TDs Aléatoires+Corrigé
TDs Aléatoires+Corrigé
TDs Aléatoires+Corrigé
TD1
Corrélations et DSP
On considère dans cet exercice différents modèles du secteur et on étudie la densité spectrale de puissance des
signaux obtenus à l’aide de ces modèles.
1. Dans une première approche, on utilise le modèle :
A2 A2
Z Z Z
1 2 1 1
P = |X(t)| dt = A20 cos (2πf0 t) dt = 0
2
{1 + cos (4πf0 t)} dt = 0 < ∞.
T0 T0 T0 T0 T0 T0 2 2
A20
sX (f ) = T F [RX (τ )] = {δ (f − f0 ) + δ (f + f0 )} .
4
1
Sa fonction d’autocorrélation est définie par :
RX (τ ) =E [X(t)X ∗ (t − τ )]
=E A20 cos (2πf0 t + θ) cos (2πf0 (t − τ ) + θ)
A20
= E [cos (2πf0 τ ) + cos (4πf0 t − 2πf0 τ + 2θ)]
2
2
A
= 0 cos (2πf0 τ ) . (2)
2
Remarque : Le signal est stationnaire au second ordre car sa moyenne et sa fonction d’autocorrélation
sont indépendantes du temps.
Sa DSP est donnée par :
A20
sX (f ) = T F [RX (τ )] = {δ (f − f0 ) + δ (f + f0 )} .
4
3. La fréquence du courant électrique n’est jamais exactement f0 = 50Hz. Afin de modéliser les variations
en fréquence, on considère le modèle :
f étant une variable uniformément répartie sur l’intervalle [f0 − ∆f, f0 + ∆f ] indépendante de θ. Calculer
alors la moyenne, la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale de puissance de X (t).
Le signal est aléatoire.
Sa moyenne est donc donnée par :
mX = E [X(t)] = Ef,θ [A0 cos (2πf t + θ)] = Ef [Eθ [A0 cos (2πf t + θ) |f ]] = Ef [0] = 0.
A20 f0 +∆f
2 Z
A0 1
=Ef cos (2πf τ ) = cos (2πf τ ) × df
2 2 f0 −∆f 2∆f
f +∆f
A2 sin (2πf τ ) 0
= 0
4∆f 2πτ f0 −∆f
A20
= {sin (2π(f0 + ∆f )τ ) − sin (2π(f0 − ∆f )τ )}
8πτ ∆f
A20
= sin (2π∆f τ ) cos (2πf0 τ )
4πτ ∆f
A2
= 0 sinc (2π∆f τ ) cos (2πf0 τ ) . (3)
2
Remarque : Le signal est stationnaire au second ordre car sa moyenne et sa fonction d’autocorrélation
sont indépendantes du temps.
Sa DSP est donnée par :
A20 1 1 A20
sX (f ) = T F [RX (τ )] = Π2∆f (f )∗ {δ (f − f0 ) + δ (f + f0 )} = [Π2∆f (f − f0 ) + Π2∆f (f + f0 )] .
2 2∆f 2 8∆f
2
Exercice 2 : Modulation d’amplitude
Soit A(t) un signal aléatoire stationnaire réel de fonction d’autocorrélation RA (τ ) et de densité spectrale de
puissance sA (f ) définie par :
α, si |f | ≤ F
sA (f ) =
0, sinon.
Soit A(t) un signal aléatoire stationnaire, réel, de fonction d’autocorrélation RA (τ ) et de densité spectrale de
puissance sA (f ) définie par :
α, si |f | ≤ F
sA (f ) =
0, sinon.
On considère le signal X(t) = A(t) cos (2πf0 t + θ), avec F f0 et θ une variable aléatoire uniformément
répartie sur l’intervalle [0, 2π[ indépendante de A(t).
1. Montrer que X(t) est un signal aléatoire stationnaire. Déterminer et représenter graphiquement sa densité
spectrale de puissance.
