Espaces vectoriels normés

1 Introduction
Les espaces vectoriels normés (evn) sont des espaces métriques particuliers mais
d’une importance capitale en analyse. Ainsi, le calcul différentiel a pour théatre les
espaces de Banach qui sont des evn particuliers. D’autre part, beaucoups de résultats
d’analyse fonctionnelle ont comme terrain d’appuis les espaces Hilbertiens, qui sont
eux aussi des evn.
Par ailleurs, un résultat propre , aux evn qui sont de dimension finie:l’équivalence des
normes, a pour conséquence que tout les evn de même dimension (sur um même corps
de base) sont homéomorphes. Il suffira de connaître alors les propriétés topologiques
de kn , où k désigne le corps de base de notre espace vectoriel E et n sa dimension, pour
tout savoir de la topologie de E.

2 Notions de base
On considère dans tout ce chapitre un espace vectoriel réél ou complexe E. On no-
tera k le corps de base. Donc k=IR ou IC .


Définition : E  IR  est une norme sur E si:
– x  E x =0  x  0.
– λ  k x  E λx =|λ| x où | | désigne la valeurs absolue si k=IR ou le module si
k=IC .


– vérifie l’inégalité triangulaire: x y  E x  y x + y .


Proposition Si est une norme sur E alors | x - y | x  y .

Démonstration A écrire!

Définition
Un espace vectoriel normé

est la donnée d’un espace vectoriel E et
d’une norme sur E. On notera (E, ) le couple formé par l’espace vectoriel et sa
norme.

Proposition fondamental Un evn est un espace métrique : il suffit de poser, si

x,y  E, d(x,y)= x  y et d ainsi

définie est une métrique. Cette métrique sera appelée
métrique associée à la norme . Les espaces vectoriels normés sont donc des espaces
métriques (et à fortioris des espaces topologiques).

Exemple Quelques exemples d’evn :

– (E=IR n , k ) où si x  X et si  xi  i    désignent les coordonnées de x,
1 n

n  
 ∑ xi k 
1
x k k
i 1

1
 Si k=2, cette norme est la norme euclidienne.
– E=IC n et si x=  x1  xn   IC n :
n  
x ∞  sup xi
i 1

Remarquons qu’en fait cette norme a pour métrique associée la métrique pro-
duit sur IC n .

Définition On dira que deux

 normes 1 et 2 sont équivalentes si il existe
λ β  k  x  E λ x 1 x 2 β x 1.

Proposition “Etre équivalent à” est une relation d’équivalence sur l’ensemble des
normes d’un evn.

Démonstration Réflexivité, transitivité, symétrie....

Proposition Si deux normes sont équivalentes, les métriques corespondantes à ces

deux normes sont aussi équivalentes.

Démonstration Ecrire!!!

Corollaire Si on a deux normes équivalentes sur un espace vectoriel donné alors

les topologies inhérentes à ces deux normes sont équivalentes.

Démonstration Les normes sont équivalentes, donc les métriques associées le

sont, et les topologies aussi.

Remarque fondamentale En fait c’est encore + fort que cela car la complètude
est conservée par changement de normes équivalentes. Ce qui n’est pas le cas par chan-
gement de topologie équivalente. Si, par exemple, une suite  xn  n  IN est de Cauchy et
qu’elle converge pour une norme donnée, il en sera de même pour tout autre norme
équivalente.

Proposition L’application norme : E  IR  est continue sur E muni de la

topologie induite par . Elle est même 1-Lipschitzienne.

Démonstration Si x et y sont éléments de E, | x - y | x y .

Proposition les homothéties vectorielles et les translations sont des applications

continues sur les evn.(Ce sont des isométries!!!).

Démonstration Soit (E, ) un evn ,soit T la translation de vecteur v et H l’homo-

thétie de rapport λ. On a donc, si x et y sont des éléments de E: T  x   T  y  = x 
v  y  v = x  y . T est donc 1-Lipschitzienne ce qui implique le résultat.
D’autre part H  x   H  y  = λx  λy = λ  x  y  =|λ| x  y . H est alors λ-Lipschitzienne.Cqfd
car .

