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TP 4

Ce document présente un TP sur la transformation de Fourier et l'échantillonnage des signaux analogiques. Il contient un rappel théorique sur la représentation fréquentielle des signaux et la transformée de Fourier. Le document décrit ensuite des simulations sous MATLAB pour calculer la transformée de Fourier de signaux rectangulaires et cosinus et vérifier les résultats théoriquement.

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Ce document présente un TP sur la transformation de Fourier et l'échantillonnage des signaux analogiques. Il contient un rappel théorique sur la représentation fréquentielle des signaux et la transformée de Fourier. Le document décrit ensuite des simulations sous MATLAB pour calculer la transformée de Fourier de signaux rectangulaires et cosinus et vérifier les résultats théoriquement.

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T P de Traitement de Signal AII

Travaux Pratiques N2 :

TRANSFORMATION DE FOURIER ET ECHANTILLONNAGE

DES SIGNAUX ANALOGIQUES

Objectif :
Lobjectif de ce TP est de raliser la Transforme de Fourier et dtudier le principe
dchantillonnage des signaux analogiques par simulation laide du logiciel MATLAB.

I. Rappel thorique
Un signal est la reprsentation physique de l'information. La description mathmatique des signaux
est l'objectif de la thorie du signal. Elle offre les moyens d'analyser, de concevoir et caractriser
des systmes de traitement de l'information.

I.1. Reprsentation frquentielle des signaux

I.1. 1. Introduction
La transformation de Fourier, gnralise par lemploi des distributions, permet dobtenir une
reprsentation spectrale des signaux dterministes. Celle-ci exprime la rpartition frquentielle de
lamplitude, de phase, de lnergie ou de puissance des signaux considrs.

I.1.2. Transforme de Fourier


I.1.2.1. Dfinition de la TF:
Soit x(t) un signal dterministe, sa Transforme de Fourier est une fonction gnralement complexe,
de la variable relle f dfinis par :

+
j 2 ft
X(f) = x ( t ).e

. dt

II. Etude pratique

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T P de Traitement de Signal AII

II. Simulation par MATLAB


II.1 . Transforme de Fourier dun signal rectangulaire :
Soit le Programme suivant :

clear;N=400;x=zeros(N,1); % N= nombre de points


T=20; %largeur du signal rect
for i=N/2-T/2:N/2+T/2-1,x(i)=1;end;
t=-N/2:N/2-1;
subplot(211);plot(t,x);axis([-N/2,N/2,0,1.3]);
grid;xlabel('t(s)');
f=-0.5:1/N:0.5-1/N;g=fft(x,N);
subplot(212); plot(f,fftshift(abs(g(1:N))),'-r');
xlabel('F(Hz)');grid

Excuter et commenter le programme Matlab suivant qui calcule la transforme de Fourrier


d'un signal rectangulaire centr, d'amplitude A=1v et de largeur T= 20s. Est ce que le
rsultat vrifie la thorie?
Changer ce programme pour tracer la transforme de Fourrier d'un signal rectangulaire
centr, d'amplitude A=2 v et de largeur T= 10s. Vrifier le rsultat avec la thorie.

II.1 .2 Transforme de Fourier dun signal cosinus :


Le programme ci-dessous permet de construire et dafficher un signal cosinus x(t)
damplitude 1v, de frquence f0. Ce vecteur x est compos de N points et reprsente r
priodes du cosinus. La variable temps du signal est entre 0 et Tmax = r/f0.
Le programme permet aussi de calculer et dafficher la transforme de Fourier de ce signal en
utilisant la dfinition de la transforme de Fourier et aussi en utilisant la commande fft (Fast
Fourier Transform) de Matlab (Voir le help de fft, abs et fftshift).

Soit le Programme suivant :

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T P de Traitement de Signal AII

clear ; f0=10; N=1000 ;


r=3; Tmax=r/f0;
t=0:Tmax/N:Tmax-Tmax/N;
x=cos(2*pi*f0*t);
subplot(2,2,1);plot(x);grid;
g=fft(x,N)/N;subplot(2,2,2);
f=(-N/2:N/2-1)/r*f0;
plot(f,fftshift(abs(g)));
axis([-2*f0,2*f0,-0.1,0.6]); grid;
title('Module de la TF par FFT');
xlabel('F(Hz)'); ylabel('amplitude');
i=1:N;d=[];
for u=-0.5:1/N:0.5-1/N;
r=sum(x.*cos(2*pi*u*i))/N;
im=sum(x.*sin(2*pi*u*i))/N;
d=[d norm([r im])];end;
subplot(2,2,3); plot(f,d);
axis([-2*f0,2*f0,-0.1,0.6]);
grid;title('Module de la TF par la dfinition');
xlabel('F(Hz)');ylabel('amplitude');

Tester ce programme. Et ce que le rsultat vrifie la thorie ?

Conclure.

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