(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6.1 Angles orientés de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6.2 Angles orientés de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6.3 Mesure des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6.4 Angles géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.7 Isométrie en dimension 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.7.1 Classification en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.7.2 Classification en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.8 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.8.1 Similitudes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8.2 Les similitudes planes et le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Groupes de transformations 77
7.1 Géométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Expression analytique dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Isométries fixant une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3.1 Triangles et quadrilatères dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Structures algébriques
1.1 Groupes
1.1.1 Premières définitions
Définition 1.1.1. Une opération ∗ est une application :
∗ : G×G → G
(x, y) 7→ x ∗ y
Définition 1.1.2. Soit G un ensemble muni d’une opération. On dit que (G, ∗) est un groupe
si :
1) L’opération ∗ est associative : ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) = a ∗ b ∗ c.
2) Existence d’un élément neutre eG tel que ∀a ∈ G, a ∗ eG = eG ∗ a = a.
3) Existence d’inverses : ∀a ∈ G, ∃a0 ∈ G tel que : a ∗ a0 = a0 ∗ a = eG . En général, on le note
a−1 .
Exemple 1.1.1. – (Z, +), (Q, +), (Q∗ , ×), (R, +), (R∗ , x) sont des groupes infinies.
– (Z/nZ, +), ((Z/pZ)∗ , ×) avec p premier.
– Les matrices inversibles munis du produit des matrices.
– (Mn (K), +)
– Groupes de permutations
∗ : F ×F → F
(a, b) 7→ a ∗ b
Proposition 1.1.1. Soit (G, ∗) un groupe et F ⊂ G alors l’ensemble (F, ∗) est un sous-groupe
si et seulement si : ∀(a, b) ∈ F × F , on ait : a ∗ b−1 ∈ F .
5
6 Chapitre 1. Structures algébriques
ϕ(a ∗ b) = ϕ(a)4ϕ(b)
Exemple 1.1.2. – Les applications linéaires d’un espace vectoriel E dans lui-même sont
des homomorphismes du groupe additif (E, +).
– La fonction exponentielle est un morphisme de (C, +) → (C∗ , +). On a : exp(x + y) =
exp x exp y
Gx = {g ∈ G | g.x = x}
Définition 1.1.7. L’ensemble G.x = {g.x, g ∈ G} ⊂ X est appelé l’orbite de X (sous l’action
de G).
Chapitre 1. Structures algébriques 7
Proposition 1.1.3. \
Ker α = Gx
x∈X
g ∼ g 0 ⇔ g −1 g 0 ∈ H ⇔ gH = g 0 H
avec :
gH = {gh, h ∈ H}
L’ensemble quotient pour cette relation d’équivalence est noté (G/H)d . C’est l’ensemble des
classes gH, g ∈ G qu’on nomme classe à droite.
On définit de même les classes à gauche Hg = {hg, h ∈ H} :
g ∼ g 0 ⇔ Hg = Hg 0 ⇔ gg 0−1 ∈ H
a + nZ = {a + nk, k ∈ Z}
et :
a ∼ b ⇔ a − b ∈ nZ ⇔ n|a − b
Définition 1.2.3. Le groupe G agit sur (G/H)d de la manière suivante. Soit x = xH ∈ (G/H)d
avec x ∈ G, on a ainsi : g.x = (gx)H. On vérifie que l’on a bien une action de groupe sur
l’ensemble (G/H)d .
Remarque. Si on considère :
G→G
g 7→ g 0
Cette bijection induit une bijection de (G/H)d sur (G/H)g .
Définition 1.2.4. Si G est un groupe fini et H un sous-groupe de G, on appelle indice de H
dans G, noté [G : H] le cardinal de l’ensemble (G/H)d (ou (G/H)g ).
Proposition 1.2.1. Soit G un groupe fini, H un sous-groupe de G, on a :
card(G) = card(H)[G : H]
ψ : H → G
h 7→ xh
On a que ψ est injective et son image est l’ensemble xH. Donc ψ est une bijection de H sur
xH. Ainsi, toutes les classes d’équivalences ont le même nombre d’éléments. Or, les classes
d’équivalences forment une partition de G et l’indice [G : H] désigne le nombre d’éléments de
(G/H)d , c’est-à-dire le nombre de classes d’équivalence. D’où :
card(G) = [G : H] card(H)
Chapitre 1. Structures algébriques 9
Définition 1.2.5 (Sous-groupe distingué (ou normal)). Un sous-groupe H d’un groupe G est
dit distingué dans G (ou normal), noté H C G s’il vérifie l’une des conditions équivalentes
suivantes :
1) ∀x ∈ G, xH = Hx
2) ∀x ∈ G, xH ⊂ Hx
3) ∀x ∈ G, xHx−1 = H
4) ∀x ∈ G, xHx−1 ⊂ H
Démonstration : Equivalence des conditions de sous-groupe distingué. 2) ⇒ 1) : On suppose
que ∀x ∈ G, xH ⊂ Hx. On démontre qu’alors on a Hx ⊂ xH. On considère x ∈ G, h ∈ H et
l’élément h−1 x.
(h−1 x)−1 = x−1 h ∈ x−1 H ⊂ Hx−1
donc ∃h0 ∈ H tel que :
x−1 h = h0 x−1 ⇔ hx = xh0
Donc : hx ∈ xH. On a bien : Hx ⊂ xH.
Proposition 1.2.2. Soit H un sous-groupe de G, la loi de composition définie sur (G/H)d
par (xH).(yH) = xyH est une application et munit (G/H)d d’une structure de groupe si et
seulement si H C G.
Démonstration. 1) On suppose que (G/h)d groupe pour la loi ∗ : (xH) ∗ (yH) = xyH avec
eH = H l’élément neutre. On démontre que H C G. Soit x ∈ G et h ∈ H.
Proposition 1.2.3. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Soit x ∈ X alors l’orbite
de x, G.x est stable par l’action de G et G.x muni de l’action induite est isomorphe (en tant
que G-ensemble) à l’ensemble quotient G/Gx .
Démonstration. Stabilité : Soit y ∈ G.x, il existe h ∈ G tel que y = h.x, pour tout g ∈ G, on
a:
g.y = g.(h.x) = (gh).x ∈ G.x
ϕ : G → G.x
Isomorphisme : est surjective.
g 7→ g.x
Cette application induit donc une bijection de G.x sur G/Gx compatible avec l’action G.
ϕ̃ : (G/Gx )d → G.x
h.Gx 7→ h.x
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 )
Proposition 1.3.2. Soit G produit direct de deux de ses sous-groupes. H C G, K C G tel que
H ∩ G = {e} et H.K 2 = G. Alors G ' H × K et ∀h ∈ H et ∀k ∈ K, kh = hk.
Démonstration.
ϕ : H × K → G = H.K
(h, k) 7→ h.k
ϕ est surjective. On montre que pour tout h ∈ H et pour tout k ∈ K, hk = kh. Or : K C G,
∀h ∈ H ⊂ G et ∀k ∈ K, on a :
Produit semi-direct
Définition 1.3.1. G, F deux groupes. Aut(F ) : groupe des automorphismes de F . Soit :
τ : G → Aut(F )
g 7→ τ (g)
un morphisme de groupes.
τ (g) : F → F
f 7→ τ (g)(f )
τ (g) est un morphisme bijectif de F . On définit sur le produit cartésien F × G = {(f, g), f ∈
F, g ∈ G} l’opération suivante : τ (g) est un morphisme bijectif de F . On définit sur le produit
cartésien F × G = {(f, g), f ∈ F, g ∈ G} l’opération suivante :
(f, g)τ (f 0 , g 0 ) = (f τ (g)(f 0 ), gg 0 )
Muni de cette loi, le produit cartésien est un groupe, on l’appelle produit semi-direct de G par
F relativement à τ . On le note F ×τ G.
Exemple 1.3.2. R2 × GL(R2 ) :
(→−u , f ).(→
−
v , g) = (→
−
u + f (→
−
v ), f × g)
car H ∩ K = {e}
ϕ(λ→
−
u + µ→
−
v ) = ϕ(λ→
−
u ) + ϕ(µ→
−
v ) = λϕ(→
−
u ) + µϕ(→
−
v)
= ϕ(λx + µy) = λϕ(x) + µϕ(y) = λ(ϕ̃ ◦ p)(x) + µ(ϕ̃ ◦ p)(y) = λϕ̃(X) + µϕ̃(Y )
H = Im ψ ' Rn / ker ψ
est un hyperplan de Rn .
Chapitre 2
Espaces affines
Les définitions que nous donnerons ici reposent sur l’algèbre linéaire, nous verrons dans le
chapitre suivant la définition axiomatique du plan et de l’espace (à trois dimensions) affines.
Nous noterons E un espace vectoriel sur un corps K de caractéristique 0, dans la pratique
sur le corps R des réels.
Définition 2.0.1. On appelle espace affine dirigé par E tout ensemble E sur lequel le groupe
additif de l’espace vectoriel E opère transitivement et fidèlement. C’est-à-dire que l’on définie
une loi externe :
E ×E → E
(M, →−
v ) 7→ M + → −v
telle que pour tout (M, N ) ∈ E 2 il existe un unique →
−v dans E tel que N = M + → −v on note
→
− −−→ −−→
alors v = M N et pour O fixé dans E, l’application M 7→ OM est une bijection de E sur E.
Cette définition nous fournit une notation cohérente : M + →
−v qui désigne l’unique point N tel
−−→ → − →
−
que M N = v , ce que l’on peut encore écrire v = N − M . Nous verrons plus tard comment le
calcul barycentrique permet de donner du sens à la notation M + N .
14
Chapitre 2. Espaces affines 15
Définition 2.0.2. Un ensemble E est muni d’une structure d’espace affine de direction E par
la donnée d’une application Φ de E × E dans E :
∗E × E → E
−→
(A, B) 7→ AB
telle que :
−→
1) Pour tout point A dans E, l’application B 7→ AB est une bijection de E sur E.
−→ −→ −−→
2) Pour tous points A, B et C de E, on a la relation de Chasles AB = AC + CB.
2.1 Translations
Définition 2.1.1. Pour →
−
u ∈ E fixé, l’application de E dans E qui envoie un point M sur
N = M + v est appelée translation de vecteur →
→
− −
u , notée t−
u . On a les propriétés suivantes :
→
1) Pour M ∈ E et →
−u ∈ E, t− →
−
u (M ) = M + u .
→
2) t− →
− →
−
→ = id et pour u et v ∈ E, t−→ ◦ t−
→ = t−
→ −→.
0 E u v u+v
3) Pour tout →
− −1 −
→
u ∈ E, t−
u est bijective et (t−
→ u)
→ = t− u .
Proposition 2.1.1. L’ensemble T (E) des translations de E est un groupe isomorphe au groupe
additif de E par l’application →
−
u de E dans T (E).
u 7→ t−
→
Définition 2.3.1. Une partie F de E qui vérifie la proposition ci-dessus esta ppelée sous-espace
affine de E.
Un sous-espace affine est donc défini par la donnée d’un point de E et d’un sous-espace
vectoriel de E, directeur.
16 Chapitre 2. Espaces affines
Définition 2.5.1. Soient A1 , ..., Ak des points de l’espace affine E et soient α1 , ..., αk des sca-
laires.
−−→ → −
1) Si ki=0 ai 6= 0, il existe un unique point G de E tel que ki=1 αi GAi = 0 , de plus, si note
P P
k
−→ 1 X −−→
OG = αi OAi
α i=1
et ne dépend pas de O.
−−→
2) Si ki=1 αi = 0 et si O est un point quelconque de E, le vecteur
P Pk
i=1 αi OAi , ne dépend pas
de O.
Pk
Lorsque i=1 αi 6= 0, le point G est appelé barycentre du système pondéré (A1 , α1 ), ..., (Ak , αk ).
Chapitre 2. Espaces affines 17
Remarque. Si λ est un scalaire, le barycentre du système (A1 , λα1 ), ..., (Ak , λαk ) est le même
que le barycentre du système (A1 , α1 ), ..., (Ak , αk ), on peut supposer que ki=0 αi = 1.
P
ainsi, le point M est le barycentre du système (A0 , λ0 ), ..., (An , λn ) avec λ0 = 1 − ni=1 λi . Tout
P
point M de E est barycentre d’un système (A0 , λ0 ), ..., (An , λn ) avec ni=0 λi = 1, on peut alors
P
écrire :
M = λ0 A0 + ... + λn An
Les scalaires λ0 , ..., λn sont les coordonnées barycentriques de M dans le repère affine (A0 , A1 , ..., An ).
Nous avons ainsi une nouvelle définition d’un sous-espace affine exprimée par la proposition
suivante :
18 Chapitre 2. Espaces affines
Proposition 2.5.2. Soit F une partie d’un espace affine (E, E), alors F est un sous-espace
affine de E si et seulement si pour tout ensemble fini I, pour toute famille de points (Mi )i∈I et
P
toute famille de scalaires (λi )i∈I avec i∈I λi = 1, le barycentre du système (Mi , λi )i∈I appartient
à F.
