Dérivée d’une fonction

1. Définition — On dit que f admet un extremum local en x 0 si f admet un maxi-

mum local ou un minimum local en ce point.
Dérivée en un point
Soit I un intervalle ouvert de R et f : I → R une fonction. Soit x 0 ∈ I. f Théorème. Soit I un intervalle ouvert et f : I → R une fonction dérivable. Si
est dérivable en x 0 si la limite suivante existe : f admet un maximum local (ou un minimum local) en x 0 alors f ′ (x 0 ) = 0.
En d’autres termes, un maximum local (ou un minimum local) x 0 est tou-
f (x) − f (x 0 ) jours un point critique. Géométriquement, au point (x 0 , f (x 0 )) la tangente
f ′ (x 0 ) = lim
x→x 0 x − x0 au graphe est horizontale.
La réciproque du théorème est fausse. Par exemple la fonction f : R → R,
Proposition. Si f est dérivable en x 0 alors f est continue en x 0 . définie par f (x) = x 3 vérifie f ′ (0) = 0 mais x 0 = 0 n’est ni maximum local
La réciproque est fausse : par exemple, la fonction valeur absolue est conti- ni un minimum local.
nue en 0 mais n’est pas dérivable en 0. Théorème (Théorème de Rolle). Soit f : [a, b] → R telle que
Tangente Une équation de la tangente au point (x 0 , f (x 0 )) est : — f est continue sur [a, b],
— f est dérivable sur ]a, b[,
y = (x − x 0 ) f ′ (x 0 ) + f (x 0 ) — f (a) = f (b).
Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f ′ (c) = 0.
2. Calculs des dérivées Interprétation géométrique : il existe au moins un point du graphe de f où
la tangente est horizontale.
(u + v)′ = u′ + v ′ (λu)′ = λu′ (u × v)′ = u′ v + uv ′

 ‹′
4. Théorème des accroissements finis
1 u′  u ′ u′ v − uv ′
=− 2 = Théorème (Théorème des accroissements finis). Soit f : [a, b] → R une
u u v v2
fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Il existe c ∈ ]a, b[ tel que

Dérivée de fonctions usuelles

f (b) − f (a) = f ′ (c) (b − a)

Fonction Dérivée Fonction Dérivée

n n−1 n ′ n−1 A
x nx (n ∈ Z) u nu u (n ∈ Z)
1 ′
x − x12 1
u − uu2
p 1 p1 p u′
1 p
B
x 2 x u 2 u

xα αx α−1 (α ∈ R) uα αu′ uα−1 (α ∈ R)

x x u ′ u
e e e ue
1 u′ a c b
ln x x ln u u

cos x − sin x cos u −u′ sin u

Interprétation géométrique : il existe au moins un point du graphe de f où
sin x cos x sin u u′ cos u
la tangente est parallèle à la droite (AB) où A = (a, f (a)) et B = (b, f (b)).
1 u′
tan x 1 + tan2 x = cos2 x
tan u u′ (1 + tan2 u) = cos2 u Corollaire. Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur [a, b] et dérivable
sur ]a, b[.
Composition
1. ∀x ∈]a, b[ f ′ (x) ⩾ 0 ⇐⇒ f est croissante ;

′
g ◦ f (x) = g f (x) · f ′ (x)′
f ′ (x) ⩽ 0


2. ∀x ∈]a, b[ ⇐⇒ f est décroissante ;
3. ∀x ∈]a, b[ f ′ (x) = 0 ⇐⇒ f est constante ;
Corollaire. Soit I un intervalle ouvert. Soit f : I → J dérivable et bijective ′
4. ∀x ∈]a, b[ f (x) > 0 =⇒ f est strictement croissante ;
dont on note f −1 : J → I la bijection réciproque. Si f ′ ne s’annule pas sur I
alors f −1 est dérivable et on a pour tout x ∈ J : 5. ∀x ∈]a, b[ f ′ (x) < 0 =⇒ f est strictement décroissante.
La réciproque au point (4) (et aussi au (5)) est fausse. Par exemple la fonc-

′ 1
f −1 (x) =
tion x 7→ x 3 est strictement croissante et pourtant sa dérivée s’annule en
f ′ f −1 (x)
0.
Corollaire (Inégalité des accroissements finis). Soit f : I → R une fonction
Il peut être plus
simple de retrouver la formule à chaque fois en dérivant dérivable sur un intervalle I ouvert. S’il existe une constante M telle que pour
l’égalité f g(x) = x où g = f −1 est la bijection réciproque de f . tout x ∈ I, f ′ (x) ⩽ M alors
Théorème (Formule de Leibniz).

(n) n  ‹
X n ∀x, y ∈ I f (x) − f ( y) ⩽ M |x − y|
f ·g = f (n−k) · g (k) .
k=0
k
Exemple : | sin x| ⩽ |x| pour tout x ∈ R. Preuve : Soit f (x) = sin(x).
Pour n = 1 on retrouve ( f · g) = f g + f g ′ . Pour n = 2, on a ( f · g)′′ =
′ ′
Comme f ′ (x) = cos x alors | f ′ (x)| ⩽ 1 pour tout x ∈ R. L’inégalité des ac-
f ′′ g + 2 f ′ g ′ + f g ′′ .
croissements finis s’écrit alors | sin x − sin y| ⩽ |x − y|. On conclut en fixant
y = 0.
3. Extremum local, théorème de Rolle
Corollaire (Règle de l’Hospital). Soient f , g : I → R deux fonctions déri-
Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalle I. vables et soit x 0 ∈ I. On suppose que
— On dit que x 0 est un point critique de f si f ′ (x 0 ) = 0. — f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0,
— On dit que f admet un maximum local en x 0 (resp. un minimum — ∀x ∈ I \ {x 0 } g ′ (x) ̸= 0.
local en x 0 ) s’il existe un intervalle ouvert J contenant x 0 tel que

pour tout x ∈ I ∩ J f (x) ⩽ f (x 0 ) f ′ (x) f (x)

Si lim = ℓ (∈ R) alors lim = ℓ.
x→x 0 g ′ (x) x→x 0 g(x)
(resp. f (x) ⩾ f (x 0 )).