Ch8 Transformée en Z PDF

Chapitre 8
Transformée en z
La transformée en z est l’équivalent dans le domaine discret de la transformée de La-

place pour le domaine continu. L’utilisation principale de la transformée en z est le design
de filtres numériques.
Bien que la transformée de Laplace et la transformée en z sont très similaires, il y a

quand même certaines différences. La transformée de Laplace produit un plan rectan-
gulaire ; la transformée en z quant à elle produit un plan polaire. Le design de filtres
numérique commence souvent en utilisant la forme des filtres classiques (comme Butter-
worth ou Chebyshev) et en utilisant des techniques mathématiques pour obtenir l’équi-
valent numérique à travers la transformée en z.
8.1 Introduction
On peut montrer comment la transformée en z est obtenue à partir de la transformée

de Laplace. La transformée de Laplace est définie par :
Z∞
X(s) = x(t)e−st dt (8.1)
−∞
où x(t) est un signal continu dans le domaine du temps, et X(s) est son équivalent dans
le domaine de Laplace. Pour mieux illustrer le concept de la transformée de Laplace, on
peut remplacer l’opérateur s par son équivalent, s = σ + jω. La transformée de Laplace
permet d’analyser un signal en termes de sinusoı̈des décroissants. Si on remplace s, on
obtient : Z∞
X(s) = x(t)e−σ t e−jωt dt (8.2)
−∞
1
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE EN Z
Cette forme permet de mieux illustrer ce qui se passe dans la transformée de Laplace :
la partie e−σ t représente un exponentiel décroissant, et la partie e−jωt représente les si-
nusoı̈des.
Pour arriver à la transformée en z, la première étape est de discrétiser le signal x(t)

pour obtenir x[n], et remplacer l’intégrale par une sommation.
∞
X
X(σ , ω) = x[n]e−σ n e−jωn (8.3)
n=−∞
Remarquer que X(σ , ω) est continu : bien que x[n] est discret, σ et ω sont quand même
des variables continues.
On va remplacer l’exponentiel e−σ n par une autre notation, r −n . La transformée est

maintenant
X∞
X(σ , ω) = x[n]r −n e−jωn (8.4)
n=−∞
Cependant, ce n’est pas la forme la plus compacte de la transformée en z. Il reste à rem-
placer z = rejω , pour obtenir
∞
X
X(z) = x[n]z−n (8.5)
n=−∞
C’est la forme standard de la transformée en z.
L’opérateur z−n représente en fait un délai de n échantillons.
Exemple 1
Représenter la séquence suivante par sa transformée en z : x[n] = {−7, 3, 1, 4, −8, 5}.

↑
Solution :
X(z) = −7z2 + 3z1 + z0 + 4z−1 − 8z−2 + 5z−3
Exemple 2
Calculer la transformée en z du signal suivant : x[n] = (0.5)n u[n].
Le signal est une suite infinie de chiffres non-nuls :
x[n] = {1, 0.5, 0.52 , 0.53 , . . . , 0.5n , . . .}
Gabriel Cormier 2 GELE2511

La transformée en z est :
X(z) = 1 + 0.5z−1 + 0.52 z−2 + 0.53 z−3 + . . . + 0.5n z−n

X∞ X∞
n −n
= 0.5 z = (0.5z−1 )n
n=0 n=0
C’est une série géométrique infinie. Rappel :
1
1 + A + A2 + A3 + · · · = si |A| < 1
1−A
Donc, la transformée en z est :
1
X(z) = si |z| > 0.5
1 − 0.5z−1
La transformée en z doit toujours indiquer sa zone de convergence, puisque c’est une

série de puissance infinie. Dans l’exemple précédent, la ROC (region of convergence) est
|z| > 0.5. Pour le premier exemple, la ROC est tout le plan z, sauf z = 0 et z = ∞ (0 < |z| < ∞).
8.1.1 Région de convergence
Pour une séquence finie x[n], la transformée en z X(z) est un polynôme en z ou z−1 et
converge (est fini) pour toutes les valeurs de z, sauf z = 0 si X(z) contient des termes de la
forme z−k , ou z = ∞ si X(z) contient des termes de la forme zk .
En général, si X(z) est une fonction rationnelle de z, la ROC dépend de la forme de

