GELE2511 Chapitre6 PDF

GELE2511 Chapitre 6 :
Convolution discrète
Gabriel Cormier, Ph.D., ing.
Université de Moncton
Hiver 2013
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 1 / 38

Introduction
Contenu
Contenu
Convolution discrète
Convolution de séquences finies
Propriétés
Corrélation
Auto-corrélation
Applications

Convolution
Convolution
La convolution est une méthode pour combiner deux signaux et en

produire un troisième.
C’est la technique la plus importante en traitement de signaux.
La convolution permet de relier l’entrée, la sortie et la réponse
impulsionnelle d’un système.
Système
x[n] y[n]
h[n]
y[n] = x[n] ∗ h[h]

Convolution
Convolution
On a déjà vu comment un système peut être caractérisé par sa

réponse impulsionnelle.
Si on connaı̂t la réponse impulsionnelle d’un système, alors on connaı̂t
sa sortie pour n’importe quelle entrée.
La convolution permet de calculer la sortie d’un système étant donnés
l’entrée et la réponse impulsionnelle.
Rappel : x[n] ∗ h[n] veut dire la convolution de x[n] et h[n].

Convolution
Signaux discrets et convolution
On peut représenter un signal discret comme une somme d’impulsions.
x[n]
3 3
0 n 0 3δ[n-1] 3δ[n-3] 1δ[n-5]

3δ[n] 3δ[n-2] 2δ[n-4]
x[n] = 3δ[n] + 3δ[n − 1] + 3δ[n − 2] + 3δ[n − 3] + 2δ[n − 4] + δ[n − 5]

De façon générale,
∞
X
x[n] = x[k]δ[n − k]
k=−∞

Convolution
Signaux discrets et convolution

Par superposition, la sortie y[n] d’un système est la somme des réponses
impulsionnelles aux entrées x[n] :
Système h0[n]
3
+
Système h1[n]
0 3δ[n-1] 3δ[n-3] 1δ[n-5] +
3δ[n] 3δ[n-2] 2δ[n-4] Système h2[n]
+
y[n]
∞
X
y[n] = x[k]h[n − k] = x[n] ∗ h[n]
k=−∞

Convolution Exemples
Exemple 1
Entrée : sinusoı̈de + rampe. Système : filtre passe-bas.

x[n] h[n] y[n]
3 0.05 1.5
0.04
2 1
0.03
1 0.5
0.02
0 0
0.01
−1 0 −0.5
0 20 40 60 80 0 10 20 30 0 50 100
n n n
Sortie : sinusoı̈de fortement atténué. La séquence de sortie est 111

échantillons : Le + Lh − 1, où Le est la longueur de l’entrée (81 ici) et Lh
est la longueur du système (31 ici). 81 + 31 − 1 = 111.

Convolution Exemples
Exemple 2
Entrée : sinusoı̈de + rampe. Système : filtre passe-haut.

x[n] h[n] y[n]
3 1 2
2 1
0.5
1 0
0
0 −1
−1 −0.5 −2
0 20 40 60 80 0 10 20 30 0 50 100
n n n
Sortie : sinusoı̈de. La séquence de sortie est 111 échantillons.

Impact de l’entrée
On va analyser la convolution d’un système simple en détail : on

cherche à voir l’impact de chaque entrée sur la sortie finale.
On utilisera un système simple ayant 4 échantillons, et une entrée de
6 échantillons.

La sortie a une longueur de 9 échantillons (6 + 4 − 1).
x[n] h[n] y[n]

2 2 2
1 1 1
0 0 0
−1 −1 −1
−2 −2 −2
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8
n n n
Selon l’équation de la convolution, la sortie est la somme de chaque entrée

multipliée par le système complet.

La sortie totale est la somme de chaque sortie yk [n].
y1[n] y2[n]
y3[n]
2 2
2
1 1
1
0 0 0
−1 −1 −1
−2 −2 −2
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
n n n
y4[n] y5[n] y6[n]
2 2 2
1 1 1
0 0 0
−1 −1 −1
−2 −2 −2
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
Point bleu = l’entrée
n multipliée par len système. n
Point rouge = 0 ajouté pour avoir la bonne longueur de séquence.

On va analyser la sortie produite par la convolution.

On cherche à voir comment chaque point de la sortie est affecté par
les entrées et le système.

