GELE2511 Chapitre5 PDF

GELE2511 Chapitre 5 :
Signaux et systèmes discrets
Gabriel Cormier, Ph.D., ing.
Université de Moncton
Hiver 2013
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 5 Hiver 2013 1 / 58

Introduction
Contenu
Contenu
Signaux discrets
Décimation et interpolation
Signaux discrets communs
Systèmes discrets
Réponse impulsionnelle
Échantillonnage

Signaux discrets
Signaux discrets
Un phénomène physique, qui est continu, lorqu’on l’enregistre sur

ordinateur, devient une séquence discrète.
Un signal discret ou échantillonné est une séquence ordonnée de
valeurs correspondant à un entier n qui représente l’histoire en
fonction du temps d’un signal.
Le signal discret ne donne aucune information quant à l’intervalle ts
entre les échantillons.
Le temps ts représente l’intervalle de temps entre chaque échantillon.
La fréquence d’échantillonnage est S = fs = 1/ts .

Signaux discrets
Signaux discrets
Un signal discret est représenté en fonction du numéro de

l’échantillon n, et non en fonction du temps.
On utilise x[n] au lieu de x(t) pour représenter un signal discret.
Pour représenter l’origine, l’échantillon qui correspond à n = 0, on
utilise une flèche :
x[n] = {1, 2, 4, 8, . . .}
↑

Signaux discrets
Signaux discrets
Exemple :
La séquence pour ce signal est :
x[n] = {3, 3, 3, 3, 2, 1}
↑
Si l’origine est le premier point, il n’est pas nécessaire d’utiliser la flèche.

Signaux discrets
Signal discret périodique
Tout comme les signaux continus, les signaux discrets peuvent être
périodiques.
Un signal discret périodique se répète à tous les N échantillons, de
sorte que :
x[n] = x[n ± kN ] k = 1, 2, 3, . . .
La période N est le plus petit nombre d’échantillons qui se répètent.
La période est toujours un entier.

Signaux discrets
Puissance et énergie
La valeur moyenne d’un signal discret est :

N −1
1 X
xav = x[n]
N
n=0
La puissance d’un signal discret est :

N −1
1 X
P = |x[n]|2
N
n=0
L’énergie d’un signal discret est :

∞
X
E= |x[n]|2
n=−∞

Signaux discrets
Exemple
Calculer la valeur moyenne et la puissance d’un signal périodique
x[n] = 6 cos(2πn/4), de période N = 4.
Une période de ce signal est n = 0, 1, 2, 3 :

x[n] = {6, 0, −6, 0}
↑
La valeur moyenne est :

N −1
1 X 1
xav = x[n] = (6 + 0 − 6 + 0) = 0
N 4
n=0
La puissance est :
N −1
1 X 1
P = |x[n]|2 = (36 + 0 + 36 + 0) = 18 W
N 4
n=0

Opérations sur un signal
Déphasage
Le déphasage veut dire déplacer la séquence vers la droite ou vers la

gauche.
x[n − k] veut dire que la séquence est déplacée de k échantillons vers
la droite.

Repliement
Le repliement est l’image miroir d’un signal autour de l’ordonnée.

x[−n] veut dire que la séquence est une image miroir de x[n] autour
de n = 0.

Opérations
La méthode générale pour effectuer des opérations sur un signal

continu (Chapitre 1) s’applique aussi aux signaux discrets.
Dans ce cas-ci, on remplace l’axe original n par un axe m.

Opérations sur un signal Symétrie
Symétrie
Un signal est pair si :

x[n] = x[−n]
où on utilise souvent xe [n] pour indiquer un signal pair.
Un signal est impair si :
x[n] = −x[−n]
où on utilise souvent xo [n] pour indiquer un signal impair.

Opérations sur un signal Symétrie
Symétrie
N’importe quel signal x[n] peut être décomposé en une somme d’un
signal pair et un signal impair :
x[n] = xe [n] + xo [n]
Les signaux pairs et impairs sont calculés selon :
xe [n] = 0.5(x[n] + x[−n])

xo [n] = 0.5(x[n] − x[−n])

Opérations sur un signal Décimation et interpolation
Décimation et interpolation
La décimation et l’interpolation sont deux opérations qui affectent

l’échelle n d’un signal discret.
Dans le cas d’un signal discret, il s’agit d’augmenter ou réduire le
nombre d’échantillons d’un signal.

Décimation
La décimation est la compression d’un signal.

Correspond à accélérer un signal, ou réduire son taux
d’échantillonnage.
Exemple : soit un signal x[n]
y[n] = x[2n] est une version compressée de x[n].
Correspond à échantillonner x(2t) au temps ts , ou échantillonner x(t)
au temps 2ts .
On peut perdre de l’information avec la décimation.