Le signal est aléatoire. Sa moyenne est donc donnée par mX = E [X(t)] et sa fonction d’autocorrélation
par RX (τ ) = E [X(t)X ∗ (t − τ )]. Pour montrer qu’il est stationnaire il faut montrer que mX et RX sont
indépendantes du temps.
On a
mX = E [X(t)] = E [A(t) cos (2πf0 t + θ)] = E [A(t)] E [cos (2πf0 t + θ)]
car A et θ sont des variables aléatoires indépendantes. D’où
mX = 0.
De même
RX (τ ) =E [A(t) cos (2πf0 t + θ) A∗ (t − τ ) cos (2πf0 (t − τ ) + θ)]
=E [A(t)A∗ (t − τ )] E [cos (2πf0 t + θ) cos (2πf0 (t − τ ) + θ)]
1
=RA (τ ) × cos (2πf0 τ ) . (4)
2
Le signal est donc stationnaire (au second ordre) car sa moyenne et sa fonction d’autocorrélation sont
indépendantes du temps. Sa DSP est donnée par
1 1
sX (f ) = T F [RX (τ )] = SA (f ) ∗ {δ (f − f0 ) + δ (f + f0 )} = {SA (f − f0 ) + SA (f + f0 )}
4 4
2. Afin de retrouver le signal A(t) à partir de X(t), on construit le signal Y (t) = X(t) cos (2πf0 t + θ).
(a) Déterminer et tracer la densité spectrale de puissance de Y (t).
On a
RY (τ ) = E [Y (t)Y ∗ (t − τ )] = E [X(t) cos (2πf0 t + θ) X ∗ (t − τ ) cos (2πf0 (t − τ ) + θ)] .
Attention ici X(t) et le cosinus ne sont pas indépendants car ils dépendent tous deux de θ. Mais
RY (τ ) =E A(t) cos2 (2πf0 t + θ) A∗ (t − τ ) cos2 (2πf0 (t − τ ) + θ)
1 + cos (4πf0 t + 2θ) 1 + cos (4πf0 (t − τ ) + 2θ)
=RA (τ ) × E
2 2
1 1
= RA (τ )E 1 + cos (2θ + ...) + cos (2θ + ...) + {cos (4πf0 τ ) + cos (4θ + ...)} (5)
4 2
1 1
= RA (τ ) 1 + cos (4πf0 τ ) . (6)
4 2
(b) Quel traitement doit-on utiliser pour retrouver A(t) à partir de Y (t) ?
Il faudra utiliser un filtre passe-bas pour conserver uniquement la partie 14 SA (f ) et couper la partie
qui se trouve autour de 2f0
3
TD2
Filtrage linéaire
Exercice 3 : Rapport Signal sur Bruit (RSB) en sortie d’un filtre linéaire
4
2. Montrer qu’il est maximal pour θ = 2πf0 .
On a
dRSB A2 4π 2 f02 − θ2
=2
dθ N0 (4π 2 f02 + θ2 )2
dRSB
et donc dθ = 0 pour θ = 2πf0 .
PYs
Remarque : Le rapport Signal sur Bruit en décibels (dB) est défini par : RSB = 10 log10 PYB (dB). On le
note aussi SNR (Signal to Noise Ratio).
Mais
X2 (t) = X1 (t) ∗ TF−1 [H2 (f )] = X1 (t) ∗ δ(t − T ) = X1 (t − T ).
Donc
PY = E[X12 (t) + X12 (t − T ) + 2X1 (t)X1 (t − T )] = 2[PX1 + RX1 (T )].
5
4. En déduire l’expression de la puissance de Y (t) en fonction de N0 , ∆f et T . Tracer les variations de cette
puissance lorsque T varie.
D’après ce qui précède, on a
PY ≈ 2N0 ∆f.
6
TD3
Filtrage non linéaire
On considère un filtre non linéaire de type exponentiel. Si x (t) est l’entrée du filtre, la sortie y (t) s’écrit :
var[y(t)] = E[y 2 (t)]−E 2 [y(t)] = E {2 exp [x(t)]}−E 2 {exp [x(t)]} = m(2)−m2 (1) = exp(2σ 2 )−exp σ 2 .
