République Algérienne Démocratique et Populaire

‫وزارة التعليم العالي والبحث العلمي‬

Ministère de l’enseignement supérieur et de la

recherche scientifique

‫المدرسة الوطنية العليا للتكنولوجيا‬

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE TECHNOLOGIE

Génie Mécanique et Production Ingénierie System Mécanique

Traitement de Signal Compte Rendu

TP : 02
Analyse
fréquen
tielle
des
signaux
périodi
ques

Préparé par :

 BOUZIDI Ilhem
 DERRAOUI Lilia
Encadré par :
 Mr : ‘’ NAIT SLIMEN’’

2019/2020
 Introduction :

L’objectif
de ce TP
La décomposition en série de Fourier permet de décomposer un signal en somme
est
de sinusoïdes. On utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des
signaux périodiques. Elles permettentd’effectuer
ainsi de passer facilement du domaine
temporel au domaine fréquentiel. Pourune pouvoir
étude être décomposable, un signal doit
fréquentiell
être à variations bornées (Dirichlet).
e complète
sur les
signaux
But du TP 
périodique,
et aussi
faire des
comparaiso
ns entre
domaine
fréquentiell
e et
Partie I :
domaine
temporel
Dans cette partie on a calculé laafin valeur demoyenne, la puissance, faire une
décomposition en série de Fourier, puis on a trace la courbe et le spectre
montrer
unilatéral d’amplitude de signal x(t) en utilisant la maquette de traitement de
l’importan
signal et logiciel MATLAB. ce de la
 Calculer la valeur moyenne représentat
et la puissance moyenne de x(t) :
ion
Soit le signal : spectral.
Sin(t) si tϵ [0 ]
X(t)
= 0 si tϵ [pi 2*]

1 1
On a la période T=2 π f = T = 2 π
1
  la valeur moyenne
2∗π
1 1
x= ∫ x ( t ) d (t ) = T ¿ )
T 0

1 1 1
x= [−cos(t )]π0 = (−cos ( π ) +cos ( 0 ))=
2π 2π π

1
x=
π

 Calculer la puissance moyenne :

2∗π
1 1
p=
T
∫ x(t)2 d (t )= T ¿ )
0

1−cos (2∗t)
On a : sin( t)2=
2
π
1 1−cos (2∗t)
P== ∫ d (t )
T 0 2
π
1 1 1
p= [ t− ∗sin ⁡(2∗t)]
2∗π 2 2 0

1 1 1 1
A N  : p= 2 π ( 2 π− 2 sin ( 2∗π )−0− 2 sin ( 2∗π ))

1
P= 4

 Génération du x(t) sous1 MATLAB :

P= 4

t=-3*pi:0.01:3*pi
x=(1/2)*(abs(sin(t))-sin(t-pi))
plot(t,x)
  Déterminer le développement en série de Fourier de ce signal :
+∞ +∞
x ( t )=a0 + ∑ a n cos ( 2∗pi∗n∗f ∗t )+ ∑ bn sin(2∗pi∗n∗pi∗t ¿¿)¿ ¿
n=1 n=1
1
a 0=X =
π

2∗π
2
a n= ∫ x ( t )∗cos ⁡(2∗pi∗n∗f∗t )d( t)
T 0
π 2∗π
2
a n= ∫ sin ⁡(t)∗cos ⁡( 2∗pi∗n∗f∗t) d (t)+ T2
T 0
∫ 0∗cos ⁡(2∗pi∗n∗f∗t )d (t )
π
π
1
a n= ∫ sin ⁡(t)∗cos ⁡(n∗t )d (t )
pi 0

1
Sin(t)*cos (n*t) = 2 (sin((1+n))+sin((1-n)t)
π
1 1
a n= ∫ ¿¿
π 0 2

π
1 −1 1
a n= [ cos ( ( 1+ n ) t ) + cos ( ( n−1 ) t ) ]
2∗π n+1 n−1 0
1 −1 1 1 1
a n= [ cos ( ( 1+ n ) π )+ cos ( ( 1−n ) π ) + − ]
2∗π n+1 n−1 n+1 n−1

