“Año de la universalización de la salud”

“Facultad de Ciencias Económicas”

“Escuela de Economía”

ESTADÍSTICA: LABORATORIO
N°1

Materia: Inferencia Estadística.

Docente: Juan Blas Pérez.
Ciclo: V Ciclo.
Semestre: 2020 – I
Autor:
 David Perales Ladines.

Tumbes – perú
 2020
 DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS POBLACIONALES
CONOCIDAS

EJERCICIO Nº 01:
Se tomaron dos muestras independientes. Para la primera de 42 elementos, la
media= 32.3 y la varianza= 9. La segunda muestra de 57 elementos tenía
media= 34 y varianza= 16.
a) Con un nivel de significancia α = 0.05, pruebe si existe suficiente evidencia
para mostrar que la segunda población tiene una media mayor.
Datos :
1: 2 :
2
n1=42 x́ 1=32.3 σ 1 =9 n2=57
2
x́ 2=34 σ =16
2

Prueba de Hipótesis :
H 0 : u 1 ≤ u2
H 1 :u1 >u 2

α =0.05

Z tab =Z(0.05 ;42+57−2)

Z tab =Z(0.05 ;97)
Z tab =1.645

Estadistico de Prueba :

( 32.3−34 )−( 0 )
Z cal = =−2.42
9 16
√ +
42 57

Grafica:
 Z cal ∈ R . Aceptación

Conclusión: Se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la segunda

población estudiada tiene una mayor o igual población que la primera
población.

EJERCICIO Nº 02:
Dos laboratorios de investigación han producido, de manera independiente,
medicamentos que alivian las molestias de la artritis. El primer medicamento
fue probado en un grupo de 90 personas que sufren la enfermedad y produjo
un promedio de 8.5 horas de alivio, con desviación estándar de 1.8 horas. El
segundo fue probado en 80 artríticos y produjo una media de 7.9 horas de
alivio, con desviación estándar de 2.1 horas. A un nivel de significancia de 0.05,
¿el segundo medicamento proporciona un periodo de alivio significativamente
más corto?
Datos :
Medicina 1: Medicina 2:
n1=90 x́ 1=8.5 n2=80 x́ 2=7.9
2 2
σ 1=1.8 σ 1 =3.24 σ 2 =2.1 σ 2 =4.41

Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1 ≤ u2

H 1 :u1 >u 2

α =0.05 Z tab =Z(0.05 ;90+80−2)

Z tab =Z(0.05 ;168)
Z tab =1.64
 ( 8.5−7.9 )− ( 0 )
Z cal = =1.98
3.24 4.41
√ 90
+
80

Grafica:

Z cal ∈ R . Rechazo
Conclusión: Se concluye con nivel de significancia del 0.05 que el Segundo
medicamento proporciona un alivio en un periodo más corto a comparación del
primer medicamento.

EJERCICIO Nº 03:
En septiembre de 1995, la Confederación Automovilística de las Carolinas
investigó al azar a 75 gasolineras en Carolina del Norte y Carolina del Sur y
determinó que el precio promedio de la gasolina regular sin plomo en las
bombas de autoservicio fue $1.059, con una desviación estándar de 3.9
centavos. Tres meses después, en otra investigación aleatoria de 50
gasolineras, se encontró un precio promedio de $1.089, con una desviación
estándar de 6.8 centavos. A un nivel α = 0.01, ¿cambió significativamente el
precio de la gasolina regular sin plomo en estos dos estados durante estos tres
meses?
Datos :
Investig.1 : Investig. 2:
n1=75 σ 1=3.9 n2=50 σ 2 =6.8
2 2
x́ 1=1059 σ 1 =15.21 x́ 2=1089 σ 2 =46.24
α =0.01
Prueba de Hip ó tesis :
H 0 :u 1=u2

H 1 :u1 ≠ u2

α =0.01 1−α /2=0.995

Estadistico de Prueba :
 Z tab .=Z 1−α/ 2=Z 0.01 =Z 0.995=± 2.58
1−
2

( 1059−1089 )−( 0 )
Z cal = =−28.25
15.21 46.24
√ 75
+
50
Grafica:

Z cal ∈ R . Rechazo

Conclusión: Se concluye con un nivel de significancia de 0.01 que existe

suficiente evidencia para determinar que ambas gasolineras presentan
diferentes precios de gasolina regular sin plomo durante estos tres meses.

EJERCICIO Nº 04:
A pesar de la Ley de Pagos Igualitarios de 1963, en 1993 todavía parecía que
los hombres ganaban más que las mujeres en trabajos similares. En una
muestra aleatoria de 38 operadores varones de máquinas herramienta se
encontró que el salario medio por hora era $11.38, con una desviación
estándar de $1.84. Se tomó una muestra aleatoria de 45 operadoras de
máquinas-herramienta y se obtuvo un salario medio por hora de $8.42, con
desviación estándar de $1.31. Según estas dos muestras, ¿es razonable llegar
a la conclusión (a un nivel  0.01 ) de que los operadores ganan más de $2.00
por hora que las operadoras?
Datos :
Muestra 1: Muestra 2 :
n1=38 n2=45

x́ 1=11.38 x́ 2=8.42

s 1=1.84 s 2=1.31

Prueba de Hipótesis :
 H 0 :u 1−u2 ≤2
H 1 :u1 −u2 >2

α =0.01
Estadistico de Prueba :
( 11.38−8.42 ) −( 2 )
Z cal = =2.69
1.84 2 1.312
√ 38
+
45
Z tab =Z(1−0.01)
Z tab =Z(0.99)
Z tab =2.32

Z cal ∈ R . Rechazo
Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.01 se concluye que existe
suficiente evidencia para afirmar que los operadores ganan más de $2.00 por
hora en contraste con las operadoras.
EJERCICIO Nº 05:
La tienda de descuento Bulls Eye está orgullosa del servicio que presta a sus
clientes. La tienda espera que toda la cadena esté dando el mismo nivel de
servicio de costa a costa, así que encuestaron algunos clientes. En el sureste,
una muestra aleatoria de 97 clientes dio una calificación de la satisfacción
global promedio de 8.8 sobre 10 puntos con desviación estándar de 0.7. En el
noreste, la muestra aleatoria de 84 clientes dio una calificación promedio de 9.0
y la desviación estándar fue 0.6. ¿Puede concluir Bulls Eye, con α =0.05 ,
que los niveles de satisfacción de los clientes en los dos mercados son
significativamente diferentes?
Datos :
Datos 1: Datos 2 :
n1=97 n2=84

x́ 1=8.8 x́ 2=9.0

s 1=0.7 s 2=0.6

Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1=u2
H 1 :u1 ≠ u2

α =0.05
Estadistico de Prueba :
 ( 8.8−9 ) −( 0 )
Z cal = =−2.07
1.80.7 2 0.62
√ 97
+
84
Z tab =Z α
(1− )
2
Z tab =Z(0.975)
Z tab =1.96

Z cal ∈ R . Rechazo

Conclusión: Con un nivel de significancia del 0.05, existe suficiente evidencia

estadística para afirmar que el nivel de satisfacción de los clientes en los dos
mercados estudiados son significativamente diferentes.

