207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Déf 1. Soit E et F deux ensembles. A ⊂ E. On dit que g : E → F Théo 7. [3] Soit (E, d) et (F, d0 ) deux espaces métriques, F étant
est un prolongement de f : A → F si ∀x ∈ A, f (x) = g(x). complet, A une partie dense de E et f : A → F une application uni-
formément continue. Alors il existe une unique application continue
g : E → F qui prolonge f . De plus, g est uniformément continue.
I- Aspects topologiques
NB 8. [3] La norme reste la même, les bornes supérieures d’une fonc-
1- Prolongement ponctuel tion numérique continue sur une partie A et sur A étant égales.
Déf 2. [2] Soit (E, d) et (F, d0 ) deux espaces métriques. Soit f : D ⊂
(E, d) → (F, d0 ) et a ∈ D un point d’accumulation de D. Si f n’est App 9 (Intégrale de Riemann des fonctions réglées). [3] On définit par
pas définie en a et si f (x) = l, la fonction g définie sur D ∪ {a} E([a, b], R) l’espace vectoriel des fonctions en escalier et R([a, b], R)
x→ax6=a l’espace des fonctions réglées. Soit
par g(x) = f (x) sur D et g(a) = l est continue en a et est appelée
prolongement par continuité de f en a.
φ : E([a, b], R) −→ R
Ex 3. La fonction x 7→ sin(x)
x
se prolonge par continuité en 0 en une n−1
X
f 7−→ (xi+1 − xi )λi
fonction g en posant g(0) = 1. i=0

2- Un théorème de prolongement global où

R (x0, ..., xn ) est une subdivision adaptée à f et f]xi ,xi+1 [ = λi . Comme
 b 
 a f  ≤ (b − a)||f ||∞ , la fonction φ est uniformément continue et
Théo 4 (Tietze). [4](Développement 1) Soit (X, d) un espace mé- on applique le théorème pour généraliser l’intégrale de Riemann aux
trique, Y un fermé de X, g0 : Y → R continue alors g0 admet un fonctions réglées.
prolongement continu f0 : X → R.

App 5. [4] Soit (X, d) un espace métrique.

4- Prolongement des applications linéaires
• Si toute fonction continue de X dans R est bornée, alors X est
compact. Théo 10 (Hahn-Banach). [5] Soit E un espace normé de dimension
• Si X est sans point isolé et que toute application continue de X finie sur R, V un sous-espace et f une forme linéaire sur V . Alors il
dans R est uniformément continue, alors X est compact. existe une forme linéaire F sur E telle que
(i) la restriction de F à V coïncide avec f
3- Prolongement par densité (ii) ||F ||E 0 = ||f ||V 0
Théo 6. [3] Soit f et g deux fonctions continues de l’espace topolo-
gique E dans l’espace vectoriel normé F . App 11. [5] Pour tout x ∈ E, on a ||x|| = max l(x) ||l||
où le maximum
Si f et g coïncident sur une partie dense, alors f et g sont égales. est pris sur l’ensemble des formes linéaires non nulles l sur E.

1
 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

II - Aspects différentiels Prop 17. [4] Considérons f définie sur ]a, b[×Rn . Soit (x, J) une
solution de (∗) où J =]α, β[, a < α < β < b. Supposons qu’il existe
1 - Des choses sur la régularité δ > 0, A > 0 tels que |x(t)| ≤ A pour tout t ∈ [β − δ, β[ (resp.
]α, α + δ]) alors x peut être prolongée au-delà de β (resp. au-delà de
Théo 12. [3] Soit f une fonction continue de l’intervalle I de R dans α) en une solution de (∗).
l’evn E et soit a un point de I. Si f est dérivable sur I\{a} et si f 0
possède une limit l au point a, f est dérivable en a de dérivée l. App 18. [4] Soit f : I ×Rn où I =]a, b[. Supposons que f soit continue
et bornée, alors toute solution au problème (∗) est globale.
NB 13. [3] Ne pas oublier l’hypothèse de continuité de f . (Considérer
par exemple la fonction qui vaut x pour x ≤ 0 et x + 1 pour x > 0. Ex 19. [4] Sur R × R, le problème
( 2
x (t)
App 14. [3] Posons f (x) = exp
Ä
− x12
ä
pour x 6= 0 et f (0) = 0. Alors x0 (t) = 1+x 2 (t)