−−→
Démonstration. 1) Soit F un sous-espace affine de E, soit A ∈ F, alors FA = {AM , M ∈ F}
est un sous-espace vectoriel de E. Soit (Mi )i∈I une famille finie de points de F et soit (λi )i∈I
P
une famille de scalaires tels que i∈I λi = 1, montrons que le barycentre M des (Mi , λi )i∈I
est dans F. On a : X −−→ X −−→
M= λi Mi ⇒ AM = AMi
i∈I i∈I
−−→
or les (Mi )i∈I sont des points de F, donc les vecteurs (AMi )i∈I sont des vecteurs de FA et
comme FA est un sous-espace vectoriel de E, il est stable par combinaison linéaire, donc
−−→
AM ∈ FA et ainsi M ∈ F.
2) Réciproquement, soit F un sous-ensemble de E tel que pour tout ensemble fini I, pour toute
P
famille de points (Mi )i∈I et toute famille de scalaire (λi )i∈I avec i∈I λi = 1, le barycentre
du système (Mi , λi )i∈I appartient à F. Montrons que F est un sous-espace affine de E,
−−→
pour cela on considère A ∈ F et on montre que FA = {AM , M ∈ F} est un sous-espace
−−→
vectoriel de E. Soit (Mi )i∈I des points de F, les vecteurs (AMi )i∈I sont des vecteurs de FA ,
P −−→
on considère des scalaires (αi )i∈I , montrons que la combinaison linéaire i∈I αi AMi est dans
−−→ P −−→
FA , c’est-à-dire qu’il existe M ∈ F tel que AM = i∈I αi AMi , or :
!
−−→ X −−→ X X
AM = αi AMi ⇔ M = 1 − αi A + αi Mi
i∈I i∈I i∈I
Un sous-espace affine est donc une partie non-vide stable par barycentre.
Définition 2.5.2. Soit (Mi )i∈I une famille de points de E, on appelle sous-espace affine engen-
dré par la famille (Mi )i∈I , l’ensemble des barycentres des points (Mi )i∈I pondérés. C’est le plus
petit sous-espace affine de E contenant les points (Mi )i∈I .
Un espace affine engendré par n + 1 points est de dimension n si et seulement si ces points
son affinement libres.
Une base affine de E est une famille affinement libre de points qui engendre E.
Chapitre 2. Espaces affines 19
Proposition 2.6.2. Soient A, B, C, D quatre points d’un plan vectoriel P, on suppose que
(ABCD) est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
20 Chapitre 2. Espaces affines
Démonstration. On considère A, B, C, D comme des vecteurs d’un espace affine dans lequel est
plongé P. On a :
−→ −−→ 1 1 1 1
AB = DC ⇔ B − A = C − D ⇔ B + D = A + C ⇔ B + D = A + C
2 2 2 2
Remarque. Nous n’avons jusque là pas précisé le corps de base de l’espace vectoriel, étant plus
ou moins sous-entendu que la géométrie qui nous intéresse dans ce cours est la géométrie de
Rn , il est toutefois intéressant de noter que le résultat précédent n’a de sens que si le corps K
n’est pas de caractéristique 2.
M ∈ (AB) ⇔ ∃t ∈ R, M = tA + (1 − t)B
Par ailleurs, si (O, I, J) est un repère affine de P, on peut repérer un point M par ses co-
−−→ −→ −→
ordonnées cartésiennes (x1 , x2 ) ∈ R2 telles que OM = x1 OI + x2 OJ ou par ses coordonnées
barycentriques (x0 , x1 , x2 ) ∈ R3 telles que M = x0 O + x1 I + x2 J avec x0 + x1 + x2 = 1. Notons
(a1 , a2 ) les coordonnées de A et (b1 , b2 ) celles de B,
−−→ −→
M ∈ (AB) ⇔ ∃λ ∈ R, AM = λAB
Proposition 2.7.1. Trois points du plan affine sont alignés si et seulement si le déterminant
de leur coordonnées barycentriques dans un repère affine est nul.
Il est clair que ceci peut se généraliser aux espaces affines de dimension quelconque. Dans
un espace de dimension n, n points sont affinements liés si et seulement si le déterminant de
leur coordonnées barycentriques dans un repère affine est nul.
La nullité des déterminants précédents nous fournit une équation de la droite affine (AB)
en coordonnées cartésienne :
ou en coordonnées barycentriques
Si l’on se place dans l’espace Ê, une droite de P a pour équations x0 + x1 + x2 = 1 et une
équation de la forme ax0 + bx1 + cx2 = 0, c’est l’intersection du plan affine P d’équation
x0 + x1 + x2 = 1 et d’un plan vectoriel qui n’est pas parallèle à P. On va préciser cette notion
de parallèlisme.
Définition 2.8.1. Soient F et G deux sous-espaces affines d’un espace E, soient F et G leurs
directions respectives, on dit que F et G sont parallèles si F = G.
Notons que cette relation est une relation d’équivalence, elle ne recouvre pas tous les cas
de sous-ensembles disjoints. On peut définir une notion de parallèlisme faible lorsque F ⊂ G.
Les espaces affines que nous avons définis vérifient le postulat d’Euclide. C’est la proposition
suivante :
Proposition 2.8.1. Par tout point d’un espace affine, il passe une unique droite à une droite
donnée.
Démonstration. Soit D une droite de E dirigée par D et A un point. Alors droite passant par
A et parallèle à D est définie par :
−−→
D0 = {M ∈ E, AM ∈ D}
22 Chapitre 2. Espaces affines
Proposition 2.8.2. E espace affine dirigé par E, (F, F ) et (G, G) deux espaces affines. Soit
A ∈ F et B ∈ G :
−→
(i) F ∩ G =
6 ∅ ⇔ AB ∈ F + G
(ii) Si F ∩ G =
6 ∅, alors F ∩ G est dirigé par F ∩ G.
(iii) H l’espace affine engendré par F ∪ G (plus petit espace affine contenant la réunion F ∪ G),
H l’espace vectoriel direction de H :
a) F ∩ G =6 ∅, H est engendré par H = F + G.
−→
b) F ∩ G = ∅, H = (F + g) ⊕ k AB
(iv) Si F + G = E, alors tout sous-espace parallèle à F rencontre G.
Démonstration. (i) (⇒) Supposons F ∩ G =6 0 alors H = F ∩ G. On prend A ∈ F et B ∈ G
−−→ −−→
alors AM ∈ F et AM ∈ G donc :
−→ −−→ −−→
AB = AM | {zB} ∈ F + G
| {z } + M
∈F ∈G
−→ −→ − →
(⇐) ∀A ∈ F, ∀B ∈ G, AB ∈ F + G. On écrit AB = → u +−v . Il existe un unique M ∈ F
−−→ → −−→ −
(respectivement N ∈ G) tel que AM = u (respectivement N B = →
− v ). On a :
−→ −−→ −−→ −−→ → −−→ −
AB = AM + M N + N B = −
u + MN + →
v =→
−
uv
−−→ → −
donc M N = 0 d’où M = N et F + G =
6 ∅.
(ii) évident
(iii) Soit H le sous-espace affine engendré par F ∩ G
a) F ∩ G = ∅, M ∈ F ∩ F. Soit :
−−→ −−→ −−→
H = HM = {M N , N ∈ H} ⊃ {M N , N ∈ F} ∪ {M N , N ∈ G} = F ∪ G
| {z } | {z }
F ⊂H G⊂H
On considère maintenant :
−→ −−→ −→
H0 = A + (K AB ⊕ (F + G)) = {N ∈ E, AN ∈ K AB ⊕ (F + G)}
−→
On a : F ∪ G ⊂ H0 donc H0 contient H. On a donc : H = K AB ⊕ (F + G).
Chapitre 2. Espaces affines 23
Démonstration. (i) ⇒ (ii) est clair. On montre que (ii) ⇒ (i). On suppose ∃O ∈ E et ϕ ∈
−−−−−−−→ −−→
L(E, F ) tel que ∀M , f (O)f (M ) = ϕ(OM ). M et N ∈ E :
−−−−−−−→ −−→ −−−−−−−→ −−→
f (O)f (M ) = ϕ(OM ) f (O)f (N ) = ϕ(ON )
−−−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−−−−→
f (M )f (N ) = f (M )f (O) + f (O)f (N ) = −f (O)f (M ) + f (O)f (N )
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→
= −ϕ(OM ) + ϕ(ON ) = ϕ(−OM + ON ) = ϕ(M N )
→
−
Notation. On notera ϕ = f
Proposition 2.9.2. f : E → F, f affine ⇔ f conserve les barycentres. Soient (Mi , λi )i∈I avec
I fini tel que : X
λi = 1
i∈I
X X
f λi Mi = λi f (Mi )
24 Chapitre 2. Espaces affines
M = a1 M1 + ... + an Mn
P =M +N −O
f (P ) = f (M ) + f (N ) − f (O)
d’où :
−−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−−−−→ −→ −−→ −−→
f (O)f (P ) = f (O)f (M )+f (O)f (N ) ⇔ ϕ(OP ) = ϕ(OM )+ϕ(ON ) ⇔ ϕ(→
−
w ) = ϕ(→
−
u )+ϕ(→
−
v)
Soit →
−
u ∈ E et λ ∈ K,
−−→
OM =→−u −−→ −−→
⇔ ON = λOM ⇔ N − O = λM − λN (dans Ê)
−
−→
ON = λ→
−u
⇔ N = λM + (1 − λ)O
or f conserve les barycentres (par hypothèse) :
−−→ −−−−−−−→ −−−−−−−→
f (N ) = λf (M ) + (1 − λ)f (0) ⇔ ϕ(λ→
−
u ) = ϕ(ON ) = f (O)f (N ) = λf (O)f (M ) = λϕ(→
−
u)
Chapitre 2. Espaces affines 25
Conséquence. Une application affine conserve l’alignement. Précisions : soit D = (AB) une
droite affine, on suppose que f (A) 6= f (B), alors f (D) est une droite. En effet, si D = (AB) alors
tout point M ∈ D s’écrit M = λA+(1−λ)B avec λ ∈ K, on a alors f (M ) = λf (A)+(1−λ)f (B),
ainsi f (D) = (f (A)f (B)).
Remarque. – Compte tenu du prolongement de l’espace affine E dans un espace vectoriel
Ê, une application affine définie sur E sur la restriction d’une application linéaire de Ê.
Les points de E sont des vecteurs de Ê.
– Si (λi )1≤i≤k est une famille de scalaires tels que ki=1 λi = 0, alors si (Mi )1≤i≤k est une
P
famille de points de E, on a :
k k
!
X X
λi f (Mi ) = ϕ λi Mi
i=1 i=1
(ii) Supposons f bijective, alors pour tout N ∈ E 0 , il existe un unique M ∈ E tel que f (M ) =
N . Soit O un point de E et v un vecteur de l’espace vectoriel E 0 , direction de E 0 , on montre
qu’il existe un unique u ∈ E, direction de E, tel que ϕ(u) = v. Or, :
−−−−→
∃!N ∈ E 0 , f (O)N = v
et
∃!M ∈ E, N = f (M )
on a donc −−−−→ −−−−−−−→ −−→
v = f (O)N = f (O)f (M ) = ϕ(OM )
−−→
Par conséquent, il existe un unique vecteur u ∈ E tel que v = ϕ(u), c’est u = OM et ϕ
est une application linéaire bijective de E dans E 0 .
−−−−→
Réciproquement, on suppose ϕ bijective, soit O ∈ E et N ∈ E 0 . On note →
−
v = f (O)N ∈ E 0 .
Il existe un unique vecteur →−
u ∈ E tel que →
−v = ϕ(→ −u ), or :
−−→
∃!M ∈ E, →
−
u = OM
26 Chapitre 2. Espaces affines
Notation. On va noter :
−−−−−→ −
donc ∀M ∈ E, M f (M ) = →
v :
f (M ) = M + →
−
v = t−
v (M )
→
On montre maintenant que le groupe T des translations est distingué dans GA(E). Soit f ∈
GA(E) et u ∈ E, on a :
−−−−−−−→ →
− → − →
− →
− →
−
f ◦ tu ◦ f −1 = f ◦ tu ◦ ( f )−1 = f ◦ ( f )−1 = idE
∀f ∈ E, ∀t ∈ T , f ◦ tu ◦ f −1 ∈ T
−1 →
− →
− →− →
− →−
f ◦ t−
u ◦f
→ (M ) = f ◦ t−
u (N ) = f (N + u ) = f (N ) + f ( u ) = M + f ( u )
→
L’application f est définie de manière unique par son application linéaire ϕ et l’image d’un
point.
Corollaire. Soit O ∈ E, pour toute application affine f ∈ GA(E), il existe une translation
t ∈ T et une unique application g ∈ GA(E), vérifiant g(O) = O, telles que :
f =t◦g
−−→
Démonstration. Soit f une bijection affine, on pose O0 = f (O) et u = OO0 alors l’application
g = f −1 ◦ tu vérifie g(O) = O.
