Calcul intégral

Notations du chapitre — Dans tout ce chapitre, I est un intervalle de R non vide II — Intégrale d’une fonction continue
et non réduit à un point.

I — Primitive d’une fonction Définition 2.1 — Intégrale d’une fonction continue

Soit (a, b) ∈ I 2 , f : I −→ R une fonction continue et F une de ses primitives.
Définition 1.1 — Primitive d’une fonction
Le réel F (b) − F (a) ne dépend pas de la primitive choisie, on l’appelle intégrale
Soit f : I −→ R et F : I −→ R.
de f entre a et b et on le note
On dit que F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et si
Z b Z b
 b
f = f (x) d x = F (x) a = F (b) − F (a)
déf.
0
∀x ∈ I, F (x) = f (x).
a a

Théorème 1.2 — Structure de l’ensemble des primitives

Théorème 2.2 — Théorème fondamental de l’Analyse
Soit f : I −→ R. Si f admet une primitive F0 , alors l’ensemble des primitives de f
Soit f une fonction continue sur I et a ∈ I.
est {F0 + λ avec λ ∈ R}.
La fonction
Fa : I −→ R
Rx
Théorème 1.3 — Unicité d’une primitive x 7−→ a f
Soit f : I −→ R admettant une primitive. Soit x 0 ∈ I et y0 ∈ R. est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
Il existe une unique primitive F de f telle que F (x 0 ) = y0 .
Soient deux réels a et b quelconques, f une fonction continue définie entre a et
b. Soit les points A(a, 0), B(b, 0), B 0 (b, f (b) et A0 (a, f (a)).
Théorème 1.4 — Existence d’une primitive d’une fonction continue Le domaine orienté I f est délimité par le segment [AB], puis le segment [BB 0 ]
Soit f : I −→ R une fonction continue sur I. puis la portion de la courbe représentative de f comprise entre B 0 et A0 et enfin
Alors f admet une primitive sur I. par le segment [A0 A].
 y
Corollaire 3.2 — Soit n ∈ N∗ , (a, b) ∈ R, f : [ a ; b ] −→ R une fonction conti-
A0 nue et (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ [ a ; b ]n .
n−1 Z
X x k+1 Z xn
On a f = f
B0 k=1 xk x1

Propriété 3.3 — Linéarité de l’intégrale

O A B x Soit f et g deux fonctions continues définies sur I admettant pour primitives respec-
tivement F et G :
Figure I.1 — Aire d’un domaine défini à partir d’une fonction.
• F + G est une primitive de f + g sur I, et donc
Par définition l’aire algébrique du domaine I f est l’intégrale entre a et b de f : Z b Z b Z b
Z b ( f + g) = f + g


A If = f a a a
a
• si λ ∈ R alors λ F est une primitive de λ f sur I, et donc
Z b Z b
III — Propriétés de l’intégrale λf =λ f
a a

Propriété 3.1 — Relation de Chasles

Soit f : I −→ R une fonction continue et a, b et c trois points de I. Corollaire 3.4 — Soit ( f k )1¶k¶n n fonctions continues sur I.
n Z
X b Z bX
n
Z c Z b Z b On a fk = fk
f + f = f k=0 a a k=0
a c a
Z a Z b Z a
f =0 et f =− f Propriété 3.5 — Positivité de l’intégrale
a a b
Soit f : I −→ R une fonction continue et (a, b) ∈ I 2 .
Z b
Si a ¶ b et si f est positive alors f ¾ 0.
a
 Rb
Si, de plus a
f = 0 alors f est nulle entre sur [ a ; b ]. Propriété 4.3 — Soit f : I −→ R, J un intervalle de R et u : J −→ I.
Si f et u sont de classe C 1 alors la fonction ϕ : J −→ R admet pour
0 0
x 7−→ u (x) f (u(x))
Corollaire 3.6 — « Croissance » de l’intégrale primitive la fonction f ◦ u.
Soit f : I −→ R et g : I −→ R deux fonctions continues.
Rb Rb
Si a ¶ b et si f ¶g alors a
f ¶ a
g. Théorème 4.4 — Changement de variables – I
Soit (a, b) ∈ I 2 , u une fonction de classe C 1 de I dans R et f une fonction définie
sur l’intervalle u 〈I〉. On a l’égalité
Proposition 3.7 — Soit f : I −→ R une fonction continue et (a, b) ∈ I 2 .
Z b Z u(b)
0
f (u(t)) u (t) d t = f (x) d x
Z  Z
 b  b
f¶ |f |
 
 a u(a)
 a  a

Théorème 4.5 — Changement de variables – II

IV — Méthodes de calcul d’intégrales Soit (a, b) ∈ I 2 , f une fonction continue sur I. Soit u une fonction définie sur [ a ; b ],
de classe C 1 sur cet intervalle et strictement monotone. On a alors
Propriété 4.1 — Utilisation du formulaire Z b Z u−1 (b)

Soit u une fonction de classe C 1 sur I, qui ne s’annule pas sur cette intervalle. On a f (t) d t = f (u(x)) u0 (x) d x
a u−1 (a)
alors
• un+1 est une primitive de −(n + 1)u0 un sur I (avec n 6= −1) ;
Proposition 4.6 — Soit f : I −→ R une fonction continue.
• 1/u est une primitive de −u0 /u2 sur I ; Rα Rα
• Si f est paire et si [−α ; α] ⊂ I alors −α f = 2 0 f ;
• ln |u| est une primitive de u0 /u sur I. Rα
• si f est impaire et si [−α ; α] ⊂ I alors −α f = 0 ;

Théorème 4.2 — Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions de classe C 1 sur I et (a, b) ∈ I 2 .
Z b Z b
0
b
u0 v

uv = uv a
−
a a
 n−1 •  ‹
k+1
 ‹˜
V — Calcul approché d’intégrale 1X1 k
Figure I.3 — Méthode des trapèzes Sn = f +f
y n 2 n n
k=0
Cf

Définition 5.2 — Valeur moyenne d’une fonction

Soit f : [ a ; b ] −→ R une fonction continue, avec a < b. Par définition la valeur
moyenne de f est le réel
Z b
1
valeur moyenne de f =
déf.
f
O x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x n x b−a a
a b
n−1  ‹ Théorème 5.3 — Somme de Riemann à gauche
1X k
Figure I.2 — Méthode des rectangles à gauche : Sn = f
n n Soit f : [0 ; 1] −→ R une fonction continue.
k=0
n−1  ‹ Z1
1X k
f −−−−→ f
n n n→+∞ 0
Proposition 5.1 — k=0
Z b
lim Sn = f (t) d t
n→+∞
a Théorème 5.4 — Somme de Riemann à droite
Soit f : [0 ; 1] −→ R une fonction continue.
y
Cf n  ‹ Z1
1X k
f −−−−→ f
n n n→+∞ 0
k=1

O x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x n x
a b