3. Calculez la fonction d’autocorrélation du signal en sortie du filtre en fonction de celle du signal à l’entrée.
Nous avons vu en cours qu’un signal défini par une transformation non linéaire sans mémoire d’un signal
aléatoire stationnaire reste stationnaire, plus précisément que Ry (τ ) dépend uniquement de Rx (τ ) et de
Rx (0). L’application du théorème de Price conduit à
∂Ry (τ ) ∂y(t) ∂y(t − τ ) ∂Ry (τ )
=E = E [y(t) × y(t − τ )] = Ry (τ ) ⇔ = ∂Rx (τ ).
∂Rx (τ ) ∂x(t) ∂x(t − τ ) Ry (τ )
ln |Ry (τ )| = Rx (τ ) + C,
soit
Ry (τ ) = K exp[Rx (τ )].
Pour trouver K, on fait τ = 0 et on obtient
Ry (0)
Ry (0) = K exp[Rx (0)] ⇔ K = .
exp[Rx (0)]
et donc
Ry (τ ) = exp[Rx (τ ) + Rx (0)].
7
Exercice 6 : Filtrage non linéaire de type cubique
On considère le filtre non linéaire sans mémoire d’entrée x(t) et de sortie y(t) défini par :
y(t) = x3 (t)
On suppose que x(t) est un processus aléatoire réel Gaussien stationnaire de moyenne nulle et de fonction
d’autocorrélation Rx (τ ).
1. En utilisant le théorème de Price, donner une équation différentielle liant la fonction d’autocorrélation
de y(t) notée Ry (τ ) et Rx (τ ). En déduire une expression de Ry (τ ) en fonction de Rx (τ ) à une constante
additive près.
D’après le théorème de Price, on a
∂Ry (τ ) ∂y(t) ∂y(t − τ )
= E 3x2 (t)) × 3x2 (t − τ ) = 9Rx2 (τ ).
=E
∂Rx (τ ) ∂x(t) ∂x(t − τ )
Donc
∂Ry (τ )
= 18Rx2 (τ ) + 9Rx2 (0).
∂Rx (τ )
En intégrant cette équation, on obtient
2. On rappelle le résultat suivant, valable pour une variable aléatoire Z gaussienne de moyenne nulle et de
variance σ 2 :
E Z 2n = (2n)!!σ 2n avec (2n)!! = (2n − 1) × (2n − 3) × ... × 3 × 1
d’où
C = E[x6 (t)] − 15Rx3 (0).
En utilisant le rappel, on en déduit
C = 15σ 6 − 15σ 6 = 0
et donc
Ry (τ ) = 6Rx3 (τ ) + 9Rx2 (0)Rx (τ ).
8
Exercice 7 : Signe d’un processus aléatoire
On considère le filtre non linéaire sans mémoire d’entrée x(t) et de sortie y(t) défini par :
y(t) = signe[x(t)].
On suppose que x(t) est un processus aléatoire réel Gaussien stationnaire de moyenne nulle et de fonction
d’autocorrélation Rx (τ ).
1. En utilisant le théorème de Price, donner une équation différentielle liant la fonction d’autocorrélation
de y(t) notée Ry (τ ) et Rx (τ ). En déduire une expression de Ry (τ ) en fonction de Rx (τ ) à une constante
additive près. On rappelle la primitive suivante
Z
1 u
√ du = Arcsin +K
a2 − u2 a
Pour déterminer Ry (τ ), il faut déterminer le second membre de cette équation, ce qui se fait comme suit
Z Z
E{δ[x(t)]δ[x(t − τ )]} = δ[x1 ]δ[x2 ]p(x1 , x2 )dx1 dx2 .
d’où Z Z
1
E{δ[x(t)]δ[x(t − τ )]} = δ[x1 ]δ[x2 ]p(0, 0)dx1 dx2 = p(0, 0) = p .