x[n].
1. Signal Droitier : Un signal x[n] est dit droitier si le plus grand pôle est plus grand
que zéro (|pmax | > 0) et que la région de convergence s’étend à l’infini.
2. Signal Gaucher : Un signal x[n] est dit gaucher si le plus petit pôle est plus grand
que zéro (|pmin | > 0) et que la région de convergence s’étend à zéro.
3. Signal Bilatéral : Un signal x[n] est dit bilatéral si la ROC décrit un anneau de
largeur finie.
La figure 8.1 montre les ROC des différents types de signaux. La ROC exclut toutes les
valeurs des pôles où X(z) devient infini. La ROC de signaux droitiers est donc |z| > |p|max
et se trouve à l’extérieur du cercle de rayon |p|max . Pour des signaux causals, où x[n] = 0
pour n < 0, la ROC exclut l’origine et est 0 > |z| > |p|max . Pour des signaux gauchers, la ROC
est un cercle où |z| < |p|min |. Pour un signal bilatéral, la ROC est |p|min < |z| < |p|max .

Im[z] Im[z] Im[z]
ROC
ROC ROC
Re[z] Re[z] Re[z]
a) ROC d’un signal droitier b) ROC d’un signal gaucher c) ROC d’un signal bilatéral
Figure 8.1 – Région de convergence de signaux
8.1.2 Transformée communes
La transformée en z de fonctions communes est donnée au tableau 8.1.
8.2 Propriétés de la transformée en z
La transformée en z est un opérateur linéaire et obéit à la superposition. Les propriétés

les plus communes sont montrées au tableau 8.2.
8.3 Fonction de transfert
Tout comme la transformée de Laplace permet de trouver la fonction de transfert d’un

système, la transformée en z permet de trouver la fonction de transfert d’un système dis-
cret. Pour un système discret, la fonction de transfert a la forme :
Y (z) b0 + b1 z−1 + b2 z−2 + · · · + bm z−m
H(z) = = (8.6)
X(z) 1 + a1 z−1 + a2 z−2 + · · · + an z−n
On peut aussi utiliser une autre forme pour représenter la fonction de transfert. Soit
zi , i = 1, 2, 3, . . . , m les racines du numérateur, et pk , k = 1, 2, 3, . . . , n les racines du dénomi-
nateur. On peut exprimer la fonction de transfert selon :
(z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zm )
H(z) = K (8.7)
(z − p1 )(z − p2 ) · · · (z − pk )

Tableau 8.1 – Transformée en z communes
Numéro Signal Transformée en z ROC

1 δ[n] 1 tout z
1 − z−s
2 u[n] − u[n − s] z,0
1 − z−1
z
3 u[n] |z| > 1
z−1
z
4 α n u[n] |z| > |α|
z−α
z
5 (−α)n u[n] |z| > |α|
z+α
z
6 nu[n] |z| > 1
(z − 1)2
zα
7 nα n u[n] |z| > |α|
(z − α)2
2
z − z cos Ω
8 cos(nΩ)u[n] |z| > 1
z2 − 2z cos Ω + 1
z sin Ω
9 sin(nΩ)u[n] |z| > 1
z2 − 2z cos Ω + 1
z2 − αz cos Ω
10 α n cos(nΩ)u[n] |z| > |α|
z2 − 2αz cos Ω + α 2
αz sin Ω
11 α n sin(nΩ)u[n] |z| > |α|
z − 2αz cos Ω + α 2
2
zH zH ∗
12 2Kα n cos(nΩ + φ) + , H = Kejφ |z| > |α|
z − αejΩ z − αe−jΩ
Si on suppose que les facteurs communs ont été annulés, les racines du numérateur sont
appelés les zéros et les racines du dénominateur sont appelés les pôles.
8.3.1 Diagramme des pôles et zéros
On peut tracer les pôles et les zéros sur un graphique, les pôles étant représentés par
des ”×” et les zéros représentés par des cercles.

