Université de Nice Sophia Antipolis

L1 Sciences économiques - Gestion

Mathématiques 2 (DL1EMA2) - Unité U5
Année 2007/2008
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Enseignant: J. YAMEOGO
Chargés de TD: F. BARKATS, F.-X. DEHON, J. YAMEOGO
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Corrigé de la feuille TD Nř4 - semaine du 17/03/2008

(les énoncés sont en bleu)
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Exercice 1. (calculer et majorer une intégrale double sur un rectangle)

On considère dans R2 le rectangle D = {(x, y) ∈ R2 /0 6 x 6 1, − 1 6 y 6 1} et la fonction
f: D  √
R définie par f (x, y) = x − y + 1 .
a) Expliquer pourquoi f est bien définie et continue sur D.
7
b) Montrer que pour tout (x, y) ∈ D on a f (x, y) < 4 .
ZZ
c) Calculer I = f (x, y)dxdy.
D
7
d) Expliquer pourquoi on a I < 2 .

Solution:
a) On a 1 6 x + 1 6 2 et − 1 6 − y 6 1. √
En additionnant ces deux inégalités on trouve 0 6 x − y + 1 6 3, ce qui entraîne que x − y + 1 est
bien définie sur le rectangle en question.
f est la composée f2 ◦ f1 des fonctions
√ 
continues f1: D 
R+ et f2: R+ R+ définies par:
f1(x, y) = x − y + 1, f2(t) = t .
f est donc continue en tant que composée de fonctions continues.
√
b) De l’inégalité 0 6 x − y + 1 6 3, il vient que pour tout (x, y) ∈ D, on a 0 6 f (x, y) 6 3 (car
la fonction racine carrée est croissante sur R+). Il nous suffit maintenant de vérifier que
√ 7 49
3 < 4 . Ce qui revient à prouver (après élévation au carré), que 3 < 16 . Cette dernière inéga-
49 1
lité est évidente car 16 = 3 + 16 .
ZZ
c) Pour calculer l’intégrale I = f (x, y)dxdy, on utilise le théorème de Fubini:
" D #
4 √ √
Z 1 Z 1
√
I= x − y + 1 dx dy. On trouve I = (9 3 − 4 2 − 1).
−1 0 15
7
d) Sur le rectangle D on a 0 6 f (x, y) < (d’après la question b)).
ZZ 4
7 7 7
D’où 0 6 I < dxdy = × 2 = .
D 4 4 2
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1
Exercice 2. (calculer une intégrale double sur un triangle)
Soit ∆ le domaine de R2, bordé par le triangle dont les sommets sont les points A, B, et C de
coordonnées respectives (0, − 1), (3, 1) et (0, 1).
a) La droite joignant les points A et B admet une équation ayant l’une des formes suivantes:
x = αy + β ou y = ax + b (α, β, a et b sont des réels).
Donner explicitement une de ces équations (en trouvant α et β ou a et b).
ZZ
b) Calculer l’intégrale I = xy 2dxdy.
∆

Solution:
a) Les coordonnées du point A vérifient l’équation x = αy + β si et seulement si 0 = − α + β.
De même les coordonnées du point b vérifient l’équation x = αy + β si et seulement si
3 = α + β.
Pour trouver α et β il nous suffit de résoudre le système de deux équations à deux inconnues