Interpolation
L’interpolation est l’étirement d’un signal.

Correspond à ralentir un signal, ou à augmenter l’échantillonnage.
Exemple : soit un signal x[n]
y[n] = x[n/2] est une version allongée de x[n].
Correspond à échantillonner x(t) au temps ts /2.
Le signal aura plus d’échantillons.

Interpolation
Comment calculer les nouveaux échantillons ?

Interpolation zéro : chaque nouvel échantillon est nul.
Interpolation échelon : chaque nouvel échantillon a la même valeur
que l’échantillon précédent.
Interpolation linéaire : chaque nouvel échantillon est la moyenne des
échantillons adjacents.

Interpolation
x[n] x[n]
6 6
n n
0 2 −2 0 2 4 6
a) signal original b) interpolation zéro
x[n] x[n]
6 6
n n
−2 0 2 4 6 −2 0 2 4 6
c) interpolation linéaire d) interpolation échelon

Interpolation et décimation
La décimation est l’inverse de l’interpolation, mais l’inverse n’est pas

nécessairement vrai.
Lorsqu’il y a décimation, il y a perte d’information ; on n’est pas
capable de reproduire correctement le signal original.

Exemple
Soit la séquence x[n] = {1, 2, 6, 4, 8}. Effectuer l’interpolation et la

↑
décimation.
On effectue l’interpolation en premier :

Interpolation échelon :
xi [n] = {1, 1, 2, 2, 6, 6, 4, 4, 8, 8}
↑
Décimation :
xd [n] = {1, 2, 6, 4, 8}
↑
On obtient le signal original.

Exemple (2)
Avec la décimation en premier :

Décimation :
xd [n] = {1, 6, 8}
↑
puis interpolation échelon :
xd [n] = {1, 1, 6, 6, 8, 8}
↑
On n’obtient pas le signal original.

( 1
0, n 6= k
Impulsion δ[n − k] =
1, n=k n
k
( 1
0, n<k ···
Échelon u[n − k] =
1, n≥k n
k
(
0, n<k ···
Rampe r[n − k] =
n − k, n≥k n
k

1
(
h n i 1, |n| < N
Rectangulaire rect =
2N 0, ailleurs
n
−N N
1
(
|n|
1−
hni
N, |n| < N
Triangulaire tri =
N 0, ailleurs
n
−N N

sin(nπ/N )
sinc[n/N ] =
nπ/N
Exemple : N = 5
0.8
0.6
0.4
0.2
−0.2
−0.4
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

Sinusoı̈des discrètes
Si on échantillonne une sinusoı̈de continue x(t) = cos(2πf0 t) à un

intervalle ts , on obtient la sinusoı̈de échantillonnée suivante :

f0
x[n] = cos(2πf0 nts + θ) = cos 2πn + θ
fs
= cos(2πnF + θ)
où F est la fréquence numérique.

La fréquence numérique radiale est Ω = 2πF
Note : une sinusoı̈de discrete n’est pas nécessairement périodique.

Sinusoı̈des discrètes
cos(0.125πn) cos(0.5n)
1 1
0 0
−1 −1
0 10 20 30 0 10 20 30
n n
Périodique, N0 = 16 Non périodique

Périodique si N0 F = entier.
Systèmes discrets
Systèmes discrets
Un système discret est un système où l’entrée et la sortie sont discrets.

On s’intéresse aux systèmes linéaires.
Les systèmes linéaires permettent d’étudier beaucoup de systèmes
différents sans avoir besoin d’aller en détail.

Systèmes discrets
Systèmes discrets
Les systèmes discrets possèdent les mêmes caractéristiques que les

systèmes continus.
Homogénéité
Additivité
Invariance dans le temps
Fidélité sinusoı̈dale
Les systèmes discrets sont aussi caractérisés par leur réponse
impulsionnelle.

Systèmes discrets
Systèmes discrets

Échantillonnage
Échantillonnage
Phénomène Signal
physique Échantillonnage
discret
L’échantillonnage est une composante très importante d’un système

discret.
Il permet de convertir un signal continu à un signal discret.
On s’intéresse ici à quand on prend les échantillons (temps), et non
comment (l’électronique).

Échantillonnage Échantillons
Échantillons
L’échantillonnage, c’est aller lire la valeur d’un signal continu à des

intervalles fixes.
Pour un signal continu x(t), qu’on échantillonne à toutes les ts
secondes, on obtient un signal discret x[n] :
x[n] = x(nts )
où n = 0, 1, 2, 3, . . .

Échantillons
Pour bien effectuer la reconstruction d’un signal, il faut prendre un

nombre suffisant d’échantillons.
Si on ne prend pas assez d’échantillons par rapport à la période d’un
signal, on ne pourra pas reconstruire correctement le signal.