2π |Σ|
On en conclut
∂Ry (τ ) 4
= p
∂Rx (τ ) 2π Rx (0) − Rx2 (τ )
2
9
TD4
Processus aléatoires
On suppose que les appels téléphoniques arrivant à l’N7 suivent un processus de Poisson de paramètre λ. On
rappelle que si X suit une loi de Poisson de paramètre a > 0, on a
ak −a
P [X = k] = e , k ∈ N.
k!
Sachant que deux appels sont arrivés entre 7h00 et 8h00, quelle est la probabilité
1. que ces deux appels soient arrivés entre 7h00 et 7h30 ?
On sait que le nombre d’appels reçus entre l’instant t et l’instant t + τ noté N (t, τ ) suit une loi de Poisson
de paramètre λ|τ |. On demande
1
P1 = P N 7h, h = 2|N (7h, 1h) = 2 .
2
On sait que lorsque les deux intervalles [t, t+τ [ et [t0 , t0 +τ 0 [ sont disjoints, les variables aléatoires associées
N (t, τ ) et N (t0 , τ 0 ) sont indépendantes. On va donc réécrire la probabilité P1 de manière à faire intervenir
des intervalles disjoints, soit
λ 2
1 λ 0
P N 7h, 21 h = 2 et N 7h30, 21 h = 0 1
exp − λ2 × 0! exp − λ2
2 2 2 1
P1 = = 1 2 = .
P [N (7h, 1h) = 2] 2 λ exp(−λ) 4
Donc
P N 7h, 12 h = 0 et N (7h, 1h) = 2
P2 =1 −
P [N (7h, 1h) = 2]
P N 7h, 12 h = 0 et N (7h30, 12 h) = 2
=1 − . (11)
P [N (7h, 1h) = 2]
soit
λ 0
1
2
exp − λ2 × 12 λ2 exp − λ2
0! 2 1 3
P2 = 1 − 1 2 =1− = .
2 λ exp(−λ) 4 4
10
Exercice 9 : Processus multi-niveaux à transitions Poissonniennes
On considère une suite d’instants T = {tj }j∈Z associée à un processus de Poisson homogène de paramètre λ et
on forme le signal aléatoire X(t) de la manière suivante
où {An }n∈Z est une suite de variables aléatoires centrées de corrélation stationnaire c(k), c’est-à-dire telle que
On en déduit ( )
X (λ|τ |)k
E[X(t)X(t − τ )] = exp (−λ|τ |) c(k) , τ ∈ R.
k!
k∈Z
Comme E[An ] = 0, on a E[X(t)] = 0, donc le signal X(t) est stationnaire au second ordre.
2
2. Application au cas c(k) = σA δ(k). Comparer au signal des télégraphistes.
Dans ce cas, on a
2
E[X(t)X(t − τ )] = σA exp (−λ|τ |)
qui est la même fonction d’autocorrélation que celle du signal des télégraphistes.
2 k
3. Application au cas d’une suite Markovienne définie par c(k) = σA p avec |p| < 1.
Dans ce cas, on a
( )
X (λ|τ |)k
2 k
E[X(t)X(t − τ )] =σA exp (−λ|τ |) p
k!
k∈Z
2
=σA exp (−λ|τ |) exp (−λp|τ |)
2
=σA exp (−λ(1 − p)|τ |) . (13)
11
Exercice 10 : Changement d’horloge
On considère un signal des télégraphistes A(t) à valeurs dans {−1, +1} et un signal aléatoire stationnaire Z(t)
de moyenne nulle, de fonction d’autocorrélation RZ (τ ) et de densité spectrale de puissance sZ (f ). On suppose
que les signaux A(t) et Z(t) sont indépendants et on s’intéresse au signal V (t) = Z (t − A(t)) qui prend en
compte le fait qu’on ne connait pas parfaitement les instants auxquels sont observés le signal Z(t).
