Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación.

Universidad de Santiago de Chile.

Álgebra I para MBI.
Autor: Axel Silva Fredes.

Lógica y Predicados

1 Lógica
Definición 1.1. Una proposición es una oración o expresión que se puede considerar como
verdadera o falsa, pero no ambas cosas al mismo tiempo. Por ejemplo, la afirmación ”2+2 =
4” es una proposición verdadera, mientras que la afirmación ”x+3 > 7” no es una proposición
en sı́ misma, ya que depende del valor de x. Sin embargo, si se fija el valor de x, por ejemplo,
x=4, entonces la afirmación se convierte en una proposición verdadera.
Ejemplo 1.1.

i) A: Si estudié para la prueba.

ii) B: Hoy iré a clases.
iii) C: 9 es un número primo. (proposición cerrada)
iv) D: x + y = 5. (proposición abierta)

La forma de poder conectar estas sentencias es usando conectivos lógicos o proposi-

cionales. La noción más simple para conector lógico es la negación y la denotaremos por
el sı́mbolo ∼.
Ejemplo 1.2.

i) ∼A: No estudié para la prueba.

ii) ∼B: Hoy no iré a clases.
iii) ∼C: 9 no es un número primo.
iv) ∼ D: x + y ̸= 5.

Definición 1.2. Una tabla de verdad es una forma gráfica para expresar los distintos
valores de verdad que puede tener una combinación de proposiciones bajo aplicación de
conectores lógicos.
Para entender como funcionan las tablas de verdad, construiremos la tabla del conector
negación, que se hace de forma natural. Tomemos una proposición p y con esto:

p ∼p
V F
F V
Lo anterior nos dice que cuando la proposición p toma el valor de verdad V (Verdadero) la
negación de p tiene como valor de verdad F (Falso). Usando esta tabla definiremos nuevos
conectores lógicos.

1
Definición 1.3. Definimos el conector lógico conjunción, denotado por ∧ ( se lee ”y”) tal
que para dos proposiciones p y q, p ∧ q es verdadero cuando ambas , p y q, son verdaderas.
Su tabla de verdad es:
p q p∧q
V V V
F V F
V F F
F F F
Definición 1.4. Definimos el conector lógico disjunción, denotado por ∨ ( se lee ”o”) tal
que para dos proposiciones p y q, p ∨ q es verdadera cuando al menos una de ellas, p o q,
son verdaderas. Al igual que en nuestro lenguaje hay una ambigüedad con respecto a esta
disjunción, ya que puede ser exclusiva o inclusiva, la disjunción exclusiva la denotaremos
por ⊻. Para ejemplificar esto denotemos p y q como:
i) p: Un conjunto A es acotado.
ii) q: Un conjunto A es finito.
• p ∨ q: A es acotado o finito.
• p ⊻ q: A es acotado ó finito.
El primero nos dice que A es acotado o finito o incluso puede ser ambos, la segunda restringe
que A sólo debe tener una de esas caracterı́sticas. Sus tablas de verdad están definidas ası́:

p q p∨q p⊻q
V V V F
F V V V
V F V V
F F F F

Definición 1.5. Definimos el conector lógico condicional denotado por =⇒ . Sean dos
proposiciones p y q, entonces p =⇒ q lo leemos como ”Si p, entonces q” o ”p implica q.”
Su tabla de verdad es:
p q p =⇒ q
V V V
F V V
V F F
F F V
Para poder entender un poco más la tabla de verdad anterior veremos el siguiente ejem-
plo:
i) p : x es un número entero impar positivo.
ii) q : x2 es un número entero impar positivo.
Primero asumamos que p es verdadera y q es verdadera, con esto la expresión ” Si x es
un número entero impar positivo, entonces x2 es un número entero impar positivo” es una
proposición verdadera, la cual es de fácil demostración. Ahora digamos que p es falsa y q es
verdadera, con esto generamos la expresión ” Si x no es un número entero impar positivo,
entonces x2 es un número entero impar positivo”, la cual es una proposición verdadera ya
qe basta tomar por ejemplo x = −3, y ası́ x2 = 9. Ahora digamos que p es verdadera y q
es falsa, ası́ generamos la expresión ” Si x es un número entero impar positivo entonces x2
no es un número entero impar positivo” la cual es una proposición falsa, ya que no existe
número entero, impar y positivo que haga válida esta expresión. Por último digamos que
p y q son falsas, generamos ası́ la expresión ” Si x no es un número entero impar positivo
entonces x2 no es un número entero impar positivo” la cual es verdadera y para ver eso
podemos tomar x = −2.