Numéro Propriété Signal Transformée en z

1 Déphasage x[n − s] z−s X(z)
1
2 Réflexion x[−n] X
z
1
3 Anti-causal x[−n]u[−n − 1] X − x[0] pour x[n] causal
z
z
4 Échelonnage α n x[n] X
α
dX(z)
5 Mult.-n nx[n] −z
dz
6 Mult.-cos cos(nΩ)x[n] 0.5[X(zejΩ ) + X(ze−jΩ )]
7 Mult.-sin sin(nΩ)x[n] j0.5[X(zejΩ ) − X(ze−jΩ )]
8 Convolution x[n] ∗ h[n] X(z)H(z)
Tableau 8.2 – Propriétés de la transformée en z
Exemple 3
Soit la fonction H(z) suivante. Faire le diagramme des pôles et zéros.

2z(z + 1)
H(z) = 1
(z − 2 1 2
3 )(z + 4 )(z + 4z + 5)
On utilise la commande pzmap() de Matlab. Les commandes utilisées sont :
num = conv([2 0],[1 1]);

den = conv([1 -1/3],conv([1 0 0.25],[1 4 5]));
H = tf(num,den,-1);
pzmap(H);
ylim([-1.5 1.5]);
On voit bien sur la figure 8.2 que les deux zéros sont aux bons endroits, ainsi que les
cinq pôles.
8.3.2 Réponse d’un système
La réponse y[n] d’un système ayant une réponse impulsionnelle h[n] soumis à une
entrée x[n] est donnée par la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n]. La convolution se transforme

Pole−Zero Map
1.5
1
Imaginary Axis
0.5
−0.5
−1
−1.5
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
Real Axis
Figure 8.2 – Diagramme des pôles et zéros
à une multiplication dans le domaine z. On a donc :
Y (z)
Y (z) = X(z)H(z) ou H(z) = (8.8)
X(z)
On peut aussi représenter un système en fonction de son équation aux différences. En

fait, l’opérateur z−1 représente un délai de 1 unité.
8.3.3 Stabilité
La stabilité est un critère important dans le design de systèmes. Un système instable

ne répondra pas selon les critères définis et donnera des erreurs à la sortie. Dans des cas
graves, des systèmes électroniques instables peuvent endommager des équipements. On
doit porter une attention particulière à la stabilité des systèmes.
Pour un système causal, les pôles de la fonction de transfert doivent être à l’intérieur
du cercle unitaire dans le plan z. Ceci provient des observations suivantes :
1. Pôles à l’extérieur du cercle unitaire : donnent une croissance exponentielle même
si l’entrée est finie.
2. Plusieurs pôles sur le cercle unitaire : produit une croissance polynômiale.
3. Pôle unique sur le cercle unitaire : peut produire une croissance exponentielle. Le
système est marginalement stable.

La ROC d’un système stable doit toujours inclure le cercle unitaire. Pour un système
h[n], la réponse impulsionnelle doit être absolument sommable :
X
|h[k]| < ∞ (8.9)
8.4 Transformée en z inverse
La définition formelle de la transformée en z inverse est :

I
1
x[n] = X(z)zn−1 dz (8.10)
j2π Γ
où Γ représente un contour d’intégration (en sens horaire) qui enferme l’origine. Il existe
cependant des méthodes plus simples pour faire la transformée inverse.
8.4.1 Forme polynômiale : séquences finies
Pour des séquences finies, X(z) a une forme polynômiale qui donne immédiatement
la transformée inverse x[n]. La ROC peut aussi être déterminée à partir de la forme po-
lynômiale.
Exemple 4
Soit X(z) = 3z−1 + 5z−3 + 2z−4 . Calculer la transformée inverse.
Le polynôme donne directement la séquence : x[n] = 3δ[n − 1] + 5δ[n − 3] + 2δ[n − 4], ce

