Geometría euclidiana

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La geometría euclidiana,1 euclídea o parabólica2 es el estudio de las propiedades
geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las propiedades
geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional
real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides.

También es común (abusando del lenguaje) decir que una geometría es euclidiana si
no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto
postulado de Euclides. Esta denominación está cada vez más en desuso, debido a la
pérdida de interés que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a
una recta desde un punto exterior a la misma.

En ocasiones los matemáticos usan las expresiones geometría euclídea o geometría

euclidiana para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades
similares. Sin embargo, con frecuencia son sinónimos de geometría plana o de
geometría clásica.

Fragmento de Los elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento

de Oxirrinco (Egipto).

Índice
1 Interpretaciones
2 Geometría del plano euclídeo
3 Axiomas
4 Postulados
5 Limitaciones
6 Euclidiano y euclídeo
7 Véase también
8 Notas y referencias
9 Enlaces externos
Interpretaciones
Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella
geometría que postuló Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las
aportaciones que se hicieron posteriormente —desde Arquímedes hasta Jakob Steiner—.
Según la contraposición entre método sintético y método algebraico-analítico, la
geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los
invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto
escalar muy concreto y preciso (el frecuentemente denominado «producto escalar
habitual»).
Según la filosofía del programa de Erlangen (propuesto por el matemático Felix
Klein), la geometría euclídea sería el estudio de los invariantes de las isometrías
en un espacio euclídeo (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un
producto escalar), al aplicarles transformaciones ortogonales.3
Geometría del plano euclídeo
La geometría plana o geometría del plano euclídeo es una parte de la geometría que
trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano euclídeo. La
geometría plana está considerada parte de la geometría euclídea, pues ésta estudia
los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.

Desde un punto de vista más general, el plano euclídeo se caracteriza por ser una
variedad riemanniana de dimensión dos de curvatura nula y simplemente conexa.

Axiomas

Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.
La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato
axiomático, en el que todos los teoremas («declaraciones verdaderas») derivan de un
pequeño número de axiomas.4 Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un
cierto número de proposiciones que se presuponen «evidentes» (conocidas como
axiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de
verdad es también lógico.

Postulados
Artículo principal: Postulados de Euclides
Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier
radio.
Todos los ángulos rectos son congruentes.
Si una recta corta a otras dos formando, a un mismo lado de la secante, dos ángulos
internos agudos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en
el que están dichos ángulos (ver quinto postulado de Euclides).
Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue
reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta
dada.
Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, muchos geómetras intentaron
deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo,
surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann
o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta
que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de
Lobachevsky (dada una recta, existen varias rectas paralelas que pasan por un mismo
punto exterior a esta). Puesto que ambas geometrías son consistentes, se deduce que
el quinto postulado es, en efecto, un postulado que no puede deducirse de los otros
cuatro. Estas geometrías, en las que el quinto postulado no es válido, se llaman
geometrías no euclidianas.

Limitaciones
Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas
geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era válido, es
decir, para Euclides y los geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó
inadvertida la posibilidad de geometrías no euclidianas, hasta el trabajo de
Nikolái Lobachevski, Gauss y Riemann.

Si bien durante el siglo XIX se consideró a las geometrías no euclidianas un

artefacto matemáticamente interesante e incluso con cierto interés práctico pero
limitado, como es el caso de la trigonometría esférica usada en astronomía, en
cierto modo se admitió que la geometría del espacio físico era euclidiana y, por
tanto, las geometrías no euclidianas eran tan sólo un artificio abstracto útil para
ciertos problemas, pero en modo alguno descripciones realistas del mundo. Sin
embargo, el trabajo de Albert Einstein hizo ver que entre las necesidades de la
física moderna están las geometrías no euclidianas para describir, por ejemplo, el
espacio-tiempo curvo.

Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más:

Dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distancia menor a la suma
de sus radios, se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera
construcción).
Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulos comprendidos también iguales,
son congruentes (afirmación equivalente al concepto de movimiento, que Euclides usa
para su teorema cuarto sin definir explícitamente).
Euclidiano y euclídeo
Aunque desde el punto de vista lingüístico ambas formas tienen el mismo
significado, hacer referencia a algo perteneciente o relativo al matemático griego
Euclides, la Real Academia Española solo adopta como correcta la palabra
«euclidiano», mientras que no recoge «euclídeo».15

Véase también
Ver el portal sobre Matemática Portal:Matemática. Contenido relacionado con
Matemática.
Ver el portal sobre Geometría Portal:Geometría. Contenido relacionado con
Geometría.
Espacio euclídeo
Geometría clásica
Geometría no euclidiana
Teorema de la mariposa
Notas y referencias
Véase la entrada de «euclidiano» en su Diccionario de la lengua española.
Siguiendo la analogía de las cónicas, una parábola es el caso límite entre una
elipse y una hipérbola; en el mismo sentido que la geometría parabólica o
euclidiana es el caso límite entre la geometría elíptica y la geometría hiperbólica
Hay que indicar que se puede dotar a un mismo espacio vectorial real de distintos
productos escalares, así que, incluso con esta acepción, existe una enorme
ambigüedad, al no quedar claro ni la dimensión del espacio (en principio cualquier
dimensión finita) ni el producto a escalar al que nos referimos. Este término puede
permitir que cosas que no se parecen en nada a lo que entendemos por geometría
euclidiana pueda llamarse precisamente geometría euclidiana.
Las hipótesis de Euclides se analizan desde una perspectiva moderna en Wolfe,
Harold E (2007). Introduction to non-Euclidean geometry (en inglés). Mill Press. p.
9. ISBN 1-4067-1852-1.
No obstante, es habitual el empleo del adjetivo «euclidiano» con el significado de
«perteneciente o relativo a Euclides» (ej.: «geometría euclidiana»), y es habitual
también el empleo del adjetivo «euclídeo» para calificar lo estudiado en esa
geometría (ej.«espacio euclídeo»).
Enlaces externos
Geometría euclídea
Geometría euclídea
Control de autoridades
Proyectos WikimediaWd Datos: Q162886Commonscat Multimedia: Euclidean geometry
IdentificadoresBNF: 119882914 (data)GND: 4137555-5Diccionarios y
enciclopediasBritannica: url
Categoría: Geometría euclidiana
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