 Calculeb n
2∗π
2
b n= ∫ x ( t )∗sin ⁡( 2∗pi∗n∗f ∗t) d (t)
T 0
 π 2∗π
2 2
b n= (∫ sin ( t )∗sin ( 2∗pi∗n∗f∗t ) d ( t ) + ∫ 0∗sin ( 2∗pi∗n∗f ∗t ) d ( t ) )
T 0 T π
π
2
b n= ∫ sin ⁡(t)∗sin ⁡(n∗t )d (t)
2∗π 0
1
On a : sin ( t )∗sin ( n∗t )= 2 (cos ( ( 1−n ) t )−cos ( (1+ n ) t ) )
π
1
b n= ∫(cos ( ( 1−n ) t )−cos ( ( 1+n ) t ) )dt
2∗π 0
π
1 1 1
b n= [ sin ( ( n−1 ) t )− sin ( (1+ n ) t ) ] Avec n≠ 1
2∗π n−1 1+n 0

1 1 1 1 1
b n= [ sin ( ( n−1 ) π )− sin ( ( 1+ n ) π ) sin ( ( n−1 ) 0 ) − sin ( ( 1+n ) 0 ) ]
2∗π n−1 1+n n−1 1+ n
π
1 1 1
b n= ∫ ( − cos ( ( 2 ) t ))dt avec n=1
2∗π 0 2 2
π
1 1 1 1 1
b n= [ t− sin ( ( 2 ) t ) ] = ¿]=
π 2 2 0 2∗π 2
0 avec n

avec n

+∞
1 sin ⁡(t) 1 1
x ( t )= +
π 2
+∑ 2( )
n=1 π n −1
n +1
∗(−1+ (−1 ) ) cos ( n∗t )

 Trace la courbe de x(t) et la courbe de son développement en

série de Fourier pour déférente valeur de n :

Le programme :
 t=-
3*pi:0.01:3*p
i
x=(1/2)*(abs(
sin(t))-
sin(t-pi)
k=500;
xf=(1/pi)
+sin(t)/2;
for n=2:k
xf=xf+(1/pi)*
((1/(n^2-
1))*(-1+(-
1)^(n+1))*cos
(n*t))
end
plot(t,x,t,xf
,'r --')

Cas N°1 n=3 Cas

N°2 :n=20

 Conclusion :
Le signal en rouge représente celui trouvé par le développement en série de
Fourier et le bleu le signal x(t), on remarque que les deux signaux sont
proches. On a conclure que à chaque fois on augmente le n, la précision
augemet.on a trouvé un signal qui la même allure que le signal de base.

 Calcule a l’aide de MATLAB la puissance moyenne de x(t) :

k=50
p=(1/pi)^2+2*(((1/2)^2)/4);
for n=2:3
p=p+2*(((1/pi)*(1/(n^2-1))*(-1+
(-1)^(n+1)))^2)/4;
 Cas N°1 : n=3 Cas N°1 : n=3

 Conclusion :
Pour n=3 p=0.2488
Pour n=7 p=0.2499
Les calculs faits sur le signal trouvé par le développement en série
de Fourier est assure que lorsque n tend vers +∞ la puissance
augement vers la valeur de 0.5.
 Déduire le développement de série de Fourier en cosinus de ce signal :
+∞
On a x ( t )=D0 + ∑ D n cos ( nt+φ )
n=1

1
D 0=a0= x =
π

D n=√ bn2 +a n2

−bn
φ =arctan ( )
an

Pour n=1 :===

Pour n:==
 Pour n=1 :=arctan ()=

Pour n: :=arctan ()=

+∞
1 1 π 1 1
( )
x ( t )= + cos t− −∑
π 2 2(
2 n=1 π n −1 ) n +1
∗(−1+ (−1 ) ) cos ( nt )

