CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Para el diseño de elementos en compresión (columnas) de acero estructural, se utilizan formulas que consideran el
pandeo global elástico e inelástico del elemento. Estas son:
𝐹𝑦
𝐹𝑐𝑟1 = (0.658 𝐹𝑒 ) ∗ 𝐹𝑦 (Ec. E3 − 2 del AISC − 360 Manual Steel construction)

𝐹𝑐𝑟2 = 0.877 ∗ 𝐹𝑒 (Ec. E3 − 3 del AISC − 360 Manual Steel construction)

Donde 𝐹𝑒 esfuerzo de pandeo elástico es:

𝜋2 ∗ 𝐸
𝐹𝑒 = (Ec. E3 − 4 del AISC − 360 Manual Steel construction)
𝐾∗𝐿 2
( 𝑟 )

Haciendo el cambio de variable de:

𝐾∗𝐿
𝑥=
𝑟
Actualizando las ecuaciones descritas anteriormente y usando 𝐹𝑦 = 36𝑘𝑠𝑖 𝑦 𝐸 = 29000𝑘𝑠𝑖 :
36𝑘𝑠𝑖∗𝑥 2 𝑥2
𝐹𝑐𝑟1 = (0.658𝜋2 ∗29000𝑘𝑠𝑖 ) ∗ 36𝑘𝑠𝑖 = 36 ∗ 0.6587950.515 𝑘𝑠𝑖

𝜋 2 ∗ 𝐸 251013.649
𝐹𝑐𝑟2 = 0.877 ∗ = 𝑘𝑠𝑖
𝑥2 𝑥2
Para el calculo del punto de intersección:
𝑥2 251013.649
𝑓(𝑥) = 36 ∗ 0.6587950.515 − =0
𝑥2
𝑥2 2∗𝑥 502027.298
𝑓 ′ (𝑥) = 36 ∗ 0.6587950.515 ∗ ∗ ln(0.658) +
7950.515 𝑥3
𝑥2 502027.298
′ (𝑥) −3
𝑓 = −3.790399𝑥10 ∗𝑥 ∗ 0.658 7950.515 +
𝑥3

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES

 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
Calculando su raíz con el método de Newton:

i x_i f(x_i) f'(x_i)

1 133 -0.00387005 0.01472954
2 133.262741 -0.00012117 0.01380916
3 133.271515 -1.3403E-07 0.01377862
4 133.271525 -2.2204E-13 0.01377859
5 133.271525 0 0.01377859
6 133.271525 0 0.01377859
7 133.271525 0 0.01377859
8 133.271525 0 0.01377859
9 133.271525 0 0.01377859
10 133.271525 0 0.01377859

𝐸
La solución real seria 4.71 ∗ √𝐹 que en este caso tiene un valor de 133.680683
𝑦

Donde el error es de 0.409158 que en porcentaje seria de un 0.31%.

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES

 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

𝑓1 (𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 − 20𝑥 + 0.25𝑦 2 + 8 = 0

𝑓2 (𝑥, 𝑦) = 0.5𝑥𝑦 2 + 2𝑥 − 5𝑦 + 8 = 0
Calculando las derivadas parciales:
𝜕𝑓1 𝜕𝑓1
= 8𝑥 − 20 , = 0.5𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑓2 𝜕𝑓2
= 0.5𝑦 2 + 2 , = 𝑥𝑦 − 5
𝜕𝑥 𝜕𝑦
Usando el método de newton:

k x y f1 f2 f 1,x f 1,y f 2,x f 2,y d

0 0 0 8.000000 8.000000 -20.000000 0.000000 2.000000 -5.000000 100.000000

1 0.400000 1.760000 1.414400 0.619520 -16.800000 0.880000 3.548800 -4.296000 69.049856
2 0.495894 1.983423 0.049262 0.050085 -16.032851 0.991712 3.966984 -4.016433 60.460767
3 0.499988 1.999937 0.000135 0.000202 -16.000099 0.999969 3.999874 -4.000056 60.001548
4 0.500000 2.000000 0.000000 0.000000 -16.000000 1.000000 4.000000 -4.000000 60.000000
5 0.500000 2.000000 0.000000 0.000000 -16.000000 1.000000 4.000000 -4.000000 60.000000
6 0.500000 2.000000 0.000000 0.000000 -16.000000 1.000000 4.000000 -4.000000 60.000000
7 0.500000 2.000000 0.000000 0.000000