2


Proposition Soit (X,   un espace topologique et (F, ) un evn. Notons  (X,F)
l’ensemble des fonctions continues de X dans F alors  (X,F) est un espace vectoriel.

Démonstration Il suffit de montrer que  (X,F) est un sous espace vectoriel de

l’espace des fonctions de X dans F. Il est tout d’abord clair que l’application nulle est
élément de  (X,F). Soient f et g  (X,F), soient aussi α et β dans k. Il suffit de vé-
rifier pour tout x de X, et tout ε 0 il existe V "! (x) tel que  y  V # α f  x 
βg  x   α f  y   βg  y  <ε. Fixons donc ε 0 et x  X. Comme f et g sont continues
en x, on peut trouver des voisinages V1 et V2 de x tels que y  V1 # f  x   f  y  < 2α ε

et y  V2 # g  x   g  y  < 2β . En choisissant pour V le voisinage de x: V1 $ V2 et en

ε

appliquant l’inégalité triangulaire à α f  x   βg  x   α f  y   βg  y  , on montre l’in-

égalité voulue. Comme x est quelconque dans X, on a bien prouvé que α f  βg est
continue sur X.

En a en particulier ici prouvé le corollaire suivant:

Corollaire
– Une somme d’application continue est continue.
– L’application définie comme le produit d’un scalaire et d’une fonction continue
est continue.

3 Espaces vectoriels normés de dimension finie et équi-

valence des normes
Dans ce paragraphe on s’intéresse à un k-espace vectoriel E de dimension finie n.

Définition de la norme infini sur E Choisissons une base  ei  i 1   n de E. Dans

cette base, les vecteurs x de E ont des coordonnées  x1  xn  où xi  k. On définit alors
sur E la norme ∞ par
n  
x ∞  sup xi

i 1

où | | désigne l’application valeurs absolue si k=IR et l’application module si k=IC . On

vérifie que l’on a bien défini une norme sur E. Cette norme dépend bien évidemment
de la base choisie.

Proposition On fixe une base  ei  i 1   n de E. On peut

n
alors introduire la norme
∞ sur E. Cette norme est naturellement définie sur k . On a alors la propriété sui-

vante:

(E, ∞) est homéomorphe à (kn , ∞ ). On a même un isomorphisme bicontinue (Cad

continue et d’inverse continue) entre ces deux espaces.

Démonstration A tout élément x de E, on associe ses coordonnées dans la base

 ei  i 1   n :  x1  xn  . Cela définit une application θ : E 
kn . θ est bien évidem-
ment k-linéaire de E dans k, ainsi que bijective (Unicité des coordonnées d’un vec-

3
teur de E dans une base de E). Montrons que θ est continue. Soient x et y dans E,
 x1  xn  % y1  yn  leurs coordonnées respectives . On a, par définition de la norme
infinie: θ  x   θ  y  ∞ = x  y ∞. Notre isomorphisme θ est donc 1-lipschitzien. Mais
cette dernière égalité peut aussi s’écrire :  x1  xn  & y1  yn  ∞ = θ ' 1  x1  xn  
θ ' 1  y1  yn  ∞ . Ce qui prouve que θ ' 1 est elle aussi 1-lipschitzienne

et
donc conti-
nue. On a ainsi bien construit un homéomorphisme entre (E, ∞) et (kn , ∞ ).

Corollaire Ceci a pour conséquence, en particulier, que tout compact de l’un a

pour image un compact de l’autre. C’est cette propriété qui va nous être utile dans ce
qui suit.


Lemme La boule unité fermée de (kn , ∞) est un sous espace compact de kn .


Démonstration Notons B f  0 1  la boule unitée fermée de (kn , ∞ ). On vérifie
 ) que B f  0 1  =[-1,1] (si k=IR , sinon
(voir le cours sur les espaces métriques produits) n

k=IC et B f  0 1  =D(0,1) où D(0,1)= ( z  IC ; z 1 * ). Or ([-1,1],| |) est un espace com-

n

pact ((D(0,1),| |) si k=IC est un espace compact). Mais, d’après le théorème de Tycho-
nov, un produit fini d’espaces compacts est
compact pour la topologie produit . Donc
B f  0 1  est un sous espace compact de (kn , ∞ ).