−α+ β =0
.
α+ β=3
3 3
On trouve facilement que ce système admet pour unique solution (α, β) = ( , ).
2 2
3 3
La droite joignant les points A et B admet donc pour équation x = y + .
2 2 2
Cette droite admet aussi pour équation y = x − 1.
 3 
3 3
b) Nous avons ∆ = (x, y) ∈ R2 / − 1 6 y 6 1, 0 6 x 6 y + .
Z 3 y+ 3 2 2
2 2
Pour y ∈ [ − 1, 1] fixé, posons I(y) = xy 2dx.
0 ZZ Z 1
Par le théorème de Fubini nous obtenons I = xy 2dxdy = I(y)dy.
Z 3 y+ 3 3 y+ 3 ∆
9 1 4
 −1 Z
2 2 1 2 2 9
On a xy 2dx = y 2 x2 = y 2(y + 1)2. On en déduit I = (y + 2y 3 + y2)dy.
0 Z 2 0 8 8 −1
1
9 1 4
Z
Comme y 3dy = 0 (pour raison de parité), on a I = 2 × (y + y 2)dy.
−1 Z 1 8 0
Il ne reste plus qu’à calculer (y 4 + y2)dy pour conclure.
0
Z 1  1
1 1 1 1 8
(y 4 + y 2)dy = y 5 + y 2 = + = .
0 5 3 0 5 3 15
6
Conclusion: I = .
5
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2
Exercice 3. (dessiner un domaine et calculer une intégrale double dessus)
Dansle plan R2 muni d’un repère orthonormé,on considère le domaine D défini par
1
D = (x, y) ∈ R2 / − 2 6 y 6 2, y − 1 6 x 6 y 2 .
2

a) Dessiner ce domaine et calculer son aire.

 R définie par f (x, y) = x + y. Calculer l’intégrale I =

ZZ
b) Soit f : D f (x, y)dxdy.
D

Solution:
a) D est le domaine délimité par les deux droites horizontales d’équation y = − 2, y = 2, la
1
droite oblique d’équation x = 2 y − 1 et la parabole d’équation x = y2.
On obtient le dessin suivant:

Z Z
Calculer l’aire du domaine D revient par exemple à calculer dxdy (intégrale double

D
sur D de la fonction constante (x, y) 1). On obtient, par la définition même de D,
Z 2 Z 2
1
aire(D) = (y2 − ( y − 1))dy = 2 (y 2 + 1)dy (pour des raisons de parité).
−2  2 2 0
1 28
D’où aire(D) = 2 y 3 + y = unités d’aire.
3 0 3
b) La fonction f est polynomiale, donc continue sur D qui est fermé #borné.
Z 2 " Z y2
En utilisant le théorème de Fubini on a I = (x + y)dx dy.
Z y2 1
−2 2
y −1
Posant I(y) = (x + y)dx,
1
2
y −1
x= y2
1 1 5 3 1
on trouve I(y) = x2 + xy = y4 + y3 − y2 + y − .
2 1
x= 2 y −1 2 8 2 2
Z 2 Z 2
1 5 1
On en déduit I = I(y)dy = 2 ( y4 − y 2 − )dy (pour des raisons de parité des termes de
2 8 2
−2 Z 20
1 4 5 2 1
I(y)). Reste donc à calculer ( y − y − )dy.
Z 2 0 2  8 2 2
1 4 5 2 1 1 5 5 3 1 32 40 8
On obtient ( y − y − )dy = y − y − y = − −1= .
0 2 8 2 10 24 2 0 10 24 15
16
Conclusion: I = .
15
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3
Exercice 4. (dessiner un domaine et choisir judicieusement un ordre d’intégration)
SoitD le domaine du plan R2 formé des couples (x, y) vérifiant leZ système:
Z
|y − 2| 6 1 2
. Dessiner D et calculer l’intégrale I = e(3−x) dxdy.
(x − 1)(x − y) 6 0 D

Solution: L ’inégalité |y − 2| 6 1 équivaut à − 1 6 y 

− 2 6 1, c’est-à-dire 1 6 y 6 3.
 (x − 1 > 0) et (x − y 6 0)
De même l’inégalité (x − 1)(x − y) 6 0 équivaut à ou .
(x − 1 6 0) et (x − y > 0)

En traçant les quatre droites d’équations respectives y = 1, y = 3, x = 1 et x = y, les différentes
inégalités nous permettent de voir que D est le triangle fermé dont les sommets ont pour coordon-
nées (1, 1), (3, 3) et (1, 3), illustré ci-dessous:

On peut ainsi écrire: D = (x, y) ∈ R2 /1 6 x 6 3, x 6 y 6 3 .



