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Cours D'analyse Et Probabilités - Résumé
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Cours D'analyse Et Probabilités - Résumé
Essaidi Ali
6 avril 2015
K = R ou C
Proposition 1.1 Caractrisation squentielle des normes quivalentes : Soient E un K-espace vectoriel et N, N 0 deux normes
sur E. N et N 0 sont quivalentes si et seulement si x E, (xn ) E N , xn 0 x xn x.
N
A, A B A
B,
A
= A,
A
est un ouvert de E, A est un ouvert de E ssi A
= A, A
est le plus grand ouvert
A
et {A = {A.
{A = {A
Proposition 1.3 Caractrisation squentielle de ladhrence : Soit a E et A E.
a A si, et seulement si, a est limite dune suite dlments de A. Autrement dit, a A (an ) AN , an a.
Dfinition 1.4 Soient A, B E. On dit que A est dense dans B (resp. E) si B A (resp. A = E).
Proposition 1.4 Caractrisation squentielle des parties denses : Soient A, B E.
A est dense dans B si, et seulement si, b B, (an ) AN , an b.
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Lissane Eddine
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xa
xa
lim
kxk+
Proposition 1.6 Caractrisations squentielles de la continuit : Soient E, F deux K-espaces vectoriels norms, A E,
f : A F et a A.
f est continue en a ssi (xn ) AN , (xn a f (xn ) f (a)).
f continue sur A ssi limage rciproque de tout ouvert (resp. ferm) de F est un ouvert (resp. ferm) relativement A.
Proposition 1.7 Soient E, F1 , . . . , Fn des K-espaces vectoeiels norms, A E, a A, F = F1 Fn muni de la norme
produit et f : A F . On pose f = (f1 , . . . , fn ).
f est continue en a (resp. sur A) si et seulement si ses composantes f1 , . . . , fn sont continues en a (resp. sur A).
Proposition 1.8 Soient E, F deux K-espaces vectoriels norms, A, B E avec A B et f, g C (B, F ).
Si f = g sur A et A dense dans B alors f = g sur B.
Proposition 1.9 Caractrisation squentielle de luniforme continuit : Soient E, F deux K-espaces vectoriels norms, A
E et f : A F . f est uniformment continue sur A ssi (xn ), (yn ) AN , xn yn 0 f (xn ) f (yn ) 0.
Proposition 1.10 Caractrisation des applications linaires continues : Soient E, F deux K-espaces vectoriels norms et
f L (E, F ). f continue sur E ssi f uniformment continue sur E ssi f Lipschitzienne sur E ssi f continue en 0 ssi
k > 0, x E, kf (x)k kkxk.
Proposition 1.11 Caractrisation des applications bilinaires continues : Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels norms et
B : E F G bilinaire. On considre E F muni de la norme produit.
B est continue sur E F si et seulement si k R, x E, y F, kB(x, y)k kkxkkyk.
Proposition 1.12 Caractrisation des applications multilinaires continues : Soient E1 , . . . , En , F des K-espaces vectoriels
norms et M : E1 En F une application multilinaire. On considre E1 En muni de la norme produit.
M est continue sur E1 En si et seulement si k R, (x1 , . . . , xn ) E1 En , kM (x1 , . . . , xn )k
kkx1 k kxn k.
Dfinition 1.5 Soient E un K-espace vectoriel norm et A E.
On dit que A est compact dans E si de toute suite lments dans A on peut extraire une suite convergente dans A.
Proposition 1.13 Soient E, F deux K-espace vectoriel norm et A E et B F .
Si A est compact dans E alors A est ferm born dans E.
Si A est compact dans E alors tout ferm dans A est compact dans E.
Si A est compact dans E et B compact dans F alors A B est un compact dans E F muni de la norme produit.
Si A est compact dans E alors toute suite (xn ) de A converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur dadhrence.
Si A est compact dans E et f : A F continue sur A alors f (A) est compact dans F .
Si A est compact dans E et f : A F continue sur A alors il existe a, b A tel que kf (a)k = sup kf (x)k et
xA
Si A est compact dans E et f : A R continue sur A alors il existe a, b A, f (a) = sup f (x) et f (b) = inf f (x).
xA
xA
Thorme de Heine : Si A est compact dans E et f : A R continue sur A alors f est uniformment continue sur A.
Dfinition 1.6 Soit E un K-espace vectoriel norm A E et (xn ) une suite de E.
On dit que (xn ) est une suite de Cauchy si > 0, N N, m, n N, kxn xm k .
A est complet dans si toute suite de Cauchy lments dans A converge dans A.
E est un espace de Banach si E est complet.
Proprit 1.3 Si E est un K-espace vectoriel norm alors :
Toute suite convergente de E est de Cauchy.
Toute suite de Cauchy de E qui admet une valeur dadhrence l est convergente vers l.
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P
Dfinition
P 2.1 Soient E un K-espace vectoriel
P norm et un S(E). On dit que :
P un converge absolument si P
la srie kun k est convergente.
n=0
Proposition et dfinition 2.1 Si A une K-algbre norme de dimension finie alors u A la srie
+ n
X
u
On note exp(u) =
et exp : u A 7 exp(u) sappelle lapplication exponentielle sur A.
n!
n=0
P un
n!
converge absolument.
Proposition 2.3 Soient A une K-algbre de norme de dimension finie et u, v A. Si uv = vu alors exp(u + v) =
exp(u) exp(v) = exp(v) exp(u). En particulier, exp(u) est inversible et (exp(u))1 = exp(u).
Dfinition 2.2 Un ensemble I est dit :
Dnombrable sil existe une bijection entre N et I.
Au plus dnombrable sil existe une bijection entre une partie de N et I.
Proposition 2.4
Un ensemble est au plus dnombrable si, et seulement si, il est fini ou dnombrable.
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Un ensemble I est au plus dnombrable ssi il existe une application injective (resp. surjective) de I vers N (resp. N vers
I).
Les parties infinies de N, Z, Q et N N sont dnombrables. Lensemble R nest pas dnombrable.
Si E1 , . . . , En sont des ensembles dnombrables alors E1 En est dnombrable.
Une union au plus dnombrable densembles dnombrables (resp. au plus dnombrables) est dnombrable (resp. au plus
dnombrables).
Dfinition 2.3 Soient I un ensemble au plus dnombrable.
X
Une famille (xi )iI de rels positifs est dite sommable si M 0, J I finie,
xi M .
iJ
sup
Dans ce cas,
JI;J fini
iJ
xi .
iI
Une famille (xi )iI de nombres rels ou complexes est dite sommable si la famille (|xi |)iI est sommable.
Proposition 2.5 Critre de comparaison : Soient I un ensemble au plus dnombrable et
(xi )iI X
, (yi )iI deux familles de rels
X
positifs. Si (yi )iI est sommable et i I, xi yi alors (xi )iI est sommable et on a
xi
yi .
iI
iI
Si K = R alors (x+
)
et
(x
)
sont
sommables.
x
x
sappelle
la
somme
de
(x
)
et
se
note
xi .
i iI
i iI
i iI
i
i
iI
iI
iI
X
X
<e(xi ) + i
=m(xi ) sappelle la somme de (xi )iI
iI
et se note
iI
xi .
iI
iI
X
iI
xi =
+
X
x(n) .
n=0
Proposition 2.7 Sommation par paquets ou regroupement : Soient I un ensemble au plus dnombrable.
