Facultad de Ingeniería de

Sistemas e Informática

FINANZAS PARA LA GESTIÓN

(SEMANA XX : SYY)

FUNDAMENTOS DE
INGENIERIA ECONOMICA

Ing. Norberto Osorio Beltrán

nosoriob@unmsm.edu.pe
INGENIERIA ECONOMICA

2
MATEMATICAS FINANCIERAS

 LasMatemáticas Financieras, hoy llamada

Ingeniería Económica tienen como
objetivo fundamental el estudio y análisis
de todas aquellas operaciones y
planteamientos en los cuales intervienen
las magnitudes de: Capital, Interés,
Tiempo y Tasa.

3
MATEMATICAS FINANCIERAS

 La Matemática Financiera la podemos asociar con dos

símbolos: el de los números (#) y el de los (nuevos)
soles (S/.), ya, que cuando hablamos de Matemáticas
automáticamente hacemos relación con los números; y
cuando hablamos de Finanzas lo relacionamos con el
signo de (nuevos) soles; de allí la asociación.

4
MATEMATICAS FINANCIERAS

Variables financieras:
Capital C
Tiempo t
Tasa i
Interés I
Cuota R
Monto M

5
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

 NUNCA SEDEBEN
SUMAR VALORES
EN FECHAS
DIFERENTES

6
INTERES

 ESLO QUE SE PAGA

O SE RECIBE POR
CIERTA CANTIDAD
DE DINERO
TOMADA O DADA
EN PRESTAMO

7
INTERES SIMPLE

Esaquel interes
que se genera
sobre un capital
que permanece
constante en el
tiempo.
8
INTERES SIMPLE
Formula general de la tasa de interés:
i=I/C

Si condicionamos esta formula a la expresión de

unidades de tiempo se obtiene la siguiente ecuación:
I=i.C.t

9
INTERES SIMPLE

Clasificación del interés simple:

 Interés simple comercial en forma ordinaria

 Interés simple comercial en forma exacta

 Interés simple exacto en forma comercial

 Interes simple exacto en forma ordinaria

10

10
INTERES SIMPLE

Clasificación del interés simple

Interés simple comercial:
360 días al año, 180 días al semestre, 90 días al
trimestre, 30 días al mes

Interés simple exacto:

365 días al año
Tabla o calculadora para las demás equivalencias
11

11
INTERES SIMPLE

Valor futuro a interés simple:

Tambien conocido como monto. Se deduce de la suma
entre el capital y los intereses que se generan durante
determinado período de tiempo
M=C+I
M = C + ( i . C . t ), luego por factorización
M=C(1+i.t)

12

12
INTERES SIMPLE
Concepto de Equivalencia Financiera:
Es la relación de igualdad que se establece entre una o
unas deudas y uno o unos pagos en un momento
determinado en el tiempo denominado fecha focal
(momento de la negociación)

13
INTERES SIMPLE
Equidad entre el tiempo y la tasa:
 - La tasa y el tiempo siempre deben ir expresadas en la
misma unidad de base.
- La tasa es la que condiciona la expresión del tiempo.

14

14
INTERES SIMPLE
Series uniformes a interés simple:
Series vencidas:
Valor presente  Valor futuro

Valor futuro
Series anticipadas
Valor presente 0 1 2 3 4 5 6
Valor presente
Valor futuro Valor futuro

15
0 1 2 3 4 5 6
Valor presente 15
INTERES COMPUESTO

Concepto:
Es el interés que se genera
sobre intereses.
Los intereses que se
generan en el primer
período de capitalización
se convierten en capital
para generar mas intereses
para el segundo periodo de
capitalización y así
sucesivamente. 16