1. Calculer les deux fonctions caractéristiques suivantes
h i h i
ψ(f ) = E e2iπf A(t) , φ(τ, f ) = E e2iπf [A(t−τ )−A(t)] .
2. Déterminer la moyenne et la fonction d’autocorrélation du signal V (t) que l’on exprimera en fonction de
sz (f ) et de φ(τ, f )
En utillisant les espérances conditionnelles, on obtient
E[V (t)] = EA(t) [E [Z(t − A(t))|A(t)]] = EA(t) [0] = 0.
De même
E[V (t)V (t − τ )] =EA(t),A(t−τ ) [E [Z(t − A(t))Z(t − τ − A(t − τ ))|A(t), A(t − τ )]]
=EA(t),A(t−τ ) [RZ (τ − A(t) + A(t − τ )]. (18)
12
Comme on demande d’exprimer le résultat en fonction de sz (f ), on écrit la fonction d’autocorrélation
comme suit Z
RZ (τ ) = sZ (f )ej2πf τ df,
d’où
Z
j2πf [τ −A(t)+A(t−τ )]
E[V (t)V (t − τ )] =EA(t),A(t−τ ) sZ (f )e df .
Z h i
= sZ (f )ej2πf τ EA(t),A(t−τ ) ej2πf [−A(t)+A(t−τ )] df
Z
= sZ (f )ej2πf τ φ(τ, f )df. (19)
Comme E[V (t)] et E[V (t)V (t − τ )] sont des quantités indépendantes de t, le signal V (t) est stationnaire
au second ordre.
13
Transformée de Fourier
! !
X(f ) = x(t)e−i2πf t dt
R
x(t) = R X(f)ei2πf t df
T.F.
x(t) réelle paire ⇋ X(f) réelle paire
x(t) réelle impaire ⇋ X(f
) imaginaire pure impaire
Re {X(f )} paire
Im {X(f )} impaire
x(t) réel ⇋
|X(f )| pair
arg {X(f)} impaire
ax(t) + by(t) ⇋ aX(f ) + bY (f )
x(t − t0 ) ⇋ X(f )e−i2πf t0
x(t)e+i2πf0 t ⇋ X(f − f0 )
∗
x (t) ⇋ X ∗ (−f)
x(t) . y(t) ⇋ X(f) ∗ Y (f)
x(t) ∗ y(t) ⇋ X(f) . &Y (f)
'
x(at) ⇋ 1
|a|
X fa
dx(n) (t)
dtn
⇋ (i2πf)n X(f)
dX (n) (f )
n
(−i2πt) x(t) ⇋ df n
T.F.
1 ⇋ δ (f) Π ( t)
T
δ (t) ⇋ 1 1
e+i2πf0 t ⇋ δ (f − f0 ) t
(δ (t − t0 ) ⇋ −i2πf t0
(e & ' -T /2 T /2
δ (t − kT ) ⇋ 1
T
δ f − k
T
k∈Z k∈Z
cos (2πf0 t) ⇋ 1
2
[δ (f − f0 ) + δ (f + f0 )] Λ T (t)
sin (2πf0 t) ⇋ 1
2i
[δ (f − f0 ) − δ (f + f0 )] 1
t
e−a|t| ⇋ 2a
a2 +4π 2 f 2
-T T
⇋
2 −πf 2
e−πt e
!!!!!! Attention !!!!!
ΠT (t) ⇋ sin(πT f )
T πT f = T sin c (πT f ) ΠT (t) est de support égal à T .
ΛT (t) ⇋ T sin c2 (πT f) ΛT (t) est de support égal à 2T
B sin c (πBt) ⇋ ΠB (f ) et on a ΠT (t) ∗ ΠT (t) = T ΛT (t)
B sin c2 (πBt) ⇋ ΛB (f )
) *
0 si t &= 0
δ (t) = et δ (t) dt = 1
+∞ si t = 0 R
δ (t − t0 ) f (t) = δ (t − t0 ) f (t0 )
δ (t − t0 ) ∗ f (t) = f(t − t0 )
14