Si (xi )iI est une famille
sommable de nombres rels ou complexes et (Ik )kK une partition de I alors k K, (xi )iIk est
!
X
X
XX
sommable,
xi
est sommable et on a
xi =
xi .
iIk
iI
kK
kK iIk
Proposition 2.8 Critre suffisant de sommabilit : Soient I un ensemble au plus dnombrable et!(Ik )kK une partition de I.
X
Si (xi )iI est une famille de nombres rels ou complexes telle que k K, (xi )iIk et
|xi |
soient sommables alors
iIk
kK
q0
+
X X
xpq et
p0 q=0
+ X
+
X
q0
Dans ce cas
p=0
p0
xpq =
(p,q)N2
!
xpq
convergent.
xpq =
q=0 p=0
+ X
+
X
xpq .
p=0 q=0
p=0
p0
q0
+
X X
q0
|xpq | et
p0
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q=0
(p,q)N2
!
|xpq |
convergent et on a
X
(p,q)N2
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xpq =
q=0 p=0
+ X
+
X
xpq
p=0 q=0
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P
P
Dfinition 2.4 Soient x!
yn deux sries de nombres rels ou complexes.
n et
X X
P
P
La srie
xp yq sappelle le produit de Cauchy de xn et yn .
p+q=n
xn et
m,nN
+
X
n=0
p+q=n
xp yq
n=0
!
+
X
n=0
xn
+
X
yn .
n=0
Proposition 3.1 Soit I un intervalle de R, E un K-espace vectoriel norm de dimension finie n N , B = (e1 , . . . , en ) une
base de E, a I et f : I E. On pose f = f1 e1 + + fn en .
f est drivable en a ssi f1 , . . . , fn sont drivables en a. Dans ce cas, f 0 (a) = f10 (a)e1 + + fn0 (a)en .
Proposition 3.2 Soit I un intervalle de R, E, F, G trois K-espaces vectoriels norms de dimensions finies et f, g : I E
drivables sur I.
Si u L (E, F ) alors u f est drivable sur I et on a (u f )0 = u f 0 .
Si B : E F G est bilinaire alors B(f, g) : t 7 B(f (t), g(t)) est drivable sur I et on a t I, (B(f, g))0 (t) =
B(f 0 (t), g(t)) + B(f (t), g 0 (t)).
Si E est euclidien alors u : t 7 hf (t), g(t)i est drivable sur I et on a t I, u0 (t) = hf 0 (t), g(t)i + hf (t), g 0 (t)i.
Si E est euclidien alors v : t 7 kf (t)k2 est drivable sur I et on a t I, v 0 (t) = 2hf 0 (t), f (t)i.
Si E est euclidien orient de dimension 3 alors w : t 7 f (t) g(t) est drivable sur I et on a t I, w0 (t) =
f 0 (t) g(t) + f (t) g 0 (t).
Proposition 3.3 Soit k N , I un intervalle de R, E, F, G trois K-espaces vectoriels norms de dimensions finies, B :
E F G une application bilinaire, f : I E et g : I F .
Si f et g sont k-fois drivables (resp. de classe C k ) sur I alors B(f, g) : t 7 B(f (t), g(t)) est drivable (resp. de classe C k )
k
X
Cpk B(f (p) (t), g (kp) (t)).
sur I et on a la formule de Leibniz : t I, (B(f, g))(k) (t) =
p=0
Dfinition 3.1 Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie n N , B = (e1 , . . . , en ) une base de E et f : [a, b]
E continue par morceaux sur [a, b]. On pose f = f1!
e1 + + fn en .
Z b
Z b !
Z
Z b
Z b
On appelle intgral de f sur [a, b] llment
f1 e 1 + +
fn en de E. On le note
f ou
f ou
f (t)dt.
a
[a,b]
f est de classe C 1 sur I et on a x I, F 0 (x) = f (x). En particulier, f possde une primitive sur I.
Z x
Lapplication F : x 7
f est lunique primitive de f sur I qui sannule en a.
a
Z x
f.
Si G est une primitive de f sur I alors x I, G(x) = G(a) +
F : x 7
Proposition 3.6 Ingalit des accroissements finis : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension fini et f : [a, b] E
de classe C 1 sur [a, b].
Si M 0 telle que t [a, b], kf 0 (t)k M alors kf (b) f (a)k M (b a).
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Ingalit
de Taylor-Lagrange
: Si f est de classe C (n+1) sur [a, b] alors
n
X
(b a)n+1
f (k) (a)
(b a)k
sup kf (n+1) (t)k
.
f (b)
t[a,b]
k!
(n + 1)!
k=0
n
X
f (k) (a)
(x a)k + o((x a)n ).
Formule de Taylor-Young : Si f est de classe C n sur I alors f (x) =
k!
k=0
Dfinition 4.1 Soient X un ensemble non vide, E un K-espace vectoriel norm de dimension finie et (fn ) une suite de fonctions
de X vers E.
On dit que que (fn ) converge simplement sur X si x X la suite (fn (x)) converge. Dans ce cas, f : x X 7
s
lim fn (x) sappelle la limite de (fn ) sur X et on note fn
f sur X.
n+
On dit que que (fn ) converge uniformment sur X sil existe une application f : X E telle que > 0, N
u
N, n N, x X, kfn (x) f (x)k . Dans ce cas, f est unique et on note fn
f sur X.
Proposition 4.1 Soient X un ensemble non vide, E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, (fn ) une suite de fonctions
de X vers E et f : X E. Si (fn ) converge uniformment sur X vers f alors (fn ) converge simplement sur X vers f .
Proposition 4.2 Soient a, b R avec a < b et E un K-espace vectoriel norm de dimension finie.
Si f C ([a, b], E) alors f est limite uniforme sur [a, b] dune suite de fonctions en escaliers de [a, b] vers E.
Thorme de Weierstrass : Si f C ([a, b], K) alors f est limite uniforme sur [a, b] dune suite de fonctions polynomiales.
P
Dfinition 4.2 Soient X un ensemble non vide, E un K-espace
vectoriel norm de dimension finie et fn une srie de foncP
tions de X vers E. On dit que que la srie de fonctions fnP
converge :
Simplement sur X si la suite des sommes partielles de P
fn converge simplement sur X.
Uniformment sur A si la suite des sommesPpartielles de fn converge uniformment sur X.
Normalement sur X si la srie numrique kfn k,X converge.
P
Proposition 4.3 Soient X un ensemble non vide, E un K-espace vectoriel norm de dimension finie et
fn une srie de
fonctions
de
X
vers
E.
P
P
P
n+
xa n+
n+ xa
Corollaire 4.4 Soient E, F deux K-espaces vectoriels norms de dimensions finies, A E et (fn ) une suite de fonctions de A
vers F . Si n N, fn est continue en a A (resp. sur A) et (fn ) converge uniformment sur A vers une fonction f alors f est
continue en a (resp. sur A).
