Fstm-Mohammedia Analyse 4- M136 2015-2016

Université Hassan II- Casablanca Année 2015/2016

Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia Parcours: MIP
Département de Mathématiques Module: M136

TD séries entières

1 Rayon de convergence
Détermination du rayon de convergence
Si lesX
régles de Cauchy et de d’Alebert ne machent pas on peut utiliser la remarque suivante:
Soit an z n une série entière de rayon de convergence R.

1. Si l’on veut montrer que R ≥ ρ, ρ ∈ R+ , on peut

X
(a) essayer de trouver un z0 tel que |z0 | = ρ et an z0n converge.
(b) essayer de trouver un z0 tel que |z0 | = ρ et lim an z0n = 0 .
n→+∞
X
n
(c) prouver que pour tout r ∈ [0,ρ[, lim an r = 0, ou an rn converge.
n→+∞
2. Si l’on veut montrer que R ≤ ρ, ρ ∈ R+ , on peut
X
(a) essayer de trouver un z0 tel que |z0 | = ρ et an z n diverge.
³ ´
(b) essayer de trouver un z0 tel que |z0 | = ρ et la suite an z0n ne tend pas vers 0.
³ ´ n
X
(c) prouver que pour tout r ∈]ρ, + ∞[, la suite an r n ne tend pas vers 0, ou an rn diverge.
n

Exercice 1.1

Calculer le rayon de convergence des séries entières de termes généraux:

n2 + 1 n 2
6. un (z) = e−n z n ,
1. un (z) = z ,
3n ¡ 1 ¢
(3n)! n 7. un (z) = sin √ z n ,
2. un (z) = z n
(n!)3 1
ln(n) 2n 8. un (z) = sin(2nθ)z n
3. un (z) = z . n
¡ n2 ¢ ¡ (−1)2 ¢n2 n
4. (n + 1)1/n+1 − n1/n z n 9. un (z) = 1 + z .
n
nn 3n
5. un (z) = z , 10. un (z) = 8−n z 5n ,
n!

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Solution 1.1

n2 + 1 n n2 + 1 | an+1 | 3n (n + 1)2 + 1 1
1. un (z) = z , an = . On a lim = lim . = , donc
3n 3n n→+∞ | an | n→+∞ 3n+1 n2 + 1 3
R = 3.
(3n)! n (3n)!
2. un (z) = 3
z , an = . Pour tout z ∈ C on a
(n!) (n!)3
(3(n + 1))! (3n)! ¡ (3(n + 1))! ¢ ³ (n!) ´3 3(3n + 2)(3n + 1)
lim . = lim . = lim = 27 ,
n→+∞ ((n + 1)!)3 (n!)3 n→+∞ (3n)! (n + 1)! n→+∞ (n + 1)2
1
donc R = .
27
X ln(n)
3. z 2n . Si | z |< 1 la série est convergente et si | z |> 1 elle est divergente. Donc R = 1.
n2
4. On a
¡ ln(n + 1) ¢ ¡ ln(n) ¢
un (z) = (n + 1)1/n+1 − n1/n = exp − exp
n+1 ´n
¡ ln(n) ¢³ ln(n + 1) ln(n)
= exp exp( − )−1 .
n n+1 n
ln(n)
Comme lim = 1, on a
n→+∞ n
1
ln(n + 1) ln(n) ln(n) ln(1 + ) ln(n)
(n + 1) 1/n+1
−n 1/n
∼ − =− + n ∼ (+∞),
n+1 n n(n + 1) n+1 n2
par suite R = 1.
nn 3n
5. un (z) = z . Pour tout z ∈ C on a
n!
| un+1 (z) | (n + 1)n+1 n! ³ n + 1 ´n
3
= | z | = | z |3
| un (z) | (n + 1)! nn n
| un+1 (z) |
lim =| z |3 lim en ln(1+1/n) = e | z |3 . La série converge si e | z |3 < 1 et diverge si
n→+∞ | un (z) | n→+∞
r
3 1
e | z | > 1. Le rayon de convergence est donc R = 3 .
e p
2 n 2
−n
6. un (z) = e z , an (z) = e −n . D’après la règle de Cauchy on a lim n | an | = lim e−n = 0+
n→+∞ n→+∞
donc R = +∞.
¡ 1 ¡ 1 ¢ X ¡ 1
7. un (z) = sin √ z n , an = sin √ . Soit R le rayon de convergence de sin √ z n .
n n n
¡ 1 ¢ n X X ¡ 1 n
n n n
Pour | z |< 1, comme | sin √ z |≤| z | et z convergente alors sin √ z convergente.
n n
¡ 1 ¢ 1 1
Pour | z n |> 1, | sin √ z n |∼ √ | z |n = √ en ln(|z|) → +∞ quand n tend vers +∞. Donc la
n n n
série diverge pour | z n |> 1 et comme elle converge pour | z n |< 1 alors R = 1.
¡ 1 ¢ X
Autre méthode. Comme | sin √ z n |≤| z n | et z n convergente et a pour rayon de conver-
n
gence R0 = 1 donc R ≥ 1. Puisque pour | z n |> 1 le terme général ne tend pas vers alors R ≤ 1
et donc R = 1.