Proposition 2.10.4. Soit G = GA(E) le groupe d’un espace affine E dirigé dans un espace
vectoriel E, soit O ∈ G et T le groupe des translations de E, on note :
GO = {f ∈ G, f (O) = O}
Alors : ∀f ∈ GA(E), ∃g ∈ GO et t−
u ∈ T tel que f = t−
→ u ◦g :
→
GA(E) = T .GO
Soit →
−
u ,→
−
v ∈ E, f et g ∈ GO :
−1
u , f ).(t−
(t−
→ → u ◦ (f ◦ t−
v , g) = (t−
→ v ◦f
→ u ◦ t−
), f ◦ g) = (t−
→ → −
f (→
v)
, f ◦ g) = (t−
→ v ) , f ◦ g)
u +f (−
→
: T × GO → GA(E)
(t, g) 7→ t ◦ g
est un morphisme de groupe. On identifie T à E par t− →
− →
−
u 7→ u et GO à GL(E) par g 7→ g . Sur
→
E × GL(E), l’opération est définie par :
(→
−
u , ϕ).(→
−
v .ψ) = (→
−
u + ϕ(→
−
v ), ϕ ◦ ψ)
→ isomorphisme →
E × GL(E) − →
∼
T × GO −→
∼
GA(E)
→
− 7→ 7→ t−
( u , ϕ) (t−
u , g)
→ u ◦g
→
| {z }
g tq −
→
g =ϕ et g(0)=0
Proposition 2.10.5. Soit f : E → E une application affine, alors les propriétés suivantes sont
équivalentes :
28 Chapitre 2. Espaces affines
−−−−→ →
−
(i) Il existe A ∈ E tel que Af (A) ∈ Im( f − idE ).
−−−−→ →
−
(ii) Pour tout A ∈ E, on a Af (A) ∈ Im( f − idE ).
(iii) a) f admet au moins un point fixe
→
−
b) L’ensemble des points fixes de f est un sous-groupe affine de E dirigé par ker( f − idE )
→
−
c) si 1 n’est pas valeur propre de f , alors f admet un point fixe.
−−−−→ →
−
Démonstration. (i) ⇒ (ii) Supposons qu’il existe A ∈ E tel que Af (A) ∈ Im( f − idE ),
alors pour M ∈ E on a :
−−−−−→ −−→ −−−−→ −−−−−−−→ −−−−→ → − −−→ −−→ −−−−→ → − −−→
M f (M ) = M A+Af (A)+f (A)f (M ) = Af (A)+ f (AM )−AM = Af (A)+( f −idE )(AM )
−−−−−→ →
−
D’où M f (M ) ∈ Im( f − idE ) pour tout M ∈ E.
−−−−→ → −
(ii) ⇒ (iii) a) Soit A ∈ E, il existe v ∈ E tel que Af (A) = f (v) − v et il existe M ∈ E
−−→
tel que v = M A. On a :
−−−−−→ −−→ −−−−→ −−−−−−−→ −−−−→ −−→ −−→ →
−
M f (M ) = M A + Af (A) + f (A)f (M ) = Af (A) − (f (M A) − M A) = 0
h(A + v) = A + λv
−−→ −−→
C’est l’application qui à un point M associe N tel que AN = λAM . L’application linéaire
assoicée à h est l’homothétie vectorielle ϕ = λ idE , l’homothétie h admet un unique point fixe
A appelé centre, le scalaire λ est appelé rapport de h.
Si A, B, C sont trois points alignées de E, alors il existe un unique homothétie h telle que
h(A) = A et h(B) = C.
Proposition 2.11.1. Soient A 6= A0 , B 6= B 0 des points de E tels que les droites D = (AB) et
D0 = (A0 B 0 ) soient distinctes et parallèles, alors :
Chapitre 2. Espaces affines 29
B 0 = A0 + αB − αA = βA0 + B − βA
−−→ −−→
d’où α = β et donc BB 0 = AA0 .
−−→ −→ −−→ −→
b) On note λ le scalaire tel que OA0 = λOA. Il existe k tel que A0 B 0 = k AB d’où B 0 =
A0 + kB − kA, donc :
−−→0 −−→0 −−→ −→ −→ −−→
OB = OA + OB − k OA = (λ − k)OA + k OB
Proposition 2.11.2. Les bijections de E qui transforment toute droite en une droite parallèle
forment un groupe dont les éléments sont exactement les homothéties et les translations. Ce
groupe est appelé groupe des homothéties-translations, noté HT(E).
Démonstration. Il est clair que l’ensemble de ces bijections est un groupe qui contient les
homothéties et les translations. On montre la réciporque : soit f une telle bijection, on va
examiner trois cas :
1) f n’a pas de point fixe : soit M un point de E, on considère N 6∈ (M f (M )), si (M f (M )) ∩
(N f (N )) = {O} alors O est un point fixe de f , en effet, par hypothèse :
mais on a aussi
Proposition 2.11.3. Soit E un espace affine dirigé par E, soit ϕ : GA(E) → GL(E) qui à une
→
−
application affine f associe son application linéaire f . Le sous-groupe ϕ−1 (K ∗ idE ) est égal au
groupe des homothéties et translations et il est distingué dans GA(E). On a :
f ∈ HT(E) ⇔ ∃k ∈ K ∗ | f (M + v) = f (M ) + λv, ∀M ∈ E, ∀v ∈ E
−−−−→
1. si λ = 1, f est la translation de vecteur Af (A) pour tout A ∈ E.
2. si λ 6= 1, f est l’homothétie de rapport λ et de centre (pour tout A ∈ E) :
−λ 1
C= A+ f (A)
1−λ 1−λ
p : E → E
A 7→ M
Rappel (Symétries linéaires). Soit E un espace vectoriel et ϕ une application linéaire, on note :
alors ϕ◦ϕ = idE ⇔ E = E1 ⊕E−1 . On appelle symétrie, toute application distincte de l’identité
qui vérifie ces propriétés équivalentes
Définition 2.12.2. Soit E un espace affine, une application affine s de E dans E est appelée
symétrie affine si et seulement si elle vérifie s ◦ s = idE . Une symétrie affine est caractérisée par
les propriétés équivalentes suivantes :
a) s est une symétrie affine.
b) s est affine, admet au moins un point fixe et →
−
s ◦→
−
s = idE .
c) Il existe deux sous-espaces affines supplémentaires F et G de E tels que pour tout M ∈ E,
−−−−−→
s(M ) est l’unique point de E tel que le milieu de M et s(M ) soit dans F et s(M )M ∈ G. Alors
F est l’ensemble des points de s, on dit que s est la symétrie par rapport à F parallèlement
à G.
32 Chapitre 2. Espaces affines
f : E → E
M 7→ M 0 = (1 − α)p(M ) + α(M )
−−−−−→ −−−−−→
le point M 0 image de M par f vérifie donc p(M )M 0 = αp(M )M .
• Si α = 0, l’application f est la projection de E sur F parallèlement à G.
• Si α 6= 0, l’application f est une bijection affine. Une telle application est appelée affinité.
– Si α = −1, c’est la symétrie par rapport à F parallèlement à G.
– Si α 6= 1 alors f (M ) = M ⇔ p(M ) = M ⇔ M ∈ F.
On suppose E de dimension n et H un hyperplan affine de E, c’est-à-dire un sous-espace
affine de dimension n − 1, on notera E et H les directions de E et H.
Nous allons nous intéresser aux bijections affines f : E → E telles que fH = idH . On a alors
→
−
f H = idH . On note (v1 , ..., vn−1 ) une base de H que l’on complète par un vecteur vn en une
→
−
base de E, (v1 , ..., vn−1 , vn ). La matrice de f dans cette base est alors de la forme :
1 0 ··· 0 a1
0 . . . ..
1 . a2
.. ..
· · ·
. 0 .
0 0 ··· 1 an−1
0 ··· ··· 0 γ
1 0 ··· 0 0
.
· · · .. 0
0 1
. .. ..
.. . 0 .
0 0 · · · 1 0
0 ··· ··· 0 γ
→
− →
−
2) γ = 1, dans ce cas, ou bien f = idE , ou bien la matrice de f n’est pas diagonalisable, alors
→
−
la matrice de f dans la base (v1 , ..., vn ) s’écrit :
1 0 · · · 0 a1
. . ..
0
1 . . a2
. .. ..
.. . 0 .
0 0 · · · 1 an−1
0 ··· ··· 0 1
d’où :
−−−−−→ −−→ −−−−→ −−→ −−→
M f (M ) = M O + Of (M ) = M O + OM + xn u = xn u
L’application f est une transvection d’hyperplan H.
Plus généralement, si g est une forme affine, c’est-à-dire une application affine de E dans K,
si H = ker g et si u est un vecteur non nul de la direction H de H alors l’application définie
par :
f : E → E
0
M 7→ M = M + g(M )u
est une transvection affine d’hyperplan H.
34 Chapitre 2. Espaces affines
Proposition 2.13.1. Soit f une bijection affine de E, distincte de l’identité, laissant fixe chaque
−−−−−→
point d’un hyperplan affine H, s’il existe M inE\H tel que M f (M ) ∈ H, alors cette propriété
est vraie pour tout point de E et f est une transvection, sinon f est une affinité.
Theorème 2.14.1. Soient H1 , H2 , H3 trois hyperplans d’un espace affine E, parallèles, de di-
rection H. Soient D et D0 deux droites affines dont la direction n’est pas contenue dans H, on
note, pour 1 ≤ i ≤ 3, Ai = Hi ∩ D et A0i = Hi ∩ D0 alors :
A1 A3 A0 A0
= 10 30
A1 A2 A1 A2
Réciproquement si B ∈ D vérifie :
A1 B A0 A0
= 10 30
A1 A2 A1 A2
alors B ∈ H3 et B = A3 .
A1 B A0 A0
= 10 30
A1 A2 A1 A2
−−→ −−−→ −−−→
alors, il existe un scalaire λ tel que A1 B = λA1 A2 = A1 A3 , ce qui prouve que B = A3 ∈ H3 .
Chapitre 2. Espaces affines 35
A1 A3 A1 A03 A03 A3
= =
A1 A2 A1 A02 A02 A2
2) Si E est un plan affine alors les hyperplans H1 , H2 et H3 sont des droites, on retrouve le
théorème de Thalès que l’on connait bien, et si A1 = A01 on peut le démontrer avec des
homothéties.
Theorème 2.14.2. Soit P un plan affine, soient A1 , A2 , A3 trois points non alignés de P.
Soient B1 ∈ (A1 A2 )\{A1 , A2 }, B2 ∈ (A2 , A3 )\{A2 , A3 } et B3 ∈ (A3 A1 )\{A3 , A1 }, alors :
B1 A1 B2 A2 B3 A3
B3 ∈ (B1 B2 ) ⇔ =1
B1 A2 B2 A3 B3 A1
B3 A3 B1 B B2 A2 B1 A2
= et =
B3 A1 B1 A1 B2 A3 B1 B
d’où :
B1 B B1 A1 B2 A2 B3 A3
1= =
B1 B B1 A2 B2 A3 B3 A1
36 Chapitre 2. Espaces affines
Réciproquement, supposons cette condition satisfaite. Notons B 0 = (B1 B2 ) ∩ (A1 A3 ), les points
B 0 , B1 , B2 sont alignés, on a donc :
B1 A1 B2 A2 B 0 A3
=1
B1 A2 B2 A3 B 0 A1
Theorème 2.14.3. Soit E un espace affine de dimension n. Soit (A0 , A1 , ..., An ) un repère
affine de E. Soient, pour 0 ≤ i ≤ n − 1, Bi ∈ (Ai , Ai+1 )\{Ai , Ai+1 } et Bn ∈ (An A0 )\{An , A0 },
alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) La famille (B0 , B1 , ..., Bn ) est affinement liée.
(ii)
B0 A0 B1 A1 Bn−1 An−1 Bn An
··· =1
B0 A1 B1 A2 Bn−1 An Bn A0
Bi Ai λi − 1
=
Bi Ai+1 λi
Chapitre 2. Espaces affines 37
Ecrivons la matrice M des coordonnées barycentriques des points B0 , B1 , ..., Bn dans le repère
affine (A0 , A1 , ..., An ) :
λ0 0 ··· ··· 0 1 − λn
1 − λ λ1 0 ··· 0 0
0
..
M =
0 1 − λ1 λ2 0 . 0
.. .. .. ..
. . . . λn−1 0
0 ··· ··· ··· 1 − λn−1 λn
On a :
det(M ) = λ0 λ1 ...λn − ((λ0 − 1)(λ1 − 1)...(λn − 1))
La famille (B0 , B1 , ..., Bn ) est liée si et seulement si ce déterminant est nul, ce qui est équivalent
à:
B0 A0 B1 A1 Bn−1 An−1 Bn An
··· =1
B0 A1 B1 A2 Bn−1 An Bn A0
A0 B B 0 C
= −1
AC B 0 A
38 Chapitre 2. Espaces affines
0
ce qui avec l’égalité (∗) implique CC0 B
A
= 1, ce qui est impossible. Par conséquent les droites
(OC) et (AB) sont sécantes, notons {C 00 } = (OC)∩(AB). Compte tenu de la démonstration
précédente, on a :
A0 B B 0 C C 00 A
= −1
A0 C B 0 A C 00 B
ce qui avec (∗) implique C 00 = C 0 et donc (AA0 ), (B 0 B) et (C 0 C) sont concourrantes.