Thorme 4.2 Thorme
dinterversion limite-somme : Soient E, F deux K-espaces vectoriels norms de dimensions finies,
P
A E, a A et fn une srie de fonctions de A vers F .
+
X
P
Si n N, fn admet une limite bn en a et
fn converge uniformment sur A alors
fn admet une limite en a, la srie
n=0
numrique
bn converge et on a lim
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xa
+
X
n=0
fn (x) =
+
X
n=0
bn =
+
X
n=0
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lim fn (x).
xa
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P
Corollaire 4.5 Soient E, F deux K-espaces vectoriels norms de dimensions finies, A E et fn une srie de fonctions de
+
X
P
A vers F . Si n N, fn est continue en a A (resp. sur A) et fn converge uniformment sur A alors
fn est continue
n=0
gn (x) =
fn converge uniformment vers la fonction g(x) =
Z x0 Z
Z
alors f =
lim fn = lim
fn .
I n+
n+
Z
uniformment vers
+
xX
x0 n=0
Z X
+
I n=0
fn =
+ Z
X
n=0
fn .
Thorme 4.3 Interversion limite-drive : Soit I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel norm de dimension
finie et (fn ) une suite de fonctions de classe C 1 de I vers E.
Si (fn ) converge simplement sur I vers une fonction f et (fn0 ) converge uniformment sur I vers une fonction g alors f est de
classe C 1 sur I et f 0 = g sur I (Autrement dit, ( lim fn )0 = lim fn0 ) et (fn ) converge uniformment sur tout segment de I
n+
n+
vers f .
Corollaire
P 4.9 Interversion somme-drive : Soit I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel norm de dimension
finie et fn une srie de fonctions de classe C 1 de I vers E.
!0
+
+
X
X
P
P 0
1
fn est de classe C sur I,
fn =
Si
fn converge simplement sur I et
fn converge uniformment sur I alors
n=0
+
X
fn0 et
n=0
n=0
Proposition 4.10 Interversion limite-drive dordre suprieur : Soit I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel
de dimension finie et (fn ) une suite de fonctions de classe C k (k N ) de I vers E.
(k)
(p)
Si p {0, . . . , k 1}, (fn ) converge simplement sur I vers une fonction gp et (fn ) converge uniformment sur I vers
une fonction gk alors la fonction f = g0 est de classe C k sur I et on a p {0, . . . , k}, f p = gp . Autrement dit p
{0, . . . , k}, ( lim fn )(p) = lim fn(p) .
n+
n+
+
X
n=0
!(p)
fn
+
X
f (p) .
n=0
Proposition 4.12 Si A une K-algbre norme de dimension finie et a A alors lapplication ea (t) = exp ta est de classe C
sur R et on a t R, e0a (t) = aea (t) = ea (t)a.
Sries entires :
P
Thorme 5.1 (Lemme dAbel) Soit une srie entire an z n et P> 0.
Si la suite (an n ) est borne
z C tel que |z| < , la srie an z n est absolument convergente. En particulier, z C
P alors
n
tel que |z| < , la srie an z est convergente.
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P
P
Dfinition 5.1 Soit une srie entire
an z n . On appelle rayon de convergence de la srie entire
an z n llment R =
n
+
sup{ 0/la suite (an ) soit borne} de R {+}.
P
Proposition 5.1 Soient an z n une srie P
entire de rayon de convergence R et u C.
Si |u| < R alors la srie numrique P an un est absolument convergente. En particulier, convergente.
Si |u| > R alors la srie numrique an un diverge grossirement.
P
P
P
Proposition 5.2 Si an z n est une srie entire et R alors an z n et n an z n ont mme rayon de convergence.
P
n
Proposition
5.3 (Rgle de DAlembert) Soit une srie entire an z telle que n N, an 6= 0.
an+1
P
alors le rayon de convergence de an z n est R = 1 avec la convention 1 = + et 1 = 0.
=lR
Si lim
l
0
+
n+
an
P
P
Proposition 5.4 Soient an z n et bn z n deux sries entires de rayons de convergences respectifs Ra et Rb .
Si an = O(bn ) ou an = o(bn ) alors Rb Ra .
Si an bn alors Rb = Ra .
P
P
Proposition 5.5 Soient an z n et bn z n deux sries entires de rayons de convergences respectifs Ra et Rb .
+
X
P
n
Si R est le rayon de convergence de (an + bn )z alors R min(Ra , Rb ) et on a |z| < min(Ra , Rb ),
(an +
n=0
bn )z n =
+
X
an z n +
+
X
+
X
n=0
p+q=n
ap bq
zn =
+
X
n=0
an z n
+
X
bn z n .
n=0
+
X
nan xn1 =
n=1
+
X
(n + 1)an+1 xn .
n=0
+
X
k!Cnk an xnk =
k
k!Cn+k
an+k xn .
n=0
n=k
n N, an =
+
X
f (n) (0)
n! .
P
P
Corollaire 5.8 Soient an xn et bn xn deux sries entires relles de sommes respectives f et g.
Si > 0 tel que x ] , [, f (x) = g(x) alors n N, bn = an .
Dfinition 5.2 Soient I un intervalle non vide de R et f P
: I C. On dit que f est dveloppable en srie entire :
Sur ]r, r[ avec r > 0 sil existe une srie entire an xn de rayon de convergence R r telle que x ]r, r[, f (x) =
+
X
an xn .
n=0
En 0 sil existe r > 0 tel que f soit dveloppable en srie entire sur ] r, r[.
En x0 I si lapplication x 7 f (x0 + x) est dveloppable en srie entire en 0.
Proposition 5.9 Soit I un intervalle non vide de R, r > 0 et f : I C dveloppable en srie entire sur ] r, r[. Alors :
+
X
Pour tout n N, f admet un dveloppement limit dordre n en 0. Si, de plus, f (x) =
ak xk sur ] r, r[ alors
f (x) =
n
X
k=0
k
ak x + o(x ).
k=0
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n N, a2n = 0).
Dfinition 5.3 Soient I un intervalle non vide de R tel que 0 I et f : I C de classe C au voisinage de 0.
P f (n) (0) n
La srie entire
n! x sappelle la srie de Taylor de f en 0.
Proposition 5.10
+ n
X
x
.
n!
n=0
+
+
X
X
x2n
x2n+1
et sh(x) =
.
(2n)!
(2n + 1)!
n=0
n=0
+
X
lnn a n
x .
n!
n=0
+
+
X
X
(1)n 2n+1
(1)n 2n
x et sin(x) =
x
.
cos et sin sont dveloppables en sries entires sur R et on a x R, cos(x) =
(2n)!
(2n + 1)!
n=0
n=0
R, f (x) = (1 + x) est dveloppable en srie entire sur ] 1, 1[ et on a x ] 1, 1[, (1 + x) = 1 +
+
X
( 1) ( n + 1) n
x .
n!
n=1
Calcul diffrentiel :
Proposition et dfinition 6.1 Soient E, F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U
F et a U .
On dit que f est diffrentiable en a si u L (E, F ) telle que a + h U, f (a + h) = f (a) + u(h) + o(khk).
Dans ce cas, lapplication u est unique, on lappelle la diffrentielle de f en a ou lapplication linaire tangente f en a et on
la note df (a) ou dfa ou Df (a).
