Practica Prueba de Hipotesis (Cap II)
Practica Prueba de Hipotesis (Cap II)
Practica Prueba de Hipotesis (Cap II)
Prueba de Hipótesis
Primer bloque
EJERCICIO 1. Una m.a. de 25 elemento dio una media de 13,5 y una desviación estándar de
4,4.efectuar una constante de la hipótesis 𝐇𝟎 :μ=16 vs 𝐇𝟏 :µ≠16 al nivel del 5%.suponga que
la muestra fue extraída de una población N(μ;..)donde .. es conocida.
SOLUCION:
n = 25,
𝛼 = 5% = 0.05
𝑔𝑙 = 25 − 1 = 24
S=4.4
X=13.5
i. Hipótesis
H0 : µ = 16
H1 : µ≠ 16
i. El estadígrafo de prueba para n≤30 es :
n=25
𝑡0 𝛿 𝑡0 𝛿
𝑥̅ − ≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ +
√𝑛 √𝑛
2.064 ∗ 4.4 2.064 ∗ 4.4
< 13.5 − ≤ 𝜇ℎ ≤ 13.5 + >
√25 √25
∴ [ 12.937 ≤ 𝜇ℎ ≤ 13.963]
EJERCICIO 2.Las estaturas de 20 recién nacidos fueron tomadas en el departamento de
Pediatría de Hospital Loayza. Cuyos resultados en cm. son:
41 50 52 49 54 50 49 47 52 49
50 52 50 47 49 51 46 50 49 50
𝑛 = 20
𝑔𝑙 = 19
𝑥̅ = 49.35
𝑆 = 2.719
∝= 0.05
a) Suponga que inicialmente la población de las estaturas es normal con varianza 2cm;
constante las hipótesis 𝐻0 : 𝜇 = 50 𝑣𝑠 𝐻1 : 𝜇 > 50.
𝜎=2
𝑥̅ − 𝜇0
𝑍= 𝜎
√𝑛
𝑍 = −1.453
1+𝛾
𝑃(𝑍 < 𝑍0 ) = → 𝑍0 = 1.959
2
ESTADISTICA Página 1
PRUEBA DE HIPOTESIS
SOLUCIÓN:
n =9, x=50,α=5% y s=20
1) Hipótesis
H0 : µ = 60
H1 : µ < 60
2) El estadígrafo de prueba para n≤30 es :
𝑥̅ − 𝜇0
𝑍= 𝜎
√𝑛
3) La región critica para α=0.05, γ=0.95 , para (n-1)=8 grados de libertad
P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975
t0=2.306
EJERCICIO 4.Los errores aleatorios cometidos en las pesadas de una cierta balanza sigue una
distribución normal de media cero y desviación estándar 1 m gr. después de 9 pesadas se ha
comprobado los siguientes errores(en m gr):-0.07;0.3;1,8;-0,1;2,0;2,3;0,62;0,12;1,4
a) Demostrar que existe una región critica U.M.P, para contrastar las hipótesis de
que la balanza funciona correctamente frente a la alternativa de que tiene
Un error sistemático positivo.
SOLUCIÓN:
Hipótesis
H0 : µ = 0
Ha : µ ≠0
ESTADISTICA Página 2
PRUEBA DE HIPOTESIS
n=9, x=0.93,s=1,α=95%
𝑥̅ − 𝜇0
𝑍= 𝜎
√𝑛
0.93−0
𝑧= 1 =2.79
√9
Para la región critica: α=95%, gl=9-1=8
P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975
t0=2.306
b) ¿Cuál de las dos hipotisis, puede aceptarse con un nivel de significancia α=0,1?
SOLUCIÓN:
Para la región critica: α=95%, gl=9-1=8
1+𝛾
𝑃(𝑇0 < 𝑇) = → 𝑇0 = 1.86
2
Rpta: se acepto la Ha
EJERCICIO 5.Un investigador agrícola creía que el numero medio de acres que los
hacendados de un determinado departamento dedicaban a cierto cultivo era inferior a 6.el
investigador envió por correo un cuestionario a una m.a. simple de 25 hacendados de ese
departamento, en que les solicitaba información sobre el números de acres sembrados.la
media es la desviación típica de la muestra fue de 5 y 1,5 respectivamente. ¿al nivel de 5%
sirven estos datos de apoyo a la opinión del investigador?