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES

 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
Comprobando la solución:

Usando el graficador web de Wolframalpha podemos ver que una de sus raíces si es (x=0.5,y=2.0) que es el resultado
que se obtuvo con el método de Newton usando valores iniciales de (x=0.0,y=0.0).

Ya que sabemos por la grafica que existe otra raíz a modo de comprobación se la estimara considerando los valores
inciales (x=2.0,y=7.0)

k x y f1 f2 f 1,x f 1,y f 2,x f 2,y d

0 2 7 -3.750000 26.000000 -4.000000 3.500000 26.500000 9.000000 -128.750000

1 1.031068 6.964078 3.755640 0.244309 -11.751456 3.482039 26.249189 2.180437 -117.024010
2 1.093775 6.097132 0.203628 0.032445 -11.249799 3.048566 20.587508 1.668891 -81.537062
3 1.096730 6.041241 0.000816 0.000706 -11.226161 3.020620 20.248295 1.625609 -79.411764
4 1.096720 6.040933 0.000000 0.000000 -11.226242 3.020466 20.246435 1.625210 -79.398684
5 1.096720 6.040933 0.000000 0.000000 -11.226242 3.020466 20.246435 1.625210 -79.398683
6 1.096720 6.040933 0.000000 0.000000 -11.226242 3.020466 20.246435 1.625210 -79.398683
7 1.096720 6.040933 0.000000 0.000000

Y efectivamente obtenemos el valor de la según raíz del sistema de ecuación no lineales.

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES
 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Se escoge un polinomio de grado 3 con las siguientes raíces (3,7,13):

𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3) ∗ (𝑥 − 7) ∗ (𝑥 − 13) = 𝑥 3 − 23 ∗ 𝑥 2 + 151 ∗ 𝑥 − 273

𝑃′(𝑥) = 3𝑥 2 − 46 ∗ 𝑥 + 151
𝑃′′(𝑥) = 6𝑥 − 46
Desarrollando con el método de Laguerre con un valor inicial de x0=0.5:

x3 x2 x x0 n
p(x) 1.000 -23.000 151.000 -273.000 3
p'(x) 3.000 -46.000 151.000
p"(x) 0.000 6.000 -46.000

x p(x) p'(x) p"(x) H(x)

0.50000000 -203.125 128.750 -43.000 13900.00

2.97062354 -1.187 40.825 -28.176 6466.07
2.99999986 0.000 40.000 -28.000 6400.00
3.00000000 0.000 40.000 -28.000 6400.00
3.00000000

Se obtiene la primera raíz de 3.0

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES

 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
Probemos con un valor inicial de x0=10 que es un valor intermedio entre las raíces 7 y13

x p(x) p'(x) p"(x) H(x)

10.00000000 -63.000 -9.000 14.000 5616.00

7.74839106 -18.662 -25.313 0.490 2617.96
7.01633407 -0.393 -24.065 -3.902 2307.22
7.00000019 0.000 -24.000 -4.000 2304.00
7.00000000

Con el valor de x0=10 nos arroja la raíz 7

Se tratará de buscar un valor de x0 en el cual una leve modificación nos arroje la siguiente raíz mas cercana
x p(x) p'(x) p"(x) H(x) x p(x) p'(x) p"(x) H(x)

10.50000000 -65.625 -1.250 17.000 6700.00 10.57260000 -65.671 0.000 17.436 6870.03
8.13096699 -28.255 -24.687 2.786 2909.99 12.94950868 -2.989 58.392 31.697 14206.89
7.05296439 -1.277 -24.203 -3.682 2315.02 12.99999985 0.000 60.000 32.000 14400.00
7.00000641 0.000 -24.000 -4.000 2304.00 13.00000000 0.000 60.000 32.000 14400.00
7.00000000 13.00000000

Recién con un valor de x0=10.5726 nos arroja la raíz de 13.

