Matemática I

2 parciales Prácticos
2 parciales Teóricos
1 recuperatorio
Para regularizar se deben aprobar los dos parciales
prácticos
Para promocionar aprobar los dos parciales prácticos y
teóricos
LOGICA PROPOSICIONAL
La lógica es la disciplina que estudia los métodos de
formalización del conocimiento humano. En lógica se
estudian, por tanto, métodos de formalización de frases
declarativas. Para ello existen dos niveles de abstracción
según el grado de detalle que se quiera formalizar: Lógica
proposicional y Lógica de predicados.
La lógica proposicional o lógica de enunciados toma
como elemento básico las frases declarativas simples o
proposiciones que son aquellos elementos de una frase
que constituyen por si solos unidad de comunicación de
conocimientos y pueden ser considerados verdaderos o
falsos.
La lógica de predicados estudia las frases declarativas
con mayor grado de detalle, considerando la estructura
interna de las proposiciones . Se tomarán como elemento
básico los objetos y las relaciones entre dichos objetos.
 Proposición
 Es un enunciado al cual se le ¿Son proposiciones?
puede asociar el concepto de
 ¿Qué hora es?
verdadero o falso, pero no
 Por favor, cierre la puerta
ambos. Es una oración
 El 6 de abril de 1876 fue
declarativa
sábado
Ejemplos:
 La luna es cuadrada
 7 es un número primo
 Las arañas son mamíferos
Lógica Proposicional

Los enunciados se denotaran por letras p ,q, r

La regla fundamental de la Lógica es: La ley del Medio

excluido ¨Toda proposición debe ser verdadera o Falsa, pero
no puede ser ambas cosas, ni puede ser ninguna de las dos
cosas
 Conocido el valor de verdad de ciertas proposiciones, la lógica
establece el valor de verdad de otras relacionadas con éstas.

 A éstas últimas se les conoce como proposiciones compuestas

Lógica Proposicional
Lógica Proposicional
 Si las proposiciones p, q, r se combinan para formar la
proposición z, diremos que z es una proposición compuesta
 En un enunciado compuesto su valor de verdad depende del
valor de verdad de los enunciados

¨Él es inteligente o estudia todos los días¨ es una

proposición compuesta por dos proposiciones : ¨Él es
inteligente ¨y ¨él estudia todos los días¨
Tabla de Verdad
La tabla de verdad de una proposición p q r
compuesta P enumera todas las V V V
posibles combinaciones de los valores
de verdad para las proposiciones p,q V V F
r….t V F V
Ejemplo : si P es una proposición
V F F
compuesta por las proposiciones
simples p, q y r entonces la tabla de F V V
verdad de P deberá recoger los F V F
siguientes valores de verdad
F F V
F F F
2 n  2 3 8
Conexión entre proposiciones: Conjunción
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción
de ambas a la proposición compuesta ¨p¨ y ¨q¨. Esta proposición será
verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean.
La notación
pq
p q pq
 Para construir la tabla de p
 q, debemos considerar V V V
las diferentes alternativas
de valores de verdad para
p y para q:
V F F
 ¿Cuáles son ?
Ambas verdaderas
F V F

una V y la otra F
F F F
ambas falsas
 Conjunción
 Ejemplos:
p: Hoy es miércoles  Si p y q son
proposiciones, se
q: La luna es cuadrada llama conjunción
r: mañana es jueves de p y q a la
proposición
compuesta “p y q “
p  q :Hoy es miércoles y la luna y se denota por:
es cuadrada pq
p  r :Hoy es miércoles y mañana
es jueves
 Conjunción
Se toman como “sinónimos” de la conjunción:

 Además  También
 Pero  Aún
 Sin embargo  A la vez
 Aunque  No obstante
 Conjunción: p ^ q

 Luís estudia ,además de trabajar

 Luís estudió pero no aprobó
 Luís canta, sin embargo no baila
 Luís jugó al futbol aunque estaba lesionado
 Luís juega al futbol , también José
 Luís salió, aún no llega
 Luís cocina a la vez que canta
 Luís viajará no obstante esté sin visa
 Luís canta , no baila.
 Conexión entre proposiciones: Disyunción
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q , llamaremos
disyunción de ambas a la proposición compuesta ¨p o q¨ y
la denotaremos p v q. Esta proposición es verdadera si al
menos una de las dos p ó q lo es