f est une fonction de classe C 1 non nulle pour tout x = 6 0, et dont x(0) = x0
toutes la dérivée est nulle en 0.
admet pour tout x0 ∈ R une unique solution définie sur R.
Théo 15. [4] Soit K un compact de Rn , Ω un voisinage ouvert de K.
Il existe une fonction θ ∈ Cc∞ (Rn ) telle que θ = 1 sur K, θ = 0 dans III - Aspects analytiques
Ωc et 0 ≤ θ(x) ≤ 1, pour tout x ∈ Rn .
1- Rayon de convergence
2- Equations différentielles Déf 20. [2] Soit
P
an z n une série entière. Le nombre
Soit I un intervalle de R, Ω un ouvert de Rn (n ≥ 1) et f : I ×Ω → Rn
R = sup{r ≥ 0 : la suite (|an |rn ) est bornée}
une fonction continue. On s’intéresse aux équations différentielles du
premier ordre de la forme x0 (t) = f (t, x(t))(∗) où x est une fonction est le rayon de convergence de P an z n .
C 1 de t à valeurs dans Ω.
Prop 21. [2] Soit z ∈ C
Déf 16. [4] Une solution de (∗) est un couple (x, J) où J est un • Si |z| < R, an z n converge absolument
P
intervalle contenu dans I et x une fonction C 1 de J dans Ω qui vérifie
• Si |z| > R, an z n diverge.
P
(∗) en tout point de J. ˚
Soit (x, J) une solution de (∗). Si J = I, on dit que la solution est Théo 22 (Abel). [2] Soit P an z n une série entière de rayon de conver-
globale. gence supérieur ou égal à 1 telle que
P
an converge. On note f la
Soit (x1 , J1 ) et (x2 , J2 ) deux solutions de (∗). On dit que (x2 , J2 ) pro- somme de cette série entière sur le disque unité. On fixe θ0 ∈ [0, π ] et
2
longe (x1 , J1 ) si J1 ⊂ J2 et x1 (t) = x2 (t) pour tout t ∈ J1 . on pose
Une solution (x, J) est dite maximale si elle n’admet aucun prolon-
gement. ∆θ0 = {z ∈ C, |z| < 1 et ∃ρ > 0, ∃θ ∈ [−θ0 , θ0 ], z = 1 − ρeiθ }.

2
 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Alors L’espace L2 (I, ρ) est un espace de Hilbert.

+∞
X
lim f (z) = an . Déf 29. [1] Il existe une unique famille (Pn )n∈N de polynômes uni-
z→1
z∈∆θ0 n=0
taires orthogonaux deux à deux tels que deg(Pn ) = n. Cette famille
P∞ (−1)n π P∞ (−1)n−1 s’appelle la famille des polynômes orthogonaux associés à la fonction
Ex 23. [2] n=0 2n+1 = 4
et n=1 n
= log(2).
ρ.
Cex 24. La réciproque est fausse. Par exemple,
∞
1 Théo 30 (Base hibertienne de polynômes orthogonaux).
(−1)n z n =
X
lim [1](Développement 2) Soit I un intervalle de R et ρ une fonc-
z→1
|z|<1 n=0
2
tion poids. S’il existe α > 0 tel que :
alors que (−1)n diverge.
P
Z
eα|x| ρ(x)dx < +∞
Théo 25 (Taubérien faible). [2] Soit an z n une série entière de
P
I
rayon de convergence 1 et f la somme de cette série entière sur le Pn
disque unité. On suppose qu’il existe S ∈ C, lim f (x) = S. Si an = alors la famille des polynômes ( ||Pn ||ρ )n∈N forme une base hilbertienne
x→1
Ä ä x<1 de L2 (I, ρ) pour la norme ||.||ρ .
1 P∞
o n , alors an converge et n=0 an = S.
P

2- Fonction holomorphe
Théo 26 (Zéros isolés). [1] Si f est une fonction analytique dans un
ouvert connexe U et si f n’est pas identiquement nulle, alors l’en-
semble des zéros de f n’admet pas de point d’accumulation dans U.
Théo 27 (Prolongement analytique). [1] Soit U un ouvert connexe.
Si deux fonctions analytiques coïncident sur un sous-ensemble D ⊂ U
ayant un point d’accumulation dans U, alors elles sont égales dans U.
Déf 28. [1] Soit I un intervalle de R. On appelle fonction poids une
fonction ρ : I −→ R mesurable, strictement positive et telle que
Z
∀n ∈ N, |x|n ρ(x)dx < +∞.
I
2
On note L (I, ρ) l’espace des fonctions de carré intégrable pour la
mesure de densité ρ par rapport à la mesure de Lebesgue c’est-à-dire
muni du produit scalaire :
Z
< f, g >ρ = f (x)g(x)ρ(x)dx.
I

3
 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

Références
[1] Vincent Beck, Jérôme Malick, and Gabriel Peyré. Objectif Agré-
gation. HK, 2005.
[2] Xavier Gourdon. Les maths en tête Analyse. Ellipses, 2008.
[3] Alain Pommelet. Cours d’analyse. Ellipses, 1994.
[4] Hervé Queffélec and Claude Zuily. Analyse pour l’agrégation. Du-
nod, 2007.
[5] François Rouvière. Petit guide du calcul différentiel. Cassini, 2003.