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Definición 1.6. Definimos el conector lógico bicondicional denotado por ⇐⇒ . Sean dos
proposiciones p y q, entonces p ⇐⇒ q se lee como ”p sı́ y sólo sı́ q”. Su tabla de verdad
asociada es:
p q p ⇐⇒ q
V V V
F V F
V F F
F F V
Definición 1.7. Definimos una función proposicional como una expresión o fórmula
lógica que depende de una o más variables proposicionales, y que toma valores de verdad
(verdadero o falso) en función de la asignación de valores de verdad a dichas variables.
Ejemplo 1.3. Sean p, q, r tres proposiciones y la función proposicional:

f (p, q, r) = [(∼ p ∨ q) =⇒ r]
Se puede construir la tabla de verdad asociada a dicha función proposicional:

p q r ∼p ∼p∨q (∼ p ∨ q) =⇒ r
V V V F V V
F V V V V V
V F V F F V
F F V V V V
V V F F V F
F V F V V F
V F F F F V
F F F V V F

Definición 1.8. Sea f una función proposicional. Si la tabla de verdad asociada a f es

constante igual a V . Diremos que f es una Tautologı́a.
Ejemplo 1.4. La función proposicional p∨ ∼ p es una tautologı́a, llamada Principio del
tercer excluı́do o ley clásica del pensamiento.

p ∼p p∨ ∼ p
V F V
F V V
V F V
F V V

Definición 1.9.

i) Si A =⇒ B es una tautologı́a, diremos que ”A implica lógicamente a B” o dicho de

otra manera ”B es una consecuencia lógica de A.”
ii) Si A ⇐⇒ B es una tautologı́a, diremos que ”A y B son equivalencias lógicas”. Lo
denotamos por A ≡ B.
Observación:. Sean f y g dos funciones proposicionales.Diremos que f y g son equivalen-
cias lógicas si sus tablas de verdad asociadas son iguales.
Ejemplo 1.5. p y ∼ (∼ p) son equivalencias lógicas.

p ∼p ∼ (∼ p)
V F V
F V F
V F V
F V F

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 Equivalencias lógicas básicas:
i) p ∨ p ≡ p (Ley de idempotencia)
p∧p≡p
ii) p ≡∼ (∼ p) (Ley de doble negación)
iii) p ∨ q ≡ q ∨ p (Ley de conmutatividad)
p∧q ≡q∧p
iv) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Ley de distributividad)
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
v) ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q (Ley de De Morgan)
∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q
vi) p ∨ (p ∧ q) ≡ p (Ley de absorción)
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
vii) p ∨ V ≡V (Leyes de identidad)
p∧V ≡p
p∨F ≡p
p∧F ≡F
De estas podemos obtener otras equivalencias importantes:
i) p =⇒ q ≡∼ p ∨ q
ii) p =⇒ q ≡∼ q =⇒ ∼ p
iii) p ⇐⇒ q ≡ (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)
iv) p ⇐⇒ q ≡∼ p ⇐⇒ ∼ q
v) [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r)] =⇒ (p =⇒ r)
Proposición 1.1. Si A y (A =⇒ B) son tautologı́as, entonces B es una tautologı́a.
Para poder demostrar esta proposición, mostraremos distintos métodos de demostración,
en particular, proposiciones de la forma p =⇒ q:
i) Demostración directa: Supongamos que p es una proposición verdadera, en base a
eso se prueba que q también es verdadera, teniendo ası́ que p =⇒ q es verdadera.
ii) Demostración por contrapositiva: Como se vió anteriormente, p =⇒ q es una
equivalencia lógica con ∼ q =⇒ ∼ p, por lo tanto para probar que p =⇒ q es
verdadero basta con probar que ∼ q =⇒ ∼ p es verdadero, usando demostración
directa.
iii) Demostración por contradicción: Supongamos que q es falso (∼ q es verdadero),
asumiendo que p es verdadero. Luego se debe intentar, usando demostración directa,
probar que p =⇒ ∼ q es verdadero. Si en este proceso se llega a una incosistencia de
los datos o una contradicción, significa que nunca se debió decir que q es falso, por lo
tanto p =⇒ q serı́a una verdad.
Ejemplo 1.6. Demostrar lo siguiente : Sea x ∈ N. Si x2 es un número par, entonces x es
un número par.