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1
8. un (z) = sin(2nθ)z n .
n
1 1 X1
On a | sin(2nθ)z n |≤ | z n | et z n convergente et a pour rayon de convergence R0 = 1
n n n
1
donc R ≥ 1. Puisque pour | z n |> 1 le terme général sin(2nθ) | z n | ne tend pas vers alors
n
R ≤ 1 et donc R = 1 .
¡ (−1)2 ¢n2 n ³ (−1)n ´n2 (−1)2
9. un (z) = 1 + z , an = 1 + . Notons que 1 + ≥ 0. On a
n n n
¡ (−1) ¢ n
p ³ (−1)n ´n n ln 1+ n
n
| an | = 1 + =e n = e(−1) +o(1) .
n
Cette expression n’aX pas de limite.
X On écritXla série sous forme de somme de deux séries (en
n 2n
paire et impaire). an z = a2n z + a2n+1 z 2n+1 , avec

¡ 1 ¢4n2 ¡ 1 ¢4n2 +4n+1 ¡ 1 ¢¡ 1 ¢4n2 +4n

a2n = 1 + et a2n+1 = 1 − = 1− . 1−
2n 2n + 1 2n + 1 2n + 1
p ¡ 1 ¢4n
On a pour la première série lim n
| a2n z 2n | = lim 1 + | z |2 = e2 | z |2 donc d’après
n→+∞ n→+∞ 2n
la règle de Cauchy la première série converge si e2 | z |2 < 1 et diverge si e2 | z |2 > 1 ou la série
converge si | z |< e− et diverge si z |> e−1 , le rayon de convergence est donc R1 = e−1 .
De même pour la deuxième série on a d’après la règle de d’Alebert
| a2n+3 | 1 1 1
lim | z |2 = 2 | z |2 , donc série converge si 2 | z |2 < 1 et diverge si 2 | z |2 > 1
n→+∞ | a2n+ | e e e
ou la série converge si | z |< e et diverge si z |> e,le rayon de convergence est donc R2 = e.
1
Finalement le rayon de convergence de la série ets R = inf (R1 ,R2 ) = .
p e
10. un (z) = 8−n z 3n , an = 8−n . La règle de d’Alembert donne lim n 8−n | z |3n = 8−1 | z |3 . Donc
√ n→+∞ √
la série converge si 8−1 | z |3 < 1 ( | z |< 3 8 = 2 ) et diverge si 8−1 | z |3 > 1 ( | z |> 3 8 = 2) et
le rayon de convergence ets R = 2.
1
Remarque: Si on considère seulement le coéfficient an = 8−n on aura R = √
n
= 8.
lim 8−n
n→+∞

Exercice 1.2

Soit an z n de rayon de convergence R.

Déterminer R0 le rayon de convergence de la série entière an z 2n ..

Solution 1.2 p p | z |2
D’après la règle de Cauchy on a lim n | an ||| z |2n =| z |2 lim n | an | = .
n→+∞ n→+∞ R
| z |2 | z |2 √
La série converge si < 1 et diverge si > 1, c’est-à-dire converge si | z |< R et diverge
√ R R √
si | z |> R. Donc le rayon de convergence est R0 = R.