SOLUCIÓN:
1) Hipótesis
H0 : µ ≥ 6
H1 : µ < 6
ESTADISTICA Página 3
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 6.El salario promedio de los empleados de las industrias siderúrgicas es de 2,5
salarios mínimos, con una desviación estándar de 0,5 salarios mínimos. si una firma
particular tiene 49 empleados con una salario mínimos podemos afirmar que esta industria
paga salarios inferiores ?
SOLUCIÓN:
1) Hipótesis
H0 : µ = 2.5
H1 : µ < 2.5
2) El estadígrafo de prueba para n<30 es :
n=49, x=2.3
x 0 2.3 2.5
zc = =-2.8
/ n 0.5 / 49
Rta: se acepta
ESTADISTICA Página 4
PRUEBA DE HIPOTESIS
1+𝛾 1 + 0.95
𝑃(𝑡 < 𝑡0 ) = = = 0.975 → 𝑡0 = 2.306
2 2
Se acepta H0
b) Discuta el mismo problema desconocido: Rpta se rechaza H0
c) Suponiendo que, µ=33 ¿Cuál es la probabilidad de llegar a una conclusión
errada en el caso a.
Hipótesis:
H0 : μ 30
H1 : μ>30
El estadígrafo de prueba para n 30 es :
n=9, 𝑥̅ =30.044, s=3.1
𝑥̅ − 𝜇 30.044 − 33
𝑡= 𝑠 = = −2.8606
3.1
√𝑛 √9
ESTADISTICA Página 5
PRUEBA DE HIPOTESIS
𝑛 = 25
𝑔𝑙 = 24
𝑥̅ ≤ 19.8 ó 𝑥̅ ≥ 20.2
𝑆 = 0.5
∝= 0.05
a) Enuncie las hipótesis nula y alternativa que son propias para esta situación.
𝐻0 : 𝜇 = 20 𝑣𝑠 𝐻1 : 𝜇 ≠ 20
EJERCICIO 13. Un fabricante de un cierto tipo de acero especial afirma que su producto tiene
un severo servicio de control de calidad, que es traducido en la desviación estándar de la
resistencia a la tensión, el cual no es mayor que 5 kg por cm2. Un comprador, deseando
verificar la veracidad de la afirmación, tomo una muestra de 11 varillas y los sometió a una
prueba de tensión. Los resultados fueron los siguientes: x = 263 y S2 = 48. Estos resultados
traen alguna evidencia contra la afirmación del fabricante?
ESTADISTICA Página 6
PRUEBA DE HIPOTESIS
Solución:
i) Planteamos las hipótesis:
H0 : σ2 <= 25
H1 : σ2 > 25
ii) Nivel de significancia α = 0.05
iii) Estadígrafo de contraste: dado que S2 = 48 y σ2 = 25, entonces el valor
de la estadística de prueba resulta:
(𝑛 − 1)s 2 (11 − 1)48
𝑥2 = = = 19.2
σ2 25
iv) Región critica: para α = 0.05
2 (11
𝑥∝2 (𝑛 − 1) = 𝑥5% − 1) = 18.3
Conclusión: Se rechaza H0, pues 𝑥𝑐2 = 19.2 > 18.3 y concluimos que de que los datos si
proporciona evidencia contra la información del fabricante
EJERCICIO 14. Un analista de sistemas esta probando la posibilidad de usar un nuevo sistema
de computadora. El analista cambiara el procesamiento al nuevo sistema solo si hay pruebas
de que el nuevo sistema usa menos tiempo en el procesamiento que el sistema antiguo. A
fin de tomar una decisión, se seleccionó una muestra de siete trabajos y se registró el tiempo
de procesamiento, en segundos, en los dos sistemas, con los siguientes resultados:
Trabajos 1 2 3 4 5 6 7
D -2 -1 -3 -1 -3 1 -3
̅ = −1.714
𝐷
𝑆𝐷 = 1.496
𝐻0 : 𝜇𝐷 = 0 𝑣𝑠 𝐻1 : 𝜇𝐷 < 0
ESTADISTICA Página 7
PRUEBA DE HIPOTESIS
̅ − 𝛿0
𝐷
𝑇𝑐 =
𝑆𝐷
√𝑛
𝑇𝑐 = −3.0318
1+𝛾
𝑃(𝑇0 < 𝑇) = → 𝑇0 = 3.143
2
∴ 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
EJERCICIO 18. Un fabricante desea comparar el proceso de armado común para uno de sus
productos con un método propuesto que supuestamente reduce el tiempo de armado. Se
seleccionaron 8 trabajadores de la planta de armado y se les pidió que armaran las
unidades con ambos procesos. Los siguientes son los tiempos observados en minutos.