2) (droites parallèles) Supposons (A0 A)//(B 0 B)//(C 0 C) alors par le théorème de Thalès, on a :
A0 B AB B0C BC 0
= et =
A0 C AC 0 B0A BA
d’où :
A0 B B 0 C C 0 A AB BC 0 C 0 A
= = (−1)(−1)(−1) = −1
A0 C B 0 A C 0 B AC 0 BA C 0 B
Réciproquement, supposons cette propriété vérifiée et (A0 A)//(B 0 B). On considère la paral-
lèle à (A0 A) passant par C elle coupe (AB) en C 00 , elle ne peut pas lui être parallèle car les
points A, B, C sont non-alignés, comptenu de ce qui précède, C 00 vérifie :
A0 B B 0 C C 00 A
= −1
A0 C B 0 A C 00 B
ce qui avec (∗) implique C 00 = C 0 , ainsi les trois droites sont parallèles.
Chapitre 2. Espaces affines 39
DB DC 0 DA DB 0
= et =
DC DB 0 DB DA0
ainsi :
DB DA DC 0 DB 0
=
DC DB DB 0 DA0
d’où :
DA DC 0
=
DC DA0
ce qui implique (AC 0 )//(A0 C). En fait, on compose deux homothéties de centre D, l’une
vérifie f (A) = B et f (B 0 ) = A0 et l’autre vérifie g(B) = C et g(C 0 ) = B 0 , on obtient
l’homothétie h = f ◦ g = g ◦ f de centre D qui vérifie h(A) = C et h(C 0 ) = A0 , ce qui prouve
que les droites (A0 C) et (AC 0 ) sont parallèles.
L’axiomatique de Hilbert
Dans ce chapitre, nous allons définir les notions de points, droites, plans et espace de dimen-
sion 3 à partir d’un certain nombre d’axiomes que doivent vérifier ces objets. C’est la présenta-
tion de la géométrie d’Euclide, formalisée par D.Hilbert au début du 20e siècle. Contrairement
à Hilbert, nous n’écrirons pas forcément un système minimal d’axiomes.
Les postulats de la géométrie plane d’Euclide sont au nombre de cinq.
A partir de cette première famille d’axiomes, on peut déjà démontrer les résultats suivants :
Proposition 3.1.1. Deux droites distinctes se coupent en au plus un point, deux plans distincts,
ou bien ne se rencontrent pas, ou bien se coupent en une droite.
41
42 Chapitre 3. L’axiomatique de Hilbert
Proposition 3.1.2. Deux droites concourantes de l’espace déterminent un unique plan qui les
contient toutes les deux. De même une droite et un point pris hors de cette droite déterminent
un unique plan qui les contient tous les deux.
Proposition 3.1.3. Tout plan contient au moins trois droites non concourantes. L’espace
contient au moins six droites distinctes et quatre plans distincts.
Remarque. 1) Si on appelle espace un ensemble de 4 points E = {A, B, C, D} et droite toute
paire points de E. Alors les axiomes d’incidence sont tous vérifiés. Ceci montre à quel point
ces axiomes sont insuffisants.
2) Il est clair que l’espace affine de dimension 3 et les droites affines définis au chapitre précédent
vérifient les axiomes d’incidence.
Proposition 3.2.4. Si A, B, C sont trois points alignés, des trois relations B ∈]AC[, C ∈]AB[
et A ∈]BC[, une et une seule a lieu.
Proposition 3.2.5. (a) Soient A, B, C trois points distincts et alignés tels que B ∈]AC[. Alors
]AB[⊂]AC[ et ]BC[⊂]AC[.
(b) Soient A, B, C, D quatre points distincts et alignés tels que B ∈]AD[ et C ∈]AD[. Alors
[BC] ∈]AD[.
Un autre résultat important :
Proposition 3.2.6. Entre deux points d’une droite, il y en a une infinité.
Ces axiomes d’ordre permettent de définir des demi-droites et des demi-plans grâce aux
propositions suivantes :
Proposition 3.2.7. Soit d une droite et O ∈ d. La relation définie sur d\{O} par :
A ∼ B ⇔ O 6∈]AB[
A ∼ B ⇔ d ∩ [AB] = ∅
Problème de Sylvester. Soient n points non colinéaires, alors il existe au moins une
droite qui ne contient que deux d’entre eux.
Démonstration. Soient S = {P1 , ..., Pn }, l’ensemble de ces n points, on suppose P1 , P2 , P3 non
alignés.
– Les droites joignant le point P1 à tous les autres points de S coupent la droite (P2 P3 ) en
au plus (n − 1) points (P2 et P3 inclus).
– Soit Q un autre point de cette droite, alors la droite (P1 Q) contient le point P1 mais
aucun autre point de l’ensemble S.
2
– Les droites joignant les points de S coupent la droite (P1 Q) en au plus Cn−1 + 1 1 points
(P1 et Q inclus). Ces points d’intersection partagent la droite (P1 Q) en segments.
– Soit A ∈ (P1 Q) tel que pour tout i, j, 2 ≤ i 6= j ≤ n, on ait [P1 A] ∩ (Pi Pj ) = ∅ (A peut
être égal à Q).
– Par définition A appartient à au moins une droite (Pi Pj ), disons A ∈ (P4 P5 ).
– Si la droite (P4 P5 ) ne contient aucun autre point de S, c’est terminé.
– Sinon, il y a au moins trois points de S sur cette droite passant par A, notons les P4 , P5
et P6 et supposons (sans perdre de généralité) que P4 ∈]AP5 [ mais P6 6∈]AP5 [.
– Montrons alors que la droite (P1 P5 ) ne contient que deux points de S. Raisonnons par
l’absurde, supposons qu’il existe un point de S, notons le P7 tel que P7 ∈ (P1 P5 ). En
raison de l’axiome de Pasch, on a :
n!
1
On rappelle que Cnk = (n−k)!k!
44 Chapitre 3. L’axiomatique de Hilbert
alors ABC
[ = A\ 0 B 0 C 0 , BC = B 0 C 0 et ACB
[ = A\0 C 0 B 0 . On dit que les triangles sont égaux.
Cet axiome est aussi connu comme premier cas d’égalité des triangles, les autres cas d’égalité
que nous étudierons au chapitre suivante sont des conséquences de ces axiomes de congruence.
L’axiome suivant permet d’ajouter, sous certaines conditions, des angles.
C9) Soient [Oy) et [0z) de part et d’autre de [Ox), on a alors yOx d + xOz d = yOz.d
Nous verrons dans le chapitre suivant comment la notion d’angles orientés permet d’ajouter
des angles sans conditions.
Ces axiomes permettent de définir les angles droits à partir de la définition suivante :
Définition 3.3.1. Deux angles sont dits suplémentaires, s’ils ont même sommet, un côté com-
mun et si les autres côtés sont portés par une même droite. Un angle congruent à un de ses
supplémentaires est appelé angle droit.
Chapitre 3. L’axiomatique de Hilbert 45
On a le résultat suivant :
Proposition 3.3.1. Tous les angles droits sont congruents.
Cette proposition, qui peut être démontrée à partir des axiomes était un axiome chez Eu-
clide.
Les axiomes de congruence permettent donc de mesurer les longueurs et les angles, les géo-
métries vérifiant les trois groupes d’axiomes, incidence, ordre et congruence sont les géométries
pré-euclidiennes ou géométries absolues. On peut y définir les isométries et y démontrer déjà
beaucoup de résultats. Selon l’axiome des parallèles que l’on choisira d’y ajouter, on obtiendra
la géométrie euclidienne ou la géométrie hyperbolique.
Ces axiomes sont des axiomes linéaires. L’axiome d’intégrité n’est pas une conséquence de
l’axiome d’Archimède et c’est l’axiome d’intégrité qui permet la correspondance biunivoque
entre les points de la droite et les nombres réels.
La géométrie construite à partir des familles d’axiomes que nous venons d’énoncer est la
géométrie cartésienne de R3 .
46 Chapitre 3. L’axiomatique de Hilbert
Proposition 3.6.2. Soit K un corps ordonné, alors ΠK vérifie l’axiome (E) si et seulement
si le corps K est euclidien.
Par ailleurs, on a :
Proposition 3.6.3. Si K est un corps ordonné, alors ΠK vérifie les axiomes C1, C3, C4, C5,
C6, C7 et C8, il vérifie l’axiome C2 si et seulement si le corps K est pythagoricien.
R.Hartshorne appelle "plan euclidien", un ensemble qui vérifie les axiomes d’incidence I1, I2,
I3, les axiomes d’ordre, les axiomes de congruence, l’axiome euclidien des parallèles et l’axiome
(E).
Un plan euclidien qui vérifie les axiomes de continuité est isomorphe à R2 .
Chapitre 4
Espaces euclidiens
Nous allons maintenant étudier les espaces affines euclidiens. Ils vérifient les axiomes d’in-
cidence, d’ordre, ainsi le postulat d’Euclide, mais aussi les axiomes de congruences et de conti-
nuité. Ainsi, dans ce chapitre, le corps de base des espaces vectoriel est le corps R des nombres
réels.
48
Chapitre 4. Espaces euclidiens 49
4.2 Orthogonalité
Définition 4.2.1. On dit que deux vecteurs u et v d’un espace vectoriel eclidien sont ortho-
gonaux, noté u ⊥ v si leur produit scalaire u.v est nul.
Si F est un sous-espace vectoriel de E, on définit le sous-espace orthogonal de F par :
F ⊥ = {u ∈ E, u.v = 0, ∀v ∈ F }
S ⊥ = {u ∈ E, u.v = 0, ∀v ∈ S}
Définition 4.2.2. Une base (e1 , ..., en ) de E est dite orthogonale si ei .ej 0 pour tout (i, j),
1 ≤ i 6= j ≤ n. Elle est dite orthonormale si, de plus, kei k = 1.
Proposition 4.2.1 (Procédé d’orthonormalisation de Schmidt). Soit (c1 , ..., cn ) une base de
E, il existe une base orthonormée (e1 , ..., en ) telle que pour tout k, 1 ≤ k ≤ n, l’espace engendré
par les vecteurs (e1 , ..., ek ) soit égal à l’espace engendré par (c1 , ..., ck ).
Démonstration. On note < c1 , ..., ci > le sous-espace engendré par les vecteurs (c1 , .., ci ). La
démonstration se fait par réccurence sur k. On pose e1 = kcc11 k .
Supposons e2 , ..., ek construits tels que ei .ej = 0, kei k = 1, pour 1 ≤ i 6= j ≤ k et <
e1 , ..., ek−1 >=< c1 , ..., ck−1 >, on cherche alors ek sous la forme :
v = pF (u) ⇔ u − v ∈ F ⊥
On définit de la même manière les projection et les symétries orthogonales affines, dont
les applications linéaires associées sont les projections et les symétries orthogonales vectorielles
définies ci-dessus.
50 Chapitre 4. Espaces euclidiens
Définition 4.3.2 (Projection orthogonale affine). Soit E un espace affine euclidien dirigé par
E. Soit F un sous-espace affine de E dirigé par le sous-espace vectoriel de F de E.
−−→
1) Pour tout M ∈ E, il existe un unique point N ∈ F tel que M N ∈ F ⊥ , on note :
N = pF (M )
−−→
En effet, fixons A ∈ F, soit M ∈ E, le vecteur AM ∈ E = F ⊕ F ⊥ , d’où l’existence de u ∈ F
−−→
et v ∈ F ⊥ , uniques, tels que AM = u + v. Par ailleurs, il existe un unique point N ∈ F tel
−−→
que AN = u, on écrit :
−−→ −−→ −−→ −−→
AM = AN + N M = u + v ⇔ N M = v ∈ F ⊥
Démonstration. Soit (e1 , ..., en ) une base orthonormale de E, posons f (ei ) = ai ∈ R. Soit a le
vecteur a = a1 e1 + ... + an en , soit u ∈ E, u = x1 e1 + ... + xn en , on a :
d’où l’existence de a, ce vecteur a est unique, en effet s’il existe b tel que pour tout u ∈ E,
f (u) = b.u, alors pour tout u ∈ E, on a (b − a).u = 0 donc b − a ∈ E ⊥ = {0}.
Soit E ∗ le dual de E, l’application :
ϕa : E → E∗
a 7→ ϕ(a) : u 7→ a.u
est une bijection, elle est linéaire, c’est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
4.5 Isométries
Définition 4.5.1. Une isométrie vectorielle, d’un espace vectoriel euclidien E, est une appli-
cation linéaire ϕ qui conserve la norme :
∀u ∈ E, kϕ(u)k = kuk
Une isométrie affine, d’un espace affine euclidien E, est une application affine f qui conserve la
distance :
∀(A, B) ∈ E 2 , d(f (A), f (B)) = d(A, B)
52 Chapitre 4. Espaces euclidiens
elle est donc bijective car E est de dimension finie. Il en est de même des isométries affines, ce
sont des éléments du groupe affine.
Le groupe des isométries vectorielles de E est appelé groupe orthogonal noté O(E), c’est
un sous-groupe du groupe linéaire GL(E).
Le groupe des isométries affines de E, noté Isom(E) est un sous-groupe du groupe affine
GA(E).
Proposition 4.5.1. Soit ϕ ∈ GL(E) alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) ϕ est une isométrie.
(ii) ϕ conserve le produit scalaire, pour u, v ∈ E, on a ϕ(u).ϕ(v) = u.v.
(iii) On a ϕ−1 = ϕ∗ .
(iv) ϕ transforme toute base orthonormale en une base orthonormale.
(v) ϕ transforme une base orthonormale en une base orthonormale.