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Exercice 1.3
On considère les séries entiéres de termes généraux:

1. un (z) = z n , n2 + n − 1 n
5. un (z) = z ,
2. un (z) = nz n , n!
1 6. un (x) = (−1)n (4z + 1)n ,
3. un (z) = z n ,
n
n n (x − 1)2n
4. un (z) = z , 7. un (x) = ,
n+2 4n
1. Déterminer le rayon et le domaine de convergence de chacune des séries entières et leurs conver-
gences aux points de la frontière du domaine de convergence.
2. Calculer la somme de la série entière dans l’intervalle de convergence.
Solution 1.3

1. Rayon et le domaine de convergence et converence aux points de la frontière.

(a) un (z) = z n ,, an = 1 donc R1 = 1. la série converge pour | z |< 1 et diverge sur la frontière
(cercle de centre et de rayon 1) | z |= 1 car lim | z |n = 1 6= 0.
n→+∞
|z|=1
(b) un (z) = nz n . On a an = n donc R1 = 1. La série converge pour | z |< 1 et diverge sur la
frontière | z |= 1 car lim n | z |n = +∞ =
6 0.
n→+∞
|z|=1
1 n
(c) Pour z ∈ R on a un (z) = z ,
n
1 X (−1)n
an = donc R1 = 1. la série converge pour −1 < z < 1. Pour z = −1 la série
n X1 X zn n
converge et pour z = 1 série diverge. Donc la série converge sur [−1,1[.
n n
n n n n
(d) un (z) = z ,a = donc R1 = 1. La série converge pour | z |< 1 et diverge sur
n+2 n+2
3n
la frontière | z |= 1 car lim | z |n 6= 0.
n→+∞ n + 2
|z|=1
n2
+n−1 n n2 + n − 1 (n + 1)2 + (n + 1) − 1 n!
(e) un (z) = z . On a an (z) = donc lim 2
=
n! n! n→+∞ (n + 1)! n +n−1
n2 + 13n + 1 1
lim = 0, et par suite R = +∞.
n→+∞ n2 + n − 1 n + 1
p p
(f) un (x) = (−1)n (4z + 1)n . On a lim n | (−1)n (4z + 1)n | = lim n | (−1)n (4z + 1)n | =
n→+∞ n→+∞
|4z + 1|.
La série converge pour |4z + 1| < 1 et diverge pour |4z + 1| > 1. donc la série converge pour
1 1 1 1
|z + | < et diverge pour |z + | > . Le domaine de convergence est donc le disque de
4 4 4 4
centre A(1/4,0) et de rayon 1/4.
(x − 1)2n
(g) un (x) = .
4n
| x − 1 |2 | x − 1 |2
La série converge pour < 1 et diverge pour > 1. donc la série converge
4 4
pour x ∈] − 1,4[ et diverge sinon.

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2. Calculer la somme de la série entière dans l’intervalle de convergence.

X +∞
X
n 1
(a) La somme de la série z sur | z |< 1 est zn = .
1−z
n=0
X
n
(b) La somme de la série nz sur | z |< 1 et pour z ∈ R est
+∞
X +∞
X ³X
+∞ ´0 ¡ 1 ¢0 z
nz n = z nz n−1 = z zn =z = .
1−z (1 − z)2
n=0 n=1 n=0
X1
(c) La somme de la série z n sur | z |< 1 et pour z ∈ R est
n
Z z ³X
+∞ ´ Z z³
1 ´
+∞
X 1 n n
z = t dt = dt = −[ln(1 − t)]z0 = − ln(1 − z).
n 0 0 1−t
n=1 n=1
X n
(d) La somme de la série z n sur | z |< 1 et pour z ∈ R est
n+2
Z z ³X
+∞ ´ Z z³
1 ´
+∞
X 1 n
z = tn dt = dt = −[ln(1 − t)]z0 = − ln(1 − z).
n 0 0 1 − t
n=1 n=1
On a pour tout z ∈] − 1,1[,
n n n+2−2 n ¡ n 2 ¢ ¡ 2 ¢
z = z = z − z n = z n − 2 z n+2 .
n+2 n+2 n+2 z
Donc
+∞
X n n ³X
+∞
2 X z n+2 ´ ³ X n
+∞ +∞
2 X z n+2 ´
+∞
z = zn − = z −
n+2 z2 n+2 z2 n+2
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
z
+∞
2 X zn z ³ +∞
2 X zn z2 ´
= − 2 = − 2 −z−
1−z z n 1−z z n 2
n=3 n=1
z 2 ³ z 2 ´ 2 ln(1 − z) z−2
= − 2 − ln(1 − z) − z − = 2
−
1−z z 2 z z(1 − z)
n2 + n − 1 n X n
(e) un (z) = z . La somme de la série z n sur R est
n! n+2
+∞ 2
X +∞ 2
X +∞ +∞
n +n−1 n n n X n n X zn
z = z + z −
n! n! n! n!
n=0 n=0 n=0 n=0
+∞
X +∞
X
n 1
= zn + z n − ez
(n − 1)! (n − 1)!
n=1 n=1
+∞
X n +∞
X +∞ n
X
z zn z
= + +z − ez
(n − 2)! (n − 1)! n!
n=2 n=1 n=0
+∞
X n−2 +∞
X n−1 +∞ n
X
z z z
= z 2 +z +z − ez
(n − 2)! (n − 1)! n!
n=2 n=0 n=0
+∞ n
X +∞ n
X +∞ n
X
z z z
= z2 +z +z − ez = (z 2 + 2z − 1)ez .
n! n! n!
n=0
X n=0 n=0
(f) Pour ||< 1 la somme de la série (−1) (4z + 1)n sur est
n