U L (E, F )
On dit que f est diffrentiable sur U si f est diffrentiable en tout poit de U . Dans ce cas, lapplication
x 7 df (x)
sappelle la diffrentielle de f sur U et on la note df .
Proposition 6.1 Soient E, F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E et f : U F .
Si f est constante sur U alors f est diffrentiable sur U et on a a U, df (a) = 0.
Si f est la restriction dune application linaire alors f est diffrentiable sur U et on a a U, h E, df (a)(h) = f (h).
Autrement dit, a U, df (a) = f .
Proposition 6.2
Soient E, F, G trois R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E F et f :
U G.
Si f est la restriction dune application bilinaire alors f est diffrentiable sur U et on a (a, b) U, (h, k) E
F, df (a, b)(h, k) = f (a, k) + f (h, b).
Gnralement, soient E1 , . . . , Em des R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E1 En
et f : U F .
Si f est la restriction dune application multilinaire alors f est diffrentiable sur U et on a (a1 , . . . , an ) U, (h1 , . . . , hn )
E1 En , df (a1 , . . . , an )(h1 , . . . , hn ) = f (h1 , a2 , . . . , an ) + f (a1 , h2 , a3 , . . . , an ) + f (a1 , . . . , an1 , hn ).
Proposition 6.3 Soient E un R-espace vectoriel norm de dimensions finies, I un intervalle de R, f : I F et a I.
f est diffrentiable en a si, et seulement si, f est drivable en a. Dans ce cas, t R, df (a)(t) = tf 0 (a). En particulier,
df (a)(1) = f 0 (a).
Proposition 6.4 Soient E, F1 , . . . , Fn des R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U
F1 Fn et a U . On pose f = (f1 , . . . , fn ).
f est diffrentiable en a si, et seulement si, f1 , . . . , fn sont diffrentiables en a. Dans ce cas, df (a) = (df1 (a), . . . , dfn (a)).
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Dfinition 6.1 Soient E, F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F , a U et
h E \ {0}.
f (a + th) f (a)
On dit que f admet une drive en a suivant le vecteur h si lim
existe.
t0
t
Dans ce cas, cette limite sappelle la drive de f en a suivant h et on la note Dh f (a).
Proposition 6.5 Soient E, F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F , a U et
h E \ {0}. f est drivable en a suivant h si et seulement si est drivable en 0. Dans ce cas, Dh f (a) = 0 (0).
Proposition 6.6 Soient E, F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F et a U .
Si f est diffrentiable en a alors f est drivable en a suivant tout vecteur non nul de E et on a h E \ {0}, Dh f (a) =
df (a)(h).
Dfinition 6.2 Soient E, F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles, BE = (e1 , . . . , en ) une base de
E, U un ouvert de E, f : U F et a U .
On appelle drives partielles de f en a les drives, si elles existent, de f en a suivant les vecteurs e1 , . . . , en .
Dans ce cas, si i {1, . . . , n}, la drive de f en a suivant ei sappelle la i-ime drive partielle de f en a. On la note :
f
(a).
Dei f (a) ou Di f (a) ou x
i
f
Si f est drivable suivant ei en tout x U alors lapplication x U 7 x
(x) sappelle la i-ime application drive partielle
i
f
de f sur U . On la note : Dei f ou Di f ou xi .
Proposition 6.7 Soient E, F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles, BE = (e1 , . . . , en ) une base
de E, U un ouvert de E, f : U F et a U .
Si f est diffrentiable en a alors les drives partielles de f en a existent et on a h = h1 e1 + + hn en E, df (a)(h) =
n
X
f
hi
Dh f (a) =
(a).
x
i
i=1
Dfinition 6.3 Soient E, F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles, BE une base de E, BF une
base de F , U un ouvert de E, f : U F et a U .
Si f est diffrentiable en a alors la matrice mat(df (a), BE , BF ) sappelle la matrice Jacobienne de f en a par rapport aux
bases BE et BF . On la note Jf (a).
Proposition 6.8 Soient E, F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, f, g : U
F et a U .
Si f et g sont diffrentiables en a. Alors :
f + g est diffrentiable en a et on a d(f + g)(a) = df (a) + dg(a). Matriciellement, Jf +g (a) = Jf (a) + Jg (a).
R, f est diffrentiable en a et on a d(f )(a) = df (a). Matriciellement, Jf (a) = Jf (a).
Proposition 6.9 Soient E, F, G trois R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, f : U
F , a U , V un ouvert de F tel que f (U ) V et g : V G.
Si f est diffrentiable en a et g diffrentiable en f (a) alors g f est diffrentiable en a et on a d(g f )(a) = dg(f (a)) df (a).
Matriciellement, Jgf (a) = Jg (f (a)) Jf (a).
Corollaire 6.10 Soient E, F, G trois R-espaces vectoriels norms de dimensions finies respectives m, n, p N , U un ouvert
de E, f : U F , a U , V un ouvert de F tel que f (U ) V et g : V G.
n
X
(g f )i
gi
fk
Si f est diffrentiable en a et g diffrentiable en f (a) alors i {1, . . . , p}, j {1, . . . , m},
(a) =
(f (a))
(a).
xj
xk
xj
k=1
Corollaire 6.11 Soit I un intervalle de R, a I, E, F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles, U un
ouvert de E tel que f (I) U et g : U F .
Si f est drivable en a et g diffrentiable en f (a) alors g f est drivable en a et on a (g f )0 (a) = dg(f (a))(f 0 (a)).
n
X
g
Si (e1 , . . . , en ) est une base de E et f = f1 e1 + + fn en alors (g f )0 (a) = dg(f (a))(f 0 (a)) =
(f (a))fk0 (a).
xk
k=1
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Corollaire 6.20 Caractrisation des applications constantes sur un ouvert connexe par arcs : Soit E, F deux R-espaces
vectoriels norms de dimensions finies non nulles, U un ouvert connexe par arcs non vide de E et f C 1 (U, F ) de composantes
f1 , . . . , fp dans une base de F .
f est constante sur U x U, df (x) = 0 x U, Jf (x) = 0 x U, Jf (x) = 0 x U, i
fi
{1, . . . , p}, j {1, . . . , n}, x
(x) = 0.
j
Proposition 6.21 Soit k N {}, E, F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies et U un ouvert de E.
Lensemble C k (U, F ) des fonctions de U vers F de classe C k sur U est un R-espace vectoriel.
Proposition 6.22 Soit k N {}, E, F, G trois R-espaces vectoriels de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F ,
V un ouvert de F tel que f (U ) V et g : V G. Si f C k (U, F ) et g C k (V, G) alors (g f ) C k (U, G).
Thorme 6.1 Thorme de Schwarz : Soient E, F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E
2f
2f
=
sur U .
et f : U F . Si f C 2 (U, F ) alors i, j {1, . . . , n},
xi xj
xj xi
Proposition 6.23 Soit E un R-espace vectoriel norm de dimension finie, U un ouvert E, f : U R et a U tel que f soit
diffrentiable en a. Si f admet un extremum local en a alors df (a) = 0.