1 38 30
2 32 32
3 41 34
4 35 37
5 42 35
6 32 26
7 45 38
8 37 32
¿Existe alguna razón para creer que el tiempo de armado para el proceso actual es mayor
que el del método propuesto por más por 2 minutos? ¿Qué supociones son necesarias para
probar la hipótesis?
Solución:
ESTADISTICA Página 8
PRUEBA DE HIPOTESIS
iv. Conclusión: puesto que Tc < t0, aceptamos H0, al nivel de 5%, es decir tiempo de
armado del proceso actual no es mayor que el método propuesto por más por 2
minutos.
EJERCICIO 19. Un medico desea saber si una cierta droga reduce la presión arterial media. El
midió la presión arterial en 5 voluntarios antes y después de la aplicación de la droga,
obteniendo los resultados que se dan en la siguiente tabla.
Voluntario A B C D E
Antes 68 80 90 72 80
Después 60 71 88 74 76
¿Usted cree que existe evidencia estadística de que la droga realmente reduce la presión
arterial media?
R. Al nivel de 5% no hay evidencia estadística de que la droga reduce la presión.
Solución:
Voluntario A B C D E
Antes 68 80 90 72 80
Después 60 71 88 74 76
Di=Xi-Yi 8 9 2 -2 4
promedio 4.2
Desv. Típica 4.49
ii. Hipótesis
H0 : µD = 0 (la droga reduce la presión arterial media)
H1 : µD ≠0 (la droga no reduce la presión arterial media)
iii. El estadígrafo de prueba para n≤30 es :
n=5
D 0 4.2 0
Tc = =2.09
SD / n 4.49 / 5
iv. La región critica para α=0.05, γ=0.95 , para (n-1)=4 grados de libertad
P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975
t0=2.776
ESTADISTICA Página 9
PRUEBA DE HIPOTESIS
R.A
R.R R.R
-2.776 2.776
TC=2.0
9
EJERCICIO 20.Se llevó a cabo un estudio para determinar el grado en el cual el alcohol
entorpece la habilidad del pensamiento para llevar a cabo determinada tarea. Se
seleccionaron al azar 10 personas de distinta características y se les pidió que participaran en
el experimento. Después de proporcionarles la información pertinente, cada persona llevó a
cabo la tarea sin nada de alcohol en su organismo. Entonces, la tarea volvió a llevarse a cabo,
después de que cada persona había consumido una cantidad suficiente de alcohol para tener
un contenido en su organismo de 0.1%. Supóngase que los tiempos '"antes" y "después" (en
minutos) de los 10 participantes son los siguientes.
