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Chapitre 4) Compléments sur la dérivation

L1) Rappels
A. Dérivabilité et fonction dérivée
Définitions : Taux d'accroissement, Nombre dérivé, Fonction dérivée
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R.
Soit a et h deux réels tels que a et a + h appartiennent à I.
f ( a + h) − f ( a)
1) Le taux d'accroissement de f en a est la fonction τ a (h) =
h

2) On dit que f est dérivable en a lorsque le taux de variation de f en a tend vers un unique
nombre réel, lorsque h tend vers 0.
Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en a et se note f ′(a) .
f ( a + h) − f ( a)
f ′(a) = lim
h→0 h

3) La fonction f est dérivable sur l'intervalle I si f est dérivable en tout réel x de I.

La fonction f' : x → f '(x) définie sur I est appelée la fonction dérivée de f sur I.

f ( x) − f (a)
Remarque : Si f est dérivable en a, en posant x = a+h on a aussi : f'(a) = lim
x→ a x−a
Exemple :
La fonction définie sur R par f(x) = x ² + 1 est dérivable en a = 2 car pour tout réel h non nul on a :
2 2 2 2
f ( 2 + h) − f (2) (2 + h) + 1 − ( 2 + 1) 4 + 4h + h − 4 4h+ h
τ 2 ( h) = = = = =4+h
2+ h− 2 h h h
Or lim τ2 (h) = lim ( 4+ h) = 4 . Donc f'(2) = 4
h→0 h→ 0

Remarque : Une fonction peut être définie en a mais non dérivable en a.

Par exemple, la fonction racine carrée est définie en 0, mais n’est pas dérivable en 0..
lim τ 0 (h) = lim
√ 0+ h− √ 0 = lim √ h = lim 1 = + ∞
h→0 h→0 h h→ 0 h h→ 0 √ h

B. Applications de la dérivation
Propriété 1 : Tangente en un point à une courbe
Soit f une fonction dérivable en a et Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.
Une équation de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse a est :
y = f '(a)( x − a ) + f(a) .

Propriété 2 : Signe de la dérivée f'(x) et variations de f

Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de R.
 Si f' est strictement positive sur I (sauf éventuellement en un nombre fini de points où
elle s’annule), alors f est strictement croissante sur I.
 Si f' est strictement négative sur I (sauf en un nombre fini de points où elle s’annule), alors f
est strictement décroissante sur I.
 Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Propriété 3 : Extremums locaux et zéros de la dérivée
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R et a ∈ I.
 Si f admet un extremum local en a, alors f'(a) = 0.
 Si f ′ s’annule et change de signe en a, alors f admet un extremum local en a.

f ′ est strictement positive sauf en 2 où elle

s’annule sans changement de signe
Alors f est strictement croissante sur R, elle n'a pas
d'extremum en 2.

C. Calcul de dérivées
Propriété 4 : Dérivées des fonctions usuelles
On désigne par D f l’ensemble de définition de la fonction f .
Toutes les fonctions du tableau sont dérivables sur Df à l’exception de la fonction racine carrée
qui n’est pas dérivable en zéro.
Fonction Domaine de Domaine de
définition dérivabilité Fonction dérivée
Fonction constante f ′( x ) = 0
ℝ ℝ
f(x) = c pour tout x réel
Fonction affine f ′( x ) = a
ℝ ℝ
f(x) = a x + b (a≠0) pour tout x réel
Fonction carrée f ′( x ) = 2 x
ℝ ℝ
f(x) = x² pour tout réel x
Fonction inverse
1
1 ℝ* = ℝ\ {0} ℝ* f'(x) = –
f(x) = x²
x

Fonction racine carrée 1

[0 ; + ∞[ ]0 ; + ∞[ f ′(x) =
f(x) = √ x 2√x

Fonction puissance ℝ si n positif ℝ si n positif n–1

f ′(x) = n x
entière : f(x) = x n ℝ* si n négatif ℝ* si n négatif

Propriété 5 : Opérations sur les fonctions dérivées

Soit un réel k et deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I.
 Les fonctions u + v, ku et uv sont dérivables sur I.
 Les fonctions 1/v et u/v sont dérivables sur I sauf là où v s’annule.

Les fonctions polynomiales sont dérivables sur R.

Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur domaine de définition.
 L2) Dérivées des fonctions composées
Théorème :
Soit u une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans J et v une fonction définie sur J.

u v
x I y = u(x) J v(y)

f = v o u : x –--> v( u(x) )
Si u est dérivable sur I et v est dérivable sur J, alors la fonction v∘u définie par (v ∘u)(x) = v(u(x) )
est dérivable sur I et sa dérivée s’écrit, pour tout x  I :
( v ∘u)' (x) = u '(x)× v '( u(x) ) .
Sans démonstration !
Propriété 1 : Dérivée de x → v( ax + b )
Soit deux réels a et b. Si u(x)= ax + b est une fonction affine sur I, alors la fonction f : x → v(ax + b)
est dérivable pour les x ∈ I tels que (ax + b ) ∈ J et
f ' ( x) = u '( x) × v ' ( ax + b) = a × v ' ( ax + b)

u( x)
Propriété 2 : Dérivée de f ( x) = e
u( x) '
f ' ( x) = ( e ) = u '( x) × eu (x )
3 x+ 5
Exemple 1 : Si f ( x) = e on a le schéma de composition : f(x) = exp(u(x)) où u(x) = 3x+5.
u( x) '
Alors f ' ( x) = ( e ) = (3 x+5) ' × e3 x + 5 = 3 × e3 x+ 5

Propriété 3 : Dérivée de f ( x) = √ u( x)
' u '( x)
Si u est une fonction strictement positive sur I, alors : f ' ( x) = ( √ u( x) ) =
2 √ u( x)
Exemple 2: Si f ( x) = √ x ² + 9 x+7 on a le schéma de composition : f = v o u où
u(x) = y = x² + 9x + 7 et v ( y)= √ y
' 1 2 x +9
Alors f ' ( x) = u '( x)× ( √ y ) = ( x ²+ 9 x+7) ' × =
2√ y 2 √ x ² +9 x+ 7

n −n
Propriété 4 : Dérivée de f ( x) = ( u ( x) ) et g( x) = ( u( x) )
Soit n ∈ N* . Si u est dérivable sur I alors :
n '
La fonction u n est dérivable sur I et (un)' = n x u' x u n – 1 : ( ( u( x) ) ) = n × u ' ( x) × u
n−1
( x)

La fonction u – n est dérivable sur I sauf là où u s’annule et ( u– n )' = − n x u' x u– n – 1

−n '
( ( u( x) ) ) = −n × u '( x) × u −n−1
( x)
4
Exemple 3: Si f ( x) = ( 3 x−5 ) on a le schéma de composition : f = v o u où
4
u(x) = y = 3x – 5 et v ( y)= y
4 ' 3 3 3
f ' ( x) = u '( x)× ( y ) = (3 x−5) ' × 4 y = 3 × 4 (3 x−5) = 12(3 x−5)
Démonstrations :
* Théorème : Étudier la limite du taux de variation de f = v ◦ u au voisinage d’un point a ∈ I
avec x ≠ a et u ( x ) ≠ u ( a ) .

* Preuve P1 : ( v (ax + b)) ' = a × v '( ax + b)

Soit v dérivable sur I et deux réels a et b tels que pour tout x ∈ I, u(x) = ax + b ∈ J.
• Si a = 0, alors f(x) = v(u(x)) = v(b) est constante et on a bien f '(x) = 0 = 0 × v '(b) .
• Soit a ≠ 0. La fonction v est dérivable sur J donc pour tous y ∈ J et H réel tels que ( y + H ) ∈ J :
v ( y+ H ) − v ( y )
v '( y) = lim .
H→0 H
Posons y = ax + b et H = ah. Alors h tend vers 0 (vu que H tend vers 0 et que a ≠ 0). Ainsi :
v ( ax+ b+ ah) − v ( ax+b) v ( a( x+h)+b) − v ( ax+ b) 1 f ( x+ h)− f ( x) 1
v '( ax+b) = lim =lim = lim = f '( x)
H →0 ah h→ 0 ah a h→0 h a
' u '( x)
Preuve P3 : ( √ u ( x) ) =
2 √ u ( x)

( √ u ( x) )
'
= lim
√ u( x+ h) − √ u( x) = lim ( √ u( x+h) − √ u( x) ) ( √ u ( x+ h) + √ u( x) )
h →0 h h→ 0
h ( √ u( x+ h) + √ u ( x) )
( u( x+ h) − u ( x) ) ( u ( x+ h) − u ( x) ) 1 u '( x)
= lim = lim × =
h→0
h ( √ u( x +h) + √ u ( x) ) h→0 h √ u( x+h) + √ u( x) 2 √ u ( x)

n '
Preuve P4 : ( ( u( x) ) ) = n × u ' ( x) × u
n−1
( x)
Par récurrence.
MÉTHODE Dériver une fonction composée
Ex 1) Déterminer les ensembles de définition D et de dérivabilité D' de f , puis calculer f '( x ) .