16
 INTERES COMPUESTO

Comparativo entre el interés simple y el interés

compuesto

Capital $ 100.000
Tasa 10% Anual
Tiempo 5 Años

Periodo Interés simple Interés compuesto Diferencia

en años Monto Interes Int. Acumul. Monto Interes Int. Acumul. en intereses
0 100,000 0 0 100,000 0 0 0
1 110.000 10.000 10.000 110.000 10.000 10.000 0
2 120.000 10.000 20.000 121.000 11.000 21.000 1.000
3 130.000 10.000 30.000 133.100 12.100 33.100 3.100
4 140.000 10.000 40.000 146.410 13.310 46.410 6.410
5 150.000 10.000 50.000 161.051 14.641 61.051 11.051
17
INTERES COMPUESTO
Comparativo entre el interés simple y el interés
compuesto

Periodo Int. Sim. Int. Com.

en años Monto Monto
0
0,5 105.000 104.881
1 110.000 110.000
2 120.000 121.000
3 130.000 133.100
4 140.000 146.410 18
5 150.000
Rodolfo Enrique Sosa Gómez
161.051
18
INTERES COMPUESTO

FORMULA GENERAL

t
M=C(1+i)
19
INTERES COMPUESTO
EXCEL

 Capital o valor presente: VA

 Tasa: TASA
 Monto o valor futuro: VF
 Tiempo: NPER
 Cuota: PAGO 20
INTERES COMPUESTO

21
INTERES COMPUESTO

Rodolfo Enrique Sosa Gómez 22

INTERES COMPUESTO

23
 INTERES COMPUESTO
Regla comercial:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fecha
focal

24
 INTERES COMPUESTO
Regla de saldos insolutos:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fecha
focal

25
INTERES COMPUESTO
TASAS:
TASA NOMINAL
TASA EFECTIVA
TASAS EQUIVALENTES
TASAS ANTICIPADAS
TASAS VENCIDAS 26
 INTERES COMPUESTO
Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:

MANUAL DE INGENIERÍA ECONÓMICA

CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS
SIMULADOR
Para obtener la tasa efectiva Para obtener la tasa nominal
Tasa nominal Tasa efectiva
Periodicidad Periodicidad
Modalidad Modalidad
Tasa efectiva 0,0000% Tasa nominal 0,0000%
Periodicidad: Modalidad
Anual A Vencida V
Semestral S Anticipada A
Cuatrimestral C Preparado por: Rodolfo Enrique Sosa Gómez
Trimestral T Peguntas o comentarios:
Bimestral B e-mail: rodolfososa83@hotmail.com
Mensual M Teléfonos: (5)4307551 Cel: (315) 722 7258
Diaria D Condominio Cañaveral Casa 135. Santa Marta. 27
 INTERES COMPUESTO
Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:
MANUAL DE INGENIERIA ECONOMICA
TABLA DE CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS
POR: RODOLFO SOSA GÓMEZ

O R I G E N D E S T I N O
CONOCIENDO LA T A S A: PARA OBTENER LA T A S A:
PERIODICA NOMINAL VENCIDA EFECTIVA ANUAL NOMINAL VENCIDA PERIODICA
1/ m
m
J J= 1+ i E.A. -1 . m
i E.A. = 1+ -1
m