Démonstration. (i) ⇒ (ii) : On remarque que pour tout u, v ∈ E, on a :
or :
kϕ(u) + ϕ(v)k2 − kϕ(u) − ϕ(v)k2 = kϕ(u + v)k2 − kϕ(u − v)k2 = ku + vk2 − ku − vk2
d’où :
∀(u, v) ∈ E 2 , u.(v − ϕ∗ ◦ ϕ(v)) = 0
donc, pour tout v ∈ E, v − ϕ∗ ◦ ϕ(v) ∈ E ⊥ = {0}. Ce qui prouve que ϕ−1 = ϕ∗ .
(iii) ⇒ (iv) : On suppose que ϕ ∈ GL(E) vérifie ϕ∗ ◦ ϕ = idE , soit (e1 , ..., en ) une base
orthonormale de E, on a pour 1 ≤ i 6= j ≤ n.
d’où le résultat.
(iv) ⇒ (v) : évident.
(v) ⇒ (i) : On considère une base orthonormale (e1 , ..., en ) de E telle que (ϕ(e1 ), ..., ϕ(en ))
soit une base orthonormale. Soit u = x1 e1 + ... + xn en ∈ E, on a :
kϕ(u)k2 = kx1 ϕ(e1 ) + ... + xn ϕ(en )k2 = x21 + ... + x2n = kuk2
Proposition 4.5.2. Une symétrie est une isométrie si et seulement si c’est une symétrie
orthogonale.
Chapitre 4. Espaces euclidiens 53
Proposition 4.5.4. Soit E un espace affine euclidien dirigé par un espace vectoriel euclidien E,
soient O(E) le groupe orthogonal de E et Isom(E) le groupe des isométries de E. L’application :
ψ : Isom(E) → O(E)
→
−
f 7→ f
est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est le groupe des translations de E.
De même que dans le cas du groupe affine, on peut écrire le groupe des isométries comme
un produit semi-direct.
Proposition 4.5.5. Soit G = Isom(E) le groupe des isométries d’un espace affine E dirigé par
un espace vectoriel E, soit A ∈ E et T le groupe des translations de E, on note :
IsomA = {f ∈ G, f (A) = A}
Alors IsomA est un sous-groupe de G isomorphe à O(E) et G est produit semi-direct de IsomA
par T .
54 Chapitre 4. Espaces euclidiens
sH ◦ ϕ(u0 ) = sH (ϕ(u0 )) = u0
Ainsi l’isométrie sH ◦ ϕ admet un vecteur fixe, on est ramené au cas précédent, il existe q
symétries orthogonales hyperplanes, avec q ≤ n − 1, telles que :
ainsi ϕ = sH ◦ sH1 ◦ ... ◦ sHq est bien coposée de p symétries orthogonales hyperplanes avec
p ≤ n.
56 Chapitre 4. Espaces euclidiens
−−−→
Montrons que M M 00 = u. Pour cela, nous allons plonger E dans Ê et ainsi écrire :
4.6 Angles
Nous avons vu dans le chapitre sur l’axiomatique que certaines définitions des angles ne
permettait pas de faire toutes les opérations souhaitées, nous allons maintenant définir de
manière rigoureuse la notion d’angles orientés de vecteurs.
On se place dans le plan affine euclidien P dirigé par un plan vectoriel E, les isométries
vectorielles positives de E sont appelées rotations.
Proposition 4.6.1. Soient u et v deux vecteurs de E tels que kuk = kvk = 1, il existe une
unique rotation r ∈ O+ (E) telle que r(u) = v.
Démonstration. Soit (e1 , e2 ) une base orthonormée de E telle que e1 = u. On a v = ae1 + be2
avec a2 + b2 = 1 car on a supposé le vecteur v unitaire. La rotation r dont la matrice dans la
baxe (e1 , e2 ) est la suivante : !
a −b
b a
vérifie bien r(u) = v et elle est déterminée de manière unique par a et b.
: S × S → O+ (E)
(u, v) 7→ r
58 Chapitre 4. Espaces euclidiens
r étant l’unique rotation telle que v = r(u), est surjective et définit une relation d’équivalence
sur les couples de vecteurs unitaires.
(u, v)R(y 0 , v 0 ) ⇔ ∃r ∈ O+ (E), v = r(u) et v 0 = r(u0 )
⇔ ∃ρ ∈ O+ (E), u0 = ρ(u) et v 0 = ρ(v)
La classe d’équivalence du couple (u, v) est appelée angle orienté des vecteurs u et v. L’ensemble
des classes d’équivalence, noté A, est l’ensemble des angles orientés. L’application :
Φ : A → O+ (E)
[
(u, v) 7→ r
r étant l’unique rotation telle que v = r(u), est maintenant bijective. Cette application, considé-
rée comme isomorphisme de groupes permet de transporter la structure de groupes commutatif
de O+ (E) sur A, on a :
[
(u, \
v) + (u0 , v 0 ) = Φ−1 (Φ((u,
[ v)) ◦ Φ((u
\ 0 , v 0 )))
[
L’angle nul correspond à l’identité, soit (u, \
u). On appelle angle plat l’angle (u, −u), il corres-
pond à la symétrie centrale − idE . Un angle tel que 2(u, v) = (u, −u) est appelé angle droit. Il
[ \
[
y a ainsi deux angles droits, l’angle (u, v) est droit si et seulement si les vecteurs u et v sont
orthogonaux. Un angle droit correspond à une rotation r qui vérifie r ◦ r = − id, c’est-à-dire :
!2 !
a −b −1 0
=
b a 0 −1
ce qui implique a = 0 et b = 1 ou b = −1.
Les angles orientés forment donc un groupe additif et, de plus, ils vérifient la relation de
Chasles.
Proposition 4.6.2. Soient u, v, w des vecteurs unitaires de E, on a :
[
(u, \
v) + (v, \
w) = (u, w)
Démonstration. On considère les rotations r1 et r2 telles que v = r1 (u) et w = r2 (v), on a alors
w = r2 ◦ r1 (u).
où θ est un nombre réel défini modulo 2π appelé angle de la rotation r ou mesure de l’angle
[
orienté (u, v).
[
Si les vecteurs u et v ne sont plus supposés unitaires, on peut encore définir l’angle (u, v)
\
u v
comem étant égal à kuk , kvk . Si θ est une mesure de cet angle, on a :
u.v
cos θ =
kuk.kvk
L’application :
R → R/2πZ → O+ (E) → A
est surjective, ainsi tout angle orienté possède une mesure.
L’application :
R/2πZ → O+ (E) → A
[
est injective, ainsi, si θ est une mesure de (u, v), toutes les autres mesures sont de la forme
θ + 2kπ, avec k ∈ Z. Le nombre π est une mesure de l’angle plat. Les mesures des angles de
droites sont des éléments de R/πZ et on a, si θ et ϕ sont des mesures d’angles :
Proposition 4.6.4. L’application qui, à un angle orienté de vecteurs (resp. de droites) associe
une de ses mesures, définit un homomorphisme du groupe des angles orientés dans R/2πZ (resp.
R/πZ). Ce morphisme dépend de l’orientation du plan choisie et c’est un isomorphisme.
On termine le paragraphe sur les angles par quelques résultats bien connus.
Proposition 4.6.6. Soient A, B, C trois points du plan affine euclidien P. La somme des
angles orientés de vecteurs :
−→
\ −→ −−→
\ −→ −→
\ −−→
(AB, AC) + (BC, BA) + (CA, CB)
−→
\ −→ −−→
\ −→ −→
\ −−→ −→
\ −→ −−→
\ −→ −→
\ −−→
(AB, AC) + (BC, BA) + (CA, CB) = (AB, AC) + (BC, BA) + (AC, BC)
−→
\ −→ −→
\ −−→ −−→
\ −→ −→
\ −→
= (AB, AC) + (AC, BC) + (BC, BA) = (AB, BA)
On a le corollaire suivant :
Corollaire. Soient A, B, C trois points du plan affine euclidien orienté. On note α, β, γ des
−→
\ −→ −−→ \ −→ −→ \ −−→
mesures des angles orientés (AB, AC), (BC, BA), (CA, CB), on a :
−→
\ −−→ −→
\ −−→
(OA, OB) = 2(CA, CB)
−→
\ −→ −→
\ −→
(CA, CO) = (AO, AC)
ainsi :
−→
\ −→ −→
\ −→
(OA, OC) + 2(CO, CA) = π
De même, on a :
−→
\ −−→ −−→
\ −→
(OA, OB) + 2(CB, CO) = π
Ce qui nous donne en ajoutant ces deux égalités et en utilisant la relation de Chasles :
−→
\ −−→ −−→
\ −→
(OA, OB) + 2(CB, CA) = 0
Chapitre 4. Espaces euclidiens 61
Si le point C est confondu avec le point B, alors la droite (BC) est remplacée par la tangente
au cercle en B. On a alors la proposition suivante :
−→
\ −−→
(OA, OB) = 2((AB), D)
Proposition 4.6.9. Soient A, B, C, D des points du plan affine, les points A, B, C, D sont
cocycliques ou alignés si et seulement si les angles de droites (CA, CB) et (DA, DB) sont
égaux.
62 Chapitre 4. Espaces euclidiens
On remarque qu’on a défini les angles dans le plan affine euclidien, mais, dans la mesure où
deux vecteurs définissent un plan vectoriel, on peut toujours parler d’angle de deux vecteurs
quelque soit la dimension de l’espace. La mesure d’angle nécessite une orientation du plan dans
lequel on se place.
f = g ◦ tu = tu ◦ g
où g est une isométrie affine admettant un sous-espace affine non vide F de points fixes, dirigé
→
−
par le sous-espace vectoriel F = ker( f − idP ), le vecteur u de la translation tu appartient à F .
On a vu précédemment que les isométries vectorielles étaient composées d’une ou de deux
réflexions. La composée de deux réflexions est une isométrie positive, dans le cas du plan, c’est
→
−
une rotation. Ainsi, l’application f = → −g est-elle égale ou bien à l’identité ou à une réflexion
ou à une rotation. Nous noterons L = {M ∈ P, f (M ) = M }, l’ensemble des points fixes de f .
Nous allons classifier les cas suivant la dimension de F et l’existence de points fixes de f :
→
−
1) dim F = 2. Dans ce cas, f = idP , l’isométrie f est une translation (ou l’identité de P) et
L = ∅ (ou P).
→
−
2) dim F = 1, on note F = D alors f = → −
s est la symétrie orthogonale par rapport à la
D
droite vectorielle D.
a) si f admet un point fixe A alors L = D, la droite passant par A et dirigée par D. Le
vecteur u de la translation dans la décomposition canonique de f est nul, l’isométrie f
est la symétrie orthogonale par rapport à la droite affine D.
Chapitre 4. Espaces euclidiens 63
f = g ◦ tu = tu ◦ g
où g est une isométrie affine admettant un sous-espace affine non vide F de points fixes, dirigé
→
−
par le sous-espace vectoriel F = ker( f − idP ), le vecteur u de la translation tu appartient à
→
−
F . Par ailleurs, l’isométrie vectorielle f est composée d’une deux ou trois réflexions (symétries
orthogonales hyperplanes). Nous noterons encore L = {M ∈ P, f (M ) = M }, l’ensemble des
points fixes de f et nous allons examiner tous les cas possibles en classifiant selon la dimension
→
−
de F , l’existence des points fixes et la décomposition de f en produit de réflexions.
→
−
1) dim F = 3, alors f = idE , l’isométrie f est soit l’identité et L = E soit une translation de
vecteur u 6= 0 et L = ∅.
→
−
2) dim F = 2, dans ce cas, 1 est valeur propre de f et le sous-espace propre associé est un
→
−
plan vectoriel P , il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de f s’écrit :
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
→
−
L’application f est alors la symétrie orthogonale par rapport au plan P .
a) si f admet un point fixe A alors L = P, où P est le plan affine passant par A et dirigé
par P , l’isométrie f est alors la symétrie orthogonale par rapport au plan P. Le vecteur
u de la décomposition canonique est nul.
b) si f n’admet pas de points fixes, on note P l’ensemble des points fixes de g = sP , il est
dirigé par P . On a sP ◦ tu et u ∈ P . L’isométrie f est une symétrie glisée orthogonale.
→
−
3) dim F = 1, alors 1 est valeur propre de f et le sous-espace propre associé est une droite D,
→
−
il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de f s’écrit :
1 0 0
0 cos θ − sin θ
0 sin θ cos θ
→
−
f est alors une rotation d’axe la droite D engendrée par le premier vecteur de cette base,
→
−
f est le produit de deux réflexions.
a) si f admet un point fixe A alors f est la rotation d’axe D, passant par A et dirigé par D,
et d’angle θ. On a L = D et la translation de la décomposition canonique est l’identité.
64 Chapitre 4. Espaces euclidiens
→
−
b) si f n’admet pas de point fixe, on note D l’axe de rotation f et D l’ensemble des points
fixes de la rotation r = g. On a la décomposition f = r ◦ tu = tu ◦ r où u est un vecteur
non nul de D. L’isométrie f est alors un visage d’axe D, d’angle θ et de vecteur u.