EJERCICIO Nº 06:
Block, una compañía fabricante de chips para computadoras, está en proceso
de decidir si sustituye su línea de ensamble semiautomática por otra
completamente automatizada. Block ha reunido algunos datos de pruebas
preliminares acerca de la producción de chips por hora que se resumen en la
tabla siguiente y desea saber si debe actualizar su línea de ensamble.
Establezca (y pruebe con  0.02 ) las hipótesis apropiadas para ayudar a Block
a tomar una decisión. X

Datos :
L. Semiautom á tica :L . Autom á tica :
n1=150

x́ 1=198 n2=200 σ 2 =29

σ 1=32 x́ 2=206

Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1 ≥ u2
H 1 :u1 <u 2

α =0.02
Estadistico de Prueba :
( 198−206 ) −( 0 )
Z cal = =−2.41
322 292
√ +
150 200
 Z tab =Z(1−0.02) Z tab =2.05

Z cal ∈ R . Rechazo

Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.02, existe suficiente evidencia

para afirmar que se debe sustituir la línea de ensamble semiautomática por otra
completamente automatizada.
EJERCICIO Nº 07:
En 1993, el Consejo de Estándares para Contabilidad Financiera (CECF)
consideró una propuesta para requerir que las compañías informaran el efecto
potencial de la opción de compra de acciones de los empleados sobre los
ingresos por acción (IPA). Una muestra aleatoria de 41 empresas de alta
tecnología (AT) reveló que la nueva propuesta reduciría el IPA en un promedio
del 13.8%, con una desviación estándar del 18.9%. Una muestra aleatoria de
35 productores de bienes de consumo (BC) mostró que la propuesta reduciría
el IPA en 9.1% en promedio, con desviación estándar del 8.7%. Con base en
estas muestras, ¿es razonable concluir (para α = 0.10) que la propuesta de la
CECF causaría una mayor reducción en el IPA para las empresas de alta
tecnología que para los productores de bienes de consumo?
Datos :
Alta Tecnolog í a : Bienesde consumo:
n1=41 n2=35

x́ 1=13.8 %=0.138 x́ 2=9.1 %=0.091

2 2
σ 1 =18.9%=0.189 σ 2 =8.7 %=0.087
α =0.10
Prueba de Hipótesis :
H 0 :u A ≤u B

H a :u A >u B

α =0.05 1−α =0.90

Estadistico de Prueba :
2 2
σ1 σ 2
+
n 1 n2
√(¿)
( x́ 1− x´2 ) −( K )
Z cal = ¿
 0.189 0.087
+
41 35
√(¿)=0.558
( 0.138−0.091 )− ( 0 )
Z cal =
¿

Z tab .=Z 1−α =Z1−0.10 =Z 0.90=1.29

Z cal ∈ R . Aceptaci ó n

Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.1 se puede concluir que la

propuesta causaría una reducción mayor para las empresas de altas
tecnologías que para los productores de bienes de consumo.
EJERCICIO Nº 08:
Estudios realizados sobre los hábitos de venados de cola blanca indican que
éstos viven y se alimentan en praderas muy limitadas, aproximadamente de
150 a 205 acres. Para determinar si difieren las praderas de venados situadas
en dos zonas geográficas diferentes, los investigadores atraparon, marcaron y
pusieron pequeños radiotransmisores a 40 venados. Varios meses después los
venados fueron rastreados e identificados y se registró la distancia y desde el
punto en que fueron soltados. La media y la desviación estándar de las
distancias desde el punto en que fueron soltados se muestran en la siguiente
tabla.

 Si usted no tiene una razón preconcebida para creer que una media
poblacional es más grande que la otra, ¿qué seleccionaría para su
hipótesis alternativa? ¿Y para su hipótesis nula?
 ¿Su hipótesis alternativa del inciso a implicaría una prueba de una cola o
de dos colas? Explique.
 ¿Sus datos brindan suficiente evidencia para indicar que las distancias
medias difieren para los dos lugares geográficos? α =0.10.
Datos :

Ubic 1 :n1=40 x́ 1=2980 σ 1=1140

Ubic 2 :n1=40 x́ 1=2980 σ 1=963

Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1=u2

H a :u1 ≠ u2

α=0.10
 Estadistico de Prueba :
2 2
σ1 σ 2
+
n 1 n2
√(¿)
( x́ 1− x´2 ) −( K )
Z cal = ¿

1140 2 9632
+
40 40
√(¿)=0
( 2980−2980 )− ( 0 )
Z cal = ¿

Z tab .=−Z α =−Z 0.95=−1.645

1−
2

Z tab .=Z α =Z 0.95 =+1.645

1−
2

Z ∈ R . Aceptaci ó n
Conclusión: Concluimos con un nivel de significancia de 10% que la extensión
de venados es igual.
 H 0 : Existe diferencia en la extensi ó n de ambas praderas .
 H a : Existe igualdad en la extensi ó n de ambas praderas .
 Es una gr á fica de dos colas.
EJERCICIO Nº 09:
Durante la temporada 2003, las grandes ligas de béisbol tomaron medidas para
acelerar el juego en los partidos con objeto de mantener el interés de los
aficionados (CNN Headline News, 30 de septiembre de 2003). Los resultados
siguientes se obtuvieron de una muestra de 60 partidos jugados en el verano
de 2002 y de una muestra de 50 celebrados en el verano de 2003. La media
muestral proporciona la duración media de los juegos que formaron parte de
cada muestra.
 Datos :
Temporada 2002:
n1=60 x´1=2 hr , 52min

Temporada 2003:
n1=50 x´1=2 hr , 46 min

 La hipótesis de investigación consistió en plantear que las disposiciones

tomadas en la temporada 2003 reducirían la duración media poblacional
de los juegos de beisbol. Formule las respectivas hipótesis
 Datos de estudios anteriores indican que, para ambos años, la
desviación estándar poblacional fue 12 minutos. Utilizando como nivel
de significancia 0.05, ¿cuál es su conclusión?
 Proporcione una estimación por intervalo de 95% de confianza de la
reducción en la duración media de los partidos en la temporada 2003.
 ¿Cuál es la reducción porcentual en la duración media de los partidos de
beisbol en la temporada 2003?
 ¿Estarán satisfechos los directivos con los resultados del análisis
estadístico? Analice. En los años por venir, ¿seguirá siendo un problema
la duración de los juegos de beisbol? Explique.
Datos :
Temporada 2002: Temporada 2003 :
n1=60 n2=50

x́ 1=2 hr ,52 min x́ 2=2 hr , 46 min

σ 1=12 σ 2 =12
2 2
σ 1 =144 σ 2 =144
Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1 ≤ u2
H 1 :u1 >u 2