En utilisant"le théorème de #Fubini on obtient

Z 3 Z 3 Z 3
2 2 1h 2 3
i e4 − 1
I= e(3−x) dy dx = e(3−x) (3 − x)dx = − e(3−x) = .
1 x 1 2 1 2
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4
Exercice 5. (un changement de variables en coordonnées polaires)
On considère dans le plan muni d’un repère orthonormé, les deux cercles concentriques Γ1 et Γ2
de centre ω = (1, 1) et de rayons respectifs R1 = 2 et R2 = 3.
Si C est la couronne fermée comprise entre ces deux cercles, on note K la demi-couronne fermée
située dans le demi-plan ferméZ Z défini par x > 1.
Dessiner K et calculer I = x y dxdy. (On pourra faire un changement de variables en posant:
K π π
x = 1 + r cos(θ), y = 1 + r sin(θ) avec 2 6 r 6 3 et − 6 θ 6 .)
2 2

Solution: Pour dessiner le domaine K, il suffit de tracer les deux cercles concentriques Γ1, Γ2 et
la droite d’équation x = 1.

Si M est un point de coordonnées (x, y) appartenant au domaine K, la distance r, de M au

point ω de coordonnées (1, 1) est comprise entre 2 et 3.
Si nous prenons ω comme origine d’un nouveau repère R ′ = (O ′, Ki , Kj ), le vecteur ωM = O ′M
s’écrit de manière unique ωM = r(cos(θ)iK + sin(θ)jK ), avec − 2 6 θ 6 2 . Ceci justifie le changement
π π

π π
de variables x = 1 + r cos(θ), y = 1 + r sin(θ) avec 2 6 r 6 3 et − 6 θ 6 .

h π πi 2 2
L’application ϕ: [2, 3] × − , K définie par ϕ(r, θ) = (1 + r cos(θ), 1 + r sin(θ)) est
2 2
bijective de classe C 1 et de jacobien r. En utilisant la formule de changement de variables dans
les intégrales doubles puis le théorème de Fubini,#on obtient
Z 3" Z π
2
I= (1 + r cos(θ))(1 + r sin(θ)) × rdθ dr.
π
2 −2
Tenant
Z π compte du fait que la fonction cosinus
Z π est paire et la fonction sinus impaire, on a
2 2 π
π
(1 + r cos(θ))(1 + r sin(θ)) × rdθ = 2r (1 + r cos(θ))dθ = 2r[θ + r sin(θ)]02 = 2r( + r).
π 2
−2 Z 3 0 3
π 2 π 38 5π
Nous avons donc I = 2r( + r)dr = r3 + r 2 = + .
2 2 3 2 2 3 2
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5
Exercice 6. (dessiner un domaine et calculer son aire)
2
 dans le plan R muni d’un repère orthonormé, le domaine D des couples (x, y) vérifiant
Dessiner

 |y | 6 2
1

|x| 6 y 2 + 1 . Calculer l’aire de D.
 4
 y 6 x2 + 1


Solution: Pour dessiner le domaine D, on considère la zone Z délimitée par les deux droites
1 1
d’équations y = − 2, y = 2 et les deux paraboles d’équations x = − 4 y 2 + 1, x = 4 y 2 + 1. D est alors
la partie de Z située en dessous de la parabole d’équation y = x2 + 1

On peut remarquer que si le couple (x, y) vérifie le système d’inéquations définissant le domaine
D, il en est de même pour le couple ( − x, y). Autrement dit, l’axe verticale (Oy) est un axe de
symétrie orthogonale pour D.
Ainsi, si on pose D ′ = {(x, y) ∈ D /x > 0}, on a aire(D) = 2 × aire(D ′).
Pour calculer l’aire de D ′, nous pouvons décomposer D ′ en une réunion de deux sous-domaines
D1 et D2, s’intersectant en un segment de droite:
D1 = {(x, y) ∈ D /0 6 x 6 1}, D2 = {(x, y) ∈ D /1 6 x 6 2}.
On aura alors aire(D ′) = aire(D1) + aire(D2).
Z 1 Z 2
1
On trouve aire(D1) = ((x2 + 1) − ( − 2))dx et aire(D2) = (( y 2 + 1) − (1))dy.
0 −2 4
 1  2
1 10 1 3 4
Ce qui donne aire(D1) = x3 + 3x = , aire(D2) = 2 y = .
3 0 3 12 0 3
28
Conclusion: aire(D) = unités d’aire.
3
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