Lemme La boule unité fermée de (E, ∞) est un sous espace compact de E.

Démonstration Ce sous ensemble de E est l’image par l’application θ ' 1 définie

dans la démonstration de la proposition précédente de la boule unité fermé de kn . Mais
cette dernière étant
compacte et l’application θ étant un homéomorphisme, la boule
unité fermée de (E, ∞) est nécessairement compact.



Théorème (Equivalence des normes) Soient 1 et 2 deux normes sur E. Alors
ces deux normes sont équivalentes.

Attention, le fait que E soit de dimension finie est ici primordiale.

Démonstration Nous allons en fait
travailler avec une norme de E et mon-
trer qu’elle est équivalente à la norme ∞ sur E, une base  ei  i 1   n étant fixée sur E.
Par transitivité de la relation d’équivalence entre les normes, on aura ainsi montré que
toutes les normes sur E sont équivalentes.



Montrons tout d’abord que notre norme est continue sur (E, ∞). Pour cela,
prenons x et y dans E. Notons   x  i, -
i + 1  n et  y i  i  1   n leurs coordonnées respectives dans
la base  ei  i  1   n . On a: x  y x  y Mais
n . n   ./ n
x y  ∑  xi  yi  ei ∑ xi  yi ei x y ∞ ∑ ei 

i 1 
i 1 
i 1

Posons alors
n
β ∑ ei 

i 1

4
  0,

L’inégalité se ré-écrit x
 y β x  y ∞, ce qui prouve que est β-Lipschitzienne
et donc continue sur (E, ∞ ). Ceci prouve, par ailleurs, une des deux inégalités que l’on
doit remplir pour vérifier que nos deux normes sont équivalentes.

Montrons maintenant la deuxième inégalité. Comme la boule unité fermée de (E,
∞)

de même de l’ensemble S∞ 1( X  E; x ∞  1 *
. En1effet, ∞
est compact, il en est
est continue sur (E, ∞) et le singleton ( 1 * est un fermé de
IR , donc ∞' 2( 1 *  =S∞
est un fermé de E, de plus inclus dans la boule unité de (E, ∞). Un fermé dans un

compact, on obtient la propriété voulue.
compact étant

Mais est continue et à valeur réelle sur (E, ∞ ). L’ensemble de43 ses valeurs sur
S∞ est donc majorée par une constante α. On peut écrire : x  S∞ x α ou encore,
par définition de S∞ ,
x .3
 x E α
x ∞
/
Soit encore:  x  E α x ∞ x  Ce qui nous fournit la seconde inégalité et prouve le
théorème.

Corollaire On a vu dans le chapitre sur les espaces métriques complet que IR n

était complet pour la métrique produit. Comme la complétude d’un espace métrique
est un propriété conservé pour une norme équivalente, on peut affirmer que IR n est
complet pour n’importe quelle norme.



Corollaire En particulier, (IC n , ) est complet quelque soit la norme choisie.
En effet, (IC ,| |) est complet car par définition IC =IR 2 et l’application module corespond
à la norme Euclidienne sur IC . Comme IR 2 est complet pour la norme Euclidienne, il
en de de même de (IC ,| |). On en déduit que IC n est complet pour la métrique produit
et donc pour toute norme sur IC n .

4 Propriétés des evn de dimension finie et théorème de

Riesz
Les propriétés qui viennent découlent de l’équivalence des normes. On considère
encore ici un k-espace vectoriel E de dimension finie n.



Corollaire Pour toute norme
sur E
et toute norme ’ sur kn , il existe un iso-
morphisme bicontinue entre (E, ) et (kn , ’).