α =0.05 Z tab =Z(1−0.95)=Z(0.05) =¿ 1.645

Estadistico de Prueba :
( 172−166 )−( 0 )
Z cal = =2.61
144 144
√ +
60 50
 Z ∈ R . Rechazo

Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.05 se concluye que la temporada

2002 tiene mayor duración que la temporada 2003

 Proporcione una estimación por intervalo de 95% de confianza de la

reducción en la duración media de los partidos en la temporada 2003.
σ 21 σ 21 σ 21 σ 21
2√ 2 √
( x 1−x 2 )−Z ∝ n + n < μ1 −μ 2< ( x 1−x 2) + Z ∝ n + n
1 2 1 2

( 172−166 )−Z 0.05 144 + 144 < μ1−μ2 < ( 172−166 )+ Z 0.05 144 + 144
2 √ 60 50 √
2 60 50

2 33 2 33
( 6 ) −1.96 √ < μ1 −μ 2< ( 6 ) +1.96 √
5 5
1.496< μ1−μ 2<10.503

 ¿Cuál es la reducción porcentual en la duración media de los partidos de

béisbol en la temporada 2003? ¿Estarán satisfechos los directivos con los
resultados del análisis estadístico? Analice. En los años por venir, ¿seguirá
siendo un problema la duración de los juegos de béisbol? Explique.
x 2−x 1 166−172
= =−0.034
x2 172

 La reducción porcentual en la duración media de los partidos de béisbol en

la temporada 2003 es de 3.4%, si ya que se aceleraron los partidos y ese
era su objetivo para mantener el interés de los aficionados. Si se continúa
con la reducción de la duración de los juegos esto ya no seguiría siendo un
problema.
EJERCICIO Nº 10:
¿Optimizar el servicio al cliente redunda en precios más altos de las acciones
de las empresas que ofrecen el mejor servicio? “Los estudios revelan que,
cuando mejora el nivel de satisfacción de una compañía con respecto al de
años anteriores y queda por arriba del promedio nacional (actualmente 75.7),
sus acciones tienen una buena posibilidad de superar al grueso del mercado de
valores a largo plazo” (BusinessWeek, 2 de marzo de 2009). Los siguientes
niveles de satisfacción de tres empresas en el 4o. trimestre de 2007 y 2008 se
obtuvieron del índice estadounidense de satisfacción del cliente. Asuma que
esas calificaciones se basan en un estudio de 60 consumidores de cada firma.
Como el estudio se realizó por varios años, se puede asumir que la desviación
estándar es igual a 6 puntos en cada caso.
 En el caso de Rite Aid, ¿el incremento en la calificación de la satisfacción de
2007 a 2008 es estadísticamente significativo? Utilice α 0.05. ¿Cuál es su
conclusión?
 ¿Puede concluir que la calificación de 2008 en el caso de Rite Aid está por
arriba del promedio nacional de 75?7? Utilice α 0.05.
Datos :
Muestra 1 Muestra 2
n1=60 n2=60

x́ 1=73 x́ 2=76

σ 1=6 σ 2 =6
2 2
σ 1 =36 σ 2 =36
Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1 ≤ u2

H 1 :u1 >u 2

α =0.05 1−α =0.95

Estadistico de Prueba :

( 73−76 ) −( 0 )
Z cal = =−2.74
a. 36 36
√ +
60 60

 α =0.05 1−α =0.95

76−75.5
Z cal = =0.645
6
√ 60
Z tab .=Z 1−α =Z1−0.05 =Z 0.95=1.65
 Z ∈ R . Aceptaci ó n
Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.05 es razonable concluir que la
calificación en el caso de Rite Aid en el 2008 está por arriba del promedio
nacional de 75.7.
EJERCICIO Nº 11:
¿Los sueldos de las enfermeras en Tampa, Florida, son más bajos que en
Dallas, ¿Texas? La información de sueldos muestra que el personal de
enfermería en Tampa gana menos que el de Dallas (The Tampa Tribune, 15 de
enero de 2007). Suponga que en un estudio de seguimiento de 40 enfermeras
en Tampa y 50 en Dallas se obtuvieron los siguientes resultados.

a) Los sueldos de las enfermeras en Tampa son significativamente más bajos

que en Dallas. Use α 0.05. ¿A qué conclusión llega?

Datos :
Muestra 1: Muestra 2 :
n1=40 n2=50

x́ 1=56100 x́ 2=59400

σ 1=6000 σ 2 =7000
2 2
σ 1 =36000000 σ 2 =49000000
Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1 ≥ u2

H 1 :u1 <u 2
 α =0.05 1−α =0.95
( 56100 – 59400 )−( 0 )
Z cal = =−2.4067
36000000 49000000
√ 40
+
50
Z tab .=Z 1−α =Z1−0.05 =Z 0.95=1.65

Z ∈ R . Rechazo
Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.05 podemos concluir que los
sueldos de las enfermeras en Tampa son más bajos que en Dallas.
EJERCICIO Nº 12:
Las lesiones entre los jugadores de las grandes ligas de beisbol han
aumentado en los últimos años. La expansión de las ligas, de 1992 a 2001,
hizo que la lista de jugadores se incrementará 15%. Sin embargo, la cantidad
de beisbolistas en la lista de inhabilitados a causa de una lesión aumentó 32%
en ese mismo periodo (USA Today, 8 de julio de 2002). Una cuestión a
investigar es si los jugadores de las grandes ligas permanecían en la lista de
lesionados más tiempo en 2001 que quienes estaban en esa lista una década
antes.
a) Con la media poblacional de la cantidad de días que permanecía un jugador
en la lista de inhabilitados, formule las hipótesis nula y alternativa que se
pueden usar para probar la cuestión a investigar. Tome los siguientes datos.
¿Cuál es la estimación puntual de la diferencia entre las medias poblacionales
de la cantidad de días en la lista de inhabilitados de 2001 comparado con la de
1992? ¿Cuál es el porcentaje de incremento en el número de días en esta
lista? c) Use α 0.01. ¿Cuál es su conclusión acerca de la cantidad de días en la
lista de inhabilitados? ¿Cuál es el valor-p? d) ¿Estos datos sugieren que las
Grandes Ligas deben preocuparse por la situación?
Datos :
Temporada 2001Temporada 1992
n1=45 n2=38
x́ 1=60 x́2 =51
S 1=18 S 2=15

Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1< u2

H 1 :u1 ≥ u2

α =0.01 1−α =0.99

( 60−51 )−( 0 )
Z cal = =2.48
182 152
√ +
45 38
 Z tab .=Z 1−α =Z1−0.01=Z 0.99=2.33

Z ∈ R . Rechazo
Conclusión: Con un nivel de significancia del 0.01, existe suficiente evidencia
para afirmar que los jugadores de las grandes ligas permanecían en la lista de
lesionados el mismo o menor tiempo en 2001 que quienes estaban en esa lista
una década antes.

 DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS POBLACIONALES

DESCONOCIDAS

EJERCICIO Nº 01:
Para indagar si un nuevo suero frena el desarrollo de la leucemia, se
seleccionan 9 ratones, todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco
ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de supervivencia, en
años, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes:
Con tratamiento: 2.1,5.3, 1.4, 4.6, 0.9
Sin tratamiento: 1.9, 0.5, 2.8, 3.1

¿Se puede decir en el nivel de significancia de 0.05 que el suero es efectivo?

Suponga que las dos distribuciones se distribuyen de forma normal con
varianzas iguales.

Datos :
Contratamiento : sin tratamiento :
n1=5 n2=4

x́ 1=2.85 x́ 2=2.075

s 1=1.970532923 s 2=1.167261753
2 2
s 1=3.883 s 2=1.3625

Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1 ≤ u2
H a :u1> u2
 α =0.05

Estadistico de Prueba :

1 1
+
5 4
√2.803(¿)=0.69
( 2.85−2.075 ) −( 0 )
T cal=
¿
( 5−1 ) 3.883+ ( 4−1 ) 1.3625
s 2p= =2.803
7
T tab =T (0.05 ;5 +4−2)
T tab =1.895

H
Decisión: Se acepta la 0 .
Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.05 podemos dar evidencia que el
suero es efectivo.

EJERCICIO Nº 02:
Una compañía grande armadora de automóviles trata de decidir si compra
llantas de la marca A o de la B para sus modelos nuevos. Para ayudar a tomar
una decisión, se realiza un experimento en donde se usan 12 llantas de cada
marca. Las llantas se utilizan hasta que se acaban. Los resultados son:

Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia en el desgaste promedio de las 2

marcas de llantas. Suponga que las poblaciones se distribuyen de forma
aproximadamente normal con varianzas iguales.
Datos :
Marca A : Marca B :
n1=12 n2=12

x́ 1=37900 x́ 2=39800
 s 1=5100 s 2=5900
2 2
s 1=26010000 s 2=34810000

Prueba de Hipótesis :
H 0 : u 1 ≤ u2

H a : u1> u2

α =0. 05

Estadistico de Prueba :

1 1
+
12 12
√ 30410000(¿)=−0.844
( 37900−39800 ) −( 0 )
T cal=
¿

( 12−1 ) 26010000+ ( 12−1 ) 34810000

s 2p= =30410000
22
T tab =t 0.05
( ;12+12−2)
2
T tab =T (0.025 ;22)
T tab =2.074

H
Decisión: Se acepta la 0 .
Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.05 se puede dar evidencia que
las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con
varianzas iguales.

EJERCICIO Nº 03:
Un investigador de la UCLA afirma que la vida promedio de un ratón se puede
prolongar hasta 8 meses más cuando las calorías en su dieta se reducen en
aproximadamente 40% desde el momento en que se destetan. Las dietas
restringidas se enriquecen a niveles normales con vitaminas y proteína.
Suponga que se alimenta a una muestra aleatoria de 10 ratones con una dieta
normal y tiene una vida promedio de 32.1 meses con una desviación estándar
de 3.2 meses; mientras que una muestra aleatoria de 15 ratones se alimenta
con la dieta restringida y viven un promedio de 37.6 meses con una desviación
estándar de 2.8 meses. Con un nivel de significancia de 0.05 pruebe la
hipótesis de que la vida promedio de los ratones con esta dieta restringida
aumenta 8 meses contra la alternativa de que el aumento es menor que 8
meses. Suponga que las distribuciones de las vidas con las dietas regular y
restringida son aproximadamente normales con varianzas iguales.
Datos :

D . Normal : D . Restringida:
n1=10 n2=15

x́ 1=32.1 x́ 2=37.6
2 2
s 1=3.2 s 2=2.8
Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1−u2 ≤8

H a : u1−u2 >8

α =0. 05
Estadistico de Prueba :
1 1
+
10 15
√ 2.9565(¿)=−19.23182
( 32.1−37.6 )−( 8 )
T cal=
¿
( 10−1 ) 3.2+ ( 15−1 ) 2.8
s 2p= =2.9565
10+15−2
T tab =t (0.05,10 +15−2 )
T tab =T (0.05 ;23)
T tab =1.714
H0
Decisión: Se acepta la .
Conclusión: Con un nivel de significancia del 0.05 se concluye que la vida
promedio de los ratones con una dieta restringida aumenta en 8 meses.

EJERCICIO Nº 04:
El Departamento de Zoología del Instituto Politécnico y Universidad Estatal de
Virginia llevó a cabo un estudio, para determinar si hay una diferencia
significativa en la densidad de organismos en dos estaciones diferentes
ubicadas en Cedar Run, un río secundario que se localiza en la cuenca del río
Roanoke. El drenaje de una planta de tratamiento de aguas negras y el sobre
flujo del estanque de sedimentación de la Federal Mogul Corporation entran al
flujo cerca del nacimiento del río. Los siguientes datos dan las medidas de
densidad, en número de organismos por metro cuadrado, en las dos diferentes
estaciones colectoras:
  ¿Con un nivel de significancia de 0,05 podemos concluir que son
iguales las densidades promedio en las dos estaciones? Suponga que
las observaciones provienen de poblaciones normales con varianzas
diferentes.
Datos :
Estacion1 : Estacion 2:
n1=16 n2=12

x́ 1=9710 x́ 2=4120.833

s 21=64534560 s 22=6147935.606
Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1=u2

H a :u1 ≠ u2

α =0. 05
Estadistico de Prueba :
1 1
+
16 12
√ 39832526.6(¿)=2.3193
( 9710−4120.83 )−( 0 )
T cal=
¿
( 16−1 ) 64534560+ ( 12−1 ) 6147935.606
s 2p= =39832526.6
16+ 12−2
T tab =t 0.05
( ;16+ 12−2)
2
T tab =T (0.025 ;22)
T tab =2.056

IC :
 39832526,18 39832526.18 39832526,18 39832526.18
P  (9710  4120,833)  2, 056(  U1  U 2 (9710  4120,833)  2, 056( 
 16 12 16 12

P  633,861 U1  U 2 10544, 473

H0
Decisión: Se rechaza la .
Conclusión: Con un nivel de significancia del 0.05 se concluye que no son
iguales las densidades del promedio.

