L2-Theorie de Signal - TD2-Solution
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L2-Theorie de Signal - TD2-Solution
ième
Faculté de Technologie 2 Année LMD Mars 2020
Département d’Électronique Électronique & Télécommunication
. Exercice1
Solution Série 2 : Analyse de Fourier
-
−π Si − π, < t < − π2
s(t), = π Si − π2 < t < π2
−π Si π < t < π
2
s(t)
− 52π − 32π − π2 π
2
3π
2
5π
2
t
−3 π −2 π −π π 2π 3π
−π
-
- s(t) est un signal périodique avec ω0 T = 2π donc ω0 = 1 et s(t) peut être décomposer en série
de Fourier trigonométrique telle que :
∞
X
sT (t) = a0 + (an cos(n ω0 t) + bn sin(n ω0 t))
n=1
8 1 2 3 4 5
5π
8
n
− 3π
π π T1 3
- s2 (t) = cos(4 t) + sin(6 t), avec T1 = , T2 = , sachant que le rapport = est un nombre
2 3 T2 2
rationnel, donc s2 (t) est un signal périodique et sa période est le plus petit multiplicateur
commun de T1 et T2 donc T = π et ω0 = 2.
e4 t + e−4 t e6 t − e−6 t
s2 (t) = cos(4 t) + sin(6 t) = +
2 2
1 −6 t 1 1 6 t 1
s2 (t) = − e + e−4 t + e + e4 t = c−3 e−6 t + c−2 e−4 t + c3 e6 t + c2 e4 t
2 2 2 2
Donc par iddentification on a :
1 1 1 1
c−3 = − , c−2 = , c2 = , c3 = .
2 2 2 2
Et cn = 0 pour |n| , {−3, −2, 2, 3}.
- s3 (t) = δT0 (t) .
X+∞
δT0 (t) = δ(t − n Te ) qui est un signal périodique qui peut être décomposer en série de
n=−∞
Fourier complexes comme :
+∞ Z T20
X
j n ωe t 1 1 2π
δT0 (t) = Cn e , avec Cn = δ(t) e− j n ωe t dt = et ω0 = .
n=−∞
T0 −T
2
0 T0 T0
+∞
X 1 j n ω0 t
δT0 (t) = e
n=−∞
T0
. Exercice2
- s1 (t) = E , Si − 2τ ≤ t ≤ τ
2
et 0 Si t < − 2τ ou t > τ
2
.
s1 (t)
E
t
- 2τ τ
2
τ
Z ∞ Z 2
− jω t
S 1 (ω) = s1 (t) e dt = E e− j ω t dt
−∞ − 2τ
sin(ω 2τ )
τ τ
E τ τ 2 E e j ω 2 − e− j ω 2
= (e− j ω 2 − e j ω 2 ) = = Eτ
− jω ω 2j ω 2τ
τ
τ T.F sin(ω 2 ) τ
s1 (t) = E Si | t | < 7 → S1 (ω) = E τ
− τ = = E τ sinc(ω )
2 ω2 2
En déduire la TF du signal s(t) = E , Si 0 ≤ t ≤ τ et 0 Si t < 0 ou t > τ : c’est un décalage de
s1 (t) de 2τ c.à.d s(t) = s1 (t − 2τ )
s(t)
t
0 τ
TF
On a : s(t − t0 ) 7−→ S(ω)e−jωt0 . donc :
τ jE − j ω τ
S (ω) = S 1 (ω)e− j ω 2 = (e − 1)
ω
- s2 (t) = e−a |t| , a réel positif.
Z ∞ Z 0 Z ∞
− jω t at − jω t
S 2 (ω) = s2 (t) e dt = e e dt + e−a t e− j ω t dt
−∞ −∞ 0
2a
=
a2 + ω2
S 2 (ω) est fonction réelle donc le spectre d’amplitude est une gaussiènne :
2
1. Croissante de ω → −∞à une valeure maximale pour ω = 0.
a
2. Décroissante vers 0 quand ω → ∞.
3. spectre de phase une droite ϕ =, 0
S2 (ω)
TF 2a TF 2
- Sachant que e−a |t| 7−→ et pour a = 1, alors e− |t| 7−→ 2 .
