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    Association d’une surface théorique quelconque à un nuage

    de points :

    Méthode employée :
    Surface théorique :

    Surface mesurée :

    Surface associée :
    La surface réelle étant par dentition très proche de la surface théorique nous
    pourrons employer dans nos calculs la méthode dite des petits déplacements
    [4.4], nous exprimerons donc le mouvement de R’ par rapport à R sous la forme
    habituelle d’un torseur de petits déplacements :

    La méthode des petits déplacements nous permet d’écrire :

    Soit e i l’écart entre un point Mri et la surface associée :

    Donc :

    avec :

    Nous arrivons ainsi à une forme générale :


    Pour réaliser le calcul nous allons utiliser une fonction F telle que :

    Il nous faudra donc calculer successivement :

    Applications :
    1) Détermination du défaut de rectitude d’une règle :

    Nous aurons :
    Si le critère d’association est celui des moindres carrés nous écrirons :

    Pour que F passe par un minimum il faudrait que :

    Et :

    Soit en reportant les valeurs numériques dans (2) et (3) :


    Ce qui permet alors de calculer les différents écarts e i en utilisant :

    Ce qui donnera un défaut de rectitude de :

    2) Détermination du défaut de circularité d’une section


    droite d’un cylindre de révolution :
    Nous aurons :

    Dans ce cas l’équation générale (1) s’écrira alors :

    e i=a i−dx .cos θi−dx . sinθ i

    Nous aurons donc :

    Le balançage sera optimisé lorsque :


    soit en reportant les valeurs numériques dans (4) et (5):

    Ce qui permet de calculer les différents e i en utilisant


    Ce qui donnera un défaut de circularité de : 8,30 ± 21,45 = 29,75 µm

    3). Détermination du défaut de planéité d’une surface


    4). Association par un plan passant par trois points
    Pour les raisons de stabilité déjà évoquées nous choisissons de prendre le plan
    passant par les points 1, 5 et 15 comme plan associé. Cette association sera
    virtuelle c’est-à-dire que nous allons la réaliser en simulant deux rotations.
    Suivante ox et oy.
    Première rotation autour de Oy :

    Seconde rotation autour de Ox :

    Dans ce cas on calculerait un défaut de planéité égal à : 50 ± 5 = 55 soit : 55 µm.

    5). Association par un plan des moindres carrés


    Dans le cas traité ui= 0, vi= 0 et w i= 1 l’équation générale (1)
    devient :
    Soit :

    D’où les trois équations suivantes :


    Les valeurs contenues dans le tableau 4.4 vont permettre de
    numériser ces trois équations. Les équations précédentes
    deviennent :

    La résolution de ce système permet d’obtenir :

    D’où un défaut de planéité égal à : 0,021 ± 0,017 = 0,038 soit : 38


    µm.

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