qui donne la séquence :
x[n] = {0, 3, 0, 5, 2}
↑
8.4.2 Longue division
Si X(z) est une fonction rationnelle, on peut utiliser la longue division pour trouver la
transformée inverse. Si le signal est droitier, on place le numérateur et le dénominateur
en ordre croissant de puissance de z, puis on effectue la division pour obtenir des valeurs
décroissantes de z. Pour un signal gaucher, c’est le contraire : on place le numérateur et le

dénominateur en ordre décroissant de puissance de z, puis on effectue la longue division

pour obtenir un polynôme d’ordre croissant de z.
Cependant, cette méthode est très encombrante pour des longues séquences.
Exemple 5
Calculer la transformée inverse du système suivant :
z−4
H(z) =
1 − z + z2
On arrange les polynômes en ordre descendant de z, puis on effectue la longue divi-

sion, en supposant que h[n] est un signal droitier.
−1 −3z−2 −4z−3
z ···
z2 − z + 1 z −4
z −1 +z−1
−3 −z−1
−3 +3z−1 −3z−2
−4z−1 +3z−2
−4z−1 +4z−2 −4z−3
−z−2 +4z−3
···
Ce qui donne H(z) = z−1 − 3z−2 − 4z−3 · · · . La séquence h[n] peut être écrite h[n] =
{0, 1, −3, −4, . . .}.
↑
8.4.3 Expansion en fractions partielles
Une méthode très utile pour trouver la transformée en z inverse est l’expansion en frac-
tions partielles. Cette méthode est très semblable à l’expansion en fractions partielles en
utilisant la transformée de Laplace, sauf une exception. Puisque z se trouve au numérateur
de plusieurs transformées standard, il est plus utile de faire l’expansion en fractions par-
tielles de W (z) = X(z)/z plutôt que X(z). On multiplie par z à la fin pour obtenir de nou-
veau X(z).

Exemple 6
Calculer l’inverse de :
1
X(z) =
(z − 0.25)(z − 0.5)
On va prendre en premier W (z) = X(z)/z,

1 K K2 K3
W (z) = = 1+ +
z(z − 0.25)(z − 0.5) z z − 0.25 z − 0.5
On trouve la première constante :

1
K1 = =8
(z − 0.25)(z − 0.5) z=0
La deuxième constante est :

1
K2 = = −16
z(z − 0.5) z=0.25
et finalement la troisième constante,

1
K3 = =8
z(z − 0.25) z=0.5
Ce qui donne
8 16 8
W (z) = − +
z z − 0.25 z − 0.5
On multiplie par z pour retrouver X(z),

16z 8z
X(z) = 8 − +
z − 0.25 z − 0.5
et selon les tables,
x[n] = 8δ[n] − 16(0.25)n u[n] + 8(0.5)n u[n]
8.5 Transformée unilatérale
La transformée unilatérale est une transformée pour les signaux causals, où x[n] = 0
pour n < 0. La définition est :
X∞
X(z) = x[k]z−k (8.11)
k=0

La plupart des propriétés vues auparavant s’appliquent à la transformée en z unilatérale.
Les propriétés qui changent sont les propriétés de déphasage. On ajoute aussi deux
nouvelles propriétés, le théorème de la valeur initiale et le théorème de la valeur finale.
8.5.1 Déphasage
Pour un signal déphasé vers la droite, la propriété est :

x[n − 1] ⇐⇒ z−1 X(z) + x[−1] (8.12)
x[n − 2] ⇐⇒ z−2 X(z) + z−1 x[−1] + x[−2] (8.13)
x[n − s] ⇐⇒ z−s X(z) + z−(s−1) x[−1] + z−(s−2) x[−2] + · · · + x[−s] (8.14)
Pour un signal déphasé vers la gauche, la propriété est :