+ω
a2 2 1 + ω2
On utilisant le Principe de dualité on a :
T.F TF
s(t) 7−→ S(ω), alors S(t) 7−→ 2 π s(−ω)
Donc :
2 TF
7−→ 2 π e− |−ω| = 2 π e− |ω|
1+t 2
Alors
1 TF
7−→ π e− |−ω| = π e− |ω|
1+t 2
- s3 (t) = a, a réel,. La transformée de fourier se calcule pour des signaux bornés alors que s3 (t) =
a n’est pas le cas pour cela on exploite la transformée inverse pour le calcul .
Z ∞
1
s3 (t) = S 3 (ω) e j ω t dω = a
2 π −∞
On utilise la propriété de localisation de l’impulsion de Dirac :
Z ∞
δ(ω) S 3 (ω) dω = s3 (0)
−∞
Donc : Z ∞
1
a = 2 π a δ(ω) e j ω t dω
2 π −∞
S 3 (ω) = 2 π a δ(ω) le graphe est une impulsion de Dirac centrée au point ω = 0 et de valeur
2 π a.
Ou on utilise le Principe de dualité :
TF
δ(t) 7−→ 1
Donc :
TF
1 7−→ 2 π δ(| − ω|) = 2 π δ(ω)
Alors
TF
a 7−→ 2 π a δ(| − ω|) = 2 π a δ(ω)
- s4 (t) = e jω0 t , ω0 constante. Sachant que d’aprés la proprièté :
TF
s(t)ejω0 t 7−→ S(ω − ω0 ).
Pour s(t) = 1 donc S (ω) = 2 π 1 δ(ω)
TF
s4 (t) = 1 ejω0 ) t 7−→ S4 (ω) = 2 π δ(ω − ω0 ) .
le graphe est une impulsion de Dirac centrée au point ω = −ω0 et de valeur 2 π.
|S3 (ω)| |S4 (ω)|
2πa 2π
t t
0 −ω0
S(ω)
π
2
t
− 2ω0 0 2ω0
- δT 0 (t)
+∞
X 1 j n ω0 t
δT0 (t) = e .
n=−∞
T0
1 1
Sachant que que la TF d’une constante : est 2 π δ (ω) .
T0 T0
1 jω0 t 1
Et comme e admet comme transformée de Fourrier 2 π δ(ω − ω0 ). Alors :
T0 T0
+∞ +∞
X 1 j n 2 π ω0 t TF 1 X 1
δT0 (t) = e 7 →
− δ(ω − n ω0 ) = δω t)
n=−∞
T0 T0 n=−∞ T0 0
d s(t)
• Soit s(t) un signal donné par la figure ci contre. On désigne par s1 (t) = la dérivée du signal
dt
s(t).
1. Donner l’équation mathématique du signal s(t) (voir exercice 03 série 01).
(a) Equation mathématique,
t Si |t| < 1,
(
s(t) =
0 Ailleurs
(b) Expression du signal s(t) : f(t)=t
t
−1 1
−1
t
rect(
2
t
t −1 1
s(t) = t . rect( )
2
= t ((u(t + 1) − u(t − 1))
= (t + 1 − 1) (u(t + 1) − (t − 1 + 1) u(t − 1))
= (t + 1) u(t + 1) − (t − 1) u(t − 1) − u(t + 1) − u(t − 1))
ds(t) t
(c) s1 (t) = = u(t + 1) − u(t − 1) − δ(t + 1) − δ(t − 1) = rect( ) − δ(t + 1) − δ(t − 1).
Z dt 2
• s(t) = s1 (t)dt.