J
J= ip . m NOMINAL ANTICIPADA i E.A. NOMINAL ANTICIPADA ip =

m
J
1/m
m
i E.A. = 1+ -1
J 1+ i E.A. -1
1-
m
J = 1/ m . m

1+ 1+ i E.A. -1

COMPLEMENT OS: Tasa de Interés Continua

iE.A. ó i p = Tasa efectiva o periódica / 100 i ANTICIPADA

J i VENCIDA =
J = Tasa nominal% / 100 i E.A.= e - 1
1- i ANTICIPADA

m = Número de periodos contenidos en un año i VENCIDA

e = 2,71828182846 i ANTICIPADA =
1+ i VENCIDA 28
INTERES COMPUESTO
FORMULAS
MANUAL DE INGENIERIA ECONÓMICA B = Saldo insoluto C.P.Eq. = Costo Periódico Equivalente
FORMULAS FINANCIERAS: Pc = Precio de contado R.B.C. = Relación Beneficio Costo
Rodolfo Sosa Gómez Ci = Cuota inicial T.I.R. = Tasa Interna de Retorno
C = Capital o Valor Presente R1 = Valor de la primera cuota i = Rentabilidad Real
M = Monto o Valor Futuro g = gradiente en $ o % r
I = Interés V.P.N. = Valor Presente Neto F = Inflación
i = Tasa de interés V.P.I. = Valor Presente de los Ingresos D = Devaluación
t = Tiempo: número de períodos, pagos o cuotas V.P.E. = Valor Presente de los Egresos E = Tasa Extrangera
m = Periódos contenidos en un año V.P.Eq. = Valor Periódico Equivalente i = Tasa Total
R = Valor del pago o cuota I.P.Eq. = Ingreso Periódico Equivalente T

INTERÉS SIMPLE: VENTAS A PLAZOS:

I 2.m.I
1 i= 2 M=C+I 3 I = i.C.t 4M=C(1+i.t) 5i= 6 I= (R. t )-B 7 B = Pc - Ci
C B ( t + 1 ) - I ( t - 1)

SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES SIMPLE SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES SIMPLE

2t + ti . ( t - 1 ) 2t + ti . ( t + 1 )
R. R.
2t + ti . ( t - 1 ) 2 2t + ti . ( t + 1 ) 2
8 M= R. 9 C= 10 M = R . 11 C =
2 ( 1 + ti ) 2 ( 1 + ti )

INTERÉS COMPUESTO
t -t Ln ( M / C ) Log ( M / C ) 1/t
12 M = C ( 1 + i ) 13 C = M ( 1 + i ) 14 t = 15 t= 16 i=(M/C) - 1
Ln ( 1 + i ) Log ( 1 + i )

SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES COMPUESTO

t - t
(1+i) -1 1-(1+i) R
17 M= R 18 C= R 19 Perpetuidad: C =
i i i

SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES COMPUESTO

t - t
(1+i) -1 1-(1+i) R
20 M= R ( 1 + i ) 21 C= R (1+i) 22 Perpetuidad: C = R +
i i i

También puede ser:

t+1 -(t-1)
(1+i) -1 1-(1+i)
23 M= R -1 24 C= R 1+
i i

GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE Y DECRECIENTE

Cálculo de la cuota uniforme: Infinito: Cálculo de una cuota:

29
1 t R1 g
25 R = R1 + / - g . - 26 C= + 27 Cuota = R1 + / - ( ( t - 1 ) . g )
2 t
t i i
i (1+i) - 1
INTERES COMPUESTO
FORMULAS
GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE
Si g es diferente de i: Si g es igual a i:
t t t -t
(1+i)-(1+g) R1. ( 1 + g ) . ( 1 + i ) - 1 R1. t
28 C = R1. 29 C= 30 C=
t g-i 1+i
(i-g).(1+i)

t t t t
(1+i)-(1+g) t R1. (1+g)-(1+i) t-1
31 M = R1. ( 1 + i ) 32 M= 33 M = R1 . t . ( 1 + i )
t g-i
(i-g).(1+i)

Infinito, si i es mayor que g: Cálculo de una cuota en gradientes geómetricos o exponenciales, crecientes y decrecientes:
R1 t-1
34 C= 35 Cuota = R1 . ( 1 + / - g )
i-g t

GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE

t t t t
(1+i)-(1-g) (1+i)-(1-g)
36 C = R1. 37 M = R1.
t (i+g)
(i+g).(1+i)

EVALUACIÓN DE PROYECTOS:
V.P.N.
38 T.M.A.R. = T.I.O. + Spreads 39 V.P.N. = V.P.I. - V.P.E. 40 V.P.Eq. =
- t
1-(1+i)
V.P.I. V.P.E.
41 I.P.Eq. = 42 C.P.Eq. = i
- t - t
1-(1+i) 1-(1+i)
43 R.B.C. = V.P.I. / V.P.E.
i i Resultado ideal: R.B.C. > 1