Échantillons
DC f0 = 0.09fs
1 1
0.5 0
0 −1
0 0.05 0.1 0 0.05 0.1
f0 = 0.31fs f0 = 0.95fs
1 1
0 0
−1 −1
0 0.05 0.1 0 0.05 0.1

Échantillons
DC
Pour un signal DC,
1 l’échantillonnage permet de
0.5
reconstruire exactement le
signal original.
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2

Échantillons
f0 = 0.09fs
1 La fréquence du signal continu

est environ 10 fois plus faible
0 que le taux d’échantillonnage.
−1
0 0.05 0.1 0.15 0.2
Ex : Un signal de 90Hz qu’on échantillonne à 1kHz.

Échantillons
f0 = 0.31fs
La fréquence du signal continu
1 est environ 3 fois plus faible
que le taux d’échantillonnage.
0 On peut quand même
reconstruire le signal.
−1
0 0.05 0.1 0.15 0.2

Échantillons
f0 = 0.95fs
1 La fréquence du signal continu

est presque la même que le
0 taux d’échantillonnage.
−1
0 0.05 0.1 0.15 0.2
Les points en rouge forment une sinusoı̈de d’une fréquence différente de
celle du signal continu : il y a repliement (aliasing).

Échantillons
À quel point ne pourra-t’on plus reconstruire le signal ?

Le théorème de l’échantillonnage, aussi appelé le théorème de Nyquist
ou de Shannon, dit qu’on peut reconstruire exactement un signal si la
fréquence d’échantillonnage est plus de 2 fois la fréquence maximale
contenue dans le signal.

Échantillonnage Théorème de l’échantillonnage
Théorème de l’échantillonnage
Théorème de Nyquist
Pour un signal continu de fréquence maximale fmax , le taux
d’échantillonnage S (ou fs ) doit être plus grand que 2fmax .

Le théorème de l’échantillonnage implique qu’il faut bien connaı̂tre

toutes les fréquences d’un signal avant de l’échantillonner.
Il est très difficile de faire ceci ; généralement, l’équipement
électronique échantillonne à un taux spécifique.
Il faut donc utiliser un filtre qui coupe les fréquences plus élevées que
0.5S : c’est un filtre anti-repliement (anti-aliasing filter).

Il y a plusieurs exemples du théorème de l’échantillonnage dans la vie

courante.
Le plus commun est peut-être le CD : le taux d’échantillonnage est
44.1kHz, ce qui est un peu plus que 2 fois la fréquence maximale
perçue par l’oreille (20kHz).
Les oscilloscopes numériques ont aussi une fréquence maximale
d’opération. Ex : un oscilloscope ayant un taux d’échantillonnage de
1GS/s aura une fréquence maximale à l’entrée de 500MHz.

Repliement
Repliement
Qu’arrive-t’il si la fréquence d’échantillonnage n’est pas assez élevée ?

Il y a repliement : les fréquences plus élevées que 0.5fs apparaissent
alors comme des fréquences plus faibles.
Pour éviter le repliement, il faut que les fréquences d’un signal soient
contenues dans l’intervalle :
−0.5fs < f < 0.5fs
Les fréquences plus élevées apparaı̂tront comme des signaux de

fréquence :
fa = f0 − M fs
où M est un entier choisit pour que −0.5fs < fa < 0.5fs .

Repliement
Exemple
Soit un système qui échantillonne à 200Hz. Pour des entrées à 180Hz et

220Hz, y aura-t’il du repliement ? Si oui, quelle est la fréquence apparente ?
Dans les 2 cas, f > 0.5fs . Pour 180Hz :
fa = 180 − M (200) < 0.5(200) ⇒ M = 1 ⇒ fa = −20 Hz
C’est 20Hz, déphasé de 180˚.
Pour 220Hz :
fa = 220 − M (200) < 0.5(200) ⇒ M = 1 ⇒ fa = 20 Hz

Repliement
Exemple (2)
1
f0 = 180 Hz
−1
0 10 20 30 40 50
Temps (ms)
0
f0 = 220 Hz
−1
0 10 20 30 40 50
Temps (ms)

Repliement
Repliement
Lors de l’échantillonnage, toutes les fréquences au-dessus de 0.5fs

seront repliées à quelque chose entre 0 et 0.5fs .
S’il y a déjà une sinusoı̈de à la fréquence repliée, le signal replié
s’ajoutera à celui-ci, causant une perte d’information.

Repliement
Repliement
Supposons qu’un signal échantillonné contient une fréquence à 0.2fs .

S’il n’y a pas eu de repliement, alors le signal continu fut bien
échantillonné.
S’il y a eu du repliement, on ne sait si c’est parce qu’il y avait une
fréquence à 0.8fs , 1.2fs , 1.8fs , etc.
La seule façon d’éviter le problème de repliement est de bien filtrer
l’entrée selon le taux d’échantillonnage.

