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    Bacc 1999 CMR

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    Ministère des Enseignements Sécondaires Examen : BAC session 1999

    Office du baccalauréat du Cameroun Series : C et E


    Copie : www.doualamaths.com Epreuve : Mathématiques

    Exercice 1
    Pour tout entier naturel non nul n, on pose An = 32n − 2n et Bn = 32n+1 + 2n+2
    1. Démontrer par récurrence que :
    (a) An est multiple de 7.
    (b) Bn est multiple de 7.
    2. En déduire que les nombres 328 − 214 et 383 + 243 ne sont pas premiers entre eux.
    Exercice 2
    Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (O, −
    →
    u,−
    →
    v ), (
    x0 = y
    on considère l'application f qui au point M (x, y) associe le point M 0 (x0 , y 0 ) tel que
    y0 = x
    On note z l'affixe de M et z 0 l'affixe de M 0 .
    1. (a) Exprimer z 0 en fonction de z.
    (b) Démontrer que f = ros où s est la réflexion d'axe (O; −
    →
    u,−
    →
    v ) et r une rotation affine à
    préciser.
    2. En décomposant r en deux réflexions, démontrer que f est une réflexion et préciser son axe.
    On note g l'application du plan qui a tout point M (x, y) associe le point M 00 (x00 , y 00 ) tel que
    3. (
    x0 = y + 1
    y 00 = x + 1
    On note z l'affixe de M et z 00 l'affixe de M 00
    (a) Exprimer z 00 en fonction de z .
    (b) Déterminer la nature de l'isométrie t telle que g = tof.
    (c) On note K le milieu du segment [M M 00 ],
    démontrer que K appartient à une droite fixe lorsque M parcourt le plan.
    PROBLEME
    Les deux parties A et B sont indépendantes.
    Partie A
    E désigne l'espace affine euclidien de dimension 3 et α un nombre réel strictement positif.
    On considère le carré ABCD de centre O.
    1. Vérifier que O est l'isobarycentre du système A, B, C, D.
    Sur la figure ci-contre (voir ci-dessous), le point E n'appartient pas au plan (ABCD),
    on donne EA = EB = EC = ED = 2α ; AC = BD = α
    2. (a) Démontrer que la droite (EO) est orthogonale au plan ABCD.
    (Sm) désigne l'ensemble des points M de l'espace tels que :
    M A2 + M B 2 + M C 2 + M D2 = mα2
    (b) Déterminer (Sm) suivant les valeurs de m.
    −−→ −−→ −−→
    3. On suppose la droite (EO) orientée par le vecteur OE et l'angle (OB, OC) de mesure π/2 ;
    on note r la rotation d'axe (EO) et d'angle π/2
    Déterminer les images par r des points A, B , C , D et E .
    En déduire que ABCDE est invariant par r.

    DOUALA MATHEMATICAL SOCIETY : www.doualamaths.com/BAC C et E 1999/ CMR Page 1/2


    Partie B
    e−x
    F est la fonction de la variable réelle x définie sur R\{1} par f (x) = ,
    1−x
    C désigne sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan,
    l'unité de longueur sur les axes est le centimètre.
    1. Calculer les limites de f en −∞, en +∞, à gauche et à droite du point 1,
    puis la dérivée de f .
    En déduire le tableau de variation de f .
    2. Préciser les branches infinies de f et tracer C
    3. On se propose de déterminer un encadrement de l'aire a de la partie du plan comprise entre
    l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, C et la droite d'équation x = 0, 5.
    1 x2
    (a) Vérifier que pour tout x ∈ [0; 0, 5] , =1+x+
    1−x 1−x
    Z 0,5 −t Z 0,5 Z 0,5 2 −t
    e t e
    (b) En déduire que dt = (1 + t)e−t dt + dt
    0 1−t 0 0 1−t
    2
    4. (a) Démontrer que, pour tout x ∈ [0; 0, 5], 1 ≤ f (x) ≤ √
    e
    Z 0,5 2 −t
    1 t e 1
    (b) En déduire que ≤ dt ≤ √
    24 0 1−t 12 e
    5. En déduire que :
    Z 0,5
    (a) A l'aide d'une intégration par parties, calculer (1 + t)e−t dt
    0
    (b) Déduire des questions précédentes un encadrement de a.

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