MP du lycée Berthollet, 2015/2016 http://mpberthollet.wordpress.

com

Définition I.1
Résumé 09 : Topologie (I)
On appelle norme sur E toute application N : E → R+ (donc positive) qui
vérifie
Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C, et E sera un espace vectoriel
sur K. 1. Pour tout x ∈ E, N (x) = 0 ⇐⇒ x = 0E .
2. Pour tout x ∈ E et λ ∈ K, N (λx) = |λ|N (x).
3. Pour tout x, y ∈ E, N (x + y) 6 N (x) + N (y).
§ 1. Rappel sur la borne supérieure .—
Définition .1 (Borne supérieure d’un ensemble) (E, N ) est alors appelé espace vectoriel normé.
Un vecteur x ∈ E est dit unitaire lorsque N (x) = 1.
Soit Ω ⊂ R et m ∈ R. on dit que m est la borne supérieure de Ω et on note
m = sup Ω lorsque : Voyons quelques exemples :
1. Pour tout ω ∈ Ω, ω 6 m. • R muni de sa valeur absolue est un espace vectoriel normé. De même, C
muni du module est un R− espace vectoriel normé ainsi qu’un C− espace
2. Pour tout  > 0, il existe ω ∈ Ω tel que m −  6 ω.
vectoriel normé. Rien d’étonnant à cela puisque la notion d’ espace vecto-
riel normé provient d’une volonté d’étendre la notion de valeur absolue à
tout espace vectoriel .
R EMARQUES : • Sur E = Kn , où n > 1, on définit trois normes. Soit X = (x1 , . . . , xn ) ∈ E.
I Le premier point signifie que la borne supérieur de Ω est un majorant de Ω et le Xn
deuxième qu’aucun réel inférieur à la borne supérieure de Ω n’est un majorant 1. kXk1 = |xi |.
de Ω, ce qui conjointement justifie que l’on dise de la borne supérieure qu’el le k=1
est le plus petit des majorants. v
I Rappelons que le maximum (ou max) d’un ensemble Ω est quant à lui un réel
u n
uX
appartenant à Ω et majorant de Ω. Le problème du maximum est que certaines 2. kXk2 = t |xi |2 .
(beaucoup trop en fait) parties majorées de R n’admettent pas de maximum (par k=1
exemple [0, 1[), alors qu’elles admettent une borne supérieure :
3. kXk∞ = max |xi |.
16i6n

• Sur E = Mn (K), où n > 1, on définit trois normes, qui sont exactement

Théorème .2 (de la borne supérieure) 2
les trois précédentes avec l’identification Mn (K) = Kn .
Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure. Soit M = (mi,j ))16i,j6n ∈ E.
Xn Xn
Définition .3 1. kM k1 = |mi,j |.
i=1 j=1
Si I est un ensemble, et si f : I → R est une fonction majorée, on notera sup f , v
ou supx∈I f (x), la borne supérieure de l’ensemble {f (x) où x ∈ X}. u n X
uX n p
2. kM k2 = t |mi,j |2 = Trace (t AA).
Si maintenant f est une fonction continue sur un segment [a, b], alors elle i=1 j=1
est bornée et atteint ses bornes (théorème parfois dit de la borne atteinte). En 3. kM k∞ = max |mi,j |.
particulier, sa borne supérieure est un maximum : il existe x0 ∈ [a, b] tel que 16i,j6n

f (x0 ) = sup[a,b] f. C’est un théorème d’existence très utile, et on peut voir le • Enfin, sur E = C 0 ([a, b], K), on définit trois normes. Soit f ∈ E.
cours qui suit comme le résultat d’une volonté d’entendre ceci à des fonctions Z b
définies sur des espaces vectoriels. 1. kf k1 = |f (t)|dt.
......................................................................................................................................................................................................................... s
a

I L ES NORMES
Z b
2. kf k2 = |f (t)|2 dt.
a

Résumé 09 : Topologie (I) Page 1

MP du lycée Berthollet, 2015/2016 http://mpberthollet.wordpress.com

3. kf k∞ = sup |f (t)|.
t∈[a,b]