EJERCICIO Nº 05:
En un estudio realizado en el Instituto Politécnico y Universidad Estatal de
Virginia, se compararon los niveles de ácido ascórbico en plasma en mujeres
embarazadas fumadoras contra las no fumadoras. Para el estudio se
seleccionaron 32 mujeres en los últimos tres meses de embarazo, libres de
padecimientos importantes y con edades de entre 15 y 32 años. Antes de tomar
las muestras de 20 ml de sangre, a las participantes se les solicitó ir en ayunas,
no consumir sus complementos vitamínicos y evitar comidas con alto contenido
de ácido ascórbico. De las muestras de sangre se determinaron los siguientes
valores, en miligramos por 100 mililitros, de ácido ascórbico en plasma de cada
mujer:

 ¿Existe suficiente evidencia para concluir que hay una diferencia entre
los niveles de ácido ascórbico en plasma entre fumadoras y no
fumadoras? Suponga que los dos conjuntos de datos provienen de
poblaciones normales con varianzas diferentes.
Datos :
No Fumadores : Fumadores :
n1=24 n2=8

x́ 1=0.916 x́ 2=0.976
2 2
s 1=0.046 s 2=0.153
Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1=u2

H a :u1 ≠ u2

α =0. 05
Estadistico de Prueba :
 ( 0.916−0.976 )−( 0 )
Z cal = =−0.414
0.046 0.153
√( 24
+
8)( )
Z tab .=Z α =Z α =Z 0.975=1.96
1− 1−
2 2

H0
Decisión: Se acepta la .
Conclusión: Con un nivel del 0.05 concluimos que no existe diferencia entre los
niveles de ácido absórdico en el plasma entre fumadoras y no fumadoras.
EJERCICIO Nº 06:
Una firma comercializadora está interesada en vender arroz embolsado por
kilos que tenga el menor porcentaje de granos quebrados. Recibe el informe de
dos molineras Ay B que afirman tener el mejor arroz arroz embolsado con el
más bajo porcentaje de granos quebrados por kilo. Para tomar la decisión
estadística se selecciona una muestra aleatoria de 10 y 9 bolsas de arroz de un
kilo de las molineras A y B respectivamente y se encuentran los siguientes
porcentajes de granos quebrados por kilo:

A: 6 5 6 7 4 7 6 4 3 6
B: 7 6 7 9 5 8 7 6 8
Utilizando un nivel de significancia del 5% y suponiendo poblaciones normales.

Datos :
Datos A : Datos B :
n1=10 n2=9

x́ 1=5.4 x́ 2=7

s 21=1.822 s 22=1.5
Prueba de Hipótesis :
H 0 :u 1=u2

H a :u1 ≠ u2

α =0. 05
Estadistico de Prueba :
1 1
+
10 9
√ 1.67(¿)=−2.69467
( 5.4−7 )− ( 0 )
T cal=
¿
 ( 10−1 ) 1.822+ ( 9−1 ) 1.5
s 2p= =1.67
10+ 9−2
T tab =t 0.05
( ;10+ 9−2)
2
T tab =T (0.025 ;17)
T tab =2.110

EJERCICIO Nº 07:
El administrador de una compañía de taxis trata de decidir si el uso de llantas
radiales en lugar de llantas regulares cinturadas mejora la economía de
combustible. Se equipan 12 automóviles con llantas radiales y se manejan
durante un recorrido de prueba preestablecido. Sin cambiar a los conductores,
los mismos automóviles se equipan con llantas regulares cinturadas y se
manejan otra vez en el recorrido de prueba. El consumo de gasolina, en
kilómetros por litro,
se registró de la
siguiente manera:

¿Podemos concluir que los automóviles equipados con llantas radiales dan una
economía de combustible mejor que aquellos equipados con llantas
cinturadas? Suponga que las poblaciones se distribuyen normalmente.
Datos :
Llantas Radiales Llantas regulares cinturadas

n1 12 n2 12
x1 5.75 x2 5.6083
s1 1.05270 s2 0.95172
 0, 05

Prueba de Hipótesis :
 H 0 : 1  2
H1 : 1  2

Ttab T(0.05,22)
Ttab 2.074
Estadistico de Prueba :

(12  1)(1.05270) 2  (12  1)(0.99404) 2

S p2 
12  12  2
23.05922
S p2 
22
2
S p 1.04815

5.75  5.6083  (0)

Tcal 
1 1
(1.04815)(  )
12 12
0.14167
Tcal 
0.17469
Tcal 0.33895

H
Decisión: Se acepta la 0 .
Conclusión: Existe suficiente información para concluir con un 0.05 de
significancia que los automóviles equipados con llantas radiales y los
automóviles equipados con llantas regulares cinturadas otorgan el mismo
rendimiento del combustible.
EJERCICIO Nº 08:
En un estudio realizado por el Departamento de Nutrición Humana y Alimentos
del Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia, se registraron los
siguientes datos acerca de la comparación de residuos de ácido sórbico, en
partes por millón, en jamón inmediatamente después de sumergirlo en una
solución de ácido
y después de 60 días
de

almacenamiento:
Si se supone que las poblaciones se distribuyen normalmente, ¿hay suficiente
evidencia, al nivel de significancia de 0.05, para decir que la duración del
almacenamiento influye en las concentraciones residuales de ácido sórbico?
Datos :
Antes del Almac . Despues del almac .

n1 8 n2 8
x1 583.5 x2 384.875
s1 370.81647 s2 225.79348
 0.05
Prueba de Hipótesis :

H 0 : 1 2
H1 : 1 2

Ttab T(0.05,14)
Ttab 2.145
Estadistico de Prueba :

(8  1)(370.81647) 2  (8  1)(225.79348) 2
S p2 
8 8  2
1319412.85
S p2 
14
2
S p 92243.77502
 583.5  384.875  (0)
Tcal 
1 1
(92243.77502)(  )
8 8
198.625
Tcal 
151.858302
Tcal 1.30796

H
Decisión: Se acepta la 0 .
Conclusión: Existe suficiente evidencia para concluir con un 0.05 de
significancia que la duración de almacenamiento no influye en las
concentraciones de ácido sórbico
EJERCICIO Nº 09:
Fidelity Magellan es un fondo de inversión de capital grande y Fidelity Small
Cap Stock lo es de capital pequeño (Morningstar Funds 500, 2006). La
desviación estándar de ambos fondos se calculó empleando muestras
aleatorias de tamaño 26. La desviación estándar muestral de Fidelity Magellan
resultó de 8.89% y la de Fidelity Small Cap Stock de 13.03%. Los analistas
financieros suelen usar la desviación estándar como una medida del riesgo.
Realice una prueba de hipótesis para determinar si los fondos de capital
pequeño son más riesgosos que los de capital grande. Utilice α = 0.05 como
nivel de significancia.
Datos :
Datos 1 Datos 2

nM 26 nS 26
sH 0.0889 sN 0.1303

Prueba de Hipótesis :
H 0 :  21  2 2
H1 :  21   2 2

 0.05  Ftab F(1  ;n1  1;n2  1) F(0.95,25,25) 1.955

Estadistico de Prueba :