Repliement
Repliement
Tout comme le repliement change la fréquence, il peut aussi changer

le déphasage.
Seulement 2 déphasages sont possibles : 0˚ ou 180˚.
0˚ :
1.0fs < f < 1.5fs

2.0fs < f < 2.5fs
···
180˚ :
0.5fs < f < 1.0fs

1.5fs < f < 2.0fs
···

Repliement
Repliement : analyse
Soit un signal continu et son spectre. On suppose que le signal ne contient

que des fréquences plus faibles que 0.5fS .
0 t f
0 fs 2fs

Repliement
On échantillonne : c’est l’équivalent de multiplier le signal par une série

d’impulsions. Le spectre est répété.
Bande inférieure Bande supérieure
0 t f
0 fs 2fs

Repliement
Si les fréquences sont plus élevées que 0.5fs , il y a recouvrement, et donc

perte d’information.
Bande inférieure Bande supérieure
0 t f
0 fs 2fs
Recouvrement

Reconstruction des signaux
La reconstruction d’un signal est l’opération de passer d’un signal

discret à un signal continu.
Une équation générale qui permet de représenter ceci est :
∞
X
y(t) = y[n]p(t − nTs )
n=−∞
où p(t) est un pulse d’une forme quelconque.

Quelques possibilités de pulses :
-0.5ts 0.5ts -ts ts

a) Pulse carré b) Pulse triangulaire
-ts ts
-ts ts
c) Cubique d) Sinc (idéal)

Reconstruction : pulse carré
Exemple: signal original
-0.5ts 0.5ts
1, − 0.5t s < t < 0.5t s

p (t ) = 
0, autrement
Signal reconstruit

Reconstruction : pulse triangulaire
-ts ts
 t
1 − , − 0.5t s < t < 0.5t s
p (t ) =  t s
0, autrement
Signal reconstruit

Reconstruction : pulse cubique
-2ts -ts ts 2ts
Signal reconstruit

Reconstruction : pulse sinc
Le pulse sinc est le pulse qui

-ts ts
reconstruit idéalement un signal.
π 
p (t ) = sinc t 
 ts 
Cependant, le pulse sinc a une longueur infinie, et il faut donc le tronquer
à une certaine valeur.

Reconstruction
Une méthode pour reconstruire des pulses plus fidèlement avec les
trois pulses non idéaux est de prendre plus d’échantillons que
nécessaire.
Plus le nombre d’échantillons par période augmente, plus la
reconstruction est fidèle.
Il est souvent plus facile de prendre plus d’échantillons et de
reconstruire avec un pulse triangulaire que d’essayer de faire la
reconstruction avec un sinc.

Conclusion
Conclusion
Les points clés de ce chapitre sont :

Propriétés des signaux discrets.
Théorème de l’échantillonnage.
Effets de l’échantillonnage sur un signal.

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Signaux et systèmes discrets

Gabriel Cormier, Ph.D., ing.

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Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 5 Hiver 2013 2 / 58

Un phénomène physique, qui est continu, lorqu’on l’enregistre sur

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Un signal discret est représenté en fonction du numéro de

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La séquence pour ce signal est :

Si l’origine est le premier point, il n’est pas nécessaire d’utiliser la flèche.

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Signal discret périodique

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 5 Hiver 2013 6 / 58

La valeur moyenne d’un signal discret est :

La puissance d’un signal discret est :

L’énergie d’un signal discret est :

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Une période de ce signal est n = 0, 1, 2, 3 :

La valeur moyenne est :

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Le déphasage veut dire déplacer la séquence vers la droite ou vers la

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Le repliement est l’image miroir d’un signal autour de l’ordonnée.

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La méthode générale pour effectuer des opérations sur un signal

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Un signal est pair si :

où on utilise souvent xo [n] pour indiquer un signal impair.

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x[n] = xe [n] + xo [n]

Les signaux pairs et impairs sont calculés selon :

xe [n] = 0.5(x[n] + x[−n])

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La décimation et l’interpolation sont deux opérations qui affectent

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La décimation est la compression d’un signal.

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L’interpolation est l’étirement d’un signal.

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Comment calculer les nouveaux échantillons ?

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La décimation est l’inverse de l’interpolation, mais l’inverse n’est pas

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Soit la séquence x[n] = {1, 2, 6, 4, 8}. Effectuer l’interpolation et la

On effectue l’interpolation en premier :

On obtient le signal original.

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Avec la décimation en premier :

puis interpolation échelon :

On n’obtient pas le signal original.

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Signaux discrets communs

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Signaux discrets communs

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Signaux discrets communs

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