Cambio climático – Trabajo Colaborativo

Presentado por:

Claudia Fernanda Hernandez Goyeneche COD 1921021366

Erika Julieth Patino Londoño

Fabio Andres Casallas Corredor

Diego Fabian Ordoñez Salgado COD: 1921022628

Blanca Esther Jimenez Ospina COD: 1921021285

Presentado a:

Carlos Ballesteros

Calculo 2

Politécnico Grancolombiano

2020
 Objetivos de aprendizaje

1. Interpretar analítica y geométricamente el concepto de integral definida.

2. Aplicar el concepto de métodos numéricos de integración (reglas de Simpson y trapecios) para

aproximar el área de una región plana en la solución de situaciones problema.
Actividades para evaluar: Participación individual en el foro y comentarios a las participaciones de
los compañeros.

Nota: En la revisión y comentarios a las participaciones de los compañeros, identifique aspectos

similares, diferentes o que complementen su aporte al foro.

En esta etapa del trabajo colaborativo, se quiere que explore la naturaleza de las herramientas del
análisis numérico en el contexto del cálculo integral con problemas aplicados, para los cuales no se
conoce una solución analítica o no es fácil de obtener.

Resuelva uno de los ejercicios que se exponen a continuación empleado el método que se sugiere,
publique su solución en el foro, revise el aporte de uno de sus compañeros y registre si es correcto
o no el proceso justificando su respuesta.

Semana 3
Estudiante 1: Función error: Con simpson 1/3 y 𝑛 = 10, aproximar 𝑒𝑟𝑓(1)
𝑥
2
𝑒𝑟 f(𝑥) = ∫ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡
0

𝑥1 = 0
𝑥𝑓 = 0
𝑛 = 10
𝑥𝑓 −𝑥1
ℎ=
𝑛
1−0
ℎ= 10

ℎ = 0.1
Calcular los valores de la siguiente forma:
2
Se reemplazan los valores de 𝑥 en cada posición de 𝑖, basándonos en la ecuación 𝑒 −𝑡 , recordemos
que 𝑒 = 2.71828183.

i x y
1 0 1
2 0.1 0.81873075
3 0.2 0.67032005
4 0.3 0.54881164
5 0.4 0.44932896
6 0.5 0.36787944
7 0.6 0.30119421
8 0.7 0.24659696
9 0.8 0.20189652
10 0.9 0.16529889
11 1 0.13533528
Luego, reemplazamos los datos obtenidos en la ecuación:
ℎ
𝐼 = 3 [𝑦1 + 4 ∑𝑖=1+2
𝑖=2 𝑛 𝑦1 + 2 ∑𝑖=𝑖+2
𝑖=3 𝑛 − 1 𝑦𝑖 + 𝑦𝑛+1 ]
0.1
𝐼= [1 + 4 + (0.81873075 + 0.54881164 + 0.36787944 + 0.24659696 + 0.16529889) +
3
2𝑥(1 + 0.67032005 + 0.44932896 + 0.30119421 + 0.20189652) + 0.13533528]
𝐼 = 0.43233618
Estudiante 2: Integrales elípticas: La longitud de la elipse:

𝑥2 𝑦2
+ = 1,
𝑎2 𝑏 2
Resulta ser:
𝜋/2
𝐿 = 4a ∫ √1 − 𝑒 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥
0

donde 𝑒 = √𝑎2 − 𝑏 2 /𝑎 es la excentricidad de la elipse. Use la regla del trapecio con 𝑛 = 10 para
aproximar la longitud de la elipse cuando 𝑎 = 1 𝑦 𝑒 = 0; 5.

Teniendo en cuenta la información dada en el ejercicio tenemos:

a=0
𝜋
b = 2 = 1.57079632

n = 10

Ahora hallamos h teniendo en cuenta la siguiente formula

𝑏−𝑎
ℎ= 2
1.57079 − 0
ℎ= 10
= 0.157079

Teniendo el valor de h ahora hallamos los intervalos de la siguiente forma

𝑥1 = 𝑎 + ℎ = 0 + 0.157079 = 0.157079
𝑥2 = 𝑎 + 2ℎ = 0 + 2(0.157079) = 0.314158
𝑥3 = 𝑎 + 3ℎ = 0 + 3(0.157079) = 0.471237

i x
1 0
2 0,1570796320
3 0,314159264
4 0,471238896
5 0,628318528
 6 0,942477792
7 1,099557424
8 1,256637056
9 1,413716688
10 1,57079632
11 1,727875952

