autología, contradicción y contingencia

1.3 Conectivos Lógicos

A partir de proposiciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir
que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados
conectivos lógicos. A continuación vemos una concreta definición de cada uno:

Símbolo Operación asociada Significado

~ Negación no es cierto que

 Conjunción o producto lógico y

 Disyunción o suma lógica o (en sentido incluyente)

 Condicional implica ( entonces )

 Bicondicional si y sólo si

 Disyunción Exclusiva o (en sentido excluyente)

 Conjunción Negativa ni

1.4 Operaciones Proposicionales

Consiste en caracterizar una proposición resultante a través de su valor de verdad.

A tal efecto, se estudia a continuación el uso y significado de los diferentes
conectivos lógicos mencionados arriba.

Cabe recalcar el número de posibles combinaciones que se puede obtener entre

proposiciones está dado por: 2n. Así, si tenemos dos proposiciones, el número de
casos a analizar será 22 es decir 4 casos, para tres proposiciones tendremos 23 (8
casos) y así sucesivamente.

1.4.1 Negación

Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición

denotada por ~ p (se lee "no p") que le asigna el valor de verdad opuesto al de p.
Por ejemplo:

p: Diego estudia matemática

~ p: Diego no estudia matemática

Obteniéndose la tabla de verdad:

 p ~p

V F

F V

Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F,

y viceversa.

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene

otra, que es su negación.

Ejemplo: La negación de " p: todos los alumnos estudian matemática"

es

~ p: no todos los alumnos estudian matemática

o bien:

~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática

~ p: hay alumnos que no estudian matemática

1.4.2 Conjunción
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a
la proposición p  q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo
si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

Ejemplo:

Se ve que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que

son
p: 5 es un número impar

q: 6 es un número par

Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas es verdadera.

Ahora, sea: Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día de 5 de noviembre

Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas

ambas proposiciones.

1.4.3 Conjunción Negativa

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción negativa de estas
proposiciones a la proposición p  q (se lee "ni p ni q"), cuya tabla de verdad es:

p q p q

V V F

V F F

F V F

F F V

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción negativa es

verdadera sólo si son falsas las dos proposiciones componentes. En todo otro
caso, es falsa.

Ejemplo:

P
Q
ni 4 es un número primo ni 10 es impar

Donde:

p: 4 es un número primo

q: 10 es un número impar

Por ser ambas falsas, la conjunción negativa de ellas es verdadera.

1.4.4 Disyunción
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la
proposición p q cuya tabla de valor de verdad es:

p q pq

V V V

V F V

F V V

F F F

La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la

disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea
verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente
o excluyente indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en
matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos
muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.

Ejemplo: Sea: Tiro las cosas viejas o que no me sirven

El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las
cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me
sirve, la disyunción es V.

1.4.5 Condicional

El condicional de las proposiciones p y q es la proposición p  q (si p entonces q)

cuya tabla de valores de verdad es:

p q pq

V V V

V F F
 F V V

F F V

La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente

del condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejemplo:

Supongamos el condicional

La implicación está compuesta de las proposiciones

p: apruebo

q: te presto el libro

El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y

podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si
p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste
o no el apunte la implicación es verdadera.

Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el

compromiso no se cumple y la proposición es falsa. Si p y q son verdaderas,
entonces la proposición es verdadera pues el compromiso se cumple.

1.4.6 Bicondicional

El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "p si y

sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F V
EL bicondicional sólo es verdadero si ambas proposiciones tienen el mismo valor
de verdad.

Puede definirse como la conjunción de un condicional y su recíproca. De este

modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse mediante la tabla
de (pq)  (q  p), como vemos:

p q p  q q p (p  q)  (q  p)

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

Ejemplo: Sea a = b si y sólo si a2 = b2

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: a = b

q: a2 = b2

Esta doble implicación es falsa si p es F o q es F. Es decir es Verdad si el valor de

verdad de las proposiciones es el mismo.