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Thorme 7.1 Thorme de la convergence domine : Soit I un intervalle non vide de R et (fn ) une suite de fonctions de I
valeurs relles ou complexes. Si :
n N, fn est continue par morceaux sur I.
La suite (fn ) convege simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I.
Il existe une fonction valeurs positivesZ et intgrable
sur I telle que n
Z
Z N, |fn | (Condition de domination).
Alors, la fonction f est intgrable sur I et on a
f=
I
lim fn = lim
I n+
n+
fn .
I
Thorme 7.2 Thorme dintgration terme terme : Si I un intervalle non vide et (fn ) une suite de fonctions de I et
valeurs relles ou complexes telle que :
n N, P
fn est continue par morceaux sur I.
La srie fn convege simplement sur I de somme continue par morceaux sur I.
n N, P
fnRest intgrable sur I.
La srie
|f | converge.
I n
Z X
Z X
Z X
+
+
+ Z
+
+ Z
X
X
Alors,
fn est intgrable sur I,
fn =
fn et
fn
|fn |.
I
I
I
I
I
n=0
n=0
n=0
n=0
n=0
Proposition 7.1 Soient I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, A E, a A et
f : A I K. Si :
x A, t 7 f (x, t) est continue par morceaux sur I.
t I, lim f (x, t) existe.
xa
: I R+ intgrable
sur I telle que (x, t) A I, |f (x, t)|Z (t).
Z
Alors lapplication x 7
xa
f (x, t)dt =
I
Z
lim f (x, t)dt.
I xa
Corollaire 7.2 Thorme de continuit sous le signe intgral : Soient I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel
norm de dimension finie, A E et f : A I K. Si :
x A, t 7 f (x, t) est continue par morceaux sur I.
t I, x 7 f (x, t) est continue sur A.
: I R+ intgrable sur I telle que (x, t) A I, |f (x, t)| (t).
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Z
Alors lapplication x 7
Thorme 7.3 Thorme de drivation sous le signe intgral : Soient I, J deux intervalles non vides de R et f : I J K
telle que la drive partielle f
x existe sur I J. Si :
x I, t 7 f (x, t) est continue par morceaux et intgrable sur J.
x I, t 7 f
x (x, t) est continue par morceaux sur J.
t J, x 7 f
x (x, t) est continue sur I.
+
: J R intgrables sur J telles que (x, t) I J, f
(x,
t)
(t).
x
Z
Z
f
Alors lapplication g : x 7
f (x, t)dt est de classe C 1 sur I et on a x I, g 0 (x) =
(x, t)dt.
J
J x
Corollaire 7.3 Soient k N , I, J deux intervalles non vides de R et f : I J 7 K telle que
r
r {0, . . . , k}, x I, t 7 xfr (x, t) est continue par morceaux sur J.
k f
(x, t)
xk
+
t J, x 7
k f
xk
existe sur I J. Si :
k
: J R intgrable sur J telle que (x, t) I J, xfk (x, t) (t).
Z
Z r
f
(r)
k
Alors lapplication g : x 7
f (x, t)dt est de classe C sur I et on a r {1, . . . , k}, x I, g (x) =
(x, t)dt.
r
J
J x
Z
x 7
note .
x > 0, (x + 1) = x(x). En particulier,
n N, (n + 1) = n!.
Fonctions holomorphes :
= {(a, b)
Proposition 8.1 Conditions de Cauchy-Riemann (Cas drivable) : Soit un ouvert non vide de C, f : C,
2
f
x (x, y)
= i yf (x, y) =
u
x (x, y)
v
+ i x
(x, y) =
v
y (x, y)
i u
y (x, y) =
u
x (x, y)
i u
y (x, y) =
=
Corollaire 8.2 Conditions de Cauchy-Riemann (Cas holomorphe) : Soit un ouvert non vide de C et f : C,
2
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Dans ce cas, f 0 =
f
x
= i yf =
u
x
v
+ i x
=
v
y
i u
y =
u
x
i u
y =
v
y
v
y
et
u
y
v
= x
.
v
+ i x
.
+
X
n=k
k!Cnk an z nk =
+
X
k
k!Cn+k
an+k z n .
n=0
Proposition 8.6 Si un ouvert non vide de C alors lensemble O() des applications analytiques sur est une C-algbre.
Proposition 8.7 Soit un ouvert non vide de C et f : C. Si f est analytique sur alors :
f est holomorphe sur si, et seulement si, f est analytique sur .
Si f est holomorphe sur alors f est indfiniment drivable sur .
Si z0 et R = sup{r > 0/D(0, r) } (0 R +) alors il existe une suite (an ) CN telle que z
+
X
f (n) (z0 )
.
an (z z0 )n . On a, de plus, n N, an =
D(z0 , R), f (z) =
n!
n=0
Dfinition 8.2 Soient un ouvert non vide de C et f : C. On dit que a est un zro isol de f si a est un zro de f
et > 0 tel que z D(a, ) \ {a}, f (z) 6= 0.
Thorme 8.1 Soient un ouvert non vide connexe par arcs et f H().
Principe des zros isols : Si f est non identiquement nulle sur alors les zros de f sont isols.
Si a tel que n N, f (n) (a) = 0 alors f est nulle sur .
Principe du prolongement analytique : Si f admet un prolongement en une fonction holomorphe sur alors ce prolongement est unique.
Equations diffrentielles :
Thorme 9.1 Thorme de Cauchy-Lipschitz : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, U un ouvert de RE,
f : U E et (t0 , x0 ) U .
(
x0 (t) = f (t, x(t))
1
Si f est de classe C sur U alors le problme de Cauchy PC :
admet une solution ([t0 , t0 + ], x)
x(t0 ) = x0
avec > 0.
Si, en plus, (I, y) est une solution de PC alors t [t0 , t0 + ] I, x(t) = y(t).
Dfinition 9.1 On appelle quation diffrentielle variables sparables toute quation de la forme E : x0 (t) = f (t)g(x(t)) o
f : I R et g : J R avec I, J deux intervalles ouverts de R.
Proposition 9.1 Soient I, J deux intervalles ouverts de R, f C (I), g C 1 (J) et (K, x) une solution de lquation E :
x0 (t) = f (t)g(x(t)). Si t0 K, g(x(t0 )) = 0 alors t K, g(x(t)) = 0.
Dfinition 9.2 Soient I, J deux intervalles de R, f C (I) et g C 1 (J).
On appelle solution singulire de x0 (t) = f (t)g(x(t)) toute application constante x(t) = x0 sur I avec x0 une raine de g.
Dfinition 9.3 On appelle quation diffrentielle linaire dordre un toute quation de la forme E : x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t)
avec a : I L (E) et b : I E deux applications continues sur un intervalle I de R et E un K-espace vectoriel norm de
dimension finie. E0 : x0 (t) = a(t)(x(t)) sappelle lquation homogne associe E .
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Thorme 9.2 Thorme de Caucy-Lipschitz : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, x0 E, I un intervalle
de R, t0 I, a C (I, L
((E)) et b C (I, E).
x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t)
Le problme de Cauchy
admet une et une seule solution globale.
x(t0 ) = x0
Corollaire 9.5 Unicit locale des solutions : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, I un intervalle de R,
a C (I, L (E)), b C (I, E) et (J, x), (K, y) deux solutions de lquation x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t).
