Résumé : fonctions élémentaires

Définition d’une fonction • Définition par parties :


2 si x > 1
Notation et représentation graphique x

f (x) = −x si − 1 ≤ x ≤ 1

 3
Une fonction est une règle donnant au plus un élément f (x) d’un x si x < −1
ensemble B associé à chaque élément x de A. Notation : f : A → B.

f Composition de fonctions
A B
Si f : A → B et g : B → C, on définie la composition f ◦ g de f et
x f (x) g comme la fonction définie en appliquant d’abord g et ensuite f :
a 1 f ◦ g(x) = f (g(x)).
b 2
c f g
3 A B C
d
x f (x) g( f (x))
Le plus souvent dans les cours du collégial, A et B sont des en- a 1 1
sembles de nombres réels ou de vecteurs R, R2 , R3 , etc. Les
b 2 2
fonctions f : R → R sont appelée fonctions réelles. Les fonctions
réelles sont habituellement représentées par leur graphe. c 3 3

Le graphe d’une fonction f : R → R est l’ensemble des points de d 4

la forme (x, f (x)).

Fonctions inverses

(x, f (x)) Deux fonctions f et g sont inverses l’une de l’autre si

f (x)
f ◦ g(x) = x et g ◦ f (x) = x.
x
On dénote la fonction inverse de f par f −1 .
Les fonctions inverses satisfont l’équivalence
Domaine
f (x) = y ⇐⇒ x = f −1 (y).
Le domaine d’une fonction f : A → B est l’ensemble des x ∈ A où
f (x) est défini. Notation : Si y = f (x), on trouve donc f −1 en isolant x en fonction de y (si
cela est possible) et en échangeant les x pour des y.
dom( f ) = {a | f (a) est défini}.
y−1
y = 2x + 1 ⇐⇒ x =
2
Conditions déterminant le domaine des fonctions élémentaires :
Donc f (x) = 2x + 1 a comme fonction inverse f −1 (x) = x−1
2 .
A
÷0

 B défini ⇐⇒ B , 0
f −1 trouvé de cette manière n’est pas nécessairement une fonc-
√  √
n tion. Il faut souvent limiter f −1 sur un domaine adéquat pour en
< 0
 A défini ⇐⇒ n impair ou n pair et A ≥ 0
faire une fonction.
log(≤
  0) logb (A) défini ⇐⇒ A > 0 Le graphe de la fonction inverse d’une fonction f est sa réflexion
par la droite y = x (qui a pour effet d’échanger x et y).
Différentes manières de définir une fonction
(x, f (x))
f (x)
• Définition par une équation : y = x2 .
• Définition implicite par une équation : x2 − y = 0.
• Définition en donnant l’effet de la fonction f (x) = x2 ou encore x
x 7→ x2 .
Quelques fonctions inverses (C = constante) Discriminant ∆ = ba − 4ac
Orientation 

∆>0
y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y)
 



a > 0

 

 


 

y = x +C ⇐⇒ x = y −C 
 

∆=0
y a<0
y = Cx ⇐⇒ x = 
 
C  

√

 

y = x2 ⇐⇒ x = y
 
(x ≥ 0) 

a=0 fonction linéaire !



 ∆<0
y = bx ⇐⇒ x = logb (y)



y = ex ⇐⇒ x = ln(x)
Si on connait trois points différents sur une parabole (en comptant
y = sin(x) ⇐⇒ x = arcsin(y) (−π/2 ≤ x ≤ π/2)
le sommet pour deux), on peut déterminer tous les paramètres (et
y = cos(x) ⇐⇒ x = arccos(y) (0 ≤ x ≤ π) donc une fonction unique).
y = tan(x) ⇐⇒ x = arctan(y) (−π/2 < x < π/2)
Fonctions polynomiales quelconques

Forme générale : f (x) = P(x), où P(x) est un polynôme. Domaine :

dom( f ) = R.
Fonctions polynomiales
f (x) = x3 P(x), deg(P) = 3

Fonctions linéaires
x x
Forme générale :

f (x) = ax + b
(x2 , y2 )
(x1 , y1 ) Passant par le point (x0 , y0 ) et de P(x), deg(P) = 4
∆y
pente a : f (x) = x4
∆x
b f (x) = a(x − x0 ) + y0

Ordonnée à l’origine : b = f (0) x

∆y y2 − y1 x
Pente : a = =
∆x x2 − x1

Zéros et extrémums.
a>0 a=0 a<0 • f (x) peut avoir jusqu’à deg(P) zéros.