Esto es deducible debido que entre 2 raíces consecutivas la función debe tener en ese intervalo un punto con derivada
cero, así que si quisiéramos encontrar los puntos máximos o mínimos se podría usar este método haciendo variaciones
por intervalos de las raíces próximas que nos garantizan una pendiente cero de la función.

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES

 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Verificaremos la solución particular:

𝑦𝑛 = 𝑎 + 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛2

𝑦𝑛−1 = 𝑎 + 𝑏(𝑛 − 1) + 𝑐(𝑛 − 1)2

Reemplazando en la ecuación de diferencias:

𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑛

𝑎 + 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛2 = 𝑎 + 𝑏(𝑛 − 1) + 𝑐(𝑛 − 1)2 + 𝑛

𝑎 + 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛2 = 𝑎 + 𝑏𝑛 − 𝑏 + 𝑐𝑛2 − 𝑐2𝑛 + 𝑐 + 𝑛

0 = −𝑏 − 2𝑐𝑛 + 𝑐 + 𝑛
𝑏 + 2𝑐𝑛 − 𝑐 = 𝑛
1
⇒𝑏=𝑐=
2
De momento la ecuación particular quedaría como:
1 1
𝑦𝑛𝑝 = 𝑎 + 𝑛 + 𝑛2
2 2
Calculamos la solución homogénea:

𝑦𝑛 − 𝑦𝑛−1 = 0
Si:

𝑦𝑛ℎ = 𝑞 ∗ 𝑟 𝑛
Reemplazando en la ecuación homogénea:

𝑞 ∗ 𝑟 𝑛 − 𝑞 ∗ 𝑟 𝑛−1 = 0

𝑞 ∗ 𝑟 𝑛 = 𝑞 ∗ 𝑟 𝑛−1
𝑟𝑛
𝑞 ∗ 𝑟𝑛 = 𝑞 ∗
𝑟
1
1= →𝑟=1
𝑟
𝑦𝑛ℎ = 𝑞
Por lo tanto, la ecuación general seria:
1 1
𝑦𝑛 = 𝑦𝑛ℎ + 𝑦𝑛𝑝 = 𝑞 + 𝑎 + 𝑛 + 𝑛2
2 2

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES

 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
Teniendo la condición inicial:
1 1
𝑦0 = 𝑞 + 𝑎 + 0 + 02 = 1
2 2
⇒ 𝑞+𝑎 = 1
Finalmente tenemos la ecuación General es de la siguiente forma:
1 1
𝑦𝑛 = 1 + 𝑛 + 𝑛2
2 2

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES

 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Si se tiene igual espaciamiento:

Usando el método de Romberg, tenemos:

Particionaremos la integral para poder utilizar

4 2 3 4
1 1 1 1
∫ 2
𝑑𝑥 = ∫ 2
𝑑𝑥 + ∫ 2
𝑑𝑥 + ∫ 2
𝑑𝑥
1 1+𝑥 1 1+𝑥 2 1+𝑥 3 1+𝑥

Para los 3 valores de h indicados y agregando el valor de h=1 se tiene:

Para x=[1,2]