Ahora teniendo los intervalos se reemplaza

√1 − 𝑒 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥

√1 − (0.5)2 (𝑐𝑜𝑠0)2 = 1.322875

√1 − (0.5)2 (𝑐𝑜𝑠0.157079)2 = 1.313593

√1 − (0.5)2 (𝑐𝑜𝑠0.314158)2 = 1.286276

√1 − (0.5)2 (𝑐𝑜𝑠0.471237)2 = 1.242534

x y
0 1,3228757
0,1570796320 1,3135936
0,314159264 1,2862770
0,471238896 1,2425340
0,628318528 1,1851190
0,7853982 1,11804
0,942477792 1,046657
1,099557424 0,977807
1,256637056 0,919506
1,413716688 0,8800408
1,57079632 0,8660254

Ahora usamos la formula del trapecio

𝑏 ℎ
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 2 [𝑓(𝑎) + 2∑𝑛−1
𝑖−1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑏) ]

𝐼 = 0.1570796[0.6614378 + 9.969570606 + 0.433012702]

𝐼 = 0.1570796[11.06402111]
𝐼 = 𝟏. 𝟕𝟑𝟕𝟗𝟑𝟐𝟑𝟕𝟐
Estudiante 3: Longitud de arco: La longitud de un arco de la curva 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 esta dada por:
𝜋
𝐿 = ∫ √1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥
0

Aproxime L con la regla de Simpson 1/3 y 𝑛 = 8.

3
La longitud de la curva es 2 𝜋

La longitud del arco de la curva está dada por:

𝝅
𝑳 = ∫ 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝑥)𝑑𝑥
𝟎
Para aplicar la regla de Simpson 1/3 dividimos al intervalo [0, 𝜋] en 8 intervalos iguales

𝑥0 = 0
𝜋
𝑥1 =
8
𝜋
𝑥2 = 4
3𝜋
𝑥3 =
8
𝜋
𝑥4 =
2
5𝜋
𝑥5 =
8
3𝜋
𝑥6 =
4
7𝜋
𝑥7 = 8
𝑥8 = 𝜋

calculamos la integral aproximada para cada intervalo

𝑥𝑗 +1 − 𝑥𝑗 −1
𝑎𝑗 = 6
[𝑓(𝑥𝑗 − 1) + 4𝑓(𝑥𝑗 ) + 𝑓(𝑥𝑗 + 1)]

se suma de todos los intervalos

ℎ 𝑛/2−1 𝑛/2−1
𝐿= [𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥8) + 4 ∑𝑘=1 𝑓 (𝑥2𝑘+1 ) + 2 ∑𝑘=1 𝑓 (𝑥2𝑘 )]
3
𝜋
h es la longitud de cada subintervalo, para este caso 8

se halla la función en los extremos

𝑓(𝑥0 ) = 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥0 ) = 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 (0) = 2

𝑓(𝑥8 ) = 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥8 ) = 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜋) = 2
las sumatorias quedarían:

∑𝑛/2−1
𝑘=0 𝑓( 𝑥2𝑘+1 ) = 6

∑𝑛/2−1
𝑘=0 𝑓( 𝑥2𝑘 ) = 4

La integral queda:
 𝜋/8
𝐿= [2 + 2 + 4.6 + 2.4]
3
𝜋 3𝜋
𝐿 = 12 =
8 2

Estudiante 4: Problema de diseño: En el diseño de la sección transversal de unas tejas se calculó

que tuvieran la forma de la curva:
3𝜋
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑥) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 20 𝑖𝑛
20
Como estas tejas se forjan a partir de hojas planas y considerando que el material no se estira en
el proceso, con la regla del trapecio y n = 10 aproxime el valor del ancho original de las hojas
planas.