→
−
4) dim F = 0, alors f est le produit de trois réflexions ou encore d’une réflexion et d’une
→
−
rotation, dans ce cas il existe une orthonormée de E dans laquelle la matrice de f s’écrit :
−1 0 0
0 cos θ − sin θ
0 sin θ cos θ
→
−
on a f = → −
rD◦→ −
sP = → −sP = → −r D , où →
−
r D est la rotation vectorielle d’axe D et →−
s P la
⊥
symétrie orthogonale par rapport au plan P = D . Par ailleurs, la décomposition canonique
nous dit que f = tu ◦ g, où g admet un espace de points fixes dirigé par F ainsi g admet
→
−
un point fixe A et u ∈ F donc u = 0 . On a alors f = g = sP ◦ rD où P est le plan affine
dirigé par P et passant par le point A et D est la droite affine dirigée par D et passant par
A. L’isométrie f admet A comme point fixe, elle est la composée d’une rotation d’axe D
passant par A et d’une symétrie orthogonale de plan P passant par A et dirigé par P = D⊥ .
4.8 Similitudes
Définition 4.8.1. Soit E un espace vectoriel euclidien, une application ϕ ∈ GL(E) est une
similitude si elle s’écrit ϕ = h ◦ ψ avec h une homothétie vectorielle et ψ ∈ O(E). On a alors
(c’est une définition équivalente) pour tout u ∈ E, ϕ(u).ϕ(u) = λ2 u.u, si λ est le rapport de
l’homothétie, |λ| est appelé rapport de la similitude.
Proposition 4.8.1. 1) On suppose dim E ≥ 2. Soit ϕ ∈ GL(E), l’application ϕ est une simi-
litude si et seulement si elle conserve l’orthogonalité.
2) Les similitudes conservent les angles (non-orientés) et ce sont les seuls endomorphismes
bijectifs de Eayant cette propriété.
Démonstration. 1) Soient u et v deux vecteurs orthogonaux de E, si ϕ est une similitude, on
a ϕ(u).ϕ(v) = λ2 u.v = 0, ainsi ϕ conserve l’orthogonalité.
Réciproquement, considérons ϕ ∈ GL(E) telle que pour (u, v) ∈ E 2 :
u.v = 0 ⇒ ϕ(u).ϕ(v) = 0
Cette forme linéaire s’annule sur hvi⊥ = {u ∈ E, u.v = 0}, elle est donc proportionnelle à
la forme linéaire u → u.v, ainsi il existe k(v) ∈ R tels que :
∀u ∈ E, ϕ(u).ϕ(v) = k(v)u.v
En échangeant les rôles des vecteurs de u et v, on obtient k(u) = k(v), le réel k est donc
indépendant de v et on a pour u ∈ E :
kϕ(u)k2 = kkuk2
Les similitudes vectorielles forment un sous-groupe de GL(E), les similitudes dont le déter-
minant est positif sont dites similitudes directes, elles conservent alors les angles orientés, celles
dont le déterminant est négatif sont dites indirectes.
Il est clair que les isométries sont des similitudes (de rapport 1). pour les similitudes de rapport
k 6= 1, on a la proposition suivante :
Proposition 4.8.2. Soit f une similitude de rapport k 6= 1, alors f admet un unique point fixe
O qui est appelé centre de la similitude.
Démonstration. Compte tenu des propriétés des similitudes vectorielles, il est évident que (i) ⇒
→
−
(ii) ⇒ (iii), en effet f conserve l’orthogonalité et les angles (non-orientés).
On montre que (iii) ⇒ (i), il suffit de vérifier que f est affine et c’est là qu’intervient le
théorème fondamental, pour démontrer que f est affine, nous allons démontrer que l’hypothèse
→
−
(iii) implique que f conserve l’alignement. On aura alors une bijection affine f telle que f
conserve l’orthogonalité.
Soient A, B, C trois points alignés de E. Notons D la droite passant par A et dirigée par
−→ −→
AB, on a C ∈ D. On note → −
e1 = AB et considérons une base orthogonale (→ −
e1 , →
−
e2 , ..., →
−
en )de E.
→
− −−→
Pour 1 ≤ i ≤ n, il existe un unique Ai ∈ E, tel que ei = AAi , (A1 = B), comme f conserve
66 Chapitre 4. Espaces euclidiens
→
− −−−−−−−→
l’orthogonalité, les vecteurs e0i = f (A)f (Ai ) sont orthogonaux deux à deux, ils forment donc un
−−−−−−→
système libre de n vecteurs, donc une base de E. Notons λ1 , ..., λn les coordonnées de f (A)f (C)
dans cette base, sachant que pour 2 ≤ i ≤ n,
(AC) = (AB) = (AA1 ) ⊥ (AAi )
−→ −−→
et que f conserve l’orthogonalité, on a (f (A)f (C)) ⊥ (f (A)f (Ai )). Ainsi AC.AAi = 0 pour
−−−−−−→ −−−−−−−→
2 ≤ i ≤ n, d’où λi = 0 pour 2 ≤ i ≤ n. Ce qui prouve que f (A)f (C) = λ1 f (A)f (A1 ) donc que
f (C) ∈ (f (A)f (B)).
Les similitudes conservent aussi les rapports de distances.
Proposition 4.8.4. Soit f : E → E une application non constante, les propriétés suivantes
sont équivalentes :
(i) f est une similitude de rapport k > 0
(ii) Pour tout M, M 0 , N, N 0 dans E tels que M N 6= 0 et f (M )f (N ) 6= 0, on a :
f (M 0 )f (N 0 ) M 0N 0
=
f (M )f (N ) MN
(iii) ∃k > 0, ∀(M, N ) ∈ E 2 , f (M )f (N ) = kM N .
Démonstration. (i) ⇒ (ii) est évident. On montre que (ii) ⇒ (iii) : il existe M 6= N tels que
f (M ) 6= f (N ), si M 0 et N 0 sont deux points de E alors :
f (M 0 )f (N 0 ) M 0N 0
=
f (M )f (N ) MN
si M 0 N 0 6= 0 alors :
f (M 0 )f (N 0 ) f (M )f (N )
0 0
=
MN MN
donc f (M 0 ) 6= f (N 0 ), ainsi f est injective et il existe k > 0 tel que f (M )f (N ) = kM N .
On montre maintenant que (iii) ⇒ (i). On considère une homothétie h de rapport k −1 .
Posons g = h ◦ f , on a alors pour tout M, N ∈ E :
g(M )g(N ) = k −1 f (M )f (N ) = k −1 kM N = M N
ce qui prouve que g est une isométrie, ainsi f = h−1 ◦ g est une similitude.
1er cas. Les similitudes directes : on commence par étudier les points fixes de f .
f (z) = z ⇔ z = az + b ⇔ (1 − a)z = b
f : z 7→ az 7→ az + b
On note z = ρeiθ et a = |a|eiα , l’application ϕ(z) = az envoie ρeiθ sur |a|ρeiθ+α . C’est
donc la rotation de centre O, d’angle θ composée avec l’homothétie de centre O de rapport
|a|, c’est une similitude vectorielle. L’application f vérifie :
On va réunir dans ce chapitre, des résultats classiques sur les cercles et les triangles dans le
cadre de la géométrie affine euclidienne que nous avons développé.
Dans tout ce chapitre, ABC est un triangle, c’est-à-dire que les points A, B et C ne sont
pas alignés. On travaille dans le plan affine euclidien P défini par ces trois points.
d’où
−−→ −−→ −→ −→ −→ −→ −→
f (M ) = M A.(BC + CA + AB) + AB.(CA + AC) = 0
−−→ −→
Ainsi, si H est l’intersection des hauteurs issues de A et B, on obtient HC.AB = 0, ce qui
prouve que H est également sur la hauteur issue de C.
Theorème 5.1.3. Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G, centre de
gravité du triangle.
68
Chapitre 5. Géométrie du triangle et du cercle 69
5.1.1 Bissectrices
Définition 5.1.1. Soient D et D0 deux droites du plan affine euclidien, sécantes en un point
O, une droite ∆ est dite bissectrice des droites D et D0 si l’on a :
s∆ (D) = D0 et s∆ (D0 ) = D
où s∆ désigne la symétrie orthogonale par rapport à la droite ∆.
70 Chapitre 5. Géométrie du triangle et du cercle
Theorème 5.1.6. L’ensemble des points équidistants de deux droites sécantes D et D0 est la
réunion des bissectrices du couple (D, D0 ).
Theorème 5.1.7. La droite ∆ est une bissectrice du couple de droites (D, D0 ) si et seulement
si on a l’égalité des angles orientés de droite (modulo π).
Définition 5.1.2. Soient [OA) et [OB) deux demi-droites, l’axe de l’unique symétrie qui
échange les deux demi-droites est appelé bissectrice du couple de demi-droites ([0A), [OB)).
−→ −−→ −→ −−→ → −
Si OA = OB, c’est la droite passant par O et dirigée par OA + OB, si OA + OB = 0 , c’est
la droite orthogonale à (AB) passant par O.
Theorème 5.1.8. Les trois bissectrices intérieures d’un triangles sont concourantes en un
point I situé à l’intérieur du triangle et admettant les coordonnées barycentriques (a, b, c) dans
le repère (A, B, C). Le point I est le centre du cercle inscrit au triangle.
Démonstration. Il est clair que les bissectrices sont concourantes, en effet soit I le point d’in-
tersection des bissectrices issues de A et B, on a alors l’égalité des distances :
d’où d(I, (BC)) = d(I, (AC)), ce qui prouve que I est sur la bissectrice issue de C. On note :
a b c
I= A+ B+ C
a+b+c a+b+c a+b+c
on a alors :
−
→ b −→ c −→
AI = AB + AC
a+b+c a+b+c
On note :
−−→ b −→ −−→ c −→
AM = AB et AN = AC
a+b+c a+b+c
Chapitre 5. Géométrie du triangle et du cercle 71
On a, d’une part :
−−→ −→
AM = N I
et d’autre part
bc
AM = AN =
a+b+c
Ce qui prouve que le quadrilatère AM IN est un losange, c’est-à-dire un parallélogramme ayant
ses côtés égaux. Ainsi, la droite (AI) est bien la bissectrice intérieure de A, on montrerait de
me que les droites (BI) et (CI) sont respactivement les bissectrices issues de B et C.
Le point I est à égale distance des côtés du triangle, si l’on considère les projetés orthogonaux
P, Q, R de I sur les côtés, le cercle de centre I passant par P, Q, R est tangent aux trois côtés
du triangle (A, B, C). C’est le cercle inscrit.
2) Si dans le cas précédent, le point M coincide avec le point A, la droite (AM ) est alors
−−→
remplacée par la tangente au cercle C en A, on remplace le vecteur M A par n’importe quel
−→
vecteur T A où T ∈ TA et on obtient le même résultat.
−−→
\ −−→ −→
\ −−→
(M A, M B) = (CA, CB) mod π
−−→
\ −−→ −→
\ −−→
(DA, DB) = (CA, CB) mod π
5.3 Trigonométrie
On suppose le plan euclidien E orienté. La matrice de rotation vectorielle d’angle α dans
une base orthonormée directe ne dépend que de α, c’est la matrice :
!
cos α − sin α
M (α) =
sin α cos α
[ u.v [ det(u, v)
cos (u, v) = et sin (u, v) =
kuk.kvk kuk.kvk
et
sin(α + β) = cos α sin β + cos β sin α
Proposition 5.3.2 (Formule des sinus). Soit ABC un triangle quelconque, S son aire et R le
rayon de son cercle circonscrit, alors on a :
a b c abc
= = = 2R =
sin Ab sin Bb sin Cb 2S
1
A
b est l’angle géométrique (non orienté) au point A
Chapitre 5. Géométrie du triangle et du cercle 73
AB 2 + AC 2 = BC 2
Démonstration. On a :
−−→ −−→ −−→ −→ −→ −→ −→
BC 2 = kBCk2 = BC.BC = (BA + AC)2 = BA2 + AC 2 + 2BA.AC
d’où le résultat.
−→ −−→ → − −−→ −→
Or, OC + OB = 0 et OB.OC = − 14 BC 2 , on obtient donc :
−→ −→ BC
AB.AC = 0 ⇔ OA =
2
−−→
\ −→ BA
cos (BC, BA) =
BC
−−→
\ −→ AC
| sin (BC, BA)| =
BC
5.4.1 Similitudes
On dit que deux triangles ABC et A0 B 0 C 0 du plan sont semblables, s’il existe une similitude
affine qui transforme les sommets de l’un et les sommets de l’autre.
A0 B 0 B0C 0 C 0 A0
= =
AB BC CA
Pour démontrer cette proposition, on essaie de mettre en évidence les transformations qui
permettent de passer du triangle ABC du triangle A0 B 0 C 0 et on obtient une similitude (par
composition d’une homothétie, d’une rotation, d’une translation et le cas échéant d’une ré-
flexion).
où A,
b B, b désignent les mesures dans ]0, π[ des angles géométriques du triangle ABC.
b C
Chapitre 5. Géométrie du triangle et du cercle 75
Démonstration. La condition (i) est la proposition précedente, elle implique évidemment les
0B0
conditions (ii) et (iii). Réciproquement, supposons (ii) vraie, on pose k = AAB et on a alors :
A0 C 02 = A0 B 02 + B 0 C 02 − 2A0 B 0 .B 0 C 0 cos B
c0 = k 2 (AB 2 + BC 2 − 2AB.BC cos B
b = k 2 AC 2
d’où
AB BC CA A0 B 0 B 0 C 0 C 0 A0
= = et =
sin C sin A sin B c0 sin A
sin C c0 sin Bc0
d’où le (i).