+∞
X 1 1
(−1(4z + 1))n = == .
1 + 4z + 1 2 + 4z
n=0

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(x − 1)2n
(g) un (x) = . Pour x ∈] − 1,4[
4n
(x − 1)2n X ³ (x − 1)2 ´n
+∞
X +∞
1 4 4
= = 2 = = .
4n 4 (x − 1) 4 − (x − 1)2 (3 + x)(5 + x)
n=0 n=0 1−
4

2 Développement en séries entières

Exercice 2.1

Développer en séries entières au voisinage de 0 les fonctions suivantes(en précisant le rayon de

convergence):
1 1
1. 4. f (z) = ,z ∈ C
(1 − x)(2 + x) 6z 2 − 5z + 1
³2 + x´ x2 + x − 3
5. f (x) = ,x ∈ R
2. f (x) = ln (x − 1)2 (2x − 1)
1−x
6. f (x) = ex sin(x) et g(x) = ex cos(x).
³x − 1´ ³ ´−3/2
3. f (x) = arctan ,x ∈ R 7. f (x) = 4 + x
1+x
Solution 2.1

1
1. f (x) = . On a pour tout x 6= 1 et x 6= −2.
(1 − x)(2 + x)
1 1/3 1/3 1/3 1/6
= + = + x 6= 1 et x 6= −2
(1 − x)(2 + x) 1−x 2+x 1 − x 1 + x/2
+∞ +∞ +∞
1X n 1X ¡ x ¢n X ¡ 1 (−1)n ¢ n
= x + (−1)n = + x , | x |< 1 et | x |< 2.
3 6 2 3 6.2n
n=0 n=0 n=0
Donc le développer en séries entières de f est:
+∞
X ¡1 (−1)n ¢ n
∀x ∈] − 1,1[; f (x) = + x .
3 6.2n
n=0
¡2 + x¢
2. f (x) = ln . ∀x ∈] − 1,1[
1−x
¡2 + x¢
f (x) = ln = ln(2 + x) + ln(1 − x) = ln(2) + ln(1 − x) + ln(1 + x/2)
1−x
+∞ n
X +∞
X
x xn
= ln(2) − − (−1)n
n n.2n
n=1 n=1
³x − 1´
3. f (x) = arctan ,x ∈ R.
1+x ³ x − 1 ´0
1
Pour tout x 6= −1 f 0 (x) = ³1 + x ´2 = .
x−1 1 + x2
1
1+x

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+∞
X 2n+
1 n 2n P+∞ n x
Comme au voisinage de 0 on a = (−1) x alors f (x) = n=0 (−1) + c, et
1 + x2 2n + 1
n=0
π
f (0) = c = arctan(−1) = − donc le développement en série entière de f est
4
+∞
π X x2n+
f (x) = − + (−1)n .
4 2n + 1
n=0
4. On a pour tout z ∈ C