El método del trapecio:

x_0 1 x_0 1 x_0 1 x_0 1
x_n 2 x_n 2 x_n 2 x_n 2
h 1 h 0.5 h 0.25 h 0.125

i x_i f(x_i) a_i*f(x_i) i x_i f(x_i) a_i*f(x_i) i x_i f(x_i) a_i*f(x_i) i x_i f(x_i) a_i*f(x_i)
0 1.000 0.500000 0.500000 0 1.000 0.500000 0.500000 0 1.000 0.500000 0.500000 0 1.000 0.500000 0.500000
1 2.000 0.200000 0.200000 1 1.500 0.307692 0.615385 1 1.250 0.390244 0.780488 1 1.125 0.441379 0.882759
2 2.000 0.200000 0.200000 2 1.500 0.307692 0.615385 2 1.250 0.390244 0.780488
integral 0.350000 3 1.750 0.246154 0.492308 3 1.375 0.345946 0.691892
integral 0.328846 4 2.000 0.200000 0.200000 4 1.500 0.307692 0.615385
Error -0.027807 5 1.625 0.274678 0.549356
Error -0.006653 integral 0.323523 6 1.750 0.246154 0.492308
7 1.875 0.221453 0.442907
Error -0.001329 8 2.000 0.200000 0.200000

integral 0.322193

Exacto 0.321751 Error -0.000443

a_i es 2 para todos los valores de i a excepción de 0 y n donde toma el valor de 1.

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES

 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
El método de Romberg:
Ti,j
j hj
1 2 3 4
0 1 0.350000
1 0.5 0.328846 0.307692
2 0.25 0.323523 0.318199 0.321701
3 0.125 0.322193 0.320864 0.321753 0.321760

Error -0.000009

Para x=[2,3]

El método del trapecio:

x_0 2 x_0 2 x_0 2 x_0 2
x_n 3 x_n 3 x_n 3 x_n 3
h 1 h 0.5 h 0.25 h 0.125

i x_i f(x_i) a_i*f(x_i) i x_i f(x_i) a_i*f(x_i) i x_i f(x_i) a_i*f(x_i) i x_i f(x_i) a_i*f(x_i)
0 2.000 0.200000 0.200000 0 2.000 0.200000 0.200000 0 2.000 0.200000 0.200000 0 2.000 0.200000 0.200000
1 3.000 0.100000 0.100000 1 2.500 0.137931 0.275862 1 2.250 0.164948 0.329897 1 2.125 0.181303 0.362606
2 3.000 0.100000 0.100000 2 2.500 0.137931 0.275862 2 2.250 0.164948 0.329897
integral 0.150000 3 2.750 0.116788 0.233577 3 2.375 0.150588 0.301176
integral 0.143966 4 3.000 0.100000 0.100000 4 2.500 0.137931 0.275862
Error -0.007973 5 2.625 0.126733 0.253465
Error -0.001938 integral 0.142417 6 2.750 0.116788 0.233577
7 2.875 0.107926 0.215852
Error -0.000390 8 3.000 0.100000 0.100000

integral 0.142027

Exacto 0.141897 Error -0.000130

El método de Romberg:
Ti,j
j hj
1 2 3 4
0 1 0.150000
1 0.5 0.143966 0.137931
2 0.25 0.142417 0.140868 0.141848
3 0.125 0.142027 0.141637 0.141894 0.141900

Error -0.000003

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES

 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
Para x=[3,4]

El método del trapecio:

x_0 3 x_0 3 x_0 3 x_0 3
x_n 4 x_n 4 x_n 4 x_n 4
h 1 h 0.5 h 0.25 h 0.125

i x_i f(x_i) a_i*f(x_i) i x_i f(x_i) a_i*f(x_i) i x_i f(x_i) a_i*f(x_i) i x_i f(x_i) a_i*f(x_i)
0 3.000 0.100000 0.100000 0 3.000 0.100000 0.100000 0 3.000 0.100000 0.100000 0 3.000 0.100000 0.100000
1 4.000 0.058824 0.058824 1 3.500 0.075472 0.150943 1 3.250 0.086486 0.172973 1 3.125 0.092888 0.185776
2 4.000 0.058824 0.058824 2 3.500 0.075472 0.150943 2 3.250 0.086486 0.172973
integral 0.079412 3 3.750 0.066390 0.132780 3 3.375 0.080706 0.161412
integral 0.077442 4 4.000 0.058824 0.058824 4 3.500 0.075472 0.150943
Error -0.002598 5 3.625 0.070718 0.141436
Error -0.000628 integral 0.076940 6 3.750 0.066390 0.132780
7 3.875 0.062439 0.124878
Error -0.000126 8 4.000 0.058824 0.058824