S12 (0.889) 2
Fcal  2  46.55
S 2 (0.1303) 2

H
Decisión: Se rechaza la 0 .
Conclusión: Se concluye con un 0.05 de significancia que los fondos de capital
mayor son más riesgosos que los de capital menor.
EJERCICIO Nº 10:
Una hipótesis de investigación sostiene que la varianza de las distancias de
frenado de los automóviles sobre pavimento húmedo es mayor que la varianza
de las distancias de frenado sobre pavimento seco. En un estudio de 16
automóviles desplazándose a una misma velocidad, se les hizo frenar sobre
pavimento húmedo y después sobre pavimento seco. En el primer caso la
desviación estándar de las distancias de frenado fue de 32 pies. Sobre
pavimento seco fue de 16 pies. a) Con 0.05 como nivel de significancia, ¿los
datos muestrales justifican la conclusión de que en las distancias de frenado
sobre pavimento húmedo la varianza es mayor que sobre pavimento seco?
b) ¿Qué significan las conclusiones estadísticas de este estudio en términos de
las recomendaciones para la seguridad al manejar?
Datos :
Datos 1 Datos 2

n1 16 n2 16
s1 32 s2 16

Prueba de Hipótesis :

H 0 :  21  2 2
H1 :  21   2 2

 0.05  Ftab F(1  ;n  1;n 1 2  1)

F(0.95,15,15) 2.40
Estadistico de Prueba :

S12 (32) 2
Fcal   4
S 22 (16) 2

H
Decisión: Se rechaza la 0 .
Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.05 se concluye que las
distancias de frenado sobre pavimento húmedo son menores que sobre
pavimento seco.
EJERCICIO Nº 11:
¿Cómo se compara la absorción de energía con el consumo de energía? Un
aspecto de este tema se consideró en el artículo “Measurement of Total Energy
Expenditure by the Doubly Labelled Water Method in Professional Soccer
Players” (J. of Sports Sciences, 2002: 391-397), el cual contiene los datos
adjuntos (MJ/día)
Pruebe si existe una diferencia significativa entre absorción y consumo.
¿Depende la conclusión de si se utiliza un nivel de significación de 0.05, 0.01 o
0.001?
 Datos :
n1 7 n2 7
x1 14.786 x2 13.029
s12 2.951 s22 5.896

 0.05
Prueba de Hipótesis :
H 0 : u1 u2
H1 : u1 u2

Estadistico de Prueba :

(14.786  13, 029)

Tcal . 
1 1
15.583(  )
7 7

(7  1)2.951  (7  1)5.896
Sp  15.583
77 2
Tcal . 0.832

Ttab. T 0.05
( ;7 7  2)
2

ttab. t(0.025;12) 2.179

H
Decisión: Se acepta la 0 .
Conclusión: No existe diferencia entre absorción y consumo.

EJERCICIO Nº 12:
Los siguientes datos se refieren a la cuenta de bacterias transportadas por el
aire (número de colonias/pie3) tanto para m 8 cuartos de hospital alfombrados
como para n 8 cuartos no alfombrados (“Microbial Air Sampling in a Carpeted
Hospital”, J. Environmental Health, 1968: 405). ¿Parece haber una diferencia
en el conteo de bacterias promedio verdadero entre cuartos alfombrados y no
alfombrados?

Suponga que posteriormente se dio cuenta que los cuartos alfombrados

estaban en un hospital de veteranos, en tanto que los no alfombrados estaban
en un hospital infantil. ¿Sería capaz de evaluar el efecto del alfombrado?
Comente
Datos :
n1=8 n2=8

x́ 1=11.2 x́ 2=9.7875

s 1=2.6774 s 2=3.21000

Prueba de Hipótesis :
H 0 : μ 1=μ2

H a :μ 1 ≠ μ2

α =0.05
Estadistico de Prueba :
2.6774
3.21
(¿¿ 2)
(¿¿ 2)+ ( 8−1 ) =8.73629
8+8−2
( 8−1 ) ¿
S 2p=¿

( 11.2−9.7875 )−( 0 )
T cal= =0.95577
1 1
√ ( )
( 8.73629 ) +
8 8

T tab =T (14,0.025) =2.145

Fcal ∈ R . A ceptación

Decisión: Existe suficiente información para concluir que los automóviles

equipados con llantas radiales y los automóviles equipados con llantas
regulares cinturadas dan el mismo rendimiento del combustible.
  DIFERENCIA DE PROPORCIONES
EJERCICIO Nº 01:
Un experto en marketing de una compañía fabricante de pasta considera que
40% de los amantes de la pasta prefieren la lasagna. Si 9 de 20 amantes de la
pasta eligen lasagna sobre otras pastas, ¿qué se puede concluir acerca de la
afirmación del experto? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Datos :
p=0.40
x=9
n=20
x 9
¿ = =0.45
n 20

Prueba de Hipótesis :
H 0 : P=0.40

H a :P ≠ 0.40

α =0.05
Estadistico de Prueba :
0.45−0.40
Z cal = =0.456
0.40 ×0.60
√ 20
Z tab =± Z 1−α =± Z 1−0.05=± Z 0.95=± 1.64

Decisión: Con un 0.05 de significancia que existe suficiente información para

concluir que lo que afirmo el experto en marketing sobre la preferencia de los
amantes de las pastas es falso.
EJERCICIO Nº 02:
Suponga que, en el pasado, 40% de todos los adultos favorecían la pena
capital. ¿Tenemos razón para creer que la proporción de adultos que
actualmente favorecen la pena capital ha aumentado si, en una muestra
aleatoria de 15 adultos, 8 están a favor de la pena capital? Utilice un nivel de
significancia de 0.05.

Datos :
p=0.40
x=8
 n=15
x 8
¿ = =0.53
n 15

Prueba de Hipótesis :
H 0 : P=0.40

H a :P> 0.40

α =0.05
Estadistico de Prueba :
0.53−0.40
Z cal = =1.028
0.40 ×0.60
√ 15
Z tab =Z1−α =Z 1−0.05=Z 0.95=1.64

H0
Decisión: Se acepta la .
Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.05 se afirma que la proporción
de adultos que favorece la pena capital permanece igual.
EJERCICIO Nº 03:
Una compañía petrolera afirma que un quinto de las casas en cierta ciudad se
calienta con petróleo. ¿Tenemos razón para creer que menos de 1/5 se
calientan con petróleo si, en una muestra aleatoria de 1000 casas en esta
ciudad, se encuentra que 136 se calientan con petróleo?