R EMARQUES :
R EMARQUES :
Notons que si x est élément de Ω, alors d(x, Ω) = 0, mais que la réciproque est fausse :
1. Les trois normes dites “2” que l’on vient de définir proviennent d’un produit sca- d(1, [0, 1[) = 0.
laire (nous n’avons vu en sup que le produit scalaire sur un R− espace vectoriel
, mais nous verrons que sa définition s’étend au cas où le corps de base est C).
Rappelons qu’un produit scalaire est une forme pbilinéaire symétrique définie po-
sitive B : E × E → R. L’application x ∈ E 7→ B(x, x) est alors une norme sur
E, dite norme euclidienne. Le point délicat à prouver est l’inégalité triangulaire. § 2. Boules et sphères.— La notion de boule généralise aux espaces vectoriels
Cela se fait avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour les puristes, on en déduit normés celle de voisinage d’un point de R.
une caractérisation géométrique du cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire, cela
uniquement si la norme est euclidienne : Définition II.4
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 ⇐⇒ ∃λ > 0, x = λy. Soit x0 ∈ E et r > 0. On appelle :
2. Puisqu’une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes, si 1. boule ouverte de centre x0 et de rayon r l’ensemble
f ∈ C 0 ([a, b], K), il existe x0 ∈ [a, b] tel que kf k∞ = |f (x0 )|.
B(x0 , r) = {x ∈ E tels que kx − x0 k < r} .
.........................................................................................................................................................................................................................
2. boule fermée de centre x0 et de rayon r l’ensemble
II D ISTANCES ET B OULES
B(x0 , r) = {x ∈ E tels que kx − x0 k 6 r} .
§ 1. Distances.— Cette première définition n’est pas au programme, mais au
vu du nombre de fois que nous utiliserons ce mot, il est difficile de ne pas le 3. sphère de centre x0 et de rayon r l’ensemble
préciser.
Définition II.1 S(x0 , r) = {x ∈ E tels que kx − x0 k = r} = B(x0 , r) \ B(x0 , r).
Une distance sur un ensemble X est une application d : X × X → R qui
vérifie :
1. Pour tout x, y ∈ X, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. § 3. Parties bornées, diamètre.—
2. Pour tous x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x). I Une partie Ω non vide d’un espace vectoriel normé est dite bornée lorsqu’il
existe K > 0 tel que tout ω ∈ Ω est de norme inférieure à K.
3. Pour tous x, y, z ∈ X, d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z).
I Le diamètre d’une partie bornée Ω est Diam (Ω) = sup kx − yk où x, y ∈
Ω .
Proposition II.2 I Soit un ensemble X et un espace vectoriel normé (E, k.k). Une application
Sur un espace vectoriel normé (E, k.k), l’application suivante est une dis- f : X → (E, k.k) est dite bornée lorsque son image f (I) est une partie
tance : bornée de E, i.e lorsque
d : (x, y) ∈ E × E 7→ d(x, y) = kx − yk.
∃K > 0, ∀x ∈ I, kf (x)k 6 K.
Définissons maintenant la distance d’un point à un ensemble : On appelle alors norme infinie
 de f , ou norme
de la convergence uni-
Définition II.3 forme, le réel kf k∞ = sup f (x) où x ∈ I .
Pour toute partie non vide Ω de (E, k.k) et tout x ∈ E, on appelle distance Proposition II.5
entre le vecteur x et l’ensemble Ω le réel d(x, Ω) = inf ω∈Ω kx − ωk. Soit I un ensemble et (E, k.k) un espace vectoriel normé. On note B(I, E) la
partie de F (I, E) constituée des fonctions bornées de I dans E.
Résumé 09 : Topologie (I) Page 2
 MP du lycée Berthollet, 2015/2016 http://mpberthollet.wordpress.com

1. B(I, E) est un sous-espace vectoriel de F (I, E).

2. Muni de la norme infinie, B(I, E) est un espace vectoriel normé. R EMARQUES :
I Modifier un nombre fini de termes de la suite ne change ni sa nature, ni la valeur
de son éventuelle limite.
I La notion de limite est intimement liée au choix de la norme sur E. Par exemple,
pour la norme 1, la suite de fonctions fn : x 7→ nxe−nx ne converge pas pour
la norme infinie vers la fonction nulle, alors que pour la norme 1, elle converge
1
vers la fonction nulle, puisque kfn k1 = n .
I Une suite est divergente lorsque pour tout ` ∈ E, ∀ε > 0, ∀n0 ∈ N, ∃n ∈ N, tel
que n > N ET kun − `k > ε. Mais nous verrons que les suites extraites sont bien
§ 4. Fonctions Lipschitziennes.— Définition II.6 plus efficaces pour prouver une divergence.
f : E → F est dite Lipschitzienne lorsqu’il existe K > 0 tel que pour tous
x, y ∈ E,
Proposition III.2
kf (x) − f (y)k 6 Kkx − yk.
La suite (un ) converge vers ` lorsque l’une des assertions équivalentes sui-
vantes est vérifiée
E XEMPLES : 1. un − ` 7−→ 0E .
2. kun − `k 7−→ 0R .

I La norme est une fonction 1−Lipschitzienne, car pour touts x, y ∈ E, kxk −

kyk 6 kx − yk. 3. Il existe une suite (αn )n de réels convergeant vers 0R telle que kun − `k 6
 Ω de E, x ∈ E 7−→ d(x, Ω) est aussi 1−Lipschitzienne : pour
I Pour toute partie αn .
tous x, y ∈ Ω, d(x, Ω) − d(y, Ω) 6 kx − yk.
I L’inégalité des accroissements finis nous dit qu’une fonction dérivable f : I → R
est K−Lipschitzienne si et seulement si |f 0 | est majorée par K.