• Demostración directa: Supongamos que x2 es un número par. Como x2 = x · x,

y x ∈ N tenemos 2 posibilidades, que x sea un número par o que x sea un número
impar.

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 i) Si x es impar, existe k ∈ Z tal que x = 2 · k + 1, ası́

x2 = (2 · k + 1)2 = 2(2k 2 + 2k) + 1,

por lo tanto se tiene que x2 es un número impar, por lo tanto no es posible, ya

que nuestra hipótesis es que x2 es par.
ii) Si x es par, existe k ∈ Z tal que x = 2 · k, ası́

x2 = (2 · k)2 = 4k 2 = 2(2k 2 ),

por lo tanto x2 es par, lo que cumple nuestra hipótesis.

Con esto se prueba que x es par.
• Demostración por contrapositiva: Demostrar que ”Si x2 es un número par, en-
tonces x es un número par” es equivalente a demostrar que ”Si x no es un número
par, entonces x2 no es un número par” que es lo mismo que ”Si x es un número impar,
entonces x2 es un número impar”.
Esto último es fácil ya que si tomamos un número impar x este debe ser de la forma
2k + 1 con k ∈ N, por lo tanto tenemos que :

x2 = (2k + 1)2
= 4k 2 + 4k + 1
= 2(2k 2 + 2k) + 1

y como k ∈ N entonces m = 2k 2 + 2k ∈ N , por lo tanto x2 = 2m + 1 y ası́ x2 es un

número impar, lo que demuestra lo pedido.
• Demostración por contradicción: Supongamos que x2 es par y que x no es par
(por lo tanto x es impar). Como x es impar, existe k ∈ Z tal que x = 2 · k + 1, ası́

x2 = (2 · k + 1)2 = 2(2k 2 + 2k) + 1,

con esto se tiene que x2 es impar, lo cual es una contradicción.

Demostración Proposición 1.1. Demostración por contradicción. Supongamos que B no es

una tautologı́a, por lo tanto B contiene una F en su tabla de verdad, ası́ tendrı́amos que
A =⇒ B contiene una F en su tabla de verdad, ya que A es tautologı́a, lo cual es una
contradicción ya que A =⇒ B es tautologı́a.
Proposición 1.2. Sea A una tautologı́a compuesta por las proposiciones A1 , A2 , . . . , An y
sea B una función proposicional que surge de reemplazar otras proposiciones B1 , B2 , . . . , Bn
por A1 , A2 , . . . , An respectivamente, entonces B es una tautologı́a. En otras palabras, una
sustitución en una tautologı́a, mantiene la tautologı́a.
Ejemplo 1.7. Sea A ≡ (A1 ∧ A2 ) =⇒ A1 , B1 ≡ p ∨ q y B2 ≡ q ∧ r. Vemos que:

(A1 ∧ A2 ) =⇒ A1 ≡∼ (A1 ∧ A2 ) ∨ A1
≡∼ A1 ∨ ∼ A2 ∨ A1
≡∼ A1 ∨ A1 ∨ A2
≡ V ∨ A2
≡ V.

por lo tanto A es una tautologı́a, y usando la proposición anterior tenemos que

B ≡ [(p ∨ q) ∧ (q ∧ r)] =⇒ (p ∨ q) es una tautologı́a.
Definición 1.10. Sea f una función proposicional tal que su tabla de verdad asociada es
constante igual a F , diremos que f es una contradicción.