• f (x) peut avoir jusqu’à deg(P) − 1 extremums.

Fonctions rationnelles
P(x)
Forme générale : f (x) = , où P(x) et Q(x) sont des poly-
Q(x)
Fonctions quadratiques nômes. dom( f ) = {x ∈ R | Q(x) , 0}, asymptote ou discontinuité
non essentielle à chaque x < dom( f ).
Forme polynomiale Les zéros de f (x) sont les zéros de P(x) qui sont dans dom( f ).
2
f (x) = ax + bx + c 1/x
1/x2
Forme canonique

x1 x2 f (x) = a(x − h)2 + k

c = f (0) x
Forme factorisée
(h, k) x
f (x) = a(x − x1 )(x − x2 )

2
 (x + 1)/(x2 − 1) (x + 2)/(x2 − 1) logb (x), b > 1 logb (x), 0 < b < 1

x
x x 1
1 x

Fonctions trigonométriques
Fonctions algébriques
f (x) = sin(x), dom(sin) = R g(x) = cos(x), dom(cos) = R
sin(x)
Fonctions que l’on peut définir à l’aide des opérations +,−,× et ÷, tan(x) = cos(x) , dom(tan) = R \ {(2k + 1) π2 | k ∈ Z}
ainsi que des exposants fractionnaires. Toutes les fonctions ration-
nelles sont algébriques. Ce sont les fonction que l’on obtient en
isolant y dans des équations polynomiales de la forme P(x, y) = 0. 1 sin(x)

Pour déterminer le domaine d’une fonction algébrique, il faut uti-

x
liser les deux faits suivants : − π2 π
4
π
2
π 3π
2
2π
−1 cos(x)
A
• B est défini ssi B , 0
√n
• A est toujours défini si n est impair, ou est défini ssi A ≥ 0 2π
tan(x)
si n est pair.
√
3
√ x
x x
− π2 − π2 π π 3π 2π
2 2

x
x
Fonctions sinusoïdales

Forme générale :

Fonctions transcendantes f (x) = A sin(ω(x − h)) + k Déphasage temporel

= A sin(ωx + φ ) + k
Une fonction transcendante est une fonction qui n’est pas algé- Déphasage angulaire
brique. dom(sin) = R

Amplitude : A Déphasage (temps) : h = − ωφ

Fonctions exponentielles
Vitesse angulaire ω Déphasage (angle) : φ = −ωh
Forme générale : f (x) = Abx + k, dom( f ) = R Période : T = 2π
ω

bx , b > 1 bx , b < 1

A A sin(a(x − h))

1 1 A
φ
x h x
x −A

Fonctions logarithmiques
Fonctions définies par morceaux
Forme générale : f (x) = A logb (x−a)+C (b > 0, b , 1), dom( f ) =
{x | x − a > 0} Valeur absolue

3
 ( Translation verticales et horizontales
x si x ≥ 0
|x| =
−x si x < 0 Translation verticale de k :

g(x) = f (x) + k Translation horizontale de h :

Propriétés de fonctions g(x) = f (x − h).

g(x)
f (x)
Périodique (période T ) f (x + T ) = f (x) (ex : sin(x)) f (x)
g(x)

Paire f (−x) = f (x) (ex : x2 , cos(x)) h

k x
Impaire f (−x) = − f (x) (ex : x3 , sin(x)) x

Transformation du graphe d’une fonction

Changements d’échelles

Symétries Facteur b horizontal : Facteur a vertical :

x
g(x) = f g(x) = a f (x).
b
Symétrie par rapport à Symétrie par rapport à
l’axe des x g(x) = − f (x) l’axe des y g(x) = f (−x)
f (x) f (x)
f (x) f (x)

g(x)
g(x)
x x x x

g(x) g(x)