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Lobjectif est la ralisation la conception de filtres partir de cahier de charges
formules sous forme de gabarit.
Elle seffectue selon le processus suivant:
Dpart : Cahier des charges, Gabarit du filtre rel, Normalisation.
Etape 1 : Transposition: Ramener le filtre un passe-bas.
Etape 2 : Calcul de lordre du filtre n et de la fonction de transfert en GN(X) en
fonction de l'approximation choisie (Butterworth, Chebychev, Legendre, Bessel)
Etape 3 : calcul de la fonction de transfert du filtre rel G(jw)
Etape 4 : choix d'une structure (Rauch, Sallen-Key.) et calcul des
composants par identification Mthode gnrale LA SYNTHESE DES FILTRES 1. LE GABARIT On souhaite raliser un filtre de On souhaite raliser un filtre de Butterworth qui ait gain minimal de -50 Butterworth qui ait affaiblissement dB de 0 2kHz et un gain maximal minimal de 50 dB de 0 2kHz et un de 0dB partir de 10kHz. affaiblissement maximal de 1dB partir de 10kHz. 20 log ||G|| (dB) fa fp f Gmax (log)
Gmin
Amax : Attnuation maximum tolre en bande passante
Amin : Attnuation minimum en bande coupe fp : frquence de coupure (premire frquence passante) fa : frquence de frontire (dernire frquence attnue) LA SYNTHESE DES FILTRES Notion de slectivit et de bande relative Aux frquences frontires comme paramtres de calcul, il est plus simple et plus parlant de leur substituer les paramtres quivalents ( mais sans dimension ) que sont la slectivit k et la largeur de bande relative B.
k donne une indication de la largeur de la bande de transition. Plus k est grand, plus le filtre est slectif. LA SYNTHESE DES FILTRES
La normalisation des frquences
La normalisation doit tre faite en abscisse et en ordonne, il s'agit d'un
changement de variable.
En abscisse, Elle consiste choisir comme unit de frquence, non plus le
Hertz, mais une frquence de rfrence associe au gabarit.
On utilise gnralement la frquence de coupure :
fp pour les filtres passe-bas et passe-haut fo pour les filtres passe-bande et coupe-bande
En ordonne, elle permet de se ramener un gain de 0 dB dans la bande
passante . Il s'agit simplement d'ajouter un gain positif (amplification) ou ngatif (attnuation). LA SYNTHESE DES FILTRES La normalisation des frquences f Pour les filtres passe-bas et passe-haut Fs fp On peut parler aussi de pulsation normalise ou de Laplace normalise. On obtient les gabarits normaliss ci-dessous LA SYNTHESE DES FILTRES
La normalisation des frquences
f Pour les filtres passe-bande ou coupe bande F fn f0 On obtient les gabarits normaliss ci-dessous LA SYNTHESE DES FILTRES
La normalisation des frquences
A partir des frquences normalises on peut tablir la fonction de
transfert normalise.
Exemple pour le filtre passe-bas suivant
1 1 H ( j ) 1 jRC 1 j 0
La normalisation de Laplace donne on obtient
1 H ( js ) avec s 1 js 0 LA SYNTHESE DES FILTRES
La normalisation des frquences
Exemple de fonctions normalises :
LA SYNTHESE DES FILTRES 2. LA TRANSPOSITION DES FILTRES
Afin de faciliter la ralisation des filtres, il existe des fonctions pr-tablies qui nous permettent de les raliser.
Seulement ces fonctions sont tablies pour des filtres de passe-bas. Nous devons donc transformer tous les autres filtres en passe-bas.
1 Passe-haut passe-bas S s
s2 1 1 1 1 1 Passe-bande passe-bas S ou S (s ) ou S (s B.s B s 2 s
B.s B 2. Coupe-bande passe-bas S ou S ou S s2 1 s 1 s 1 s s LA SYNTHESE DES FILTRES 2. LA TRANSPOSITION DES FILTRES: Transposition des gabarits
Exercice 1 : Filtre de Butterworth
On souhaite raliser un filtre de Butterworth qui ait un affaiblissement minimal de 50 dB de 0 2 kHz, et un affaiblissement maximal de 1 dB partir de 10 kHz. . LA SYNTHESE DES FILTRES 2. LA TRANSPOSITION DES FILTRES: Transposition des gabarits LA SYNTHESE DES FILTRES 2. LA TRANSPOSITION DES FILTRES: Transposition des gabarits La Transposition des fonctions de transfert Exemple: LA SYNTHESE DES FILTRES
3. LES FONCTIONS DAPPROXIMATION:
On dtermine la fonction de transfert T(js) telle que la courbe sinscrive dans le gabarit normalis. Les conditions sur la fonction recherche sont : -Sur AB : 20 log T(s) pour s sp = 1, -Sur CD : 20 log T(s) pour s sa, - en B : 20 log T(1) donc T (1) 10 /20 .