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Observación:. Una función proposicional que no es ni tautologı́a ni contradicción se llama
contingencia.
Ejemplo 1.8. Determine el valor de verdad de las siguientes funciones proposicionales:
i) ((p ∧ q) =⇒ r) =⇒ (p =⇒ (q =⇒ r))

((p ∧ q) =⇒ r) =⇒ (p =⇒ (q =⇒ r)) ≡∼ (∼ (p ∧ q) ∨ r) ∨ (∼ p ∨ (∼ q ∨ r))

≡ ((p ∧ q)∧ ∼ r) ∨ (∼ p∨ ∼ q ∨ r)
≡ (p ∨ q∨ ∼ r)∨ ∼ (p ∨ q∨ ∼ r)
≡V
Lo anterior se obtiene ya que A∨ ∼ A ≡ V sea cual sea la proposición A. El resultado
anterior nos dice que, sean cual sean los valores de verdad que tengan p y q siempre
se llega a una verdad, por lo tanto se concluye que la función proposicional es una
tautologı́a.

ii) ∼ [p ⇐⇒ q] ∨ (q =⇒ (∼ p)).

∼ [p ⇐⇒ q] ∨ (q =⇒ (∼ p)) ≡∼ [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)] ∨ (q =⇒ ∼ p)

≡∼ [(∼ p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ p)] ∨ (∼ q∨ ∼ p)
≡ [∼ (∼ p ∨ q)∨ ∼ (∼ q ∨ p)] ∨ (∼ q∨ ∼ p)
≡ [(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)] ∨ (∼ q∨ ∼ p)
≡ (p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)∨ ∼ q∨ ∼ p
≡ (p∧ ∼ q)∨ ∼ q ∨ (q∧ ∼ p)∨ ∼ p
≡∼ q∨ ∼ p
Como no podemos definir el valor de verdad de ∼ q∨ ∼ p , tenemos que la función
proposicional es una contingencia.
Ejemplo 1.9. Si la función proposicional ∼ p =⇒ ∼ (∼ p ∧ q) es falsa, determine el valor
de verdad de:
[(p =⇒ q) ∧ (p ∧ q)] =⇒ [(q ∨ p) =⇒ p].
Como tenemos que ∼ p =⇒ ∼ (∼ p ∧ q) es falsa, y recordando que la única implicancia falsa
es V =⇒ F , tenemos que ∼ p ≡ V y por lo tanto p ≡ F . Por otro lado ∼ (∼ p ∧ q) ≡ F y
por lo tanto ∼ p ∧ q ≡ V y ası́ llegamos a:
∼p∧q ≡V
∼F ∧q ≡V
V ∧q ≡V
q≡V
En lo último dijimos que T ∧ q = q, eso es consecuencia de la tabla de verdad de ∧ ya que
V ∧ V = V y V ∧ F = F , es decir , el resultado de V ∧ q dependerá solo del valor de q. Con
esto reemplazamos en la función proposicional pedida teniendo que p = F y q = V :
[(F =⇒ V ) ∧ (F ∧ V )] =⇒ [(V ∨ F ) =⇒ F ] ≡ (V ∧ F ) =⇒ (V =⇒ F )
≡ F =⇒ F
≡V
Por lo tanto es una tautologı́a.
Ejercicio 1.1. Determine el valor de verdad (sin usar tabla de verdad ) de:
 
(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ ∼ r) ∧ (∼ p =⇒ ∼ r) =⇒ ∼ r

6
2 Predicados
Como vimos anteriormente:

• 3>5
• 42 ≥ 0
• 2+2=3

son proposiciones ya que se les puede dar un valor de verdad.

Pero, ¿que sucede con ejemplos como los siguientes?:
• x>5
• x2 ≥ 0

• x+x=3
Es claro que los ejemplos anteriores no son proposiciones, pero se convierten en una cuando
x toma algún valor. Por ejemplo, definamos p(x) como:

p(x) : x > 5.