1.4.7 Diferencia Simétrica o Disyunción Excluyente

Diferencia simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y

q es la proposición p  q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de
valores de verdad es:

p q pq

V V F

V F V

F V V
 F F F

La verdad de p  q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las

proposiciones componentes.

Ejemplo: Sea: o vamos a Guayaquil o vamos a Cuenca

Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir
que el enunciado es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso
de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso.

Ejemplos de las operaciones proposicionales:

[(~p) ^ q] →
p q ~p ~q (~p) ^ p v (~q) [(~p) ^ q] → [ p v [ p v (~p)]
q (~p)] a)
V V F F F V V
V F F V F V V
F V V F V F F
F F V V F V V

b) [(~p) ^ q] → [ p v (~p)]

c) [~p → (q → r)] v (p ↔ r)

d) Sean: p, q, r proposiciones, supongamos que p es verdadera, q falso

y r verdadero; determinar el valor de verdad de la proposición siguiente.

[p v (~q)] ↔ (p ^ r)

“El valor de verdad de la proposición compuesta es falso”

e) Si p es falso, q es verdadero. Calcular el valor de verdad de r. El valor

de verdad es V.

(p ^ q) ↔ [q ^ (~r)]

1.5 Condición Necesaria y Suficiente

Consideremos la tabla de valores de verdad del condicional

p q pq

V V V

V F F

F V V

F F V

Hay tres casos en los que p  q es V, y entre ellos hay uno en que p es V, en el
cual resulta q verdadera. Es evidente que hacemos referencia al primer renglón
de la tabla y tenemos que si p q es V y p es V, entonces q es V. Se dice entonces
que el antecedente p es condición suficiente para el consecuente q.

En cambio, si p es F, nada podemos decir de q puesto que puede ser V o F. Por

otra parte, cuando p  q es V, si q es V, entonces p puede ser V o F; mas para que
p sea V se necesita que q lo sea. Se dice entonces que q es condición necesaria
para p.

Estas condiciones suelen expresarse del siguiente modo:

q si p (condición suficiente)

p sólo si q (condición necesaria)

Ejemplo: La siguiente implicación es V: "Si T es equilátero, entonces T es

isósceles"

En este caso:

p: T es equilátero

q: T es isósceles

p es condición suficiente para q, es decir, que un triángulo sea equilátero es

suficiente para asegurar que sea isósceles. Por otra parte, T es equilátero sólo si
es isósceles; es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea
equilátero.

Sea ahora el bicondicional p  q, es decir (p  q)  (q  p). Si p  q es V,

entonces p  q es V y q p es V. Se tiene, atendiendo a la primera, que
p es condición suficiente para q y, teniendo el segundo condicional, ocurre que p
es condición necesaria para q.

Es decir, si p  q es V, entonces el antecedente p es condición necesaria y

suficiente para el consecuente q. Análogamente, en el caso del bicondicional
verdadero, el consecuente q es también condición necesaria y suficiente para el
antecedente p.

Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de

agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo: ~{
(p  q)  (s  t) }

Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de

verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus
valores de verdad, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley
lógica.

Ejemplo: Si analizamos la proposición t: p  ~ p realizando su tabla

de verdad:

p ~p p~p

V F V

F V V

Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su

negación ~ p, la proposición t: p  ~ p es siempre verdadera. Entonces,
la proposición t es una tautología.

Ejemplo: Analicemos ahora la fórmula lógica { ( p  q )  p }  q

p q p  q q  p { ( p q )  p }  q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

En este caso comprobamos también que independientemente de la

combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el
resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también,
que esta fórmula es una tautología o ley lógica.

Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos

anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las
proposiciones el resultado de dicha fórmula es siempre falso,
decimos que dicha fórmula es una Contradicción.

Ejemplo: Analicemos la fórmula lógica p  ~ p

p ~p p~p

V F F

F V F

Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una

Contradicción.

Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir

que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia.