Nota:
V.P.N. . ( i - i ) V.P.N. . ( i - i ) i Para V.P.N. > 0
2 2 1 1 2 1 12 1
44 T.I.R. = i - 45 T.I.R. = i + i > i
2 V.P.N. - V.P.N. 12 V.P.N. - V.P.N. i Para V.P.N. < 0 2 1
2 1 1 2 2 2

Rentabilidad real: Rentabilidad en moneda extranjera: Suma de tasas efectivas: Resta de tasas efectivas:
i - F 1 + i Nota:
1
46 i = 47 i = ( 1 + i.D ) . ( 1 + i.E) - 1 48 i = ( 1 + i ) . (1 + i ) - 1 49 i = 1 i >i
r 1 + F r T 1 2 T 1+ i 1 2
2
30
INTERES COMPUESTO
INFLACION - I.P.C.
DEVALUACION
TASAS COMBINADAS
TASAS DEFLACTADAS
D.T.F.
T.C.C.
T.B.S.
LIBOR
PRIME RATE
TMAR = T.I.O + Spreads

31
 ANUALIDADES

VENCIDAS
ANTICIPADAS
PERPETUAS
DIFERIDAS
PERPETUAS DIFERIDAS

32
 ANUALIDADES
Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Anualidad de 10 periodos ( forma vencida )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

33

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
 ANUALIDADES
Anualidad de 5 periodos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 

10 10 10 10 10

Anualidad diferida

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

34
10 10 10 10 10 10 10
 ANUALIDADES
Anualidad perpetua

0 1 2 3 4 5
 
 

10 10 10 10 10

Anualidad perpetua diferida

0 1 2 3 4 5 6 7 8

35
10 10 10 10 10
 ANUALIDADES

 
 

36
 ANUALIDADES

 
 

37
 ANUALIDADES

 
 

38
 GRADIENTES
LINEALES O ARITMETICAS:
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA
39
 GRADIENTES
EXPONENCIALES O GEOMETRICAS
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA 40
 GRADIENTES
Gradiente lineal creciente

1600
1400
1200
1000

0 1 2 3 4

Gradiente lineal decreciente

1000
950
900
850

41
0 1 2 3 4
 GRADIENTES
Gradiente exponencial creciente

1.331,00
1.210,00
1.100,00
1.000,00

0 1 2 3 4

Gradiente exponencial decreciente

1000
950
902,5
857,38

42
0 1 2 3 4
 GRADIENTES
GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO
CRECIENTE DECRECIENTE
R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en $) g (Gradiente en $)
i % (Tasa) i % (Tasa)

Rodolfo Enrique Sosa Gómez

n (Tiempo) n (Tiempo)
Ru (Cuota Uniforme) #¡DIV/0! Ru (Cuota Uniforme) #¡DIV/0!
V.F. ( Monto ) 0,00 V.F. ( Monto ) x #¡DIV/0!
V.P. ( Capital ) 0,00 V.P. ( Capital ) x #¡DIV/0!
CUOTA No. 24 CUOTA No.
VALOR 0,00 VALOR 0,00
INFINITO 0,00

GRADIENTE EXPONENCIAL O GEOMETRICO

CRECIENTE DECRECIENTE
R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en %) g (Gradiente en %)
i % (Tasa) i % (Tasa)
n (Tiempo) n (Tiempo)
V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00 V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00
V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00 V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00
V.F. ( Monto ) Si i = g 0,00
V.P. ( Capital ) Si i = g 0,00
43
CUOTA No. CUOTA No.
VALOR 0,00 VALOR 0,00
INFINITO Si i > g 0,00
 EVALUACIONES
FINANCIERAS

FLUJO DE CAJA
FLUJO DE CAJA NETO
V.P.N.
T.I.R.

44
Fin de Sesión

?
Preguntas
¿