Es fácil notar que p(3) es una proposición falsa, y p(7) también es una proposición pero es
verdadera.
Definición 2.1. Definimos un predicado como aquella expresión que se convierte en una
proposición al darle valores a las variables invucradas.

Usando el mismo ejemplo anterior, se tiene que p(7) es una proposición, pero también
lo son p(8), p(9), p(50) . . . , entonces se puede dar a entender que un predicado se puede
convertir en una proposición en un conjunto de valores.
Definición 2.2. Llamamos Dominio de un predicado como aquel conjunto de valores que
hacen que el predicado se convierta en proposición.

Observación:. No existe un único dominio para un predicado.

7
Ejemplo 2.1. Algunos dominios para el predicado:

p(x) : x > 3

son:
• R
• Z
• Números naturales mayores que 5
• Números enteros negativos
En los primeros dos casos, el predicado puede ser tanto una proposición verdadera como falsa
según el valor que se tome. En el tercer caso el predicado se convierte en una proposición
verdadera, sea cual sea el valor del dominio que se tome. De la misma manera, en el cuarto
caso el predicado siempre se convierte en una proposición falsa.
Como vimos antes, según el dominio que se defina, un predicado puede convertirse tanto
en una proposición verdadera como falsa, por lo tanto podemos, de alguna manera, cuan-
tificar dichos elementos.
Ejemplo 2.2. Cuantifiquemos p(x) : x2 + 1 > 4 en un conjunto A cualquiera.

1) p(x) es verdadero para 3 distintos x ∈ A.

2) p(x) es verdadero para exactamente 3 distintos x ∈ A.
3) Hay infinitos x ∈ A tal que p(x) es verdadero.
4) p(x) vale para ningún x ∈ A.
5) p(x) es verdadero para todo x ∈ A.

Observación:. x ∈ A es la simbologı́a usada para decir que x es un elemento del conjunto

A. Se lee x pertenece a A.
Definición 2.3. Sea p(x) un predicado y A un conjunto cualquiera:
i) Definimos cuantificador universal, denotado por ∀ como:

Para todo elemento x ∈ A se cumple p(x) → ∀x ∈ A : p(x).

ii) Definimos cuantificador existencial, denotado por ∃ como:

Existe al menos un elemento x ∈ A tal que se cumple p(x) → ∃x ∈ A : p(x).

Ejemplo 2.3.
a) ∀x ∈ R : x2 = x.
Todo elemento de R cumple que su cuadrado es igual a si mismo. Proposición falsa.
Basta tomar, por ejemplo, x = 2
b) ∃x ∈ R : x2 = x.
Existe al menos un elemento de R que cumple que su cuadrado es igual a si mismo.
Proposición verdadera. Basta tomar x = 1 o x = 0.
c) ∃x ∈ R : x2 + 1 = 0.
Existe al menos un elemento de R que cumple la ecuación x2 + 1 = 0. Proposición
falsa. No existe número real que lo cumpla.

8


d) ∀x ∈ Z : ”x2 es par” ⇒ ”x es impar” .
Todo elemento de Z que cumpla que si su cuadrado es un número par, entonces el
mismo es un número impar. Proposición falsa. Ver ejemplo 1.6.
e) ∀x ∈ Z : ([x ̸= 2 ∧ ”x es primo”] ⇒ ”x es impar”).
Todo número entero que cumple que si es un número disinto de 2 y a la vez es un
número primo, entonces ese número debe ser par. Proposición verdadera. Todo
número primo, salvo el 2, solo puede ser divisible por 1 y por si mismo, si fuese
par serı́a divisible por 2 y dejarı́a de ser primo.
f) ∀x ∈ R : (∃n ∈ N : x < n).
Para todo número real x existe al menos un número natural n más grande que el.
Proposición verdadera.
h) ∃x ∈ R : (∀n ∈ N : x > n)
Existe al menos un número real x tal que para todo número natural n, x es mayor que
n. En otras palabras, existe al menos un número real que es más grande que cualquier
número natural. Proposición falsa.