1 1 3 2
= = − .
6z 2 − 5z + 1 (3z − 1)(2z − 1) 1 − 3z 1 − 2z
+∞
X +∞
X
1 1 n n 1 1
Pour | z |< , = 3 z et pour | z |< = 2n z n . Le rayon de convergence
3 1 − 3z 2 1 − 3z
n=0 n=0
1 1 1
du développement en série entière de f est R = inf ( , = ( comme somme de deux séries de
2 3 3
rayons de convergence différents.)
1
Donc pour | z |<
3
X¡ +∞
1 1 ¢
f (z) = 2
= = 3n+1 − 2n+1 z n .
6z − 5z + 1 1 − 3z
n=0
x2 + x − 3 9 5 1
5. On a pour tout x 6= 1 et x 6= 1/2 f (x) = 2
= − − .
(x − 1) (2x − 1) 1 − 2x 1 − x (1 − x)2
X+∞
9
Pour | x |< 1/2, = 9.2n xn .
1 − 2x
n=0
+∞
X
5
Pour | x |< 1 = 5.xn .
1−x
n=0
1
+∞
X ³ 1 ´0 1
+∞
X +∞
X
n n−1
Comme = x alors = = nx = (n + 1)xn .
1−x 1−x (1 − x)2
n=0 n=1 n=0
Donc pour | x |< 1/2 le développement en série entière de f est
+∞
X +∞
X
x2 + x − 3 n−1
¡ ¢
f (x) = 2
= nx = − 5 + 9.2n − n) xn .
(x − 1) (2x − 1)
n=1 n=0

6. f (x) = ex sin(x) et g(x) = ex cos(x).

+∞
X (i + 1)n xn
Pour tout x on a f (x) + ig(x) = ex cos(x) + iex sin(x) = ex(1+i) et e(i+1)x = .
n!
√ ¡ ¢n √ ¡ n=0
Or (i + 1)n = ( 2)n cos(π/4) + i cos(π/4) = ( 2)n cos(nπ/4) + i cos(nπ/4), d’où
+∞
X +∞ +∞
(i + 1)n xn X √ n xn X √ xn
f (x) + ig(x) = e x(1+i) = = ( 2) cos(nπ/4) +i ( 2)n sin(nπ/4)
n! n! n!
n=0 n=0 n=0
+∞
X +∞
X
√ xn √ xn
Donc f (x) = ex cos(x) = ( 2)n cos(nπ/4) et g(x) = ex sin(x) = ( 2)n sin(nπ/4)
n! n!
n=0 n=0
³ ´−3/2
7. f (x) = 4 + x

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3 Rayon de convergence et calcul de la somme

Exercice 3.1

1. Donner le rayon de convergence des séries entières et exprimer leurs sommes en termes de
fonctions élémentaires:
Xn+2 X n3
(a) xn ,n ≥ 0, x ∈ R. (b) xn ,n ≥ 0, x ∈ R.
n+1 n!
X 1 1 1
2. Soit la série entière (1 + + + ... + )z n ,n ≥ 1.
2 3 n
(a) Déterminer le rayon de convergence de cette série.
X∞
¡ 1 1 1¢
(b) Calculer la somme: 1 + + + ... + z n .
2 3 n
n=1

Solution 3.1

Exercice 3.2

∞
X ∞
X
1. En étudiant la somme xn , déterminer la somme de la série n(n − 1)xn−2 . En déduire les
n=0 n=0
∞
X ∞
1 X n2
sommes des séries n(n + 1) n , .
2 2n
n=0 n=0
∞
X x4n+2
2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière et calculer sa somme.
4n + 2
n=0

Solution 3.2

Exercice 3.3

+∞ 2
X n 1 1 x + x2
Calcul de . En utilisant le développement en série entière de , et
2n 1 − x (1 − x)2 (1 − x)3
n=0
+∞ 2
X n
montrer que = 6.
2n
n=1

Solution 3.3

Exercice 3.4

xn
Pour x ∈ R soit la série entière de terme général un (x) = .
4n2 − 1
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière.

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+∞
X
2. Calculer la somme u(x) = un (x).
n=0
+∞
X +∞
X (−1)n
1
3. En déduire les sommes S1 = et S2 = .
4n2 − 1 4n2 1
n=0 n=0

Solution 3.4

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière.