Démonstration Il suffit de fixer une base  ei  i  1   n dans E et de considérer l’appli-

cation θ qui à un vecteur x de E lui associe ses coordonnées dans kn . Cette aplication est
clairement un isomorphisme et est bicontinue ( c’est une isométrie!!!) pour la norme
infinie de E et la métrique produit sur kn , comme nous l’avons démontré au début de
cette section. Comme de plus, toutes les normes sur E, ainsi que sur kn , sont équivalen-
tesatomaevc5, notre isomorphisme est bicontinue de E sur kn , et ce quelque soient les

5
normes choisies sur E et kn .

Corollaire Un sous espace de dimension finie d’un evn est complet.

Démonstration Soit F un sous espace vectoriel d’un k-evn (X, ) de dimension
finie. Considérons la restriction
de la norme de X au sous espace F. Cela définie
une
norme sur F que l’on note F . Comme F est de dimension finie, la norme F est
équivalente, si l’on se fixe une base  ei
 i 1   k dans F, à la métrique produit sur F.
Si une
suite  xn  n  IN est de Cauchy dans (F, F ), alors elle sera de Cauchy dans (F, ∞ ) et,
si l’on note  x1n  xkn  le vecteur coordonné des éléments xn de la suite et ce  n  IN ,
chacune de ces coordonnées, par définition de la métrique produit, est de Cauchy dans
(k,| |). k étant complet, ceci implique que chacune des suites coordonnées  xin  n  IN pour
i=1...k converge vers un éléments xi de k. Reste à voir que la suite  xn  n  IN converge
vers
k
x ∑ xi ei
i 1 


dans (F, ∞ ). Il est clair, tout d’abord, que x est élément de F. Fixons ensuite ε 0.
Comme chaque suite  xin   n  IN converge
 5 vers xi , pour tout i=1..k, on peut trouver N  ε i 
tel que si n>N  ε i  alors xin  xi ε. Posons alors
k
N  sup N  ε i  
i 1

Si n>N
 65
sup xin  xi
k
ε

i 1

que  xn  n  IN converge vers x pour la métrique produit, et donc pour la

ce qui signifie
métrique F . Ceci implique la complétude de F.

Corollaire Un sous espace de dimension finie d’un evn est fermé.

Démonstration Un sous espace de dimension finie d’un evn est un sous espace
complet de cet evn. Comme un sous ensemble complet d’un espace métrique est fermé,
notre sous espace est fermé.

Corollaire La boule unité d’un evn de dimension finie est compact pour la norme
de cet evn.


Démonstration On a montré précédemment que la boule unité fermé de (E, ∞):
B∞ était compact pour la métrique produit. Elle est donc compact pour toute topolo-
gie
équivalente à celle induite

par la
métrique produit. Soit B la boule unité fermé de
(E, ). Comme  les normes ∞ et sont équivalentes il existe α  k tel que , pour
tout x de E, x α x ∞ . Donc B est incluse dans
l’image par l’homothétie de rapport
α de B∞ : αB∞ . Mais
B ∞ est compact dans (E, ) et les homothéties vectorielles sont
continues dans (E, ). Comme l’image d’un compact par une application continue est

6


un compact, on en déduit que αB∞ est compact dans (E, ). Mais B etant un sous en-
semble fermé de αB∞ est alors aussi nécessairement compact.

Remarque La réciproque de ce théorème est vraie et fait l’objet du théorème de

Riez qui suit plus loin.

Corollaire Les compacts de E sont les sous ensembles fermés et bornés de E.

Démonstration On a déjà montré, dans le chapitre sur les espaces métriques com-
pacts, que tout compact d’un espace métrique est fermé et borné. Considérons donc
maintenant un sous ensemble K fermé et borné de E. Comme K est borné, on peut
trouver une boule de centre 0 et de rayon r suffisamment grand pour que cette boule
contienne K. L’adhérence de cette boule contiendra donc encore K. Mais cette boule
est l’image par l’homothétie de centre 0 et de rapport r de la boule unité fermée de
E. Rappelons que l’image d’un compact par
une application continue est encore com-
pacte, et donc B f  0 r  est un compact de (E, ). Mais notre sous ensemble est alors un
fermé inclus dans un compact, ce qui implique qu’il est compact.