Solución:

Formula teorema del trapecio

𝑏 𝑛−1
ℎ
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ [𝑓(𝑎) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑏) ]
𝑎 2 𝑖−1

coeficiente
x Función f(x) Coeficiente
*f(x)
0 0 1 0
2 0.809016994 2 1.618.033.989
4 0.951056516 2 1.902.113.033
6 0.309016994 2 0.618033989
-
8 -0.587785252 2
1.175.570.505
10 -1 2 -2
-
12 -0.587785252 2
1.175.570.505
14 0.309016994 2 0.618033989
16 0.951056516 2 1.902.113.033
18 0.809016994 2 1.618.033.989
20 3,68E-11 1 3,68E-11
3.925.221.011
Intervalos

a 0
b 20
n 10
delta x 2
área del
392.522.101
trapecio

𝑏+𝑏
𝑎 = .ℎ
2

Estudiante 5: Con el método del trapecio y 𝑛 = 8, aproximar el valor de:

2
∫ 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥𝑑𝑥
0

Coeficiente
x f(x) Coeficiente
*f(x)
0 0 1 0
0.25 112.383.232 2 2.247.664.645
0.5 27.114.725 2 5.422.944.992
0.75 348.708.214 2 6.974.164.285
1 104.274.366 2 2.085.487.312
 1.25 -696.304.231 2 -1.392.608.463
1.5 -196.342.173 2 -3.926.843.454
1.75 -28.444.004 2 -5.688.800.791
2 -152.555.693 1 -1.525.556.929

R// -108.6078351

Teorema del trapecio

𝑏 ℎ
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 2 [𝑓(𝑎) + 2∑𝑛−1
𝑖−1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑏) ]

Intervalos

a 0
b 2
n 8

Delta x 0.25
-
Área del trapecio 13.5759794
Semana 4

a. El significado con sus unidades de medida respectivas de las variables: humedad,

temperatura, presión,

Humedad

Es una propiedad climática, ya que la proporción de humedad en el aire varía según la latitud y la
longitud, y según otras propiedades como la presión atmosférica y la temperatura. La humedad
del aire se mide a través de un higrómetro (que puede ser de absorción o eléctrico).

Temperatura

Propiedad física que se refiere a las nociones comunes de calor o ausencia de calor. Es una de las
magnitudes más utilizadas para describir el estado de la Atmósfera.

La temperatura es la magnitud termodinámica que pone en evidencia la energía térmica de un

cuerpo con relación a la de otro.

Magnitud física que indica la capacidad de un cuerpo para ceder o absorber calor del ambiente o
de otro cuerpo situado en contacto con el mismo. En la práctica, la medida de la temperatura de
un cuerpo representa una indicación de «lo frío o caliente» que éste se encuentra.

VELOCIDAD DEL VIENTO

La velocidad del viento mide la componente horizontal del desplazamiento del aire en un punto y
en un instante determinados. Se mide mediante un anemómetro, y la unidad de medida es
habitualmente metros por segundo (m/s).
es la medida de la corriente de aire que se produce en la atmósfera por causas naturales. El viento,
por lo tanto, es un fenómeno meteorológico originado en los movimientos de rotación y traslación
de la Tierra.
La velocidad del viento es uno de los temas con mayor importancia en la meteorología y en la
ciencia en general, esto por el simple hecho de que resulta ser una energía que constantemente
está en movimiento por todo el planeta, a su vez que está compuesto por la energía solar que
llega hacia nuestro planeta precipitación acumulada es la energía radiante recibida por una
superficie por unidad de área, o de manera equivalente la irradiancia de una superficie, integrado
en el tiempo de irradiación, y la exposición espectral o es la exposición radiante por unidad de
frecuencia o longitud de onda , dependiendo de si el espectro se toma como una función de la
frecuencia o de longitud de onda.

b. Efectos de la radiación solar en la piel de los seres humanos y niveles de protección.

El efecto natural del sol tiene consecuencias beneficiosas para la salud, pero también nocivas,
tales como el envejecimiento prematuro de la piel, la formación de arrugas y manchas
antiestéticas, quemaduras de la piel, disminución de las defensas, cataratas en los ojos o incluso
puede dar origen a la formación de cáncer de piel.
Referencias

Hewitt, Paul. (2004). Física Conceptual. México: Prentice, Adisson Wesley.

Pérez M, Héctor (2007). Física General. México: Patria.

Tippens, Paul E. (2007). Física, conceptos y aplicaciones, México: Mc Graw Hill.

Wilson, Jerry D. y Buffa, Anthony J. (2003). Física. México: Pearson Educación.