Les approximations possibles sont les fonctions de Butterworth, de Chebychev,
de Bessel entre autres .
Ces fonctions permettent partir des caractristiques des cahiers de charge
de dterminer lordre du filtre puis partir de tableaux ou dabaques den dduire la fonction de transfert du filtre LA SYNTHESE DES FILTRES 3. LES FONCTIONS DAPPROXIMATION: La fonction de Butterworth La rponse de Butterworth ou est aussi appele MFn pour maximally flat dordre n car elle a comme proprit dtre plate dans la partie AB (bande passante).
Le gain vaut alors :
GdB = - 10 log ( 1 + s2n ) . Si s = 1 on a toujours GdB = - 10 log (1 + 1) = -10 log 2 = - 3 dB . LA SYNTHESE DES FILTRES 3. LES FONCTIONS DAPPROXIMATION: La fonction de Butterworth LA SYNTHESE DES FILTRES
3. LES FONCTIONS DAPPROXIMATION:
LA SYNTHESE DES FILTRES 3. LES FONCTIONS DAPPROXIMATION: La fonction de Tchebycheff
la rponses de Chebychev (ou Tchebytcheff) est aussi appels Ern pour equal ripple qui signifie : gales ondulations dans la bande passante que lordre n.
Elles ont la proprit davoir avant la coupure, des ondulations ayant autant de maximums que lordre n du filtre.
ou LA SYNTHESE DES FILTRES
3. LES FONCTIONS DAPPROXIMATION:
La fonction de Tchebycheff 1 H (s) 1 2 C n ( s ) 2
n est lordre du filtre
(ondulation) est un nombre rel Cn est le polynme de Chebyshev dordre n dfini par :
C n (s) = cos [n (arcos(s))] pour s 1
Cn (s) = ch [n (argchs)] pour s 1
Le polynme Cn(s) est dfini par une relation de rcurrence :
C 0 (s) = 1 ; C1 (s) = s ; C n (x) = 2.C n -1 (x) - C n -2 (x)
LA SYNTHESE DES FILTRES 3. LES FONCTIONS DAPPROXIMATION: La fonction de Tchebycheff Laffaiblissement maximal Amax dans la bande passante est atteint lorsque s=1 A max = 10log10 (1 + 2 ) Laffaiblissement minimal dans la bande attnue est atteint partir de s=sa . 1 20 log [1 + 2 Cn 2 (s a )] Amin (dB) 2
Amin avec Cn (s) = ch [n (argch s)] pour s 1 on a : ch [n (argch s a )] 10 2 2 10 1 Amax avec (1) on en tire n 2 10 10 1 Remarque : Comme la donne de la largeur de la bande dondulation fixe la pulsation de normalisation p, il suffit de connatre un point de la bande darrt et lamplitude e de londulation admise pour dterminer lordre n du filtre : LA SYNTHESE DES FILTRES
3. LES FONCTIONS DAPPROXIMATION:
La fonction de Tchebycheff LA SYNTHESE DES FILTRES 3. LES FONCTIONS DAPPROXIMATION: La fonction de Tchebycheff LA SYNTHESE DES FILTRES
4. CHOIX DE LA STRUCTURE DU FILTRE
A partit de la fonction de transfert obtenue, on procde
-La transposition inverse
- La dnormalisation
- Pour un filtre dordre n>2, les filtres de 1er et 2me ordre sont associs en cascade pour avoir des filtres dordre suprieur
- Le choix de la structure du filtre ( structure de Rauch ou de Sallen Key
- La ralisation des cellules lmentaires sont ralises partir filtres de premier