On va analyser le point y[4].

y1[n] y2[n]
y3[n]
2 2
2
1 1
1
4 points bleus 0 0 0
contribuent à y[4]. −1 −1 −1
−2 −2 −2
y[4] = x[1]h[3] 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4
n
6 8
n n
y4[n] y5[n] y6[n]
+ x[2]h[2]
2 2 2
+ x[3]h[1] 1 1 1
+ x[4]h[0] 0 0 0
−1 −1 −1
−2 −2 −2
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
n n n

On va analyser le point y[7].

y1[n] y2[n]
y3[n]
2 2
2
1 1
1
2 points bleus 0 0 0
contribuent à y[7]. −1 −1 −1
−2 −2 −2
y[4] = x[4]h[3] 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
n n n
y4[n] y5[n] y6[n]
+ x[5]h[2]
2 2 2
⇒ basé sur moins 1 1 1
d’information. 0 0 0
−1 −1 −1
−2 −2 −2
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
n n n

Convolution : problèmes
Les M − 1 points aux bouts sont basés sur moins d’information.

(M est la longueur de h[n])
Ceci peut causer des problèmes ; il peut y avoir des erreurs dans les
bouts des signaux, à cause de la convolution.
En général, il faut s’attendre que l’information aux bouts d’un signal
ne soit pas utilisable.

Convolution : problèmes
Exemple : une sinusoı̈de avec un niveau CC, qu’on filtre avec un filtre
passe-haut. Il ne devrait rester que la sinusoı̈de.
x[n] h[n] y[n]
4 1.5 4
utilisable
2 1 2
0 0.5 0
−2 0 −2
−4 −0.5 −4
0 20 40 60 80 0 10 20 30 0 20 40 60 80 100
n n n
Seule la région centrale est utilisable.

Séquences finies
Convolution de séquences finies
Il existe quelques méthodes pour faire la convolution de séquences

finies.
La convolution de séquences finies x[n] et h[n] donne une séquence
finie y[n].
Quelques règles à suivre :
L’indice de début de y[n] est la somme des indices de début de x[n] et
h[n].
L’indice de fin de y[n] est la somme des indices de fin de x[n] et h[n].
La longueur de y[n] est la somme des longueurs de x[n] et h[n] moins
1 : Ly = Lx + Lh − 1

Séquences finies
Méthode 1 : Somme des colonnes
Cette méthode ressemble un peu à la multiplication faite à la main.
Exemple : Faire la convolution de h[n] = {1, 2, 2, 3} et x[n] = {2, −1, 3}.

↑ ↑
En appliquant la méthode,
h[n] = 1 2 2 3
x[n] = 2 -1 3
2 4 4 6
-1 -2 -2 -3
3 6 6 9
2 3 5 10 3 9
La sortie est y[n] = {2, 3, 5, 10, 3, 9}.

↑

Séquences finies
Méthode 2 : ruban glissant

On déplace x[−n] devant h[n] en multipliant à chaque fois.
Exemple : h[n] = {2, 5, 0, 4} et x[n] = {4, 1, 3}.

↑ ↑
2 5 0 4 2 5 0 4 2 5 0 4
3 14 3 1 4 3 1 4
8 2 20 6 5 0
y[0] = somme = 8 y[1] = somme = 22 y[2] = somme = 11
25 0 4 2 5
0 4 2 5 0 4
3 1 4 3 1 4 3 1 4
15 0 16 0 4 12
y[3] = somme = 31 y[4] = somme = 4 y[5] = somme = 12
La sortie est y[n] = {8, 22, 11, 31, 4, 12}.

↑

Séquences finies
Méthode 3 : polynômes
La convolution est la même procédure que la multiplication de polynômes.
Exemple : h[n] = {2, 5, 0, 4} et x[n] = {4, 1, 3}.

↑ ↑
On peut considérer h[n] et x[n] comme des polynômes :
h(z) = 2z 3 + 5z 2 + 4
x(z) = 4z 2 + z + 3
On fait la multiplication (2z 3 + 5z 2 + 4)(4z 2 + z + 3) :
y(z) = 8z 5 + 22z 4 + 11z 3 + 31z 2 + 4z + 12
La sortie est y[n] = {8, 22, 11, 31, 4, 12}.