Usando los ejemplos f ) y h) anteriores, podemos dar a entender la importancia del orden
al momento de cuantificar.
Podemos reescribir el ejemplo f ) como:

∀x ∈ R, ∃n ∈ N : (x < n)

es decir, se puede cuantificar todo antes del predicado, siempre que no se pierda el sentido.
De la misma manera, h) lo podemos reescribir como:

∃x ∈ R, ∀n ∈ N : (x > n)

Analizando los dos ejemplos mencionados, se puede notar que los cuantificadores están in-
tercambiados en orden, con esto podemos acotar lo siguiente:
Para dos dominios de predicados A, B y y un predicado p(x, y) tenemos la siguiente equiva-
lencia semántica:

∃x ∈ A : ∃y ∈ B : p(x, y) ≃ ∃y ∈ B : ∃x ∈ A : p(x, y).

∀x ∈ A : ∀y ∈ B : p(x, y) ≃ ∀y ∈ B : ∀x ∈ A : p(x, y).

Ejemplo 2.4. Las siguientes dos proposiciones equivalen a lo mismo:

i) ∀x ∈ N, ∀z ∈ Z+ : x · y > 0.
Para todo número natural x y para todo número entero positivo z se tiene que la
multiplicación de ambos es mayor que cero.

ii) ∀z ∈ Z+ , ∀x ∈ N : x · y > 0.
Para todo número entero positivo z y para todo número natural x se tiene que la
multiplicación de ambos es mayor que cero.
Podemos unificar su significado como sigue:

La multiplicación de cualquier entero positivo con un natural es siempre positivo.

Analicemos el siguiente par de predicados:

9
 i) ∀x ∈ N, ∃y ∈ Z : x + y = 0.
Para todo número natural x existe al menos un número entero y tal que la suma de
ambos es cero.
ii) ∃y ∈ Z, ∀x ∈ N : x + y = 0.
Existe al menos un número entero y tal que para todo número natural x la suma de
ambos es cero.

Recordando que un número a es el inverso aditivo de un número b si b + a = 0 podemos

explicar los dos ejemplos anteriores.
El primero: ”sea cual sea el número natural que nosotros elijamos, siempre podremos encon-
trar su inverso aditivo en Z, pero ese inverso dependerá del número natural que se escoja”.
En el segundo: ”Existe al menos un número entero el cuál es inverso aditivo de todo número
natural”.
La primera proposición es verdadera, en cambio la segunda es falsa.

En general, no se pueden intercambiar distintos cuantificadores, es decir:

∃x ∈ A : ∀y ∈ B : p(x, y) ̸= ∀y ∈ B : ∃x ∈ A : p(x, y).

∀x ∈ A : ∃y ∈ B : p(x, y) ̸= ∃y ∈ B : ∀x ∈ A : p(x, y).

Observación:. Hacer el cambio de cuantificadores cambia el sentido de la proposición, pero
no necesariamente su veracidad.
Ejemplo 2.5.
i) ∀x ∈ N, ∃y ∈ R : y < x.

ii) ∃y ∈ R, ∀x ∈ N : y < x.

Ambas proposiciones son verdaderas.

Como vimos hasta ahora, al cuantificar un predicado obtenemos una proposición, por lo
tanto podemos negarla, lo que nos lleva a lo siguiente:
Proposición 2.1. Sea p(x) un predicado y A un dominio para p(x).

i) ∼ (∀x ∈ A : p(x)) = ∃x ∈ A :∼ p(x).

La negación de que todo elemento de un conjunto A cumpla el predicado p(x), es que
existe al menos un elemento en A que no cumpla la proposición (pueden ser muchos
que no la cumplan).
ii) ∼ (∃x ∈ A : p(x)) = ∀x ∈ A :∼ p(x).
La negación de que exista al menos un elemento en A que cumpla la proposición p(x)
es que todo elemento de A no cumpla la proposición.
Podemos generalizar lo anterior a muchos cuantificadores usando lo siguiente:

∼ (∀x ∈ A, ∃y ∈ B : p(x, y)) = ∃x ∈ A, ∀y ∈ B :∼ p(x, y).