TIPLER-MOSCA: "Física para la Ciencia y la Tecnología" Vol 1C, Termodinámica, Editorial Reverté,
2005

SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN: '" Fisica Universitaria", Vol. I y II, Pearson, 1999
Semana 5

La estación de monitoreo ambiental (EMA) cuenta con un piranómetro que permite medir la
radiación solar, es decir la energía emitida por el sol, que incide sobre la superficie del Campus
Principal en Bogota.
A continuación, se encuentra el registro de dicha magnitud durante el 19 de febrero de 2020.

Figura 2: Comportamiento de la radiación solar registrada por EMA el 19 de febrero de 2020.

El tiempo de exposición que una persona puede permanecer sin sufrir daños en su piel está
directamente relacionado con la magnitud conocida como exposición radiante He, medida en W x
min/m2, que indica cuanta energía incidió sobre la superficie de un sistema en cierto intervalo de
tiempo y que se calcula con:

Donde 𝑡𝑖 es un tiempo inicial y 𝑡𝑓 es un tiempo final. El propósito en esta etapa es medir 𝐻𝑒 para el
día 19 de febrero de 2020 usando los datos suministrados por EMA y recurriendo al método de
trapecios. Con los datos de la tabla 1:
a. Reconstruir gráficamente la función en el intervalo dado. Nota: En la elaboración de la gráfica
tengan el cuidado de manejar la escala de tal forma que esta se vea completa y de tamaño
adecuado. No olviden rotular ejes, con sus correspondientes unidades de medida y titular la
gráfica.

Minutos Radiación
0 322,07
1 341,92
2 312,08
3 284
4 260,32
5 243,27
6 235,62
7 230,33
8 225,77
9 221,51
10 189,9
11 157,7
12 140,06
13 125,95
14 119,92
15 121,83

La función que se genera es la siguiente

b. Calcular el área bajo la curva usando el método de trapecios.

Lo primero que hacemos es tener en cuenta los intervalos y las particiones 𝑛

a 0
b 15
n 15

Para la base de los trapecios tenemos que

15−0
ℎ= 15
=1

Ahora teniendo en cuenta la tabulación y el método de trapecios

𝑏 ℎ
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 2 [𝑓(𝑎) + 2∑𝑛−1
𝑖−1 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓(𝑏) ]

Imágenes Coeficientes
322,07 1
341,92 2
312,08 2
284 2
260,32 2
243,27 2
235,62 2
230,33 2
225,77 2
221,51 2
189,9 2
157,7 2
140,06 2
125,95 2
119,92 2
121,83 1

Cada valor de la imagen se multiplica por cada coeficiente, obteniendo el valor del área de cada
trapecio

área de los
trapecios
322,07
683,84
624,16
568
520,64
 486,54
471,24
460,66
451,54
443,02
379,8
315,4
280,12
251,9
239,84
121,83

Ahora sumando todas estas áreas

Sumatoria = 6620,6

El área de la integral está dada por

6620,6∗1
𝐼= 2
𝐼 = 3310,3 𝑢 2

c. Usando integración numérica y el teorema del valor medio para integrales, calcule en el
intervalo de tiempo de la tabla el valor de la radiación media.

Lo primero que hacemos es tener en cuenta los intervalos y las particiones n

a 0
b 15
n 15

Para la base de los trapecios tenemos que

15 − 0
ℎ= =1
15
Ahora teniendo en cuenta la tabulación y el método de trapecios

Tenemos lo siguiente

Imágenes Coeficientes
322,07 1
341,92 2
 312,08 2
284 2
260,32 2
243,27 2
235,62 2
230,33 2
225,77 2
221,51 2
189,9 2
157,7 2
140,06 2
125,95 2
119,92 2
121,83 1

Cada valor de la imagen se multiplica por cada coeficiente, obteniendo el valor del área de cada
trapecio

área de los trapecios

322,07
683,84
624,16
568
520,64
486,54
471,24
460,66
451,54
443,02
379,8
315,4
280,12
251,9
239,84
121,83

Ahora sumando todas estas áreas

Sumatoria 6620,6
El área de la integral está dada por
6620,6 ∗ 1
𝐼=
2
𝐼 = 3310,3 𝑢2
c. Usando integración numérica [3] y el teorema del valor medio para integrales, calcule en el
intervalo de tiempo de la tabla el valor de la radiación media.

Usando el teorema del valor medio

1
∗ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏−𝑎
1
∗ (3310,3) = 220,68
15
Este sería el valor medio para la radiación según el intervalo de tiempo