Exercices : Calculer la dérivée d’une fonction composée : Page 155 ex 53 à 60

Solutions
Ex 1) Déterminer les ensembles de définition D et de dérivabilité D' de f , puis calculer f '( x ) .

1)  f est de type f ( x) = √ u( x) avec u(x) = x² – x – 2.

 u(x) est un trinôme de degré 2, de racines – 1 et 2 => u(x) ≥ 0 si x ≤ – 1 ou x ≥ 2
⇒ f est définie sur D =] − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 2 ; + ∞ [ .
 Comme f ( x) = √ u( x) est dérivable sur D sauf là où u s'annule alors D'= ] − ∞ ; − 1 [ ∪ ] 2 ; + ∞ [ .
u '( x) 2x–1
 On a u'(x) = 2x − 1 d’où f ' ( x) = =
2 √ u( x) 2√x ² – x – 2
3 x−1
2)  f est du type u² avec u( x) =
2 x−4
 u est définie sur R \{2} donc f est définie et dérivable sur D = R\{2} .
3(2 x−4 )−2( 3 x−1) −10
 u '( x) = 2
=
( 2 x−4) (2 x−4)2
−10 3 x−1 20(3 x−1)
Alors f ' ( x) = 2 × u '( x) × u2−1 ( x) = 2 × 2
× =−
(2 x− 4) 2 x−4 (2 x− 4)3
1
3) f ( x) = 3
 f est du type u − 3 avec u( x) = √ x−1 .
( √ x−1)
 u est définie sur [ 0 ; + ∞ [ et f aussi sauf là où u s’annule => D = [ 0 ; 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞ [ .
 La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 donc u et f aussi => D' =] 0 ; 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞[

5 n
4) f ( x) = (2 x−3) est du type ( u( x) ) avec u(x) = 2x − 3.
D = D' = R car f est une fonction polynôme de degré 5
u'(x) = (2x – 3)' = 2 d’où f '(x) = 5 u'( x) (u(x))⁴ = 5x2( 2x − 3 )⁴ = 10 ( 2x − 3 )⁴ .
Bilan
n
1) On reconnaît le type de composée : f(x) = u( ax + b ), f ( x) = √ u( x) , f ( x) = ( u ( x) ) et on
identifie la fonction u.
2) On détermine les ensembles de définition et de dérivabilité de la fonction.
3) On calcule u'(x) et on applique la formule de dérivation qui convient.
Dérivées usuelles

Page 155 exercices: 53, 54, 55, 56 ( f(x) = exp(- x²) ), 57, 58

Compléments : Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité de chaque fonction.

Remarque ex 57 : Les fonctions sin(x) et cos(x) sont définies sur R et sont dérivables sur R :
sin'(x) = cos(x) et cos'(x) = – sin(x).
Mais comme, elles sont périodiques de période 2, il suffit de les étudier sur un intervalle [0, 2[.
 L3) Monotonie d’une fonction composée

Théorème : Monotonie d’une fonction composée

1 Si v et u sont de même monotonie ( toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes),
alors la fonction v ∘ u est croissante .
2 Si v et u sont de monotonie contraire (l’une croissante et l’autre décroissante),
alors la fonction v ∘ u est décroissante .

Démonstration
La dérivée de la fonction v ∘ u est la fonction : (v ∘ u)' (x) = u'( x ) x v'(u( x )) .
1) Si u et v sont croissantes alors u' et v' sont positives (pour tout argument) => (v ∘ u)' ≥ 0 aussi.
Si u et v sont décroissantes alors u' et v' sont négatives => (v ∘ u)' est positive (par produit).
Donc dans les deux cas v ∘ u est croissante.
2) Si u croissante et v décroissante alors u' positive et v' négative donc (v ∘ u)' est négative.
Si u décroissante et v croissante alors u' négative et v' positive donc (v ∘ u)' est négative.
Dans les deux cas v ∘ u est décroissante.