1
On a an = 2 et
4n − 1
an+1 4n2 − 1
lim = lim = 1, donc le rayon de convergence est R = 1.
n→+∞ an n→+∞ 4(n + 1)2 − 1
+∞
X
2. Calculer la somme un (x).
n=0
xn 1³ 1 1 ´ n
On a pour x ∈] − 1,1[ et n ≥ 0, = − x . Donc
4n2 − 1 2 2n − 1 2n + 1
1³ xn ´
+∞
X +∞
X +∞
X
xn
u(x) = un (x) = −1+ −
2 2n − 1 2n + 1
n=0 n=1 n=0

♠ Pour x ∈]0,1[
1³ xn ´
+∞
X +∞
X
xn+1
u(x) = −1+ −
2 2n + 1 2n + 1
n=0 n=0
³ √
1 ¢ X ( x)2n+1 ´
+∞
1 ¡√
= −1+ x− √
2 x n=0 2n + 1
³ √
1 ¡√ 1 ¢ ¡ 1 + x ¢´
= −1+ x − √ ln √
2 x 1− x
♠ Pour x ∈] − 1,0[
1³ xn ´
+∞
X +∞
X
xn+1
u(x) = −1+ −
2 2n + 1 2n + 1
n=0 n=0
³ √
( −x)2n+1 ´
+∞
1 ¡√ 1 ¢X
= −1− −x − √ (−1)
2 −x n=0 2n + 1
1 ³ ¡√ 1 ¢ ¡√ ´
= −1− −x + √ arctan −x)
2 x
♠ u(0) = −1
+∞
X +∞
X (−1)n
1
3. En déduire les sommes S1 = et S2 = .
4n2 − 1 4n2 − 1
n=0 n=0
Maintenant, la somme est en fait définie sur [−1,1] car les séries numériques de termes généraux
1 1 1
2
et 2
convergent par équivalence à la série de Riemann 2 .
4n − 1 4n + 1 n
+∞
X 1 1
S1 = = lim f (x) = −
4n2 − 1 x→1 2
n=0 x<1

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+∞
X (−1)n π+2
S2 = = lim f (x) = .
4n2 − 1 x→−1 4
n=0 x>−1

4 Méthode d’équation différentielle

Exercice 4.1

+∞
X 1
Soit f (x) = x2n .
(2n)!
n=0

1. Déterminer le rayon de convergence de cette série entière correspondante.

2. Calculer f 0 (x), et donner une équation différentielle (E) vérifiée par f .
3. Résoudre l’équation (E) et déduire la fonction f à l’aide de fonctions élémentaires.

Solution 4.1

Exercice 4.2

Soit la fonction définie sur ] − 1,1[ par f (x) = cos(α. arcsin(x)).

1. Former une équationdifférentielle du second ordre vérifiée par f .

2. Chercher les solutions de l’équation différentielle obtenue qui sont dévelopables en série entière
et vérifiant f (0) = 1 et f 0 (0) = 0.
3. En déduire que f est développable en série entière ] − 1,1[et donner son développement.

Solution 4.2

Exercice 4.3

X +∞
X (−1)n
En utilisant la série xn calculer la somme .
n(n + 1)
n=1

Solution 4.3

Exercice 4.4
Z 1 Z α
dx dx
On rappelle que = lim
0 1 − x α→1−
0 1−x
X Z 1 ∞X 1
n dx
1. En utilisant la somme de la série x montrer que =
0 1−x n+1
n=0
∞
X 1
2. En déduire la valeur de
n+1
n=0

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Solution 4.4

Exercice 4.5

X Z 1
n dx
1. Calculer directement et en utilisant la somme de la série: x , l’intégrale .
0 1+x
∞
X (−1)n
2. En déduire la valeur de .
2n + 1
n=0

Solution 4.5

Exercice 4.6

1 1
1) Déterminer le développement en série entière, au voisinage de 0, des fonctions et √
1 − 4x 1 − 4x
1 1 1
2) En écrivant =√ ×√ , établir que:
1 − 4x 1 − 4x 1 − 4x
n
X (2p)! (2n − 2p)!
∀n ∈ N, × = 4n .
(p!)2 [(n − p)!]2
n=0

Solution 4.6

Exercice 4.7

5+x
1. Décomposer en éléments simples la fraction suivante f (x) = .
3 + 2x − x2
2. Développer en série entière sur un intervalle que l’on déterminera la fonction f .
X∞
3. Soit f (x) = an xn . Utiliser la relation (3 + 2x − x2 ) ×f (x) = 5 + x et par identification
n=0
déterminer la relation de récurrence vérifiée par les coefficients an . En déduire les valeurs de an .

Solution 4.7

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