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    Décomposition de Dunford-Schwarz

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    Un petit problème de révision d'algèbre linéaire.

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    CPGE Lissane Eddine - Laayoune

    Essaidi Ali

    mathlaayoune@gmail.com

    Dcomposition de Dunford-Schwarz
    Dfinitions et notations
    Dans tout le problme, K = R ou C, E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle et u L (E) tel que u soit scind.

    Premire partie
    Dcomposition de Dunford-Schwarz
    1: Montrer que u est scind. On pose u =
    2: Montrer que E =

    r
    M

    r
    Y

    (X k )k et k {1, . . . , r} on pose Fk (u) = ker(u k idE )k

    k=1

    Fk (u), k {1, . . . , r}, Fk (u) est u-stable et dim Fk (u) = m(k ).

    k=1

    3: On pose k {1, . . . , r}, Pk =

    r
    Y

    (X i )i et k la projection sur Fk (u) paralllement

    i=1
    i6=k

    r
    M

    Fi (u).

    i=1
    i6=k

    3 - 1: Montrer que P1 Pr = 1 et soit A1 , . . . , Ar K[X] tels que A1 P1 + + Ar Pr = 1.


    3 - 2: Montrer que k {1, . . . , r}, k = Ak (u)Pk (u). 1 , . . . , r sappellent les projecteurs spectraux de u.
    r
    X
    4: Montrer que d =
    k k est diagonalisable, n = u d est nilpotent, dn = nd et d, n sont des polynmes en u.
    k=1

    5: Montrer que Sp(d) = Sp(u) et lindice de nilpotence de n est max{1 , . . . , r }.


    6: Soit un couple (d0 , n0 ) dendomorphismes de E avec d0 diagonalisable, n0 nilpotent, d0 n0 = n0 d0 et u = d0 + n0 .
    6 - 1: Montrer que d0 et n0 commuttent avec u. En dduire que d0 et n0 commuttent avec d et n.
    6 - 2: Montrer que d d0 est diagonalisable.
    6 - 3: Montrer que d d0 est nilopotent. En dduire que d0 = d et n0 = n. Conclure la dcomposition de Dunford-Schwarz.
    7: Soit A Mn (K). Montrer que si M est scind alors M se dcompose de faon unique sous la forme A = D + N avec
    D Mn (K) diagonalisable, N Mn (K) nilpotente et DN = N D.
    8: Soit n 2. Montrer que les deux applications M Mn (C) 7 D et M Mn (C) 7 N avec (D, N ) le couple de la
    dcomposition de Dunford-Schwarz de M ne sont pas continues.

    Deuxime partie
    Exemples
    

    
    a b
    1: Soient a, b, c R. Donner la dcomposition de Dunford-Schwarz de la matrice A =
    .
    0 c
    2: Soit A Mn (C) qui admet une seule valeur propre. Donner la dcomposition

    de Dunford-Schwarz de A.
    1 1 1
    3: Donner la dcomposition de Dunford-Schwarz de la matrice A = 0 1 1.
    0 0 2
    4: Soit A GLn (C). Dterminer la dcomposition de Dunford-Schwarz A1 = + P de A1 et montrer que et P sont
    des polynmes en A.
    5: Soit A Mn (C). Dterminer la dcomposition de Dunford-Schwarz de exp(A).

    Troisime partie
    Applications
    1: Soit A GLn (C). Montrer que A es diagonalisable si, et seulement si, k 1 tel que Ak soit diagonalisable.
    2: A Mn (C). Montrer que exp(A) est diagonalisable si, et seulement si A est diagonalisable.

    www.mathlaayoune.webs.com

    1/1

    Fin du problme

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