Ejemplo: sea p ¨estudio inglés en la facultad¨ o el vivió en ËEUU

La palabra ó¨ se usa en el lenguaje ordinario de dos formas distintas . A
veces se utiliza en el sentido de ¨p o q¨, o ambos¨, es decir, al menos una
de las dos alternativas ocurre y , a veces es usada en el sentido de ¨p o q,
pero no ambos¨ es decir, ocurre exactamente una de las dos alternativas.
Conexión entre proposiciones: Disyunción exclusiva o
Diferencia simétrica

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción

exclusiva de ambas a la proposición compuesta ¨p ó q pero no ambas¨.
Esta proposición será verdadero si uno u otro, pero no ambas son
verdaderas. La notaremos
pq

Ejemplo: Juan fue a estudiar o a jugar al futbol

Conexión entre proposiciones: Negación
 Dado un enunciado p se puede formar otro enunciado, que se llama
negación de p, escribiendo es ¨es falso que..¨ antes de p, o cuando es
posible, insertando la palabra ¨no¨.
 Dada una proposición cualquiera ,p; llamaremos ¨negación de p¨ a la
proposición ¨no p¨. Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p
sea verdadera. La notación es
p
p1: Octave es un software libre
p2: es falso que Octave es un software
libre
P3 . Octave no es un software libre
Negación
 Esto lo podemos
escribir de una manera
“compacta”, utilizando Posibilidades para la proposición p
una tabla
 A esta tabla se le llama
“tabla de certeza de la p ~p
negación”
V F
F V
Negación
Como sinónimos de no, se utilizan las
siguientes expresiones:

 No es cierto que ……..

 No es el caso que………
 Es falso que…………
 No sucede que…………….
Conexión entre proposiciones: condicional
Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición
compuesta ¨si p, entonces q¨ se llama ¨proposicional
condicional¨
A la proposición ¨p¨ se llama hipótesis, antecedente,
premisa o condición suficiente y a la ¨q¨ tesis,
consecuente, conclusión o condición necesaria del
condicional. Una proposición condicional es falsa
únicamente cuando siendo verdad la hipótesis, la
conclusión es falsa.
Se notara

pq
Condicional
 Ejemplos:
 Si no llueve (entonces) iremos a la
playa
 Si me gano la lotería (entonces) me voy
de viaje
 Si no estudio (entonces) no aprobaré
Lógica
 Formas derivadas del condicional
 Dado el condicional directo: p q, el condicional ~ q  ~p
se llama contrarrecíproco y lo expresaríamos: “ si no q,
entonces no p”
Algunas expresiones del lenguaje que indican la
presencia de un condicional (p → q), son las
siguientes:
p es condición suficiente para ¨q El condicional es muy importante
Si p, q en matemáticas, porque los
Teoremas se expresan en forma
Q si p condicional.
Que p supone que q Un Teorema será un condicional
Cuando p, q verdadero con hipótesis verdadera
q es condición necesaria para p
En caso de que p entonces q p q pq
q sólo si p
V V V
Condicional
 Veamos la tabla del condicional: p  q
p q pq
V V V

V F F

F V V

F F V

 El condicional es falso, sólo cuando el antecedente es verdadero y el

consecuente es falso; es decir, cuando la “promesa” no se cumple
Conexión entre proposiciones: Bicondicional
Dadas dos proposiciones p y q , a la proposición compuesta ¨p si
y sólo si q¨ se la denomina proposición Bicondicional . Se denota

pq
La interpretación del enunciado es:

p si solo si q y p si q
O lo que es igual

Si p, entonces q y si q, entonces p

Es decir,
𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑝
Conexión entre proposiciones: Bicondicional

La proposición bicondicional es verdadera únicamente en caso de que

ambas proposiciones , p y q tengan los mismos valores de verdad

Ejemplo: Atenas esta en Grecia si , y solamente si, 2+2= 4

 Ejemplo con 2 proposiciones simples
 Construyamos la tabla de verdad para la siguiente
proposición :(pq)(p~q)
 4 filas de posibilidades

p q ~q pq p~q (pq)(p~q)

V V F V F F
V F V F V F
F V F F V F
F F V F V F
 Ejemplo con 3 proposiciones simples

Hacer la tabla de certeza para: (rp)  ~(qp)

p q r rp qp ~(qp) (r  p)  ~(qp)

V V V V V F F
V V F V V F F
V F V V V F F
V F F V V F F
F V V V V F F
F V F F V F F
F F V V F V V
F F F F F V F
LAS FORMAS PROPOSICIONALES
Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p, q, r, s…
P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se
le asignen a p, q, r, s…
P es una contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se
asignen a p, q, r, s…
Denotaremos por ¨C¨ a una contradicción y por ¨T¨ a una tautología

Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama

Contingencia
Ejemplos
F
Formas de razonamiento
Formas de razonamiento
Formas de razonamiento
 pq

p  q es lo mismo que (p  q  q  p)
La proposición P es lógicamente equivalente a la proposición Q si, y
sólo si la proposición bicondicional P  Q es una tautología
Equivalencia Lógica

p q pvq ¬ (p v q)
V V V F
V F V F
F V V F
F F F V

p q p ^q ¬p ¬q ¬p^¬ q
V V V F F F
V F F F V F
F V F V F F
F F F V V V
Equivalencia Lógica
La proposición P es lógicamente equivalente a la
proposición Q si, y sólo si la proposición bicondicional P
⇔ Q es una Tautología
PRUEBA DE VALIDEZ DE RAZONAMIENTO POR CONDICIONAL
ASOCIADO
Equivalencias Lógicas más Comunes
p p Pvp
V V V
F F V
Equivalencia lógica más comunes
Asociatividad
p q r pvq (p v q)v r p q r q vr p v ( qv r)
V V V V V V V V V V
V V F V V V V F V V
V F V V V V F V V V
V F F V V V F F F V
F V V V V F V V V V
F V F V V F V F V V
F F V F V F F V V V
F F F F F F F F F F

Leyes de De Morgan
p q p^q ¬( p ^ q) p q ¬p ¬q ¬p v¬ q
V V V F V V F F F
V F F V V F F V V
F V F V F V V F V
F F F V F F V V V
 Leyes distributivas
p q r q^ r p v (q ^ r) p q r pvq pvr (p v q).(p v r)

V V V V V
V V V V V V
V V F F V
V V F V V V
V F V F V
V F V V V V
V F F F V
V F F V V V
F V V V V F V V V V V
F V F F F F V F V F F
F F V F F F F V F V F
F F F F F F F F F F F
Equivalencia lógica más comunes
Implicaciones Lógicas más comunes
Modus tollens
Modus ponens
Proposición Abierta
Una proposición abierta P(x) es un enunciado sobre una variable x que
se convierte en una proposición cada vez que ala variable x se sustituye
por un valor particular x0

Es una proposición abierta. Se convierte en

Ejemplo1: P( x ) : 2 x  3  0 proposición para cada número definido x0. En
particular P(-2) es cierta mientras que P(0)
es falsa

Ejemplo 2 A( x) : x 2  0 Si suponemos que x toma valores reales,

claramente A(x0) es falsa para todo
x0distinto de cero, mientras que A(0) es
verdadera
Cuantificadores Lógicos
Frecuentemente las proposiciones abiertas se utilizan con ciertas
expresiones llamadas Cuantificadores, con los cuales se determina el valor
de verdad de la proposición resultante. Los siguientes serán los
cuantificadores que usaremos.
1. Cuantificador Universal, para todo x, representado simbólicamente por x
2. Cuantificador existencial, para algún x, representado simbólicamente
por x
3. Cuantificador de existencia y unicidad, existe un único x, representado
simbólicamente por  ! x
Observación 1: la frase ¨para cada x¨ se usa en el mismo sentido que la
frase ¨para todo x¨
Observación 2: Si una propiedad es compartida por todos los elementos de
un conjunto C, escribimos: ¨Todo x en C tiene la propiedad P¨,
simbólicamente
x C, P( x)
 ¨Algún x en C tiene la propiedad P¨, simbólicamente, (x  C , P( x))
Ejemplo 1: x( x 2  0) Es una proposición verdadera
Ejemplo 2: Para todo x existe algún y tal que x+y =0, simbólicamente
(x)(y)(x  y  0)
Esta proposición es verdadera, ya que dado x es arbitrario y=-x

Observación 1: la negación de la proposición ¨Todo x en C tiene la propiedad P¨,

simbólicamente
(x  C , P( x))
Es ´existe algún x en B que no tiene propiedad P¨, simbólicamente

x  C, P( x)
Observación 2: la negación de la proposición ¨existe x en C tiene la propiedad P¨,
simbólicamente

Es ¨para todo x en C, x que no tiene la propiedad P¨, simbólicamente

x  C, P( x)
Todos los hombres son mortales . Su negación es Algún hombre es inmortal
Ejemplo Cuantificadores
Ejemplo cuantificadores
Equivalencia lógica para proposiciones cuantificadas
de una variable
Circuitos Lógicos
Simplificaciones
Simplificaciones
Simplificaciones