Ejemplos:

a) (p v q) ↔ (q v p)

“Sí es tautología”

b) ~(p v q) ↔ (~p) ^ (~q)

“Sí es tautología”

c) [(p v q) v r] ↔ [p v (q v r)]

“Sí es tautología”

1.7 Equivalencia e Implicación Lógica

1.7.1 Proposiciones lógicamente equivalentes

Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad

son idénticas. De ser así se denota: p q

Ejemplo: Sea p: p  q, recordamos su tabla de verdad:

 p q pq

V V V

V F F

F V V

F F V

Ahora bien, si analizamos la proposición q: ~ p  q, su tabla de

verdad resulta:

p q ~pq

V V V

V F F

F V V

F F V

Como vemos, luego de realizar las tablas de valor de verdad

encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado
final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente
equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos:

(p  q)  (~ p  q)

Así, se dice que una proposición es equivalente a otra si su

bicondicional es tautología

a) Demostrar si P es lógicamente equivalente a Q:

P ≡ [p → {(p v p) ^ (p ^ q)}]
Q ≡ (p → q)

[p → {(p v p) ^ (p ^ q)}] ↔ (p → q)
“P si es lógicamente equivalente a Q, porque su bicondicional es una
tautología”
 b) Demostrar si P es lógicamente equivalente a Q:
P≡p
Q ≡ {[(~q v q) ^ ~q] v (p ↔ q)}

p ↔ {[(~q v q) ^ ~q] v (p ↔ q)}

“P no es lógicamente equivalente a Q porque su bicondicional no es

una tautología”

1.7.2 Implicación lógica:

Una proposición p implica lógicamente a una proposición q si su

condicional es una tautología:

Ejemplo:

Sea P: (pq)r y Q: p (q  r) , demostrar que P implica

lógicamente a Q:

p q (p  q)  r  p ® (q  r)

V V V V V V V V V

V V V F F V V F F

V F F V V V V V V

V F F V F V V V V

F V F V V V F V V

F V F V F V F V F

F F F V V V F V V

F F F V F V F V V

De donde se observa que P si implica lógicamente a Q debido a que su

condicional es una tautología.

a) Demostrar si P implica lógicamente a Q

P ≡ [(p ^ q) → r]
 Q ≡ [p → (q → r)]

[(p ^ q) → r] → [p → (q → r)]
“P si implica lógicamente a Q, porque su condicional es una
tautología”

b) Demostrar si P implica lógicamente a Q:

P ≡ (p v q) v [(p v q) → (~q ^ p)]

Q ≡ ~(p → q)

(p v q) v [(p v q) → (~q ^ p)] → ~(p → q)

“P no implica lógicamente a Q, porque su condicional no es una
tautología”

1.8 Leyes del álgebra proposicional

Aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no

importa la combinación de los valores de verdad de sus
componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo
proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya
demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla
de verdad, a saber:

Ley de Idem potencia:

P  P <=> P
P  P <=> P

Ley Conmutativa:
P  Q <=> Q  P
P Q <=> Q  P

Ley Distributiva: tiene distinto operador

P  (Q R) <=> (P Q)  (P  R)
P  (Q  R) <=> (P  Q)  (P  R)

Ley Asociativa: tiene el mismo operador

P  (Q  R) <=> P  (Q  R)
P  (Q  R) <=> P  (Q  R)

Ley de D’ Morgan:
~(P  Q) <=> ~P  ~Q
~(P  Q) <=> ~P  ~Q

Ley de Identidad:
P  V <=> P
 P  V <=> V
P  F <=> F
P  F <=> P

Ley de Complemento:
P  ~P <=> F
P  ~P <=> V
~V <=> F
~F <=> V
~(~P) <=> P

Ley de Absorción
P  (P  Q) <=> P
P  (P  Q) <=> P

Otras Leyes de Equivalencia Lógica:

P v Q <=> (P v Q)  ~(P ^ Q) Definición de la disyunción

excluyente (v)
P → Q <=> ~P v Q Definición de condicional (→)
P ↓ Q <=> ~P  ~Q Definición de conjunción
negativa (↓)
P ↔ Q <=> (P → Q)  (Q → P) Definición de bicondicional
(↔)

