DISTRIBUCION DE

PROBABILIDAD PARA
VAD
CONTINUACIÓN DE LA UNIDAD III
Distribuciones de probabilidad para VAD
❖Distribución de probabilidad binomial

❖Distribución de poisson
 Distribución Binomial
El término “binomial” se utiliza para designar situaciones en las que los resultados de una
variable aleatoria se pueden agrupar en dos clases o categorías. Por tanto, los datos son
nominales. Las categorías deben ser mutuamente excluyentes, de manera que es evidente a
que clase pertenece una observación en particular y las clases deben ser colectivamente
exhaustivas, por lo que no es posible obtener ningún otro resultado.
Ejemplos de variable aleatoria que se pueden clasificar como binomiales: Respuesta de un
examen de verdadero-falso; respuestas afirmativas-negativas a un cuestionario; productos
manufacturados clasificados como defectuosos o no defectuosos, etc.
Un experimento binomial es aquel que tiene las siguientes características:
1. El experimento consta de n pruebas idénticas

2. Cada prueba tiene dos resultados posibles. Se llamará a uno el éxito “E” y al otro el fracaso “F”.

3. La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a “p” y permanece constante. La probabilidad de
un fracaso es igual a 1 – p = q. Es decir P(E)=p y P(F)=1-p = q

4. La variable aleatoria bajo estudio es X, el número de éxitos observados en las n pruebas.

5. La esperanza matemática se obtiene por E(x) = np y la varianza por

𝝈𝟐 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)
FUNCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Si en un experimento binomial “p” es la probabilidad de éxito y “q” es la probabilidad de

fracaso en un ensayo simple, entonces la probabilidad P(x) de que haya exactamente x éxitos en
n ensayos es:
𝒏 𝒙 𝒏−𝒙
P(X=x)= 𝒑 𝒒 𝑐𝑜𝑛 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛
𝒙
𝑛
Donde : Número de formas como puede suceder x éxitos en n ensayos.
𝑥
p : Probabilidad de éxito
q : Probabilidad de fracaso
Ejemplo 1
El gerente de un supermercado garantiza que ninguna de sus cajas con 12 huevos contiene más de uno en mal estado. En caso
contrario, él repondrá la docena y regalará la caja original al cliente. La probabilidad de que un huevo en particular esté en mal
estado es 0.05.
a) ¿Cuál es la probabilidad que aparezca la caja de huevos en buen estado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el Gerente tenga que reponer una caja con huevos?

Solución

x: Número de huevos en mal estado

p = 0.05 ; q = 0.95; n =12; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
12
a) P(X=0)= 0.05 0 0.95 12 = 0.5404 = 54.04% R/
0

b) P( x > 1) = 1 – P( x ≤ 1 ) x: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
= 1 – [P( x = 0 ) + P ( x = 1 ) ]
12 12
=1– 0.05 0 0.95 12 ¨ + 0.05 1 0.95 11
0 1
= 1 – [0.5404 + 0.3413]
= 0.1183
P (x > 1) = 11.83 % R/ Uso de la tabla
inicio
Ejemplo 2
El 0.5% de piezas producidas por una máquina son defectuosas. La máquina se lleva a reparación, si al tomar una muestra
aleatoria de 12 piezas se encuentran dos o más defectuosas.
a) Obtener la probabilidad de que la máquina no sea sometida a reparación.
b) Obtener la probabilidad de que la máquina sea sometida a reparación
c) Obtener la probabilidad de que se seleccione exactamente tres máquinas defectuosas.
Solución
X: número de piezas defectuosas
p = 0.5% = 0.005 n = 12 piezas
a) P ( x < 2 ) = P ( x = 0 ) + P ( x = 1)
=

= 0.998 = 99.8 % R/
b) P( x ≥ 2 ) = 1 – P ( x < 2 ) = 1 – 0.998 = 0.00159 = 0.159 % R/
Ejemplo 2
El 0.5% de piezas producidas por una máquina son defectuosas. La máquina se lleva a reparación, si al tomar una muestra
aleatoria de 12 piezas se encuentran dos o más defectuosas.
a) Obtener la probabilidad de que la máquina no sea sometida a reparación.
b) Obtener la probabilidad de que la máquina sea sometida a reparación
c) Obtener la probabilidad de que se seleccione exactamente tres máquinas defectuosas.

X: número de piezas defectuosas

p = 0.5% = 0.005 n = 12 piezas
𝒏 𝒙 𝒏−𝒙
P(X=x)= 𝒑 𝒒 𝑐𝑜𝑛 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛
𝒙

a) P ( x < 2 ) = P ( x = 0 ) + P ( x = 1)

= 0.998 = 99.8 % R/

b) P( x ≥ 2 ) = 1 – P ( x < 2 ) = 1 – 0.998 = 0.00159 = 0.159 % R/

Ejemplo 3
De los alumnos de la universidad, el 40% fuma. Se eligen seis alumnos para conocer sus opiniones sobre el cigarro.
a) Encontrar la probabilidad de que ninguno de ellos fume
b) Obtenga la probabilidad de que todos fumen
c) Determine la probabilidad de que por lo menos la mitad de los seis no fumen.

Solución
X: número de estudiantes que fuman
P = 0.40 n=6

a) P(x=0) = 0.0467 R/

b) P(x=6) = 0.0041 R/
c) Determine la probabilidad de que por lo menos la mitad de los seis no fumen.
X: número de estudiantes que fuman
P = 0.40 n=6

fuman No fuman
0 6
1 5
2 4
3 3
4 2
5 1
6 0

P( x ≤ 3 ) = 0.0467 + 0.1866 + 0.3110 + 0.2765

= 0.8208 = 82.08 %
Ejemplo 4

Usted debe obtener por lo menos el 60% en un examen de verdadero y falso con 18 preguntas. Si para responder cada pregunta
lanza una moneda, cuál es la probabilidad de que apruebe el examen.