integral 0.076814

Exacto 0.076772 Error -0.000042

El método de Romberg:
Ti,j
j hj
1 2 3 4
0 1 0.079412
1 0.5 0.077442 0.075472
2 0.25 0.076940 0.076438 0.076760
3 0.125 0.076814 0.076688 0.076771 0.076773

Error -0.000001

Entonces
4 2 3 4
1 1 1 1
∫ 2
𝑑𝑥 = ∫ 2
𝑑𝑥 + ∫ 2
𝑑𝑥 + ∫ 2
𝑑𝑥
1 1+𝑥 1 1+𝑥 2 1+𝑥 3 1+𝑥
4
1
∫ 𝑑𝑥 = 0.321760 + 0.141900 + 0.075773 = 0.540433
1 1 + 𝑥2

La solución algebraica de la integral es:

4
atan (𝑥)| = atan(4) − atan(1) = 0.5404195003
1
Lo cual nos da un error de -1.355E-5 que es menor a los obtenidos en las integrales por el método de los trapecios, el
porcentaje del error seria 2.5E-3% que es una muy buena aproximación.

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES

 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

1 1 3 5
𝑥 = (4 − 1)𝑧 + (4 + 1) = 𝑧 +
2 2 2 2

i z_i x_i f(x_i) w_i w_i*f(x_i)

1 0 2.5 0.13793103 0.568889 0.078467448
2 -0.538469 1.6922965 0.25880805 0.478629 0.123873038
3 0.538469 3.3077035 0.08374576 0.478629 0.040083151
4 -0.90618 1.14073 0.43454362 0.236927 0.102955117
5 0.90618 3.85927 0.06291696 0.236927 0.014906727

integral 0.540428223

error -8.723E-06

Con el método de Gauss Legendre con 5 puntos e integración, se obtuvo un error de -8.723E-6 o en porcentaje de
1.61E-3%

*Para 6 puntos de integración:

Se resuelve el polinomio de grado 6 de lengendre

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES

 CUARTO TRABAJO DE CURSO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
Dicho polinomio tiene las siguientes raíces:

±0.23862, ±0.66121, ±0.93247

Para el cálculo de los pesos:

1
𝑃′ (𝑥) = (1386 ∗ 𝑥 5 − 1260 ∗ 𝑥 3 + 210 ∗ 𝑥)
16
z_i P'(z_i) w_i
0.23862 2.12893461 0.46791374
0.66121 -3.13853962 0.36076105
0.93247 9.4580591 0.1713233

i z_i x_i f(x_i) w_i w_i*f(x_i)

1 -0.23862 2.14207 0.17894005 0.467914 0.083728508
2 0.23862 2.85793 0.10907785 0.467914 0.051039026
3 -0.66121 1.508185 0.30537876 0.360761 0.110168763
4 0.66121 3.491815 0.07579908 0.360761 0.027345356
5 -0.93247 1.101295 0.45190577 0.171323 0.07742199
6 0.93247 3.898705 0.06172877 0.171323 0.010575577

integral 0.540418831

error 6.696E-07

Con el método de Gauss Legendre con 6 puntos e integración, se obtuvo un error de 6.696E-7 o en porcentaje de
1.239E-4%

Comparando todos los métodos usados se tiene:

Metodo Integral |Error|%

Sol. Real 0.54042
M. Romberg 0.540433 2.50E-03
M. G.L.(5P) 0.540428 1.61E-03
M. G.L.(6P) 0.540419 1.24E-04

Donde se ve claramente que la mejor aproximación se logra con el método de Gauss Legendre de 6 puntos de
integración.

ALBERTH PETER TARRILLO TORRES