∼ (∃x ∈ A, ∀y ∈ B : p(x, y)) = ∀x ∈ A, ∃y ∈ B :∼ p(x, y).

10
Ejemplo 2.6.
 
• ∃x ∈ A :


p(x) ∧ ∀y ∈ A : (p(y) =⇒ x = y)
Existe un elemento x en el conjunto A que cumple el predicado p(x) y además, sea
cual sea el elemento y en A que cumpla el predicado entonces necesariamente x e y
son iguales. En otras palabras x es el único elemento de A que cumple el predicado.
Esto lo podemos reescribir como:

∃!x ∈ A : p(x).
 
• ∃x ∈ A : ∃y ∈ A : p(x) ∧ p(y) ∧ x ̸= y .

Existe un elemento x en A y existe un elemento y en A tal que ambos cumplen

el predicado p(x) y además son distintos. En otras palabras existen dos elementos
disintos que cumplen el predicado p(x).( no excluye la existencia de otros que cumplan
el predicado)
• ∀x ∈ A, ∀y ∈ A : (x ̸= y =⇒ (p(x) ∧ q(y)) ∨ (p(y) ∧ q(x)))
Para todo par de elementos distintos del conjunto A, uno satisface el predicado p y el
otro el predicado q.
• ∀x ∈ A : (p(x) =⇒ q(x)).
Para todo elemento del conjunto A, si satisface el predicado p, entonces también sat-
isface el predicado q.
• ∀x ∈ A, y ∈ A : (x ̸= y =⇒ (p(x) =⇒ q(y)))
Para todo par de elementos distintos del conjunto A, si uno satisface el predicado p,
entonces el otro satisface el predicado q.
• ∃x ∈ A : (p(x) ∧ (∀y ∈ A : p(y) =⇒ x ≥ y)).
Existe un elemento del conjunto A que es el mayor de todos los elementos de A que
satisfacen el predicado p.
Observación:. En vez de escribir ∀x1 ∈ A, ∀x2 ∈ A, . . . , ∀xn ∈ A adoptaremos la forma
∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ A.
Ejemplo 2.7.
• ∀n ∈ N, ∃p ∈ N : p ≥ 2 ∧ n ̸= 1 ⇒ ∃k ∈ N : n = pk .

Para todo número natural n existe un número natural p tal que p es mayor o igual
que 2 y si n es distinto de 1, entonces p es un divisor de n.
 
• ∀p ∈ A ⊂ N, ∀n ∈ N : n ∈ N =⇒ n = 1 ∨ n = p .
p

Para todo numéro p en un conjunto A que es subcojunto de N y para todo número

natural n, si n es un divisor de p entonces n es 1 o p.
En otras palabras, los únicos divisores que puede tener p en N es 1 o si mismo. Podemos
concluir que A es el conjunto de los números primos.
 
• ∀n ∈ N : n es par ⇐⇒ ∃k ∈ Z : n = 2 · k .

Caracterización de un número par.

 
• ∀n ∈ B ⊂ N : ∃k ∈ Z : n = 2k + 1 ∧ ∃k ∈ Z : n = 3k .

Todos los números naturales que están en B cumplen que son números impares y a la
vez múltiplos de 3.

11
Observación:. Los k que se definen en ambas condiciones son distintos, ya que están
cuantificados por separado. Por ejemplo, 9 es un elemento de B. Veamos la primera
condición , debemos probar que existe un k ∈ Z tal que 9 = 2k + 1, y eso se cumple
cuando k = 4. En cambio para la segunda condición , debemos probar que existe un
k ∈ Z tal que 9 = 3k y eso se cumple para k = 3.
Se podrı́a reescribir dicha proposición de la siguiente manera:
 



∀n ∈ B ⊂ N : ∃k ∈ Z : n = 2k + 1 ∧ ∃r ∈ Z : n = 3r

12