Chapitre 6
Démonstration. Le déterminant est une forme multilinéaire alternée, detB est l’unique forme
multilinéaire qui prend la valeur 1 en (e1 , e2 , e3 ), et si B 0 est une autre base de E, on a :
det
0
(u, v, w) = det B 0 det(u, v, w)
B B B
or, detB B 0 = 1.
Theorème 6.1.2. Soient u et v deux vecteurs de E, il existe un unique vecteur, appelé produit
vectoriel de u et v, noté u ∧ v tel que :
∀w ∈ E, (u ∧ v).w = det(u, v, w)
Theorème 6.1.3. L’application de E × E dans E qui envoie le couple (u, v) sur le produit
vectoriel u ∧ v est bilinéaire et antisymétrique.
Theorème 6.1.4. Le vecteur u ∧ v est l’unique vecteur qui vérifie les propriétés suivantes :
1) u ∧ v = 0 ⇔ u et v sont colinéaires.
2) u ∧ v est orthogonal à u et v.
3) Si u et v ne sont pas colinéaires, la base (u, v, u ∧ v) est une base directe de E
76
Chapitre 6. Géométrie dans l’espace 77
x0 a
x
(u ∧ v).w = det(u, v, w) = y
y 0 b = det (u, v)c
(e1 ,e2 )
0 0 c
ceci étant vrai pour tout w ∈ E, le vecteur u ∧ v a pour coordonnées (0, 0, det(u, v)) dans la
base (e1 , e2 , e3 ). Ainsi, on a bien :
1 −→ −→
A(ABC) = kAB ∧ ACk
2
1 1 −→
\ −→ 1 −→ −→
A(ABC) = AB.C + AB.AC| sin (AB, AC)| = kAB ∧ ACk
2 2 2
On remarque que l’aire est plutôt une notion euclidienne, puisuqe le calcul d’une aire né-
cessite le produit scalaire et l’orthogonalité. Néamoins, les rapports d’aires sont conservés par
les bijections affines. On peut, sans orthogonalité considérer un repère affine A, B, C du plan
−→ −→
et définir l’aire d’un triangle à partir du déterminant exprimé dans la base (AB, AC). Ainsi, si
M, N, P sont trois points non alignés du plan on aura :
1 −−→ −−→
A(M N P ) = | det(M N , M P )|
2
−→ −→
l’unité d’aire étant l’aire du parallélogramme construit sur le base (AB, AC).
Chapitre 6. Géométrie dans l’espace 79
f q = 2a
sp = 2a
d’où :
4q 2pq 4p
s= ,a= ,f=
2p + 2q − pq 2p + 2q − pq 2p + 2q − pq
On recherche alors tous les couples d’entiers (p, q) vérifiant p ≥ 3, q ≥ 3 et 2p + 2q − pq > 0, et
on en obtient exactement 5, desquels on déduit les triplets (s, a, f ).
On admet que les cinq polyèdres obtenus sont constructibles et que ce sont les seuls à
similitude près.
Chapitre 7
Groupes de transformations
Dans ce chapitre, suivant l’idée de Félix Klein dans son programme d’Erlangen, on va étudier
les différentes géométries du point de vue des groupes de transformations et de leurs invariants.
Voici la question qu’il pose :
"Etant donné une multiplicité et un groupe de transformations de cette multiplicité, en
étudier les êtres du point de vue des propriétés qui ne sont pas altérées par les transformations
du groupe"
ce qu’il exprime aussi ainsi :
"On donne une multiplicité et un groupe de transformations de cette multiplicité ; développer
la théorie des invariants relatifs à ce groupe"
Dans ce cours, on a étudié la géométrie affine et la géométrie euclidienne. On a rencontré
des groupes de transformations de l’espace ou du plan et étudié des propriétés invariantes par
ces groupes.
Par exemple, le groupe affine conserve les barycentres, l’alignement, le parallélisme et les
rapports de proportions. Le groupe des similitudes conserve les angles. Le groupe des isométries
conserve les distances. Le groupe des déplacements conserve l’orientation...
Dans la géométrie d’Euclide, il n’est question ni de groupes, ni de coordonnées ou de nombres
réels, par contre l’espace est supposé homogène, les points sont équivalents et on ne change
pas une figure en la déplaçant par un mouvement rigide. On pourrait considérer chez Euclide
l’utilisation de la méthode de superposition comme un axiome non-dit supplémentaire. La
formalisation moderne, après F.Klein, suppose l’exsitence d’un groupe de mouvements rigides
agissant sur le plan. Ce point de vue pouvant se généraliser à d’autres groupes comme nous
l’avons vu avec la géométrie affine ou le groupe des similitudes, mais aussi avec la géométrie
projective et les géométries non-euclidiennes.
7.1 Géométries
On peut définir une géométrie de la manière suivante :
Définition 7.1.1. On dira qu’un couple (E, G) est une géométrie si E est un ensemble et G
un sous-groupe du groupe des bijections de E dans lui-même. Les éléments de E sont appelés
les points, les éléments du groupe G sont les transformations ponctuelles de la géométrie.
Les propriétés intrinsèques d’une géométrie (E, G) sont les propriétés de E conservées par
transformation par un élément de G. On appelle le groupe G le groupe principal ou fondamental
de la géométrie considérée. Le groupe affine est le groupe fondamental de la géométrie affine,
le groupe des isométries, celui de la géométrie euclidienne. Le groupe principal de la géométrie
projective est le groupe des homographies.
80
Chapitre 7. Groupes de transformations 81
Définition 7.1.2. Deux géométries (E, G) et (Ẽ, G̃) sont dites isomorphes, s’il existe une
bijection ϕ : E → Ẽ telle que l’application :
ϕ̃ : G → G̃
f 7→ ϕ ◦ f ◦ ϕ−1
Définition 7.1.3. On appelle plan affine une géométrie isomorphe à (R2 , GA(R2 ). On appelle
plan euclidien une géométrie isomorphe à (R2 , Isom(R2 ).
Les géométries qu’on a étudiées sont subordonnées les unes aux autres. En effet, le groupe af-
fine contient le groupe des similitudes et les similitudes sont des bijections affines qui conservent
les angles. Le groupe des similitudes contient le groupe des isométries et les isométries sont des
similitudes qui conservent les distances. Le groupe des déplacements est un sous-groupe du
groupe des isométries et les déplacements sont des isométries qui conservent l’orientation. Le
groupe affine est en fait lui-même un sous-groupe du groupe projectif, ce sont les homographies
qui fixent le plan. De même, le groupe fondamental de la géométrie hyperbolique est le groupe
des homographies qui laissent invariante une conique propre. Ainsi toutes les géométries sont
en fait des sous-géométries de la géométrie projective, mais ce n’est pas l’objet de notre étude.
Les isométries de R2 sont les bijections affines pour lesquelles la matrice A appartient au groupe
orthogonal O(R2 ). On a :
O(R2 ) = {A ∈ GL(R2 ), t A, A−1 }
Si f ∈ Isom(R2 ), alors :
f : R2! → !R !
2
!
x a −εb x α
7→ +
y b εa y β
Les similitudes sont composées d’une isométrie et d’une homothétie, pour f une similitude
de R2 , on a :
f : R2! → R2 !
! !
x a −εb x α
7→ λ +
y b εa y β
avec (λ, a, b, α, β) ∈ R5 , ελ = det A et a2 + b2 = 1. On retrouve bien la forme complexe.
On va terminer ce cours par l’étude de quelques sous-groupes du groupe des isométries du
plan ou de l’espace, qui conservent une partie.
Dans la suite, E désigne un espace affine de dimension n, sur un corps K, dirigé par un
espace vectoriel E.
Exercice - Démontrer que l’espace X est de dimension infinie, c’est-à-dire qu’il existe une
(des) famille(s) de champs de vecteurs de cardinal infini, dont toute sous-famille finie est libre.
- On pourra considérer des champs de vecteurs partout nuls sauf en un point.
1) Etant donné un vecteur → −v ∈ E, nous désignerons par [→ −v ] le champ de vecteurs constant de
→
− →
− →
−
valeur v , c’est-à-dire, défini par : [ v ](M ) = v , pour tout M ∈ E.
Nous noterons Xc l’ensemble des champs de vecteurs constants. Il est clair que c’est un
sous-espace vectoriel de X, et que l’application → −v 7→ [→
−v ] est un isomorphisme (d’espaces
vectoriels) de E sur Xc .
2) Etant donné un point A ∈ E nous lui associerons le champ de vecteur [A] défini par [A](M ) =
−−→
M A.
−−→
Si a est un scalaire non nul, le champ de vecteur a[A] est donc défini par a[A](M ) = aM A ;
→
−
et on a évidemment (cas a = 0) : 0[A] = [ 0 ].
Nous appelerons champ de vecteurs radial un champ de vecteurs de la forme a[A], avec
A ∈ E et a ∈ K × (groupe multiplicatif des éléments non nuls de K) et nous noterons Xr
l’ensemble des champs de vecteurs radiaux.
Observons que l’application K × × E 3 (a, A) 7→ a[A] ∈ Xr est bijective.
→
− −−→ −−→ → −
En effet, si a[A] = a0 [A0 ], il vient 0 = a[A](A) = a0 [A0 ](A) = a0 A0 A d’où A0 A = 0 (puisque
−−→ −−→
a0 6= 0) et A = A0 ; ensuite, la relation aM A = a[A](M ) = a0 [A](M ) = a0 M A (∀M )
implique a = a0 ; d’où l’injectivité de l’application considérée. Qu’elle soit surjective, résulte
de la définition même de Xr .
1
Etant donnés deux champs de vecteurs ξ, ξ 0 et un scalaire a, on pose : (ξ + ξ 0 )(M ) = ξ(M ) + ξ 0 (M ) et
(aξ)(M ) = aξ(M ), pour M ∈ E.
83
84 Annexe A. Barycentre (par Jean-François Robinet)
Ceci étant, soit Ê la réunion des deux ensembles disjoints Xc et Xr ; et notons ε l’application
de Ê dans K définie par ε([→ −
v ]) = 0 et ε(a[A]) = a (en particulier, ε([A]) = 1, pour A ∈ E).
Proposition A.1.1. L’ensemble Ê est un sous-espace vectoriel de l’espace X des champs de
vecteurs sur E et ε est une forme linéaire sur Ê, de noyau Xc (isomorphe à E), et on a
dim Ê = (dim E) + 1.
Pour qu’un champ de vecteurs ξ ∈ Ê soit de la forme [A] (pour un certain point A), il faut,
et il suffit, que ε(ξ) = 1.
Démonstration. • Il est clair que : x[→
−v ] = [x→ −v ], pour x ∈ K ; et que x(a[A]) = (xa)[A],
× →
−
si x ∈ K , et 0(a[A]) = [ 0 ].
Il est tout aussi clair que :
→
− →
−
[→
−v ] + [ v 0 ] = [→
−
v + v0 ] (A.1)
• Calculons maintenant a[A] + a0 [A0 ]. Nous avons (Chasles) :
−−→ −−→ −−→ −−→
(a[A] + a0 [A0 ])(M ) = aM A + a0 M A0 = (a + a0 )M A + a0 AA0 (A.2)
−−→
Si a + a0 = 0 (c’est-à-dire a0 = −a), il vient (a[A] − a[A0 ])(M ) = a0 A0 A, d’où :
−−→
a[A] + a0 [A0 ] = aA0 A (champ constant) (A.3)
−−→ −→ −−→
(a[A] + a0 [A0 ])(M ) = (a + a0 )(M A + AB) = (a + a0 )M B
Nous avons donc établi :
a0 −−→0
a[A] + a0 [A0 ] = (a + a0 )[B] si a + a0 6= 0, où B = A +AA (A.4)
a + a0
• Considérons enfin une somme de champs de vecteurs de la forme a[A] + [→−
v ] (a 6= 0). Il
vient :
−−→ 1 →
→
−
(a[A] + [ v ]) = a M A + v−
a
1→
− −→ 1 →−
Soit alors B = A + v , point caractérisé par AB = v , et par conséquent :
a a
−−→ −−→
−−→
(a[A] + [→
−
v ])(M ) = a M A + M B = aM B = a[B](M )
Nous avons établi :
1−
a[A] + [→
−
v ] = a[B], avec B = A + → v (A.5)
a
De ces formules, on déduit d’abord que Ê est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel
X des champs de vecteurs sur E ; elles permettent ensuite de vérifier, cas par cas, les égalités
ε(ξ + ξ 0 ) = ε(ξ) + ε(ξ 0 ) et ε(xξ) = xε(ξ), pour ξ, ξ 0 dans Ê et x dans K - ce qui montre
que l’application ε : Ê → K est une forme linéaire sur E, dont, par construction même, Xc
(qui est clairement un sous-espace vectoriel de E, isomorphe à E) est le noyau ; il s’ensuit :
dim Ê = dim Xc + 1 = dim E + 1 = n + 1.
La dernière assertion du théorème est immédiate.