1 28 39
2 22 45
3 55 67
4 45 61
5 32 46
6 35 58
7 40 51
8 25 34
9 37 48
10 20 30
¿Puede concluirse a un nivel de 5% que el tiempo promedio "antes" es menor que el tiempo
promedio "después" por más de 10 minutos? R. Si
Solución:
ESTADISTICA Página 10
PRUEBA DE HIPOTESIS
10 20 30 10
Promedio 14
Desv. Típica 5.14
i. Hipótesis
H0 : µD≤0 (tiempo promedio "antes" no es menor que el tiempo promedio
"después" por más de 10 minutos)
H1: µD >10 (tiempo promedio "antes" es menor que el tiempo promedio
"después" por más de 10 minutos)
ii. El estadígrafo de prueba para n≤30 es :
n=10
D 0 14 10
Tc = =2.46
S D / n 5.14 / 10
iii. La región critica para α=0.05, γ=0.95 , para (n-1)=9 grados de libertad
P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975
t0=2.262
R.R
R.A
t0=2.2
62 Tc=2.4
6
iv. Conclusión: puesto que Tc > t0, rechazamos H0, a un nivel de 5% el tiempo
promedio "antes" es menor que el tiempo promedio "después" por más de 10
minutos.
EJERCICIO 21. Un inversionista desea comparar los riegos asociados con dos diferentes
mercados A y B. El riego de un mercado dado se mide por la variación en los cambios diarios
de precio. El inversionista piensa que el riesgo asociado con el mercado B es mayor que el
del mercado A. Se obtienen muestras aleatorias de 21 cambios de precio diarios para el
mercado A y de 16 para el mercado B. Se obtienen los siguientes resultados.
Mercado A Mercado B
𝐱̅A =0,3 𝐱̅B =0,4
SA =0,25 SB = 0.45
ESTADISTICA Página 11
PRUEBA DE HIPOTESIS
R.A
R.R R.R
-1.960 1.960
ZC=-0.8
EJERCICIO 22. Considere Ud. los siguientes datos referidos a la cotización de la plata en $
por onza:
Mes E F M A M J J A S O N D
85 14,7 13,0 12,3 11.6 10,8 10,0 8,6 8,9 10,1 9,1 8,6 8,4
86 8,0 8,3 7,2 7,3 6,7 5,6 6,5 7,1 8,7 9,5 9,8 10,6
87 12.4 14.0 10,6 11,7 13 11.8 12.1 12,1 11,9 9,9 8,8 9,1
ESTADISTICA Página 12
PRUEBA DE HIPOTESIS
Solución:
14,7 13,0 12,3 12 10,8 10,0 8,6 8,9 10,1 9,1 8,6 8,4
8,0 8,3 7,2 7,3 6,7 5,6 6,5 7,1 8,7 9,5 9,8 10,6
i. Hipótesis
H0 : µ = 10 (El mineral no ha diferido significativamente)
H1 : µ ≠ 10 (El mineral ha diferido significativamente)
ii. Nivel de significancia α = 0.05
iii. El estadígrafo de prueba para n≥30 es :
n=36
x 0 10.03 10
Zc = =-0.13
/ n 1.50 / 36
R.A
R.R R.R
-1.960 1.960
ZC=-0.13
EJERCICIO 23. El gerente de una planta sospecha que el número de piezas que produce un
trabajador en particular por día, fluctúa más allá del valor normal esperado. El gerente
decide observar el número de piezas que produce este trabajador durante 12 días,
seleccionadas éstos al azar. Los resultados son: 14, 12, 9, 13, 12, 14, 15, 8, 7, 15, 11 y 9. Si se
sabe que la desviación estándar para todos los trabajadores es de dos unidades y si el
número de éstas que se produce diariamente, se encuentra modelado en forma adecuada
por una distribución normal, a un nivel de 5%, ¿tiene apoyo la sospecha del gerente?
Solución:
De los datos obtenemos: x =11.58, σ=2
ESTADISTICA Página 13
PRUEBA DE HIPOTESIS
i. Hipótesis:
H0 : µ = 0 (no fluctúa más allá del valor normal esperado)
H1 : µ > 0 (fluctúa más allá del valor normal esperado)
iv. La región critica para α=0.05, γ=0.95 con (n-1)=11 grados de libertad
P [T≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975
t0=2.201
v. Conclusión: puesto que Tc > t0, rechazamos H0, a un nivel de 5% el número de piezas
fluctúa más allá del valor normal esperado, tiene apoyo la sospecha del gerente.
