Clase 9 Poisson
Clase 9 Poisson
Clase 9 Poisson
Introduccin
En este mdulo se describe el uso de la distribucin de Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros cuyo resultado lo representa una variable discreta.
Se recomienda haber estudiado primero los mdulos de las Reglas de probabilidad, el de Distribucin normal y luego el de Distribucin Binomial.
Dato histrico
La distribucin de Poisson se llama as en honor a su creador, el francs Simen Dennis Poisson (1781-1840), Esta distribucin de probabilidades fue uno de los mltiples trabajos matemticos que Dennis complet en su productiva trayectoria.
Utilidad
La distribucin de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados. Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto. Es muy til cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de xitos p es pequea. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, rea, volumen o tiempo definido.
Ejemplos de la utilidad
La llegada de un cliente al negocio durante una hora. Las llamadas telefnicas que se reciben en un da. Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido. Los envases llenados fuera de los lmites por cada 100 galones de producto terminado.
La distribucin de Poisson se emplea para describir procesos con un elemento en comn, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta.
3.
La distribucin de Poisson
La distribucin de Poisson parte de la distribucin binomial.
Cuando en una distribucin binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande n >>50 y la probabilidad de xito p en cada ensayo es baja p <<0,1, es aqu donde aplica el modelo de distribucin de Poisson. Se tiene que cumplir que: p << 0.10 n>>50
p * n < 10
A esto se lo considera un fenmeno raro
La funcin P(x=k)
A continuacin veremos la funcin de probabilidad de la distribucin de Poisson.
Donde: P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k.
La distribucin de Poisson
Entonces = u ( la media)
y= La distribucin de poisson puede aproximarse a la binomial cuando es un fenmeno raro, esto es cuando
np = P(x) = e
X! x -
p(x)= (np) e
X!
- np
= np
P(x=3) = np e
X!
Al realizar el cmputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892 Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 das de trabajo es de 8.9%.
El resultado es P (x = 5) = 0.04602
Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recin producidos es de 4.6%.
= 2,5
X= 4 P(x) = 2,5 e
4! 4 -2,5
P(x=4) = 0,133
La probabilidad de (x 4) P(4) = 1 (P(x=0) +P(x=1) +P(x=2) +P(x=3) +P(x04)) P(4) = 1 (0,082 +0,205+0,256+0,214+0.133) = 1 - 0,895 =0,1095
0,0842 = 8,42%
X es el nmero de xitos que buscamos. Este es el valor K. es el nmero promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen, rea, etc.). Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n.
Del ejemplo 1: Del ejemplo 2:
= 0.02 * 300 = 6
= 0.012 * 800 = 9.6
Presente una descripcin escrita de las observaciones que obtiene al variar el valor de lambda. Qu caractersticas tiene una distribucin de Poisson y cundo se aplica?
La media y la varianza 2
Caractersticas de la distribucin Poisson
Media
= E(X) =
P(X) .6 .4 .2 0 0
k = 5 = 0.1
X 1 2 3 4 5
Varianza = 2
P(X) .6 .4 .2 0 0
k=5
= 0.5
X
5
17
En resumen
En este mdulo hemos determinado la probabilidad de Poisson mediante el uso de la funcin de Poisson, las tablas de distribucin y la calculadora del enlace. Adems, aprendimos que: 1. La distribucin de Poisson se forma de una serie de experimentos de Bernoulli. La media
2.
3. 4.
Ejercicios de prueba
Los siguientes ejercicios de prueba fueron resueltos utilizando la distribucin binomial en el mdulo con ese mismo nombre. Refirase a los ejercicios en ambos mdulos y compare la diferencia de cada pregunta. Puede responder por qu se resuelven esta vez utilizando la distribucin de Poisson?
Demuestre su razonamiento.
Ejercicio de prueba #1
Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja est descompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que, a) las 4 estn descompuestas. b) de 1 a 3 estn descompuestas
Para resolver la pregunta b repase el mdulo de las reglas de probabilidad. En este caso se resuelve sumando las probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) = 0.1494 + 0.2240 + 0.2240
Ejercicio de prueba #2
En pruebas realizadas a un amortiguador para automvil se encontr que el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 salgan defectuosos,
Ejercicio de prueba #3
Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa elctrica, inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote estn defectuosos. Cul es la probabilidad de que en la muestra,
Ejercicio de prueba #4
La probabilidad de que un CD de msica dure al menos un ao sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15,
Ejercicio de prueba #5
Si 8 de 100 viviendas violan el cdigo de construccin. cul es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que:
Glosario de trminos
Aleatorio que ocurre al azar. Distribucin de Poisson Distribucin discreta que se aplica cuando se realizan ms de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli. xitos Es la ocurrencia del evento de inters como cantidad de defectos, llamadas recibidas, servicios completados. Experimento independiente Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento.
Glosario de trminos
Resultado discreto Son resultados con un nmero finito de valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5, etc.) Suceso raro Un evento que ocurre con poca frecuencia. Segmento - es un intervalo, porcin, fragmento o tamao de muestra, ya sea en unidades de distancia, rea, volumen, tiempo o cualquier otra medida. Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un nmero finito de valores de forma impredecible o al azar.
Variable Discreta Variable que puede obtener un nmero finito de valores como 0, 1, 2, 3.
Referencias
Anderson, S. (2006). Estadsticas para administracin y economa. (8tva ed.). Mxico:Thomson. Newbold P. (2003). Statistics for Business And Economics. (2003). (5ta. Ed.). New Jersey: Prentice Hall. Bluman, A. G. (2007). Statistics. (6ta ed.). New York: Mc Graw Hill. http://cyber.gwc.cccd.edu/faculty/jmiller/Binom_Tab.pdf http://stattrek.com/Tables/poisson.aspx#calculator
Referencias
http://www.udc.es/dep/mate/estadistica2/documentospdf/dmtablas.pdf http://karnak.upc.es/teaching/estad/MC/taules/com-usar-taules.pdf http://www.capdm.com/demos/software/html/capdm/qm/poissondist /usage.html http://www.uv.es/zuniga/09_La_distribucion_de_Poisson.pdf http://www.matematicas.net/paraiso/download.php?id=formula/fr_ poisson.zip