x[n + 1] ⇐⇒ zX(z) − zx[0] (8.15)
x[n + 2] ⇐⇒ z2 X(z) − z2 x[0] − zx[1] (8.16)
x[n + s] ⇐⇒ zs X(z) − zs x[0] − zs−1 x[1] − · · · − zx[s − 1] (8.17)
8.5.2 Théorème de la valeur initiale et finale
Le théorème de la valeur initiale est :

x[0] = lim X(z) (8.18)
z→∞
Le théorème de la valeur finale est :

x[∞] = lim (z − 1)X(z) (8.19)
z→0
si les pôles de (z − 1)X(z) sont à l’intérieur du cercle unitaire.
8.6 Réponse en fréquence
On peut obtenir la réponse en fréquence d’un système discret si on remplace z = ej2πF

dans la fonction de transfert H(z). C’est la DTFT de la réponse impulsionnelle h[n]. De
façon générale, on sépare l’amplitude et la phase :
Hp (F) = |Hp (F)|∠φ(F) (8.20)

Exemple 7
Tracer la réponse en fréquence de la fonction suivante :

1
H(z) =
1 − 0.5z−1
La première chose à faire est de remplacer z = ej2πF :

1
H(z) =
1 − 0.5e−j2πF
Pour trouver l’amplitude il faut séparer les parties réelles et imaginaires :
1 1
H(z) = =
1 − 0.5e−j2πF 1 − 0.5(cos(2πF) + j sin(2πF))
Et on trouve l’amplitude :
r
1
|Hp (F)| =
1 − cos(2πF) + 0.25
et la phase !
−1 1 − cos(2πF)
φ(F) = tan
0.5 sin(2πF)
On peut tracer ceci avec Matlab en faisant varier F, tout en sachant qu’il ne faut pas
dépasser 0.5fs . La commande Matlab à utiliser est la fonction bode().
H = tf([1 0],[1 -0.5],-1);

bode(H);
Remarquer que les fréquences ne varient que jusqu’à π. L’axe des x est une échelle
logarithmique, en rad/s. Puisque la fréquence maximale est 0.5 (normalisée), et que Ω =
2πF, l’axe x ne varie que jusqu’à π.
8.7 La transformée en z et l’analyse de systèmes
La transformée en z unilatérale est un outil utile pour analyser des systèmes LIT qui
sont décrits par des équations aux différences ou fonctions de transfert. La solution est
plus simple dans le domaine z parce que la convolution devient une multiplication. Pour
obtenir la réponse dans le temps, il faut faire la transformée inverse.

Bode Diagram
6
Magnitude (dB)
−2
−4
0
Phase (deg)
−10
−20
−30
−2 −1 0 1
10 10 10 10
Frequency (rad/sec)
8.7.1 Systèmes définis par une équation aux différences
Pour un système définit par une équation aux différences, la solution est basée sur la
transformation de l’équation aux différences en utilisant les propriétés de la transformée
en z et en appliquant les conditions initiales. On va ensuite faire la transformée inverse
en utilisant l’expansion en fractions partielles.
Exemple 8
Résoudre l’équation aux différences y[n] − 0.5y[n − 1] = 2(0.25)n u[n] avec y[−1] = 2.
La transformation dans le domaine z donne :

2z
Y (z) − 0.5(z−1 Y (z) + y[−1]) =
z − 0.25
et alors :
z(z + 0.25)
Y (z) =
(z − 0.25)(z − 0.5)
On utilise l’expansion en fractions partielles pour obtenir
Y (z) −2 3
= +
z z − 0.25 z − 0.5
En multipliant par z, et en faisant la transformée inverse, on obtient :
y[n] = (−2(0.25)n + 3(0.5)n )u[n]
8.7.2 Systèmes définis par une fonction de transfert
La réponse Y (z) d’un système est tout simplement la multiplication de l’entrée et du

système, Y (z) = X(z)H(z). Il est souvent plus facile de travailler avec la fonction de trans-
fert que l’équation aux différences.
Exemple 9
Soit un système
3z
H(z) =
z − 0.4
n
Calculer la réponse à l’entrée x[n] = (0.4) u[n].
On transforme x[n] dans le domaine z :

z
X(z) =
z − 0.4
Il faut ensuite multiplier X(z)H(z) :
3z2
Y (z) = X(z)H(z) =
(z − 0.4)2
et à l’aide de la transformée inverse (propriété de déphasage et transformée 6),
y[n] = 3(n + 1)(0.4)n u[n]