Annexe A. Barycentre (par Jean-François Robinet) 85
On change de notation :
Notation. L’application →
−
v 7→ [→
−v ] étant bijective (de E sur Xc ), il est licite d’identifier le
vecteur →
−
v au champ constant [→
−
v ] - c’est-à-dire →
−
v désignera aussi bien le vecteur que le champ
constant de valeur ce vecteur.
Similairement, l’application (a, A) 7→ a[A] étant bijective, nous désignerons simplement
par aA le champ radial a[A] - le point A se trouve, en particulier identifié au champ radial
−−→
M 7→ M A.
Les éléments de Ê sont donc de la forme →
−v , ou aA, avec A ∈ E, a 6= 0. On dit (souvent)
que Ê est l’espace des points pondérés2 .
Remarque. Revenons sur les formules (A.1) et (A.5) établies ci-dessus. La première s’écrit (après
ce changement de notations) → −
u +→ −
v =→ −
u +→ −v , elle paraît tautologique ; elle ne l’est pas ! Car
elle exprime que la somme dans Ê des deux éléments (champs) → −u et →
−v (premier membre de
l’égalité) est (le champ de vecteurs constant associé à) la somme dans E des deux vecteurs.
−→ −
Quant à la formule (A.4), elle donne en particulier : A + → −
v = B où AB = → v . Comme dans
−→
l’espace affine E, on a B = A + AB, cette formule a, elle aussi, une apparence tautologique, à
−→ −→
savoir : A + AB = A + AB ; elle ne l’est cependant pas, car le premier membre est à lire dans
Ê et le second dans E. Elle exprime que la somme dans Ê d’un point A et d’un vecteur → −v (ou
plus exactement des champs de vecteurs associés) est le (champ associé au) point A + v , au →
−
sens de l’opération externe de l’espace vectoriel E sur l’espace affine E.
A.2 Barycentres
P
Considérons un élément de la forme ki=1 ai Ai dans Ê. Nous avons : ε k k
P P
i=1 ai Ai = i=1 ai ,
soit a ce scalaire. P
k
• On suppose que a 6= 0, il vient alors ε ai
= 1, et par conséquent ki=1 aai Ai
P
i=1 a iA
est un point G, bien déterminé. Comme la précédente relation est à comprendre comme
égalité entre champs de vecteurs - vec les premières notations employées - elle s’écrit
Pk ai
i=1 a [Ai ] = [G] - le point G est caractérisé par les relations :
k
X ai −−→ −−→
M Ai = M G (∀M ∈ E) (A.6)
i=1 a
2
Il est aussi connu sous le nom d’espace universel de Berger, qui, à l’occasion, le qualifie d’"hydre" - voir
l’ouvrage bien connu Géométrie de cet auteur
86 Annexe A. Barycentre (par Jean-François Robinet)
Ce point est appelé barycentre de la famille des points pondérés Ai , aai (où 1 ≤ i ≤ m),
de "masse totale" ni=1 aai = 1. Il vient (en faisant M = G) :
P
k
X ai −−→ →
−
GAi = 0 (A.7)
i=1 a
Cette égalité caractérise aussi le point G. En effet, supposons-la satisfaite, il vient, pour
un point M ∈ E :
k k k k
!
X ai −−→ X ai −−→ −−→ X ai −−→ X ai −−→ −−→
M Ai = M G + GAi = MG + GAi = M G
i=1 a i=1 a i=1 a i=1 a
donc :
−−→
aA − aA0 = a(A − A0 ) = aA0 A (A.8)
et en particulier :
−−→
A − A0 = A0 A (A.9)
Remarque. La formule d’associativité des barycentres ne nécessite aucune démonstration, elle
résulte trivialement de l’associativité des combinaisons linéaires dans l’espace vectoriel Ê.
Proposition A.2.1. Pour que n + 1 points distincts A0 , ..., An de l’espace affine E, forment
une base de l’espace Ê, il faut, et il suffit, qu’ils n’appartiennent pas à un même hyperplan affine
(sous-espace ffine de codimension 1 de E).
En effet, pour que ces n + 1 points forment une base de Ê (de dimension n + 1) il suffit qu’ils
forment une famille libre. Supposons qu’ils satisfassent à une relation de dépendance linéaire
→
−
non triviale : a0 A0 + ... + an An = 0 , il vient alors : a0 + ... + an = 03 , il s’ensuit :
n n
→
− X X −−−→
0 = ai (Ai − A0 ) = ai A0 Ai
i=1 i=1
−−−→ −−−→
cette égalité ayant lieu dans E, elle signifie que les vecteurs A0 A1 , ..., A0 An appartiennent à
un même sous-espace vectoriel H de E, de dimension ≤ n − 1 (c’est-à-dire contenu dans
un hyperplan vectoriel). Les points A0 , A1 , ..., An , appartiennent alors au sous-espace affine
H = A0 +H, de dimension ≤ n−1 (c’est-à-dire contenu dans un hyperplan affine). La réciproque
est claire.
Définition A.2.1. Quand les n + 1 points A0 , ..., An forment une base de Ê , nous dirons aussi
qu’ils forment un repère barycentrique de l’espace affine E.
3
on a appliqué ε aux deux membres de l’égalité
Annexe A. Barycentre (par Jean-François Robinet) 87
S’il en est ainsi, tout point M ∈ E s’écrit de manière unique (dans Ê) : M = ni=0 xi Ai avec
P
Pn 4
i=0 xi = 1 . Les scalaires (x0 , ..., xn ) - de somme égale à 1 - sont les coordonnées barycentriques
du point M de repère barycentrique considéré. Tout point E s’écrit donc de manière unique
comme barycentres des points A0 , ..., An .
Remarque. On trouvera en Section A.3, une expression générale des coordonnées barycen-
triques d’un point.
Lemme A.2.2. Pour que des droites (AB), (CD) soient parallèles, il faut, et il suffit, que les
−→ −−→
vecteurs AB et CD soient proportionnels.
−→ −−→
Un point M commun aux deux droites (AB) et (CD) s’écrit A + xAB = M = C + y CD
−→ −→ −−→
pour des scalaires x, y convenables. Si un tel point existe, il vient A + xAB = A + AC + y CD
−→ −→ −−→ −→ −→ −−→
et xAB = AC + y CD, par simple transitivité, c’est-à-dire AC = xAB − y CD.
−→ −−→
Lorsque les vecteurs AB, CD ne sont pas proportionnels, ils forment une base de E, il existe
−→ −→ −−→
donc des scalaires x, y uniques, pour lesquels AC = xAB − y CD, remontant le calcul ci-dessus,
−→ −−→
nous avons A + xAB = C + y CD, et ce point est l’unique point d’intersection des droites (AB),
(CD).
−→ −−→ −→ −−→
Lorsque, les vecteurs AB, CD sont proportionnels, (c’est-à-dire K AB = K CD) et s’il existe
−→ −−→
M ∈ (AB)∩(CD), on a (AB) = M +K AB = M +K CD = (CD), contrairement à l’hypothèse.
Proposition A.2.3. Soient A, B, C, D quatre points trois à trois non alignés. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
−→ −−→ −→ −−→
(i) AB = CD ; (i’) AC = BD
(ii) les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
(iii) les droites (AB), (CD) sont parallèles, ainsi que les droites (AC), (BD).
−→ −−→ −→ −−→
équivaut donc à B − A = D − C et C − A = D − B, ou : AB = CD et AC = BD. L’équivalence
de iii) avec i) et/ou i0 ) s’ensuit aussitôt.
Lorsqu’il en est ainsi, on dit que les points A, B, D, C (dans cet ordre) forment un parallèlo-
gramme. On dit aussi que les bipoints (A, B) et (C, D) sont équipollents5 ; c’est là une condition
−→ −−→
(de nature géométrique) nécessaire et suffisante pour que soit satisfaite l’égalité AB = CD.
−→ −−→
Quand les points A, B, C, D sont alignés, on établit de même AB = CD, si et seulement si, les
segments [AB] et [CD] ont le même milieu.
A.3 Appendices
A.3.1 For the Snark was just a Boojum, you see !
Nous reprenons les notations de la section A.1.1. Fixons une origine O dans l’espace affine
E, et considérons!l’application de Ê → K × E, qui au champ de vecteurs constant !
[→
−
v ] fait
0 a
correspondre → − et au champ de vecteurs radial a[A] fait correspondre −→ .
v aOA
L’application ainsi définie est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Nous avons en premier
lieu : ! ! !
0 0 0
→
− + →− = →− (A.10)
u v u +→ −v
et, en second lieu :
a0 a + a0
! ! !
a
−→ + 0 −−→0 = −→ −−→
aOA a OA aOA + a0 OA0
Quand a + a0 = 0, il vient :
a0
! ! ! !
a 0 0
−→ + 0 −−→0 = −→ −−→0 = −−→ (A.11)
aOA a OA a(OA − OA ) aA0 A
Pour établir que l’application considérée est linéaire, il suffit de mettre en regard les relations
(A.1), (A.3), (A.4), (A.5) et (A.10), (A.11), (A.12), (A.13). Par ailleurs, il est immédiat qu’elle
est bijective.
5
Auquel cas, (A, C) et (B, D) le sont aussi.
Annexe A. Barycentre (par Jean-François Robinet) 89
cette quantité est donc non nulle si et seulement si A0 , ..., An est un repère barycentrique.
Nous avons7 :
Proposition A.3.2. Les coordonnées barycentriques xi , d’un point M dans un repère barycen-
trique A0 , ..., An sont8 :
hA0 , ..., Ai−1 , M, Ai+1 , ..., An i
xi =
hA0 , ..., An i
Pn Pn
Ecrivons donc M = k=0 xk Ak , avec k=0 xk = 1, il vient :
hA0 , ..., Ai−1 , M, Ai+1 , ..., An i = hA0 , ..., Ai−1 , nk=0 xk Ak , Ai+1 , ..., An i
P
Pn
= k=0 xk hA0 , ..., Ai−1 , Ak , Ai+1 , ..., An i
= xi hA0 , ..., Ai−1 , Ai , Ai+1 , ..., An i
puisque hA0 , ..., Ai−1 , Ak , Ai+1 , ..., An i = 0 quand k 6= i (déterminant ayant deux colonnes
égales) ; ce qui établit l’énoncé.
6
c’est-à-dire étant donnée une base →
−
v1 , ..., −
v→
n de E et O un point de E (c’est-à-dire un repère affine de l’espace
affine E), ces éléments forment une base de l’espace Ê.
7
Par définition même, les termes figurant dans les divers déterminants sont à interpréter comme vecteurs de
n+1
K ou de K n .
8
Les formules ci-dessous présupposent donc qu’une base E de E a été choisie, afin d’exprimer les déterminants
qui y figurent implicitement.
90 Annexe A. Barycentre (par Jean-François Robinet)
Exemple A.3.1. Plaçons-nous dans le cas où E est un plan euclidien orienté ; ici K = R.
Une base orthonormée B = (→ −
e1 , →
−
e2 ) étant fixée (qui définit l’orientation), la surface du carré
défini par ces deux vecteurs est prise pour unité de surface. Etant donnés trois points distincts,
−→ −→
A, B, C non alignés, hA, B, Ci = detB (AB, AC) représente l’aire (réel > 0) du parallèlogramme
dont deux côtés consécutifs sont [AB] et [AC], affecté du signe + ou du signe − suivant que la
−→ −→
base (AB, AC) de E est directe ou non.
Etant donné un repère barycentrique A, B, C c’est-à-dire trois points non alignés, nous
avons, pour tout point M :
formule dont les coefficients s’interprêtent au signe près comme les rapports respectifs des aires
des triangles M BC, AM C, ABM à celle du triangle ABC.
En particulier, quand M est l’isobarycentre du triangle ABC, les triangles M BC, AM C, ABM
ont la même aire.
Exemple A.3.2. Dans un plan euclidien, soient ABC un triangle des poitns A0 ∈ BC, B 0 ∈
CA, C 0 ∈ AB. Nous pouvons alors écrire A0 = λB + λ0 C, B 0 = µC + µ0 A et C 0 = νA + ν 0 B
avec λ + λ0 = µ + µ0 = ν + ν 0 = 1.
Nous avons donc : hA0 , B 0 , C 0 i = hλA + λ0 C, µC + µ0 A, νA + ν 0 Bi ; compte tenu de la
multilinéarité du déterminant, on obtient aisément :
Puisuqe hA0 , B 0 , C 0 i est 2 fois l’aire du triangle A0 B 0 C 0 , on conclut que les points A0 , B 0 , C 0 sont
alignés si et seulement si hA0 , B 0 , C 0 i = 0, ce qui équivaut à :
λµν
= −1
λ0 µ0 ν 0
comme :
λ A0 C µ B0A ν C 0A
= − , = − , = −
λ0 A0 B µ0 B0C ν 0 C 0B
Nous avons démontré que : les points A0 , B 0 , C 0 sont alignés si et seulement si :
A0 C B 0 A C 0 B
=1
A0 B B 0 C C 0 A
c’est-à-dire le théorème de Menelaüs.
Bibliographie
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[TIS] Claude Tisseront, Géométrie affine, projective et euclidienne, Activités scientifiques et
industrielles, Hermann 2001
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1997.
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[PER] Daniel Perrin, Mathématiques d’école, nombres, mesures et géométrie, Cassini 2005.
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91