Théorème de Riesz Si la boule unité d’un evn (E, ) est compact alors E est de
dimension finie.

Notation On va, pour la démonstration du théorème, utiliser les notations sui-

vantes: si F et G désignent des parties de E ,que x est élément de E et que λ est élément
de k,alors:F  G /( f  g; f  F g  G * , x  G -( x  g; g  G * , λF /( λ f ; f  F * .


Démonstration Soit B la boule unité fermé de (E, ) qui est compacte par hypo-
thèse. On note Bo la boule unité ouverte. La famille  x  12 Bo  x  B définit un recouvre-
ment ouvert de B. On peut alors en extraire un recouvrement fini  xi  12 Bo  i  1    n où n
est élément de IN amcb3. Soit F le sous espace vectoriel engendré par  xi  i 1   n . On a la
série d’inclusion: B 7 12 B+F , 2B 7 2( 21 B+F)=B+2F=B+F. Puis 4B 7 2(B+F)=2B+2F=2B+F=B+B+F.
Mais B 7 B+F et donc 4B 7 B+F. Par récurence, on montre que 2n B 7 B+F. Mais E= lim 2n B,
n8 ∞
donc E 7 B+F. Supposons que E ne soit pas inclus dans F.
Soit x  E 9 F.Remarquons que F, étant un sous espace vectoriel de dimension finie de
E, il est fermé dans E. Donc, E 9 F est ouvert et pour n assez grand, la boule x+ 21n B
est incluse dans E 9 F. C’est à dire (x+ 21n B) $ F=0,
/ donc (2n x+B) $ F=0/ ou encore 2n x
n’est pas élément de B+F (si 2 x  B+F #;: b  B et f  F tel que 2n x= f  b mais alors
n

2n x-b  f ce qui implique que l’intersection de (2n x+B) et F est non vide), ce qui est
absurde car on vient d’établir le contraire. Notre hypothèse de départ est donc fausse et
E=F, ce qui prouve que E est de dimension finie.

7
5 Applications linéaires



Soient (E, ) et (E, ’) deux k-evn.

Notation On note < (E,F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F et

< c (E,F) l’ensemble des applications linéaires continues de E dans F.
Théorème Soit f =< (E,F). Les affirmations suivantes sont équivalentes:
– f est élément de < c (E,F).
– f est continue en l’origine de E.


– f est bornée sur la boule unitée de (E, ).
– f est lipschitzienne.
Démonstration Si f est élément de < c (E,F), il est claire que f est continue en
l’origine.
Supposons que f soit continue en l’origine et montrons qu’elle est bornée sur la sphère 5
unité. La continuité en l’origine de f se traduit 5 par : ε 0 : η 0 x <η # f  x ε.
Soit encore:  ε 0 : η 0 ηx <1 # f  ηx  ε
η ce qui implique donc que si x  B  0 1 
alors il existe un réél r tel que f  x  <r. Si f est bornée sur la boule unité par un réél
strictement positif x, pour tout élément x de E, > xx > est élément de B  0 1  et f  > xx >  m.

Autrement écrit, Si x  E, f  x  m x et f est bien Lipschitzienne. Si f est Lipschit-
zienne sur E, il est claire que f est continue. On a alors prouvé le théorème.

Proposition < c (E,F) a une structure de k-espace vectoriel.

Démonstration Il suffit de vérifier < c (E,F) est un sous espace vecoriel de < (E,F).
Mais sachant qu’une somme d’application continue est continue, que l’application
nulle est élément de < c (E,F) et que la fonction produit d’un scalaire et d’une appli-
cation continue est continue, on vérifie les axiomes qui font de < c (E,F) un sous espace
vectoriel de < (E,F).

Notation Si f =< c (E,F), on pose

  ,A
f  > sup
>x @? 1 f  x  
B
Proposition est une norme sur < c (E,F).