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Chapitre 8

La transformée en z est l’équivalent dans le domaine discret de la transformée de La-

Bien que la transformée de Laplace et la transformée en z sont très similaires, il y a

On peut montrer comment la transformée en z est obtenue à partir de la transformée

Pour arriver à la transformée en z, la première étape est de discrétiser le signal x(t)

On va remplacer l’exponentiel e−σ n par une autre notation, r −n . La transformée est

L’opérateur z−n représente en fait un délai de n échantillons.

Représenter la séquence suivante par sa transformée en z : x[n] = {−7, 3, 1, 4, −8, 5}.

Calculer la transformée en z du signal suivant : x[n] = (0.5)n u[n].

Le signal est une suite infinie de chiffres non-nuls :

x[n] = {1, 0.5, 0.52 , 0.53 , . . . , 0.5n , . . .}

Gabriel Cormier 2 GELE2511

X(z) = 1 + 0.5z−1 + 0.52 z−2 + 0.53 z−3 + . . . + 0.5n z−n

C’est une série géométrique infinie. Rappel :

La transformée en z doit toujours indiquer sa zone de convergence, puisque c’est une

8.1.1 Région de convergence

En général, si X(z) est une fonction rationnelle de z, la ROC dépend de la forme de

Gabriel Cormier 3 GELE2511

Im[z] Im[z] Im[z]

Figure 8.1 – Région de convergence de signaux

8.1.2 Transformée communes

La transformée en z de fonctions communes est donnée au tableau 8.1.

8.2 Propriétés de la transformée en z

La transformée en z est un opérateur linéaire et obéit à la superposition. Les propriétés

8.3 Fonction de transfert

Tout comme la transformée de Laplace permet de trouver la fonction de transfert d’un

Gabriel Cormier 4 GELE2511

Tableau 8.1 – Transformée en z communes

Numéro Signal Transformée en z ROC

8.3.1 Diagramme des pôles et zéros

Gabriel Cormier 5 GELE2511

Numéro Propriété Signal Transformée en z

Tableau 8.2 – Propriétés de la transformée en z

Soit la fonction H(z) suivante. Faire le diagramme des pôles et zéros.

On utilise la commande pzmap() de Matlab. Les commandes utilisées sont :

num = conv([2 0],[1 1]);

8.3.2 Réponse d’un système

Gabriel Cormier 6 GELE2511

Figure 8.2 – Diagramme des pôles et zéros

à une multiplication dans le domaine z. On a donc :

On peut aussi représenter un système en fonction de son équation aux différences. En

La stabilité est un critère important dans le design de systèmes. Un système instable

Gabriel Cormier 7 GELE2511

8.4 Transformée en z inverse

La définition formelle de la transformée en z inverse est :

8.4.1 Forme polynômiale : séquences finies

Soit X(z) = 3z−1 + 5z−3 + 2z−4 . Calculer la transformée inverse.

Le polynôme donne directement la séquence : x[n] = 3δ[n − 1] + 5δ[n − 3] + 2δ[n − 4], ce

8.4.2 Longue division

Gabriel Cormier 8 GELE2511

dénominateur en ordre décroissant de puissance de z, puis on effectue la longue division

Calculer la transformée inverse du système suivant :

On arrange les polynômes en ordre descendant de z, puis on effectue la longue divi-

8.4.3 Expansion en fractions partielles

Gabriel Cormier 9 GELE2511

On va prendre en premier W (z) = X(z)/z,

On trouve la première constante :

On multiplie par z pour retrouver X(z),

8.5 Transformée unilatérale