ENSTP le 05 décembre 2015

Devoir surveillé d’analyse

Durée 1h30
Exercice 1 (7points) Soient A et B deux parties non-vides et bornées de R+ : On pose

E = x2 + y 2 tel que x 2 A et y 2 B

1. (a) Donner la dé…nition d’un majorant d’une partie de R:

(b) Donner une caractérisation de la borne supérieure d’une partie de R
2. Montrer que E est une partie bornée de R
2 2
3. Montrer que sup E = (sup A) + (sup B)

Exercice 2 (7points)
1. Ecrire sin t et cos t en fonction tan 2t
p
4x2 +1 1
2. Soit la fonction f (x) = arctan 2x

(a) Donner le domaine de dé…nition de f

(b) Calculer lim f (x) et lim f (x)
x!+1 x! 1
1
(c) Montrer que f (x) = 2 arctan(2x)
(d) Montrer que le graphe ( ) de f n’admet pas de tangente parllèle à la droite d’équation y = x
1
(e) Montrer que ( ) coupe la droite y = 2 en un seul point x0
1
(f) Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque f sur un domaine à déterminer D
puis calculer f 1

Exercice 3 (7points) Soit la suite (un )n2N dé…nie par:

u0 = 1
un+1 = 21 un + 2u3n ; n 2 N

1. On suppose que (un ) est convergente quelle serait sa limite?

2. Montrer que 8n 1 : un 1>0
3. Etudier la monotonie de f puis en déduire sa limite.

1
 Correction du partiel
Exercice 1
1. (a) Soit A une partie non vide de R: M est un majorant de A si:

M 2 R; (8x 2 A : x M)

(b) Caractérisation de la borne supérieure de A.

8x 2 A : x M
M = supA ()
R 8" > 0; 9x" 2 A tel que M " < x" M

2. E bornée: notons m1 et M1 ( resp. m2 ; M2 ) un minorant et un majorant de A (resp. de B), donc:

8x 2 A : 0 m1 x M1 =) m21 x2 M12
8y 2 B : 0 m2 y M2 =) m22 y2 M22

d’où 8z 2 E; 9 (x; y) 2 A B tel que

z = x2 + y 2 =) m21 + m22 z M12 + M22

en déduit alors que m21 + m22 est un minorant de E et M12 + M22 est un majorant de E:
2 2
3. - Montrons que: sup E = (sup A) + (sup B) : sup A et sup B existent et de (2.) nous avons
2 2
8z 2 E : z (sup A) + (sup B)

d’où
2 2
sup E (sup A) + (sup B) (1)
- D’autre part
8z 2 E : z sup E
d’où
(8x 2 A) ; (8y 2 B) ; 9z 2 E tel que x2 + y 2 = z sup E
donc
h p i p
8x 2 A : x sup E y 2 pour tout y 2 B =) sup A sup E y 2 , (8y 2 B)
2
=) (sup A) sup E y 2 , (8y 2 B)

de même
q q
2 2
(8y 2 B) : y sup E (sup A) =) sup B sup E (sup A)
2 2
=) (sup B) + (sup A) sup E (2)

de (1) et (2) nous avons le résultat.

2
Exercice 2
1. On a
t t
2 sin 2 cos 2 2 tan 2t
sin t = =
sin2 t
2 + cos2 t
2
1 + tan2 t
2
et
cos2 t
2 sin2 t
2 1 tan2 t
2
cos t = =
sin2 t
2 + cos2 t
2
1 + tan2 t
2

2. (a) La fonction x ! arctan x est dé…nie sur R; donc f est dé…nie sur R
(b)
r !
1 1
lim f (x) = lim arctan 1+ = arctan 1 =
x!+1 x!+1 2x 2x 4
r !
2 jxj 1 1
lim f (x) = lim arctan 1+ 2
x! 1 x! 1 2x 4x 2x
r !
1 1
= lim arctan 1+ 2 = arctan( 1) =
x! 1 4x 2x 4

(c) On pose
x = 21 tan t et x 2 R t = arctan 2x et x 2 R
()
t2 2 ; 0 [ 0; 2 t2 2 ; 0 [ 0; 2
En portant dans l’expression
p p
4x2 + 1 1 tan2 t + 1 1 1 cos t
= =
2x tan t sin t
De (1.) on a:
1 tan2 t

1 cos t 1 1+tan2
2
t t
2
= = tan
sin t 2 tan( 2t ) 2
1+tan2 ( 2t )

En portant dans f (x)

arctan 2x
f (x) = arctan tan
2
1
= arctan 2x
2
(d) La dérivée
1
f 0 (x) = > 0; 8x 2 R
1 + 4x2
l’équation f 0 (x) = 1 n’a pas de solution. Donc f ne peut avoir une tangente parallèle à la droite
d’équation y = x (deux droites parallèles ont le même coe¢ cient directeur= 1)
- Par un calcul simple on
1 1 1
arctan 2x = , x0 = arctan 1 =
2 2 2 8
- On peut utiliser aussi le théorème de valeurs intermédiaires: f est continue sur R+ et
(
lim f (x) 21 = 4 1
2 >0 1
x!+1
=) 9x0 2 R+ =f (x) =
lim f (x) 21 = 0 12 < 0 2
x!0

x0 est unique car f est strictement croissante.

3
 (e) La fonction f est continue et strictement croissante sur chaque intervalle ] 1; 0[ et ]0; +1[ et
prend respectivement ses valeurs dans 2 ; 0 et 0; 2 : La fonction f est donc bijective sur
chaque intervalle. Elle admet une fonction réciproque f 1 dé…nie respectivement sur 2 ; 0 et
0; 2 :
Expression de f 1 : On pose y = f 1 (x)
1 1 1
x= arctan 2y () f (x) = tan x
2 2

Exercice 3 (7points) Soit la suite (un )n2N dé…nie par:

u0 = 1
un+1 = 12 un + 2u3n ; n 2 N

1. Si la suite (un )n2N est convergente sa limite véri…e

l 3 p
l= + =) l2 3 = 0 =) l = 3
2 2l
La racine négative est rejetée car la suite est à termes positifs.
2.
1 3
un 1 = un 1 + 2
2 2un 1
2
u2n 1 + 3 2un 1 (un 1 1) + 1
un 1 = = >0
2un 1 2un 1

d’où le résultat.
4.
1 3
un+1 un = un + un
2 2un
1
= 3 u2n
2un
1 p p
= 3 un 3 + un < 0
2un
car p
p p 1 3 un 1 3
3 un = 3 un 1+ = <0
2 2un 1 2un 1
p
la suite (un )n2N est décroissante et minorée donc convergente et lim un = 3
n!+1