Solución
x: número de respuestas contestadas correctamente
P= 0.50
n= 18

P(x≥11)= 0.1214+0.0708+0.0327+0.0117+0.0031
+ 0.0006+0.001 = 0.2404
Ejemplo 5

Los registros en un hospital muestran que 3 de cada 10 pacientes admitidos en una clínica, no pagan sus facturas y
eventualmente se les condonan a los adeudos. Supóngase que cuatro pacientes nuevos representan una selección aleatoria de
un conjunto grande de pacientes atendidos en un hospital. Determine las probabilidades siguientes:
a) Todos los adeudos tengan que ser condonados
b) De que se tenga que condonar un solo adeudo
de que no se tenga que condonar ningún adeudo
Ejemplo 6
La variable aleatoria X tiene una distribución binomial con n = 10 y p = 0.50. Trace la función de probabilidad de X.
a) ¿Cuál es el valor de X es más factible?
b) Cuál(es) es (son) el(los) valor(es) menos factible(s) de X?
 LA DISTRIBUCION DE POISSON
La distribución de Poisson proporciona muchas veces un buen modelo para la distribución de probabilidad para eventos que
ocurren infrecuentemente en el espacio, tiempo, volumen o cualquier otra dimensión.

El parámetro de esta función de distribución es 𝜆, (lambda), representa la razón media por unidad de la variable aleatoria x.
X: número de llamadas

5 llamadas 10 llamadas 0 llamadas 4 llamadas 1 llamadas

1 día 1 día
1 día 1 día
Ejemplo 1

Mediante un proceso mecánico se producen alfombras de lana tienen un promedio de dos defectos por metro cuadrado.
Encuentre la probabilidad de que se halle un defecto en un metro cuadrado
Solución
x : número de defectos.
µ = λt
λ = 2 defectos/ 𝑚2
t = 1 𝑚2
µ = λt = ( 2 defectos/ 𝑚2 )(1 𝑚2 )= 2 defectos

X=1
21 𝑒 −2
P(x=1)= = 0.2707
1!
Ejemplo 2
Suponga que los barcos arriban a un puerto a razón de dos barcos / horas y esta proporción
está bien aproximada mediante el proceso de Poisson. Si se observa este proceso durante un
período de media hora. Encuentre la probabilidad de que:
a) No arribe ningún barco. R/ P(x = 0 ) = 0.368
b) Arriben tres barcos. R/ P(x = 3 ) = 0.061

Solución
X: número de barcos que arriban
λ = 2 barcos/hora
t= 0.5 hora
µ= λt = (2 barcos/hora)(0.5 hora) = 1 barco

a) P(X=0)= 0.3679

b) P(x=3)= 0.0613
Ejemplo 3
En un almacén particular los clientes llegan al mostrador de caja, conforme a una distribución de Poisson con un promedio de
siete por hora. En una hora dada:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen más de tres clientes?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco clientes?

Solución
X: número de clientes que lleguen al mostrador
λ= 7 clientes / hora
t=1 hora
μ= λt= (7 clientes / hora)(1 hora)= 7 clientes

a) P(x≤3)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)
= 0.0009+0.0064+0.00223+0.0521
= 0.0817

b) P(x=5)= 0.1277
Ejemplo 4
Un banco reporta las pérdidas por préstamos personales menores de US$5,000.00, que han
ocurrido desde enero de 2016, a una tasa de 1.7 por mes. Encontrar la probabilidad de que:
a) No haya pérdida durante un mes determinado
b) No ocurran más de tres pérdidas durante dos meses cualquiera
c) Ocurran cuatro pérdidas como mínimo en un período de tres meses
Solución
X: número de pérdidas por préstamos personales
λ= 1.7 pérdidas/mes

a) t=1 mes
μ= (1.7 pérdidas/mes)(1 mes)= 1.7 pérdidas
P(x=0)= 0.1827
b) No ocurran más de tres pérdidas durante dos meses cualquiera
t=2 meses
μ = (1.7 pérdidas/mes)(2 mes)= 3.4 pérdidas

P(x≤3)= P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)
= 0.0344+0.1135+0.1929+0.2186
= 0.5594

c) Ocurran cuatro pérdidas como mínimo en un período de tres meses

t=3 meses
μ = (1.7 pérdidas/mes)(3 mes)= 5.1 pérdidas

P(x≥4)=1- P(x<4) = 1 - 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑃 𝑥 = 2 + 𝑃(𝑥 = 3)

= 1- ( 0.0061 + 0.0311 + 0.0793 + 0.1348 )
= 1 – 0.2513
= 0.7487
Ejemplo 5
Un estacionamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada I de acuerdo con una distribución de Poisson con una
media de 3 por hora y a la entrada II de acuerdo con una distribución de Poisson con una media de 4 por hora, ¿Cuál es la
probabilidad de que dos coches lleguen al estacionamiento en una hora dada? (Se supone que los números de coches que
lleguen a las dos entradas son independientes)

Solución
X: el número de coches que llegan al estacionamiento por la entrada I 𝜇
Y: el número de coches que llegan al estacionamiento por la entrada II

λ1= 3 coches/h
μ = 3 coches
t=1 hora
λ2= 4 coches/h
μ = 4 coches
t=1 hora

P(X=0 , Y=2) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=0) = P(X=0)*P(Y=2)+P(X=1)*P(Y=1)+P(X=2)*P(Y=0)

= 0.0498*0.1465 + 0.1494*0.0733+0.2240*0.0183 = 0.022345 R/