Datos :
p=0.2
x=136
n=1000
x 136
¿ = =0.136
n 1000

Prueba de Hipótesis :
H 0 : P=0.2

H a :P< 0.2

α =0.05
 Estadistico de Prueba :
0.136−0.2
Z cal = =−5.06
0.2 ×0.8
√ 1000
−Z tab =−Z 1−α =−Z 1−0.05=−Z 0.95=−1.64

H0
Decisión: Se rechaza la .
Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.05 se afirma que un quinto de la
población calienta sus casas con petróleo.
EJERCICIO Nº 04:
En cierta universidad se estima que a lo más 25% de los estudiantes van en
bicicleta a la escuela. ¿Ésta parece ser una estimación válida si, en una
muestra aleatoria de 90 estudiantes universitarios, se encuentra que 28 van en
bicicleta a la escuela? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Datos :
p=0.25
x=28
n=90
x 28
¿ = =0.311
n 90

Prueba de Hipótesis :
H 0 : P ≤ 0.25

H a :P> 0.25

α =0.05
Estadistico de Prueba :
0.311−0.25
Z cal = =1.336
0.25 ×0.75
√ 90
Z tab =Z1−α =Z 1−0.05=Z 0.95=1.64

H0
Decisión: Se acepta la .
Conclusión: La estimación realizada por la universidad es válida pues a lo más
25% de los estudiantes van en bicicleta a la escuela.
EJERCICIO Nº 05:
Una comunidad urbana quiere demostrar que la incidencia de cáncer de seno
es mayor en ella que en un área rural vecina. (Se encontró que los niveles de
PCB son más altos en el suelo de la comunidad urbana.) Si se encuentra que
20 de 200 mujeres adultas en la comunidad urbana tienen cáncer de seno y 10
de 150 mujeres adultas en la comunidad rural tienen cáncer de seno,
¿podríamos concluir con un nivel de significancia de 0.05 que este tipo de
cáncer prevalece más en la comunidad urbana?
Datos :
Area UrbanaVecina: Á rea Rural Vecina:
n1=200 n2=150

X 1=20 X 2=10

p1=0.1 p2=0.067

Prueba de Hipótesis :
H 0 : P1 ≤ P 2

H a :P 1> P2

α =0.05
Estadistico de Prueba :
200 ×0.1+150 ×0.067
P=
200+150
p=0.0859 q=0.9141

0.1−0.067
Z cal =
0.0859× 0.9141 0.0859 ×0.9141
√ 200
+
150
Z cal =1.0903

Z tab =Z1−α =Z 1−0.05=Z 0.95=1.64

Z cal ∈ R . A

Decisión: Concluimos con un 0.05 de significancia que la incidencia de cáncer

de senos es mayor en la comunidad rural que en la comunidad urbana.
EJERCICIO Nº 06:
En un invierno con epidemia de gripe, una compañía farmacéutica bien
conocida estudió a 2000 bebés, para determinar si el nuevo medicamento de la
compañía era eficaz después de dos días. Entre 120 bebés que tenían gripe y
se les suministró el medicamento, 29 se curaron dentro de dos días. Entre 280
bebés que tenían gripe pero que no recibieron el fármaco, 56 se cura ron
dentro de dos días. ¿Hay alguna indicación significativa que apoye la
afirmación de la compañía de la efectividad del medicamento?

Datos :
Muestra 1: Muestra 2:
n1=120 n2=280

X 1=29 X 2=53

p1=0.24 p2=0.2

Prueba de Hipótesis :
H 0 : P1 ≤ P 2

H a :P 1> P2

α =0.05
Estadistico de Prueba :
120 ×0.24+ 280× 0.2
P=
120+280
p=0.212 q=0.788

0.24−0.2
Z cal =
0.212× 0.788 0.788 × 0.212
√ 120
+
280
Z cal =0.896951

Z tab =Z1−α =Z 1−0.05=Z 0.95=1.64

Z cal ∈ R . A ceptación

Decisión: Con un nivel de significancia de 0.05 se puede concluir que el

medicamente suministrado por la compañía no fue tan eficaz en el intervalo de
dos días.
EJERCICIO Nº 07:
Se considera un nuevo dispositivo de radar para cierto sistema de misiles de
defensa. El sistema se verifica experimentando con aeronaves reales, en las
cuales se simula una situación de muerte o de sin muerte. Si en 300 pruebas
ocurren 250 muertes, acepte o rechace, con un nivel de significancia de 0.05, la
afirmación de que la probabilidad de una muerte con el sistema nuevo no
excede la probabilidad de 0.8 del sistema existente.

Datos :
n=300
X =250
p=0.83
q=0.17
Prueba de Hipótesis :
H 0 : P1 ≤ 0.8

H a :P 1> 0.8

α =0.05
Estadistico de Prueba :
0.83−0.80
Z cal =
0.83 ×0.17
√ 300
Z cal =1.383

Z tab =Z1−α =Z 1−0.05=Z 0.95=1.64

Z cal ∈ R . A ceptación

Decisión: Con un 0.05 de significancia concluimos que la probabilidad de una

muerte con el sistema nuevo no excede la probabilidad de 0.8 del sistema
existente.

 RAZÓN DE DOS VARIANZAS

EJERCICIO Nº 01:
Se realiza un estudio para comparar la longitud de tiempo entre hombres y
mujeres para ensamblar cierto producto. La experiencia indica que la
distribución de los tiempos tanto para hombres como para mujeres es
aproximadamente normal, pero que la varianza de los tiempos para las mujeres
es menor que para los hombres. Una muestra aleatoria de tiempos para 11
hombres y 14 mujeres da los siguientes datos:
Datos :
Hombres : Mujeres:
n1=11 n2=14

s 1=6.1 s 2=5.3

v 1=n1−1=10 v 2=n2−1=13

α =0.05
Prueba de Hipótesis :
2 2
H 0 : σ 1=σ 2
2 2
H a :σ 1 >σ 2

α =0.05

Estadistico de Prueba :

s 21
FCal = 2
s2

2
6.1
FCal = 2
=1.32
5.3

Ftab . =F (1−α , v ,v ) =F ( 0.975,10,13 )=3.25

1 2

H0
Decisión: Se rechaza la .
Conclusión: No existe evidencia suficiente para firmar que las varianzas
poblacionales sean distintas.

EJERCICIO Nº 02:
Se sabe que las emisiones de hidrocarburos disminuyeron de forma dramática
durante la década de 1980. Se realizó un estudio para comparar las emisiones
de hidrocarburos a velocidad estacionaria, en partes por millón (ppm), para
automóviles de 1980 y 1990. Se seleccionaron al azar 20 automóviles de cada
modelo y se registraron sus niveles de emisión de hidrocarburos. Los datos son
los siguientes:
Modelo 1980: 141 359 247 940 882 494 306 210 105 880 200 223 188 940 241
190 300 435 241 380
Modelos 1990: 140 160 20 20 223 60 20 95 360 70 220 400 217 58 235 380
200 175 85 65.
Pruebe la hipótesis de que:
2 2
H 0 : σ 1=σ 2
2 2
H a :σ 1 ≠ σ 2

Suponga que ambas poblaciones son normales

Datos :
Datos 1: Datos 2 :
n1=20 n2=20
2 2
s 1=78998.52 s 2=14255.08

v 1=n1−1=19 v 2=n2−1=19

α =0.05
Prueba de Hipótesis :
2 2
H 0 : σ 1=σ 2
2 2
H a :σ 1 ≠ σ 2
α =0.05
Estadistico de Prueba :
2
s1
FCal = 2
s2

78998.52
FCal = =5.54
14255.08

1
F α = =0.395
( , v 2 , v1 )
2
2.53

Ftab . =F (1−α , v 1 ,v 2) =F ( 0.975,19,19 )=2.53

Decisión: se rechaza H 0 .
Conclusión: Con un nivel de significancia del 0.05 se concluye que existe
suficiente evidencia estadística para afirmar que ambas varianzas
poblacionales son distintas.