DémonstrationBComme
 les éléments de < c (E,F) sont bornés sur la sphère unité de
 
E, il est claire que : < c  E F  C IR  . Si une application linéaire continue vérifie
f  0 alors elle est nulle sur la boule unitée de E et donc,  par homothétie, sur E
tout entier. Réciproquement, l’application   nulle vérifie 0 =0. Les deux axiomes qui
restent à vérifier
pour montrer que f est une norme sont validés grâce au fait, jus-
tement, que est une norme sur E.
D
Conclusion (< c (E,F), ) est un k-evn.

8
 Proposition Si E est de dimension finie, alors toute application linéaire de E dans
F est continue.

Démonstration Si E est de dimension finie, alors toutes les normes sont équiva-
lentes sur E. Considérons   alors une  base  ei  i 1   k de E et si x=x1 e1 EF xk ek  E,

 
la norme sur E  
x = x 1 /
 
 
  x k . On a alors f  x  ’= x1 f  e1  / xn f  en  ’
A 
x1 f  e1  ’+... xk f  ek  ’. Posons M=sup ( f  ei  ; i  1  k * . Notre inégalité se réécrit: f  x  ’ M x
ce qui prouve la continuité de f .
D
Terminons par une définition et un résultat supplémentaire à propos de (< c (E,F), ):

Définition Un espace vectoriel normé complet pour la métrique associée à sa

norme est appellé un espace de Banach.
B  
Lemme Si  fn  n IN est de Cauchy dans (< c (E,F), ) alors  fn  n IN est bor-
née dans IR .

Définition Supposons que ce ne soit pas le cas. Alors pour toutA n de IN , il existe
mn dans IN et xmn dans la boule unité fermé de E tels que fmn  xmn  n. Pour tout N
A
dans IN on peut alors trouver mk et mkG plus grands que N et tels que fmk  xmkG  1.
La suite  fn  n  IN ne peut alors être de Cauchy. D’où le lemme par contradiction.


B
Proposition Si (F, ’) est un espace de Banach alors il en est de même pour
(< c (E,F), ).
D
Démonstration Soit  fn  n  IN une suite de Cauchy de (< c (E,F), ). Alors  ε 
0: N ; m n  N # fn  fm  Mais si x est élément de E, on a fn  x   fm  x  ’
fn  fm x . Donc pour tout x de E,  fn  x D n  IN est de Cauchy. F étant complet
pour sa norme, cette suite converge vers un élément f (x) de F. Cela nous permet de
définir une application f de E dans F.
Montrons que l’application f est le bon candidat pour la limite de  fn  n  IN . Tout
d’abord , f est linéaire: si x et y sont éléments de E, α et β  k alors:
f  αx  βy   lim fn  αx  βy  =α lim fn  x  +β lim fn  y  =α f  x   β f  y  . Cqfd.
8
n ∞ 8
n ∞ 8
n ∞
Montrons  aussi que f est continue:  si x  B f  0 1  7 E alors:   
f  x  ’ f  x   fn  x   fn  x  ’ f  x   fn  x  ’+ fn  x  ’ + f  x   fn  x  + fn .
Donc A  A  
>@? f  x 
> sup x 1
>H?  f  x   fn  x   
> sup x 1
fn
I
La quantité sup ( f  x   f n  x  ; x 1 * tend vers 0 quand n tend vers l’infini J et
d’après le lemme, la suite  fn  n  IN est bornée dans IR . Donc sup ( f  x  ; x 1*
est bornée et f est
B
continue sur E. Reste encore à montrer que  f n  n  IN 
converge K5 f
vers
pour la norme . Soit ε 0. Il existe N  IN L
tel que si  
p,q>N alors f p  f q 3 ε.
Fixons x dans E On a alors f p  x   fq  x  ’ f p  fq x  ε x . Fixons p N
et faisons tendre q vers l’infini. Cela  donne:K f p  x   f  x  ’ ε x . Comme x est
quelconque dans E, on peut écrire f p  f ε pour p>N, ce qui nous assure de la

9
 B
convergence de  fn  
n IN vers f pour la norme .

10