EJERCICIO 24. Una compañía está tratando de decidir cuál de dos tipos de neumáticos va a
comprar. Es deseo del directorio de la compañía, comprar los neumáticos a menos que haya
alguna evidencia de que la marca B resultó mejor. Se hace un experimento en el que se
utilizaron 14 neumáticos de cada marca. Se prueba bajo condiciones semejantes hasta que
se desgasten totalmente. Los resultados obtenidos fueron:
S A2 4200
Fc = 1 .5
S B2 2800
ESTADISTICA Página 14
PRUEBA DE HIPOTESIS
i. Hipótesis
H0 : µ1 = µ2 (no hay evidencia de que B es mejor que A)
H1 : µ1 ≠ µ2 (hay evidencia de que B es mejor que A)
ii. Nivel de significancia α = 0.05
iii. El estadígrafo de prueba para n+m≤30 es (σ1=σ2):
iv. La región critica para α=0.05, γ=0.95 con (n1+n2-2)=26 grados de libertad
P [T≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975
t0=2.056
R.A
R.R R.R
-2.056 2.056
TC=2.30
EJERCICIO 25.A continuación se presenta la tabla de cotizaciones del plomo y cobre para los
años 1086 y 1987.
ESTADISTICA Página 15
PRUEBA DE HIPOTESIS
F 74,7 20,6
b) Algunos economistas sostienen que los precios promedio de equilibrio de ambos metales
son de $ 60/lb en el caso del cobre y $ 30/lb en el caso del plomo. Compruebe la veracidad o
falsedad de estas afirmaciones.
R. El precio promedio de equilibrio del cobre no es $ 60; el precio promedio de equilibrio del
plomo no es $ 30.
Solución:
Cobre Plomo
X1=68 X2=24.22
S1=3.91 S2=2.95
S A2 3.912
Fc = 1.8
S B2 2.95 2
iv. Conclusión: puesto que F=1.8 se encuentra Є C, aceptamos H0, asumimos que
las varianzas poblacionales no son iguales, no existen diferencias significativas
en los precios internacionales del cobre y plomo.
ESTADISTICA Página 16
PRUEBA DE HIPOTESIS
Para el cobre:
x c 68 60
Tc = =7.65
/ n 3.91 / 14
Para el plomo:
x p 24.22 30
Tc = =-2.33
/ n 2.95 / 14
iv. La región critica para α=0.05, γ=0.95 con n1=14 y n2=14 grados de
libertad.
P [T≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975
t0=2.145
R.A
R.R R.R
-2.145 2.145
Tplomo=-7.33
Tcobre=7.65
L M M J V L M M J V
Sucursal A 3800 3805 1880 3740 3810 3930 3820 3515 4010 3810
Sucursal B 4220 4180 1650 3950 3990 4210 4170 3950 4020 4200
Solución:
Sucursal A Sucursal B
Promedio=3612 Promedio=3854
Desv. Típica= 621.7725558 Desv. Típica= 782.349737
i. Hipótesis
H0 : µ1 = µ2 (no hay diferencia relativa)
ESTADISTICA Página 17
PRUEBA DE HIPOTESIS
iv. La región crítica para α=0.05, γ=0.95 con (n1+n2-2)=18 grados de libertad
P [T≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975
t0=2.101
R.A
R.R R.R
-2.101 2.101
TC=0.76
SOLUCION
𝛿 = 3 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛 = 35
En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño 𝛼 es:
𝛿
𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 𝜇0 + 𝑍𝛼 }
√𝑛
Donde para ∝= 0.01, 𝑍𝛼 = 2.33
ESTADISTICA Página 18
PRUEBA DE HIPOTESIS
i.Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝝁 ≤ 𝟏𝟎 (𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜)
𝑯𝟏 ∶ 𝝁 > 1𝟎 (𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜)
La probabilidad es:
𝑃 = 𝑝[𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜/𝜇 = 13]
𝑃 = 𝑝[𝑋 > 11.18152565/𝜇 = 13]
𝑋 − 13 11.18152565 − 13
𝑃 = 𝑝[ > ]
𝛿 3
√𝑛 √35
𝑃 = 𝑝[𝑍 > −3.58] = 1 − 𝑝[𝑍 ≤ −3.58] =1 − 0.00017
𝑷 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟖𝟑
b. Calcule la probabilidad de instituir el servicio de reparto cuando la demanda promedio es
de 11 tamales por casa.