EJERCICIO Nº 03:
Techgene, Inc. está preocupada por la variabilidad en el número de bacterias
producidas por distintos cultivos. Si los cultivos tienen una variabilidad
significativamente diferente, entonces se crea confusión en los experimentos y
se producen resultados extraños (se entiende que la directiva de la compañía
se ponga ansiosa cuando los científicos comienzan a producir cosas extrañas).
Se ha recopilado la siguiente información:

Establezca las hipótesis nula y alternativa explícitas, y pruebe al nivel de

significancia de 0.01.
Datos :
Cultivo A :Cultivo B :
n1=11 n2=11

s 1=21.69 s 2=27.49

v 1=n1−1=10 v 2=n2−1=10

α =0.01
Prueba de Hipótesis :
2 2
H 0 : σ 1=σ 2
2 2
H a :σ 1 ≠ σ 2
α =0.01
Estadistico de Prueba :
2
s1
FCal = 2
s2

21.69 2
FCal = =0.623
27.49 2

1
F α = =0.206
( , v 1 , v2 )
2
4.849

α
Ftab . =F 1− , v 1 , v 2=F (0.99,10,10)=4.849
2

H0
Decisión: Se acepta la .
Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.05 se puede concluir que existen
diferencias significativas en los resultados.

EJERCICIO Nº 04:
La Nation’s Broadcasting Company está interesada en el número de personas
que sintonizan sus programas de éxito Buddies y Ride to Nowhere; más
importante, la compañía está muy preocupada por la variabilidad en el número
de personas que ven los programas. Los anunciantes quieren televidentes
consistentes con la esperanza de que la exposición constante a los anuncios
ayude a vender sus productos. Los datos son los siguientes (en millones de
televidentes) para los últimos meses.

Datos :
Buddies : Ride ¿ Nowhere :
n1=10 n2=10

S 1=5.686 S 2=11.698

V 1=9 V 2=9

Prueba de Hipótesis :
2 2
H 0 :θ 1 ≠ θ2
2 2
H a :θ1=θ2
α =0.10
Estadistico de Prueba :
2
s1
FCal = 2
s2

5.6862
FCal = =0.236
11.698 2

1
F α = =0.314
( , v 1 , v2 )
2
3.18

α
Ftab . =F 1− , v 1 , v 2=F (0.95,9,9 )=3.18
2
 H0
Decisión: Se acepta la .
Conclusión: Con un nivel de significancia de 0.10 se puede concluir que no es
la misma variabilidad entre las dos poblaciones.
EJERCICIO Nº 05:
Por lo general, los inversionistas utilizan la desviación estándar del porcentaje
de rendimiento mensual de un fondo de inversión como medida del riesgo del
fondo; en tales casos, un fondo con una desviación estándar grande se
considera con más riesgo que otro con una desviación estándar más baja. Las
desviaciones estándar de los fondos American Century Equity Growth y Fidelity
Growth Discovery fueron reportadas recientemente con 15% y 18.9%,
respectivamente (The Top Mutual Funds, AAII, 2009). Suponga que cada una
de las desviaciones estándar se basa en una muestra de 60 meses de
rendimientos. ¿Los resultados de la muestra sustentan la conclusión de que el
fondo Fidelity Growth Discovery tiene una varianza poblacional mayor que el de
American Century Equity? ¿Cuál fondo es el de mayor riesgo?

Datos :
American Century : Fidelity Growth :
n1=60 n2=60

S 1=0.15 S 2=0.189

V 1=59 V 2=59

Prueba de Hipótesis :
2 2
H 0 :θ 1 ≥ θ2
2 2
H a :θ1 <θ2
α =0.05
Estadistico de Prueba :

0.152
Fcal = =0.62288
0.1892
Ftab =F(1−0.05,59,59)=F (0.95,59 .59 )=1.534

Fcal ∈ R . Rechazo
Decisión: Existen datos suficientes para concluir que el fondo Fidelity growth
Discovery no tiene una varianza poblacional mayor que el de american century
equity y por lo tanto el de mayor riesgo es el de american century equity.
EJERCICIO Nº 06:
La mayoría de los conductores sabe que el gasto anual medio en reparaciones
de un automóvil depende de la antigüedad del vehículo. Un investigador desea
saber si la varianza de los gastos anuales que se aplican en reparación
también aumenta con la antigüedad del vehículo. En una muestra de 26
automóviles de 4 años de antigüedad, la desviación estándar muestral para los
gastos anuales en reparación fue de $170, y en una muestra de 25 automóviles
de 2 años de antigüedad fue de $100. a) Establezca las versiones nula y
alternativa de la hipótesis de investigación de que la varianza en los gastos
anuales por reparación es mayor entre más viejos son los automóviles. b)
Empleando 0.01 como nivel de significancia, ¿cuál es su conclusión? Analice lo
razonable de sus hallazgos.

Datos :
Automoviles con 4 a ñ os de antiguedad :
Automoviles con2 a ñ os de antiguedad :
n1=26 n2=25

S 1=170 S 2=100

V 1=25 V 2=24

Prueba de Hipótesis :
2 2
H 0 : θ 1 ≤ θ2
2 2
H a :θ1 >θ2
α =0 . 01
Estadistico de Prueba :
2
170
Fcal = 2
=2 . 89
100
Ftab =F(1−0 .01 ,25 , 24)=F(0 .99 , 25. 24)=2 . 643

Fcal ∈ R . R

Decisión:
Existe suficiente información para concluir que sí existe gastos anuales en
reparación mayor en los autos más viejos.

EJERCICIO Nº 07:
La varianza en un proceso de producción es un indicador importante de la
calidad del proceso. Las varianzas grandes representan una oportunidad para
mejorarlo, buscando maneras de reducir la varianza del proceso. Realice una
prueba estadística para determinar si existe una diferencia significativa entre
las varianzas de los pesos de las bolsas procesadas con dos máquinas
diferentes (Machine 1 y Machine 2). Use 0.05 como nivel de significancia.
¿Cuál es su conclusión? ¿Alguna de las dos máquinas representa una
oportunidad para mejorar la calidad?

Datos :
Machine 1: Machine 2:
n1=25 n2=22

S 1=0 . 2211 S 2=0 . 0768

V 1=24 V 2=21

Prueba de Hipótesis :
2 2
H 0 :θ 1=θ2
2 2
H a :θ1 ≠ θ2
α =0.05
Estadistico de Prueba :

0022112
Fcal = 2
=8.288
0.0768
Ftab =F α =F (0.975,24 .21) =2.368
(1− ,24,21)
2

1
Ftab =F α = =0.422
( ,21,24)
2
2.368

Fcal ∈ R . Rechazo

Decisión: Existe información suficiente para concluir con un 0.05 de

significancia que no existe diferencia alguna entre las varianzas de los pesos
de las bolsas procesadas con dos máquinas distintas.