↑

Séquences finies
Matlab
La convolution est très facile avec Matlab. Il s’agit d’utiliser la commande

conv.
>> h = [2 5 0 4];
>> x = [4 1 3];
>> y = conv(h,x)
y =
8 22 11 31 4 12

Propriétés
Propriétés de la convolution
Convolution avec une impulsion :
x[n] ∗ δ[n] = x[n]
Déphasage :
x[n] ∗ δ[n − s] = x[n − s]
Convolution avec un échelon :
∞
X
x[n] ∗ u[n] = x[k] = r[k]
k=0

Propriétés
Propriétés de la convolution
Commutativité :
a[n] ∗ b[n] = b[n] ∗ a[n]
Associativité :
(a[n] ∗ b[n]) ∗ c[n] = a[n] ∗ (b[n] ∗ c[n])
Distributivité :
a[n] ∗ b[n] + a[n] ∗ c[n] = a[n] ∗ (b[n] + c[n])

Convolution périodique
La convolution normale de deux signaux qui sont tous 2 périodiques

n’existe pas.
Il faut alors faire la convolution périodique ou circulaire en utilisant
des moyennes.
Si x[n] et h[n] sont tous deux périodiques avec la même période N ,
alors leur convolution périodique produira une séquence y[n] qui est
périodique aussi, ayant la même période N .

La convolution périodique est notée :
yp [n] = xp [n] ~ hp [n]
où xp [n] veut dire que x[n] est périodique.

Il y a parfois un facteur de normalisation 1/N dans la convolution
circulaire.

Pour faire la convolution périodique, il faut :

Faire la convolution normale d’une période de x[n] et h[n]
La réponse aura 2N − 1 échantillons. On ajoute un zéro à la fin pour
avoir 2N échantillons.
On coupe la réponse en deux moitiés.
On fait la somme des deux moitiés.

Exemple
Faire la convolution de hp [n] = {1, 2, 3, 1} et xp [n] = {1, 0, 1, 1}.
h[n] = 1 2 3 1 Première moitié 1 2 4 4

x[n] = 1 0 1 1 Deuxième moitié 5 4 1 0
1 2 3 1 6 6 5 4
0 0 0 0 0
1 2 3 1 yp [n] = {6, 6, 5, 4}
1 2 3 1
1 2 4 4 5 4 1

Corrélation
Corrélation
La corrélation est une méthode pour mesurer la similitude entre deux

signaux.
C’est une technique très similaire à la convolution.
On l’utilise beaucoup pour enlever le bruit dans des signaux et
détecter des composantes périodiques.

Corrélation
Corrélation
La corrélation permet de comparer deux signaux.

∞
X ∞
X
rxh = x[n] ∗ ∗h[n] = x[k]h[k − n] = x[n + k]h[k]
k=−∞ k=−∞
Il s’agit de faire la convolution de x[n] et h[−n].

Remarquer que x[n] ∗ ∗h[n] 6= h[n] ∗ ∗x[n], mais plutôt
rxh [n] = rhx [−n].

Corrélation
Exemple
Pour détecter un avion, on envoie un

pulse à un moment donné, puis on
reçoit une version atténuée de ce
pulse, décalé dans le temps, et
contenant beaucoup de bruit.
La distance de l’objet dépend de l’instant auquel on reçoit le pulse.

Corrélation
Exemple
Système radar : cas idéal.
Pulse
1
0.5
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Pulse reçu idéal
1
0.5
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Corrélation idéale
20
10
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Corrélation
Exemple
Système radar : cas avec bruit.
Pulse
1
0.5
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Signal reçu avec bruit
5
−5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Corrélation
20
10
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Corrélation
Corrélation
L’amplitude de chaque échantillon dans le signal de corrélation est

une mesure de combien le signal reçu ressemble au signal original à ce
point-là.
Ceci veut dire qu’un pic se produit à chaque endroit où le signal
original est présent dans le signal reçu.
L’amplitude du signal de corrélation est maximale au point où le
signal voulu est aligné avec le signal reçu.

Corrélation
Corrélation
La forme du pic dans le signal de corrélation n’a pas besoin de

ressembler au signal voulu. Le but n’est pas recréer le signal original,
mais plutôt de le détecter.
La corrélation est la meilleure façon de détecter un signal connu dans
un signal ayant du bruit.
Le pic est plus élevé au-dessus du bruit en utilisant la corrélation que
toute autre méthode linéaire.
L’utilisation de la corrélation pour détecter un signal connu est
souvent appelé le filtrage adaptatif (matched filtering).