SOLUCION
𝛿 = 3 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛 = 35
En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño 𝛼 es:
𝛿
𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 𝜇0 + 𝑍𝛼 }
√𝑛
Donde para ∝= 0.01, 𝑍𝛼 = 2.33
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝝁 ≤ 𝟏𝟎 (𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜)
𝑯𝟏 ∶ 𝝁 > 1𝟎 (𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜)
La región de la prueba resulta:
3
𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 10 + (2.33)}
√35
3
𝐶 = {𝑋/𝑋 > 10 + (2.33)}
√35
𝐶 = {𝑋 ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 11.18152565}
La probabilidad es:
𝑃 = 𝑝[𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜/𝜇 = 11]
𝑃 = 𝑝[𝑋 > 11.18152565/𝜇 = 11]
𝑋 − 11 11.18152565 − 11
𝑃 = 𝑝[ > ]
𝛿 3
√𝑛 √35
𝑃 = 𝑝[𝑍 > 0.3579734056] = 1 − 𝑝[𝑍 ≤ 0.3579734056] =1 − 0.63683
ESTADISTICA Página 19
PRUEBA DE HIPOTESIS
𝑷 = 𝟎. 𝟑𝟔𝟑𝟏𝟕
c. Si la empresa quiere tener una posibilidad del 90% de instituir el servicio de reparto cuando
la demanda promedio de población es de 13 tamales ¿Qué tamaño de muestra se debe
seleccionar?
SOLUCION
𝑍𝛼 = 2.33 𝑍𝛽 = 1.29
(𝑍𝛼 + 𝑍𝛽 )2 . 𝛿 2
𝑛=
(𝜇0 − 𝜇1 )2
(2.33 + 1.29)2 . 32
𝑛= = 13.1044 ≈ 14
(10 − 13)2
La muestra que se debe seleccionar para teber un 90% de posibilidad de instituir el servicio
de reparto es: 𝒏 = 𝟏𝟒
SOLUCION
𝛿 = 3 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛 = 64
En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño 𝛼 es:
𝛿
𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 𝜇0 + 𝑍𝛼 }
√𝑛
Donde para ∝= 0.01, 𝑍𝛼 = 2.33
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝝁 ≤ 𝟏𝟎 (𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜)
𝑯𝟏 ∶ 𝝁 > 1𝟎 (𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜)
La región de la prueba resulta:
3
𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 10 + (2.33)}
8
3
𝐶 = {𝑋/𝑋 > 10 + (2.33)}
8
𝑛
𝐶 = {𝑋 ∈ 𝐼𝑅 /𝑋 > 10.87375}
La probabilidad es:
𝑃 = 𝑝[𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜/𝜇 = 12]
𝑃 = 𝑝[𝑋 > 10.87375/𝜇 = 12]
𝑋 − 12 10.87375 − 12
𝑃 = 𝑝[ > ]
𝛿 3
√𝑛 8
𝑃 = 𝑝[𝑍 > −3.003333] = 1 − 𝑝[𝑍 ≤ −3.003333] =1 − 0.0013352
𝑷 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟔𝟔𝟒𝟖
ESTADISTICA Página 20
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 28. Una maquina que llena bolsas de café pone 400 gramos de café en cada bolsa,
cuando funciona correctamente. La cantidad colocada en la bolsa tiene distribución normal,
con una desviación estándar de 30 gramos. El gerente de producción dejara de llenar bolsas
si hay pruebas de que la cantidad promedio de café puesta en cada bolsa es menor de 400
gr. Si se selecciona una m.a de 25 bolsas y el gerente de producción esta dispuesta a tener un
error tipo I de 5%:
SOLUCION
𝑆 = 30 𝑔𝑟 , 𝑛 = 25 , 𝜇0 = 395
En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño 𝛼 es:
𝛿
𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 < 𝜇0 − 𝑍𝛼 }
√𝑛
Donde para ∝= 0.05, 𝑍𝛼 = 1.645
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝝁 ≥ 𝟒𝟎𝟎 (𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑗𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑛𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎𝑠)
𝑯𝟏 ∶ 𝝁 < 𝟒𝟎𝟎 (𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑗𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑛𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎𝑠)
La región de la prueba resulta:
30
𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 < 400 − . 1.645}
√25
3
𝐶 = {𝑋/𝑋 < 400 − (1.645)}
5
𝐶 = {𝑋/𝑋 < 390.13}
La probabilidad de un error tipo II si la cantidad promedio de café puesta en la bolsa es 395
gramos es:
𝛽 = 𝑝[𝐴𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑟 𝐻0 /𝐻0 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎] = 𝑝[𝑋 ≥ 390.13/𝜇 = 395]
ESTADISTICA Página 21
PRUEBA DE HIPOTESIS
Con un nivel de significancia de 0.01, ¿hay una diferencia en las utilidades por acción entre
los dos años? ¿Que suposiciones son necesarias para efectuar estas pruebas?