Si t0 J K, x(t0 ) = y(t0 ) alors t J K, x(t) = y(t).
Proposition 9.6 Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, I un intervalle de R, a C (I, L (E)) et b C (I, E).
Lensemble S0 des solutions globales de lquation homogne x0 (t) = a(t)(x(t)) est un sous-espace vectoriel de
C 1 (I, E).
: S0
E
Soit t0 I. Lapplication
est un isomorphisme despaces vectoriels. En particulier, dim S0 =
x 7 x(t0 )
dim E.
Lensemble S des solutions globales de lquation E : x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t) est un sous-espace affine de C 1 (I, E)
de direction S0 . Autrement dit, si x S alors S = x + S0 .
Dfinition 9.5 Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie non nulle, I un intervalle de R et a C (I, L (E)).
On appelle systme fondamental de solutions de lquation E0 : x0 (t) = a(t)(x(t)) toute base (1 , . . . , n ) de lespace S0 des
solutions globales de E0 .
Proposition 9.7 Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie non nulle, I un intervalle de R, a C (I, L (E)) et
1 , . . . , n des solutions globales de lquation E0 : x0 (t) = a(t)(x(t)). Les assertions suivantes sont quivalentes :
(1 , . . . , n ) de E0 est un systme fondamental de solutions de lquation E0 .
t I, (1 (t), . . . , n (t)) est une base de E.
t0 I, (1 (t0 ), . . . , n (t0 )) est une base de E.
Proposition 9.8 Mthode de la variation de la constante : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie non nulle, I
un intervalle de R, a C (I, L (E)) et b C (I, E).
Si (1 , . . . , n ) est un systme fondamental de solutions de lquation homogne x0 (t) = a(t)(x(t)) alors, il existe 1 , . . . , n
C 1 (I, K) tel que x = 1 1 + + n n soit une solution particulire de x0 (t) = a(t)(x(t)) + b(t).
De plus, les applications 1 , . . . , n vrifient la relation b = 10 1 + + n0 n .
Dfinition 9.6 On appelle systme diffrentiel linaires dordre un coefficients constants toute quation de la forme x0 (t) =
a(x(t)) + b(t) avec a L (E), b C (I, E), I un intervalle de R et E un K-espace vectoriel norm de dimension finie.
Proposition 9.9 Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, x0 E, t0 R et a L (E).
Lespace des solutions globales de lquation E0 : x0 (t) = a(x(t)) est S0 = {t R 7 exp(ta)(x)/x E}.
x(t) = exp((t t0 )a)(x0 ) est lunique solution globale de E0 vrifiant x(t0 ) = x0 .
Z t
Z t
exp((t0 u)a)(b(u))du = exp((t t0 )a)(x0 ) +
exp((t u)a)(b(u))du est
x(t) = exp((t t0 )a) x0 +
t0
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t0
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Dfinition 9.7 On appelle quation diffrentielle linaire scalaire dordre n (n N ) toute quation de la forme E : x(n) (t) +
an1 (t)x(n1) (t) + + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t) avec a0 , . . . , an1 , b C (I, K) et I un intervalle de R.
E0 : x(n) (t) + an1 (t)x(n1) (t) + + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = 0 sappelle lquation homogne associe E .
Dfinition 9.8 Soit I un intervalle de R et a0 , . . . , an1 , b C (I, K). Une solution (J, x) de lquation E : x(n) (t) +
an1 (t)x(n1) (t) + + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t) est dite globale si J = I.
Proposition 9.10 Soit I un intervalle de R et a0 , . . . , an1 , b C (I, K). Si (J, x) est une solution de lquation x(n) (t) +
an1 (t)x(n1) (t) + + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t) alors x est de classe C n sur J.
Dfinition 9.9 Soit I un intervalle de R, a0 , . . . , an1 , b C (I, K), t0 I et x0 , . . . , xn1 K.
On appelle problme de Cauchy en (t0 , x0 , . . . , xn1 ) associ lquation diffrentielle E : x(n) (t)+an1 (t)x(n1) (t)+ +
(n1)
a1 (t)x0 (t)+a0 (t)x(t)
(t0 ) =
( = b(t) le problme qui consiste chercher une solution (J, x) de E telle que x(t0 ) = x0 , . . . , x
(n)
(n1)
0
x (t) + an1 (t)x
(t) + + a1 (t)x (t) + a0 (t)x(t) = b(t)
xn1 . On le note
.
x(t0 ) = x0 , . . . , x(n1) (t0 ) = xn1
Thorme 9.3 Thorme de Cauchy-Lipschitz
: Si I est un intervalle de R, a0 , . . . , an1 , b C (I, K), t0 I et x0 , . . . , xn
(
(n)
x (t) + an1 (t)x(n1) (t) + + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t)
K alors le problme de Cauchy
admet une et une seule
x(t0 ) = x0 , . . . , x(n1) (t0 ) = xn1
solution globale.
Corollaire 9.11 Unicit locale des solutions : Soit I un intervalle de R, a0 , . . . , an1 , b C (I, K) et (x, J) et (y, K) deux
solutions de lquation E : x(n) (t) + an1 (t)x(n1) (t) + + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t).
Si t0 J K, k {0, . . . , n 1}, x(k) (t0 ) = y (k) (t0 ) alors t J K, x(t) = y(t).
Proposition 9.12 Soit I un intervalle de R, a0 , . . . , an1 , b C (I, K).
Lensemble S0 des solutions globales de x(n) (t)+an1 (t)x(n1) (t)+ +a1 (t)x0 (t)+a0 (t)x(t) = 0 est un sous-espace
vectoriel de C n (I, K).
S Kn
Soit t0 I. Lapplication 0
est un isomorphisme despaces vectoriels. En particulier,
x 7 (x(t0 ), . . . , x(n1) (t0 ))
dim S0 = n.
Lensemble S des solutions globales de x(n) (t) + an1 (t)x(n1) (t) + + a1 (t)x0 (t) + a0 (t)x(t) = b(t) est un sousespace affine de C n (I, K) de direction S0 . Autrement dit, si x est une solution de E alors S = x + S0 .
Thorme 9.4 Thorme
: Si I est un intervalle de R, a, b, c C (I, K), t0 I et x0 , x1 K alors le
00 de Cauchy-Lipschitz
x (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = c(t)
problme de Cauchy
admet une et une seule solution globale.
x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x1
Corollaire 9.13 Unicit locale des solutions : Soit I un intervalle de R, a, b, c C (I, K) et (x, J), (y, K) deux solutions de
lquation x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = c(t).
Si t0 J K, x(t0 ) = y(t0 ) et x0 (t0 ) = y 0 (t0 ) alors t J K, x(t) = y(t).
Proposition 9.14 Soit I un intervalle de R et a, b, c C (I, K).
Lensemble S0 des solutions globales de x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = 0 est un sous-espace vectoriel de C 2 (I, K).
S K2
Soit t0 I. Lapplication 0
est un isomorphisme despaces vectoriels. En particulier, dim S0 =
x 7 (x(t0 ), x0 (t0 ))
2.