Applications : Étudier une fonction composée et dresser son tableau de variations

61 P155 : On considère la fonction f définie par f ( x) = √ x −1 .
3

a) Donner le schéma de composition de f.

b) Déterminer Df l’ensemble de définition de f .
c) Déterminer Df' l’ensemble de dérivabilité de f .
d) Calculer la dérivée de la fonction u(x) = x³ – 1 et étudier son signe.
e) Calculer la dérivée de la fonction v ( y ) = √ y et étudier son signe, sur Df'.
f) Calculer la dérivée de la fonction f et dresser son tableau de variations.

Exercices – Étudier une fonction composée : P155 Ex 61 à 64 ; Page 158 ex 87,88,89,90

62 P155 : Soit la fonction f définie par : f ( x) =
√ 1
1+ x
.

1. Donner le schéma de composition de la fonction f.

2. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
1
3. Étudier g : x –> et dresser son tableau de variations.
1+ x
4. En déduire le tableau de variations de f.
5. Calculer les limites aux bords du domaine Df et
déterminer les asymptotes.

63 P155 : Soit la fonction f définie par : f( x ) = e x² – 2 x .

1. Donner le schéma de composition de la fonction f.
2. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f noté D f .
3. Étudier g : x ↦ x² – 2 x et dresser son tableau de variations.
4. En déduire le tableau de variations de f.
5. Déterminer les extremums
6. Calculer les limites aux bords du domaine Df et
déterminer les asymptotes.
7. Axe de symétrie !!

1
−
x2
64 P155 : Soit la fonction f définie par : f ( x) = e
1. Donner le schéma de composition de la fonction f.
2. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f noté D f .
1
3. Étudier g : x ↦ − 2
et dresser son tableau de variations.
x
4. En déduire le tableau de variations de f.
5. Calculer les limites aux bords du domaine Df et déterminer les asymptotes.
87 P158 : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x² – 7 x + 10 et
g la fonction définie par g( x) = √ f ( x)
1. a) Résoudre l’inéquation f(x) ⩾ 0.
b) En déduire l’ensemble de définition de la fonction g.
2. a) Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
b) Calculer g'( x ) et en déduire les variations de la fonction g.
c) Dresser le tableau de variations de la fonction f puis celui de g.
 L4) Dérivée seconde

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. On note f ' sa fonction dérivée.
Si la fonction dérivée f ' est (elle-même) dérivable sur I, on note f '' sa dérivée : f '' = (f ' )'
qu'on appelle dérivée seconde de f.
Remarque : De la même manière on peut calculer des dérivées d'ordres supérieurs, quand les
fonctions sont plusieurs fois dérivables.
On note f(3) la dérivée de la fonction f'', f(4) la dérivée de f(3) , etc.
Exemple : Soit la fonction polynôme : f(x) = 4x³ + 2x² + 13x + 9 , définie et dérivable sur R.
f '(x) = 12x² + 4x + 13 qui est une fonction polynôme, définie et dérivable sur R =>
f ''(x) = 24 x + 4 qui est une fonction affine, définie et dérivable sur R =>
f (3) (x) = 24 qui est une fonction constante, définie et dérivable sur R => f (4) (x) = 0
Toutes les dérivées d'ordre ≥ 4 de f existent et sont nulles : f (n) (x) = 0 , pour tout n ≥ 4.

59 P155 : Soit la fonction f définie par : f(x) = sin(x).

1. Soit n ∈ N, on note f(n) la fonction dérivée n-ième de la fonction f.
Calculer f '(x), f '' (x), f(3) (x) et f(4) (x).
2. En déduire une relation entre f(4) (x) et f(x).
3. Dans ces conditions, que vaut f(1789) (x) ?

90 P 158 : Soit k un réel non nul et f la fonction définie par f(x) = cos(k x).
1. Soit n ∈ N, on note f (n) la fonction dérivée n-ième de la fonction f.
Calculer f '( x ), f ''(x), f (3) (x) et f (4) (x).
2. En déduire une relation entre f (4) (x) et f(x).
3. Dans ces conditions, que vaut f (2020) (x) ?