Ejemplos:

a) ~(p v q) v (p ^ ~q) <=> ~q

~(p v q) v (p ^ ~q) condición inicial
(~p ^ ~q) v (p ^ ~q) ley de D’ Morgan
(~p ^ ~q) v (~q ^ p) ley conmutativa
~q ^ (~p v p) ley distributiva
~q ^ V ley de complemento
~q ley de identidad

b) (~p v q) ^ (~q v ~p) <=> ~p

(~p v q) ^ (~q v ~p) condición inicial
(~p v q) ^ (~p v ~q) ley conmutativa
~p v (q ^ ~q) ley distributiva
~p v F ley de complemento
~p ley de identidad

c) (p v q) ↓ p ≡ ~(~p → q)
(p v q) ↓ p condición inicial
~(p v q) ^ ~p definición de ↓
(~p ^ ~q) ^ ~p ley de D’ Morgan
(~p ^ ~p) ^ ~q ley asociativa
~p ^ ~q ley de idempotencia
 ~(p v q) ley de D’ Morgan
~(~(~p) v q) ley de complemento
~(~p → q) definición de →

d) [(p ↔ q) ↓ q] v q <=> (p ^ ~q) v q

[(p ↔ q) ↓ q] v q condición inicial
{[(p → q) ^ (q → p)] ↓ q} v q definición de ↔
{[(~p v q) ^ (~q v p)] ↓ q} v q definición de →
{~[(~p v q) ^ (~q v p)] ^ ~q} v q definición de ↓
{[~(~p v q) v ~(~q v p)] ^ ~q} v q ley de D’ Morgan
{[(p ^ ~q) v (q ^ ~p)] ^ ~q} v q ley de D’ Morgan y ley de
complemento
[~q ^ (p ^ ~q) v ~q ^ (q ^ ~p)] v q ley distributiva
{[~q ^ ~q) ^ p] v [(~q ^ q) ^ ~p]} v q ley asociativa
{(~q ^ p) v (F ^ ~p)} v q ley de idempotencia y
complemento
{(~q ^ p) v F}v q ley de identidad
(~q ^ p) v q ley de identidad
(p ^ ~q) v q ley conmutativa

e) ~[(p ^ ~q) ^ q]
~[(p ^ ~q) ^ q] condición inicial
~[p ^ (~q ^ q)] ley asociativa
~[p ^ F] ley de complemento
~F ley de identidad
V ley de complemento

f) (p ^ ~q) v q ↔ (p v q)
(p ^ ~q) v q condición inicial
[(p ^ ~q) v q] ^ ~[(p ^ ~q) ^ q] definición de v
[(q v p) ^ (q v ~q)] ^ ~[p ^ (~q ^ q)] ley distributiva y
asociativa
[(q v p) ^ V] ~ [p ^ F] ley de complemento
(q vp) ^ ~ (F) ley de identidad
(q v p) ^ V ley de complemento
qvp ley de identidad
pvq ley conmutativa

Equivalencia e Implicación Lógica

Proposiciones lógicamente equivalentes
Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son
idénticas. De ser así se denota: p q

Ejemplo: Sea p: p  q, recordamos su tabla de verdad:

p q pq

V V V

V F F

F V V

F F V

Ahora bien, si analizamos la proposición q: ~ p  q, su tabla de verdad resulta:

p q ~pq

V V V

V F F

F V V

F F V

Como vemos, luego de realizar las tablas de valor de verdad encontramos que
ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que
ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo
simbolizamos:

(p  q)  (~ p  q)

Así, se dice que una proposición es equivalente a otra si su bicondicional es

tautología

a) Demostrar si P es lógicamente equivalente a Q:

P ≡ [p → {(p v p) ^ (p ^ q)}]
Q ≡ (p → q)
 [p → {(p v p) ^ (p ^ q)}] ↔ (p → q)
“P si es lógicamente equivalente a Q, porque su bicondicional es una tautología”

b) Demostrar si P es lógicamente equivalente a Q:

P≡p
Q ≡ {[(~q v q) ^ ~q] v (p ↔ q)}

p ↔ {[(~q v q) ^ ~q] v (p ↔ q)}

“P no es lógicamente equivalente a Q porque su bicondicional no es una

tautología”