Lensemble S des solutions globales de x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = c(t) est un sous espace affine de C 2 (I, K) de
direction S0 . Autrement dit, si x est une solution de E alors S = x + S0 .
Dfinition 9.10 Soit I un intervalle de R, a, b C (I, K). On appelle systme fondamental de solutions de lquation homogne
x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = 0 toute base (, ) de lespace S0 des solutions globales de E0 .
Proposition 9.15 Soit I un intervalle de R, a, b C (I, K) et , deux solutions globales de lquation E0 : x00 (t)+a(t)x0 (t)+
b(t)x(t) = 0. Les assertions suivantes sont quivalentes :
(, ) est un systme fondamental de solutions de E0 .
t0 I, (((t0 ), 0 (t0 )), ((t0 ), 0 (t0 ))) forme une base de K2 .
t I, (((t), 0 (t)), ((t), 0 (t))) forme une base de K2 .
Dfinition 9.11 Soit I un intervalle de R, a, b C (I, K) et , deux solutions
de lquation E0 : x00 (t)+a(t)x0 (t)+b(t)x(t) =
(t) (t)
.
0. On appelle Wronskien de (, ) lapplication : W (t) = 0
(t) 0 (t)
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Proposition 9.16 Soit I un intervalle de R, a, b C (I, K) et , deux solutions globales de E0 : x00 (t)+a(t)x0 (t)+b(t)x(t) =
0 de Wronskien W . Les assertions suivantes sont quivalentes :
(, ) est un systme fondamental de solution de E0 .
t0 I, W (t0 ) 6= 0.
t I, W (t) 6= 0.
Proposition 9.17 Formule de Liouville : Soit I un intervalle de R, a, b C (I, K) et , Rdeux solutions de E0 : x00 (t) +
t a(u)du
a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = 0. Si W est le Wronskien de (, ) alors t, t0 I, W (t) = W (t0 )e t0
.
Mthode de Lagrange : Soit I un intervalle de R, a, b C (I, K), E0 : x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = 0 et on suppose connue
une solution x de E0 qui ne sannule pas sur I. La mthode de Lagrange consiste chercher une solution y de E0 de la forme
y = zx avec z non constante. Une fois trouve le couple (x, y) forme un systme fondamental de solutions de E0 .
Proposition 9.18 Mthode de la variation de la constante : Soit I un intervalle de R, a, b, c C (I, K) et E : x00 (t) +
a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = c(t). Si (, ) est un systme fondamental de solutions de lquation homogne x00 (t) + a(t)x0 (t) +
b(t)x(t) = 0alors lquation diffrentielle E admet une solution de la forme x(t) = (t)(t)+(t)(t) avec , C 1 (I, K)
0 (t)(t) + 0 (t)(t)
= 0
qui vrifient
.
0 (t)0 (t) + 0 (t) 0 (t) = c(t)
10
Probabilits :
Dfinition 10.2 Soit un ensemble et T une tribu de . On appelle probabilit sur T toute application p : T [0, 1] telle
que p() = 1 et pour toute suite (An ) dvnements de T qui sont deux !deux incompatibles (i.e m, n N, m 6= n
+
X
[
P
Am An = ), la srie p(An ) converge et on a
p(An ) = p
An .
n=0
nN
nN
nN
Continuit dcroissante : Si la suite (An ) est dcroissante alors la suite (p(An ) converge et on a
!
\
p
An .
lim p(An ) =
n+
nN
Aj =
jJ
p(Aj ).
jJ
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Thorme 10.2 Soient (, T , p) un espace probabilis, A un vnement de T et (Bi )iI une famille finie ou dnombrable qui
forme un systme complet dvnements
i I, p(Bi ) 6= 0.
X de T telle queX
Probabilits totales : p(A) =
p(A Bi ) =
p(A|Bi )p(Bi ).
iI
iI
p(A|Bi )p(Bi )
p(A|Bi )p(Bi )
=X
.
p(A)
p(A|Bj )p(Bj )
jI
Dfinition 10.6 On appelle variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p) toute application X : R telle que
a R, X 1 (] , a]) T .
Proposition 10.1 Si X1 , . . . , Xn sont des variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p) et f : Rn R une
application continue sur Rn alors lapplication 7 f (X1 (), . . . , Xn ()) est une variable alatoire relle sur (, T , p).
On la note f (X1 , . . . , Xn ).
Proposition 10.2 Si X est une variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p) et f : R R monotone par
morceaux alors f X est une variable alatoire relle sur (, T , p). On la note f (X).
Proposition 10.3 Soit (Xn ) une suite de variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p).
Si (Xn ) converge simplement sur vers une application X alors X est une variable alatoire sur (, T , p).
Dfinition 10.7 Soit X une variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p).
On appelle fonction de rpartition de X lapplication, note FX , de R vers R dfinie par t R, FX (t) = p(X t).
Proprit 10.2 Si X est une variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p) alors FX est croissante sur R, continue
droite sur R, lim FX (t) = 0 et lim FX (t) = 1.
t
t+
Proprit 10.3 Soient X une variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p) et a, b R tels que a b. Alors :
p(X > a) = 1 FX (a), p(X < a) = lim FX (t), p(X a) = 1 lim FX (t).
ta
ta
p(a < X b) = FX (b) FX (a), p(a X b) = FX (b) lim FX (t), p(a X < b) = lim FX (t) lim FX (t),
ta
tb
ta
Corollaire 10.4 Soit X une variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p). FX est continue en a R (resp. sur
R) si, et seulement si, p(X = a) = 0 (resp. x R, p(X = x) = 0).
Dfinition 10.8 Soit (X1 , . . . , Xn ) une famille finie de variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p).
On appelle fonction de rpartition de la famille (X1 , . . . , Xn ) lapplication, note FX1 ,...,Xn , de Rn dans R, dfinie par
(t1 , . . . , tn ) Rn , FX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ) = p(X1 t1 , . . . , Xn tn ).
Dfinition 10.9 Soit (, T , p) un espace probabilis et I(R) lensemble des intervalles de R. On appelle :
Loi dune variable alatoire relle X sur (, T , p) lapplication I I(R) 7 p(X I).
n
Loi dune famille (X1 , . . . , Xn ) de variables alatoires relles (, T , p) lapplication (I1 , . . . , In ) (I(R)) 7
p(X1 I1 , . . . , Xn In ).
Loi dune variable alatoire relle X sur (, T , p) sachant un vnement non ngligeable A de T lapplication I
p((X I) A)
. On la note (pA )X .
I(R) 7 p((X I)|A) =
p(A)
Dfinition 10.10 Une variable alatoire relle X sur lespace propbabilis (, T , p) est dite de loi discrte sil existe 0 T
tel que p(0 ) = 1 et D = X(0 ) soit au plus dnombrable.
Proprit 10.4 Soit un espace propbabilis (, T , p).
Si X est une variable alatoire
de loi discrte sur (, T , p) et densemble D de valeurs possibles alors A D, p(X
!
[
X
A) = p
(X = x) =
p(X = x).
xA
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xD
Dfinition 10.11 Une variable alatoire relle X sur lespace probabilis (, T , p) est dite de loi densit ou de loi continue
si sa fonction de rpartition FX est continue sur R et de classe C 1 sur R
priv dun sous-ensemble F fini ou vide.