......................................................................................................................................................................................................................... § 1. Valeurs d’adhérence.— Définition III.3

III S UITES DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ Une suite extraite de (un ) est une suite du type uϕ(n) n , où ϕ : N → N est
strictement croissante.
Soit (un ) une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé et ` ∈ E. On dit Un vecteur ` ∈ E est une valeur d’adhérence de (un ) s’il existe une suite
que (un ) tend vers ` si pour toute boule ouverte centrée en `, il existe un rang n0 extraite de (un ) qui tend vers `.
à partir duquel tous les éléments de cette suite appartiennent à cette boule. Plus
précisément : Proposition III.4
Si (un ) converge ves `, toutes ses suites extraites convergent aussi vers `.


un −−−−−→ ` ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ kun − `k 6 ε . On se servira de cette proposition pour prouver qu’une suite diverge, en lui
n→+∞ trouvant deux valeurs d’adhérence distinctes.

Une suite qui admet une limite est dite convergente. Sinon, elle est dite diver- § 2. Equivalences de normes.— Définition III.5
gente.
Deux normes N et ν sur un espace vectoriel E sont dites équivalentes, lors-
qu’il existe deux réels a, b > 0 tels que pour tous x et y ∈ E,
Proposition III.1
aN (x) 6 ν(x) 6 bN (x).
Si (un ) admet une limite, celle-ci est unique. De plus, la suite (un ) est bornée.

Résumé 09 : Topologie (I) Page 3

MP du lycée Berthollet, 2015/2016 http://mpberthollet.wordpress.com

On peut caractériser l’équivalence de normes avec les suites de limite nulle : ANNEXE
.........................................................................................................................................................................................................................
Théorème III.6
A L ES PREUVES À CONNAITRE ...
Soit E un K− espace vectoriel et N et k.k deux normes sur E.
Elles sont équivalentes si et seulement si pour toute suite (un ) d’éléments de I Si N et ν sont deux normes sur E. Il y a équivelance entre les deux asser-
E, tions suivantes :
lim N (un ) = 0 ⇐⇒ lim kun k = 0. 1. Il existe a > 0 tel que pour tout x ∈ E, ν(x) 6 aN (x).
n→∞ n→∞
2. Pour toute suite (un ) d’éléments de E, si N (xn ) −−−−→ 0, alors
n→∞
ν(xn ) −−−−→ 0.
n→∞
§ 3. Densité.— Finissons par une notion centrale de topologie :
I Les normes 1, 2 et ∞ sont équivalentes sur Rn .
Définition III.7 .........................................................................................................................................................................................................................
Soient A ⊂ B deux parties d’un espace vectoriel normé. On dit que A est
B L ES FIGURES IMPOSÉES
dense dans B lorsque pour tout b ∈ B et pour tout r > 0, il existe A ∩ B(b, r)
est non vide. E XERCICES :

Par exemple, Q et R \ Q sont deux parties denses dans R. CCP Analyse 37 On note E l’espace vectoriel des applications continues de [0; 1] dans
R. Z 1
Proposition III.8
On pose, ∀ f ∈ E, N∞ (f ) = sup |f (x)| et N1 (f ) = |f (x)|dx.
Soient A ⊂ B deux parties d’un espace vectoriel normé. A est dense dans x∈[0;1] 0

B ⇐⇒ pour tout b ∈ B, il existe une suite d’éléments de A qui converge vers 1. (a) Démontrer que N∞ et N1 sont deux normes sur E.
b. (b) Démontrer qu’il existe k > 0 tel que, pour tout f de E, N1 (f ) 6 kN∞ (f ).
2. Démontrer que les normes N1 et N∞ ne sont pas équivalentes.
E XEMPLES :
Il FAUT connaitre les démonstrations sur les comparaisons des trois normes usuelles sur E XERCICES :
Rn , et sur C 0 ([a, b], R), et notamment se souvenir que pour montrer que deux normes
ne sont pas équivalentes, il suffit de construire une suite d’éléments de E convenable. CCP Analyse 55 Soit a un nombre complexe.
On note E l’ensemble des suites à valeurs complexes telles que :
......................................................................................................................................................................................................................... ∀ n ∈ N, un+2 = 2aun+1 + 4(ia − 1)un avec (u0 , u1 ) ∈ (C)2 .
IV S UITES NUMÉRIQUES 1. Prouver que E est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites à valeurs
complexes.
Se conférer au cours de première année, ainsi qu’au polycopie que je vous ai Déterminer, en le justifiant, la dimension de E.
distribué sur o, O, ∼. 2. Dans cette question, on considère la suite de E définie par : u0 = 1 et u1 = 1.
b10n xc Exprimer, pour tout entier naturel n, le nombre complexe un en fonction de n.
I Les approximations décimales d’un réel x : un = . Indication : discuter suivant les valeurs de a.
10n
I Les définitions de lim un = ±∞.
n→∞
I Les suites du type un+1 = f (un ), où f : I → I.
I Les suites du type un+2 = aun+1 + bun .

Résumé 09 : Topologie (I) Page 4