Auto-corrélation
Auto-corrélation
Si on fait la corrélation d’un signal avec lui-même, on appelle ceci

l’auto-corrélation.
L’auto-corrélation permet d’identifier un signal périodique qui est
caché dans du bruit.
Ceci ne permet pas nécessairement d’identifier le signal périodique,
mais plutôt de trouver la période.
Ensuite, on peut récupérer le signal original par d’autres méthodes.

Auto-corrélation
Exemple
Signal avec bruit

4
−2
−4
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
n
Auto−Corrélation
500
−500
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
n

Auto-corrélation
Exemple 2
Signal original Signal avec bruit

3 3
On identifie la période
2 2
par auto-corrélation.
1 1
La corrélation du signal 0 0
bruité avec un train −1

0 20 40 60
−1
0 20 40 60
d’impulsions ayant la Autocorrélation Corrélation avec train d’impulsions
bonne période permet de 300 15
récupérer le signal 250

10
original. 200
5
150
100 0
0 20 40 60 0 20 40 60

Conclusion
Conclusion
Les points clés de ce chapitre sont :

Calcul de la convolution
Applications de la convolution.
Calcul de la corrélation.

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Gabriel Cormier, Ph.D., ing.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 1 / 38

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 2 / 38

La convolution est une méthode pour combiner deux signaux et en

y[n] = x[n] ∗ h[h]

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 3 / 38

On a déjà vu comment un système peut être caractérisé par sa

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 4 / 38

Signaux discrets et convolution

On peut représenter un signal discret comme une somme d’impulsions.

0 n 0 3δ[n-1] 3δ[n-3] 1δ[n-5]

x[n] = 3δ[n] + 3δ[n − 1] + 3δ[n − 2] + 3δ[n − 3] + 2δ[n − 4] + δ[n − 5]

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 5 / 38

Signaux discrets et convolution

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 6 / 38

Entrée : sinusoı̈de + rampe. Système : filtre passe-bas.

Sortie : sinusoı̈de fortement atténué. La séquence de sortie est 111

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 7 / 38

Entrée : sinusoı̈de + rampe. Système : filtre passe-haut.

Sortie : sinusoı̈de. La séquence de sortie est 111 échantillons.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 8 / 38

On va analyser la convolution d’un système simple en détail : on

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 9 / 38

La sortie a une longueur de 9 échantillons (6 + 4 − 1).

x[n] h[n] y[n]

Selon l’équation de la convolution, la sortie est la somme de chaque entrée

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 10 / 38

Point rouge = 0 ajouté pour avoir la bonne longueur de séquence.

On va analyser la sortie produite par la convolution.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 12 / 38

On va analyser le point y[4].

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 13 / 38

On va analyser le point y[7].

⇒ basé sur moins 1 1 1

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 14 / 38

Les M − 1 points aux bouts sont basés sur moins d’information.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 15 / 38

Seule la région centrale est utilisable.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 16 / 38

Convolution de séquences finies

Il existe quelques méthodes pour faire la convolution de séquences

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 17 / 38

Méthode 1 : Somme des colonnes

Cette méthode ressemble un peu à la multiplication faite à la main.

Exemple : Faire la convolution de h[n] = {1, 2, 2, 3} et x[n] = {2, −1, 3}.

La sortie est y[n] = {2, 3, 5, 10, 3, 9}.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 18 / 38

Méthode 2 : ruban glissant

Exemple : h[n] = {2, 5, 0, 4} et x[n] = {4, 1, 3}.

La sortie est y[n] = {8, 22, 11, 31, 4, 12}.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 19 / 38

La convolution est la même procédure que la multiplication de polynômes.

Exemple : h[n] = {2, 5, 0, 4} et x[n] = {4, 1, 3}.

On peut considérer h[n] et x[n] comme des polynômes :

On fait la multiplication (2z 3 + 5z 2 + 4)(4z 2 + z + 3) :

y(z) = 8z 5 + 22z 4 + 11z 3 + 31z 2 + 4z + 12

La sortie est y[n] = {8, 22, 11, 31, 4, 12}.

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 6 Hiver 2013 20 / 38