0
FX
(t) si t
/F
Dans ce cas, lapplication, note fX , dfinie sur R par t R, fX (t) =
sappelle la densit de X.
0
si t F
Proprit 10.5 Si X est une variable alatoire de loi densit sur lespace probabilis (, T , p) alors : fX est positive,
Z +
fX (t)dt = 1 et pour tout intervalle I de R on a p(X I) =
continue sur R priv dun sous-ensemble fini ou vide,
Z b
fX (t)dt avec a = inf I et b = sup I.
FX (b) FX (a) =
a
Dfinition 10.12 Une famille (Xj )jJ de variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p) est dite indpendante
ou mutuellement indpendante si, pour toute famille (Ij )jJ dintervalles de R, la famille (Xj Ij )jJ des vmements de T
est indpendante.
Proposition 10.5 (Indpendance hrite) Soit (Xi )1in une famille indpendante de variables alatoires relles sur lespace
probabilis (, T , p).
Si n0 , n1 , . . . , nk N tels que 0 = n0 < n1 < < nk1 < nk = n et i {1, . . . , k}, fi : Rni ni1 R continue alors
la famille (f1 (X1 , . . . , Xn1 ), f2 (Xn1 +1 , . . . , Xn2 ), . . . , fk (Xnk1 +1 , . . . , Xnk )) est indpendante.
Proposition 10.6 Soit (X, Y ) un couple de variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p).
Si X et Y sont indpendantes, de lois discrtes et densembles de valeurs possibles respectives D1 et D2 alors la variables
alatoire S = X + Y X
est de loi discrte, lensemble desX
valeurs possibles de S est D = {u + v/(u, v) D1 D2 } et
s D, p(S = s) =
p(X = u)p(Y = s u) =
p(X = s v)p(Y = v).
uD1
vD2
Si X et Y sont
Z +indpendantes de lois continues
Z + alors la variable alatoire S = X + Y est de loi densit et t
R, fS (t) =
fX (u)fY (t u)du =
fX (t u)fY (u)du.
Dfinition 10.13 Soit X une variable alatoire relle de loi discrte ou continue sur lespace propbabilis (, T , p).
Si X est de loi discrte et densemble de valeurs
X possibles D alors on dit que X admet une esprance si la famille
(kp(X = k))kD est sommable. Dans ce cas,
kp(X = k) sappelle lesprance de X et on le note E(X).
kD
Si X est de loi continue alors on dit que X admet une esprance si lapplication t 7 tf (t) est intgrable sur R. Dans ce
Z +
cas,
tfX (t)dt sappelle lesprance de X et on le note E(X).
Thorme 10.3 (Thorme de transfert) Soit X une variable alatoire relle sur lespace propbabilis (, T , p) et g :
X() R telle que Y = g(X) soit une variable alatoire.
Si X est de loi discrte et densemble de valeurs possibles D
Xalors Y admet une esprance si, et seulement si, la famille
(g(k)p(X = k))kD est sommable. Dans ce cas, E(Y ) =
g(k)p(X = k).
kD
Si X est de loi continue alors Y admet une esprance si, et seulement si, lapplication t 7 g(t)fX (t) est intgrable sur
Z +
R. Dans ce cas, E(Y ) =
g(t)fX (t)dt.
Thorme 10.4 Thorme de transfert deux variables discrtes Soit X, Y deux variables alatoires de lois discrtes sur
lespace propbabilis (, T , p), D et D0 les ensembles des valeurs possibles respectives et g : (X, Y )() R.
La variable alatoire Z = g(X, Y ) admet une esprence si, et seulement si, la famille (g(xi , yj )p(X = xi , Y = yj ))(i,j)DD0
X
est sommable. Dans ce cas, E(Z) =
g(xi , yj )p(X = xi , Y = yj ).
i,j
Proposition 10.7 Soient X et Y deux variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p).
Si Y admet une esprance et |X| Y alors X admet une esprance et on a E(X) E(Y ).
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Proposition 10.9 Soit X une variable alatoire relle sur lespace propbabilis (, T , p) valeurs dans N.
X admet une esprance si, et seulement si, GX est drivable en 1. Dans ce cas, E(X) = G0X (1).
X admet un moment dordre 2 si, et seulement si, GX admet une drive seconde en 1. Dans ce cas, E(X 2 ) E(X) =
G00X (1).
Proposition 10.10
Soient X, Y sont deux variables alatoires relles indpendantes sur lespace propbabilis (, T , p)
valeurs dans N alors GX+Y = GX GY .
Gnralement, si (X1 , . . . , Xn ) est une famille indpendante de variables alatoires relles sur lespace propbabilis
(, T , p) valeurs dans N alors GX1 ++Xn = GX1 GXn .
Proposition 10.11 Soit X est une variable alatoire relle sur lespace propbabilis (, T , p).
Ingalit de Markov : Si X est positive et admet une esprance alors > 0, p(X ) E(X)
.
Ingalit de Bienaym-Tchebychev : Si X admet un moment dordre 2 alors > 0, p(|X E(X)| ) V (X)
2 .
Ingalit de Jensen : Si X admet une esprance, f : R R convexe et f (X) admet une esprance alors f (E(X))
E(f (X)).
Dfinition 10.17 Soit (Xn ) une suite de variables alatoires relles sur lespace propbabilis (, T , p). On dit que (Xn )
converge :
P
En probabilit vers une variable alatoire relle X si > 0, limn+ p(|X Xn | ) = 0. On note Xn X.
n+
En loi vers une variable alatoire relle X si en tout point t de continuit de FX on a lim FXn (t) = FX (t). On note
n+
Xn X.
n+
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Proposition 10.12 Si X est une variable alatoire relle sur lespace propbabilis (, T , p) et (fn ) est une suite de fonctions
de R vers R qui converge simplement sur R vers une fonction f alors (fn (X)) converge en probabilit vers f (X).
Proposition 10.13 Soit X et (Xn ) une suite de variables alatoires relles sur lespace propbabilis (, T , p) valeurs dans
N. (Xn ) converge en loi vers X si, et seulement si, k N, lim p(Xn = k) = P (X = k).
n+
Corollaire 10.14 Soit (Xn )n1 une suite de variables alatoires telle que n 1, Xn , B(n, pn ).
Si npn > 0 alors la suite (Xn )n1 converge en loi vers une variable alatoire X , P().
n+
Proposition 10.15 Soit (Xn ) une suite de variables alatoires relles sur lespace propbabilis (, T , p).
Si (Xn ) converge en propbabilit vers une variable alatoire X alors (Xn ) converge en loi vers X.
Thorme 10.5 Si (Xn )n1 est une suite de variables alatoires indpendantes et de mme loi, admettant un moment dordre
2, = E(X1 ) et = (X1 ) alors :
!
n
1X
Loi faible des grands nombres : La suite de variables alatoires
Xk
converge en probabilit vers la van
k=1
n1
riable constante .
Thorme de la limite centre : La suite de variables alatoires
n
X
k=1
!!
Xk n )
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