 Trace la courbe :

t=-3*pi:0.01:3*pi
x=(1/2)*(abs(sin(t))-sin(t-pi))
k=15;
xf=(1/pi)+cos(t-pi/2)/2;
for n=2:k
xf=xf+(1/pi)*((1/(n^2-1))*(-1+
(-1)^(n+1))*cos(n*t))
end
plot(t,x,t,xf,'r --')

Cas N°1 :n=4 Cas N°2=n=15

 Trace le spectre unilatéral d’amplitude de x(t) sous MATLAB :
 Le programme qu’on a tapé :

n=0:5
for k=1:length(n)
if n==1
D(k)=1/pi
  l’affichage de ce programme :

Partie II :
Dans cette partie on a calculé le développement en série de Fourier
exponentielle, puis on a trace la courbe et le spectre bilatéral d’amplitude de
signal y(t) en utilisant la maquette de traitement de signal et logiciel
MATLAB.

Soit le signal : y(t)=t+2 si t

1 1
On a la période : T= π donc la fréquence : f = T = π

II-1déterminer le développement en série de Fourier exponentielle :

+∞
On a y(t)=c 0 + ∑ c n e j 2 nπft
−∞

c 0=a0= y
 π π π
1 1 −2 1 −1 2
y= ∫ x ( t ) d (t) = x = ∫ ( t+2) d (t) = [ t +2 t ]
T 0 T 0 π π π 0

1 −1 2
= π ( π π +2 π −0−0) =1

y =1

 Calculs de Cn :
π π
c n= 1 ∫ x (t )e− j 2nπft dt = 1 ∫ ( −2 t+2) e− j 2 nπft dt
T 0 T 0 π
π
1 −2 − j 2 πnft 1
= ∫ ( te +2 e− j 2 nπft )dt = ¿ )
T 0 π T

π
−2 − j 2nπft
Calcule l’intégrale I= ∫ ( te dt ) à l’aide de l’intégrale par partie :
0 π

−2 −2
U= π t dU= π

−1 − j 2nπft
dv=e− j2 nπft v= j 2 πnf e

I=¿=¿
1
Donc : c n= π ¿))

Après les calculs on trouve que :

1
c n= Avec n≠ 0
πnj
+∞
1 j 2nt
1+ ∑ e
Alors : y(t)= −∞ πnj
n≠ 0

 Trace le courbe
de y(t) :
  Le programme qu’on a tapé sur MATLAB :

t=-3*pi:0.01:3*pi
x=1-sawtooth(2*t)
plot(t,x)
k=5
y=1
for n=-5:1:k
if n==0
y=1
else
y=y+2*(1/(j*pi*n))*exp(2*j*n*t)
end
end
plot(t,x,t,y,'r--')

 l’affichage de ce programme :

casN°1 :n=5 casN°2 :n=50

 Conclusion :
Le signal en rouge représente celui trouvé par le développement en série de
Fourier exponentielle et le bleu le signal y(t) .on déduire que à chaque fois
augment n les deux courbe devient les même.

 le spectre bilatéral :
 Le programme qu’on a tapé sur MATLAB :
 n=-5:5
for k=1 : length(n)
if n==0
c(k)=1
 l’affichage de ce programme :
else
c(k)=abs(1/(j*pi*k))
end
end
stem(n,c)

En se basant sur les déférents résultats obtenus dans ce TP on peut

dire :
-L’analyse spectrale permet de trouver une représentation fréquentielle
(spectral) des signaux  déterministe.

-Lors du passage du domaine temporal au domaine fréquentielle l’énergie est

conservé car :
2∗π
a2 +b2
+∞ +∞
1
P= ∫ x(t)2 d (t )= ∑ |c n| =a 2+2 ∑
T 0 −∞ 1 4

Lorsqu’on a calculé les valeurs de P par la valeur de x(t) et la décomposition

de Fourier on a trouvé la même valeur.

Conclusion :

Au cours de ce travail pratique :

 On a conclure que la décomposition de série de Fourier est un outil simple et

claire pour trouver le spectre d’un signal périodique.
 Aussi on peut constater que le spectre d’un signal périodique est toujours un