SOLUCIÓN
𝑛 = 15
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝝁𝑫 = 𝟎 (ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠)
𝑯𝟏 ∶ 𝝁𝑫 ≠ 𝟎 (𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠)
𝐷 = 𝟎. 𝟐𝟓𝟐𝟔𝟔𝟔𝟕
𝑆𝐷 = 𝟏. 𝟓𝟒𝟑𝟑𝟒𝟐𝟔
Para ∝= 0.01 , buscamos en la tabla de distribución T, y se encuentra:
𝑡∝ (𝑛 − 1) = 𝑡0.01 (14) = 2.624
𝐷−0
Estadígrafo de contraste: 𝑇𝑐 = 𝑆𝐷 = 2.455708, como
√𝑛
Región critica:
𝐶 = {𝑇𝑐 /𝑇𝑐 < −𝑡∝ (𝑛 − 1) 𝑜 𝑇𝑐 > 𝑡∝ (𝑛 − 1)}
Como 2.455708 > -2.624 y 2.455708 < 2.624, no se rechaza la 𝑯𝟎 , es decir hay diferencia
entre las utilidades.
ESTADISTICA Página 22
PRUEBA DE HIPOTESIS
SOLUCIÓN
𝑛𝐴 = 12 𝑛𝐵 = 15
𝑋𝐴 = 304𝑠 𝑋𝐵 = 335𝑠
𝑆𝐴 = 18𝑠 𝑆𝐵 = 24𝑠
∝
Para ∝= 0.01 , 2 = 0.005
𝑺𝟐𝑨 182
𝐹𝑐 = = = 𝟎. 𝟓𝟔𝟐𝟓
𝑺𝟐𝑩 242
Analizamos la igualdad de las varianzas:
𝑯𝟎 ∶ 𝜹𝟐𝑨 = 𝜹𝟐𝑩
𝑯𝟏 ∶ 𝜹𝟐𝑨 ≠ 𝜹𝟐𝑩
𝐹∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1) = 𝐹0.005 (11; 14) = 4.508475
2
1
𝐹1−∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1) = = 0.195961
2 𝐹0.005 (14; 11)
Como 𝑭𝒄 = 𝟎. 𝟓𝟔𝟐𝟓 > 0.19596, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠.
En cuanto al contraste de promedio de la tasa de productividad tenemos:
𝑯𝟎 ∶ 𝝁𝑨 − 𝝁𝑩 = 𝟎
𝑯𝟏 ∶ 𝝁𝑨 − 𝝁𝑩 ≠ 𝟎
(𝑋𝐴 − 𝑋𝐵 ) − 0 (304 − 335) − 0
𝑇𝑐 = = = −3.711364054
11. 18 2 + 14. 242
2 2
(𝑛 − 1)𝑆𝐴 + (𝑛𝐵 − 1)𝑆𝐵 1 √
√ 𝐴 1 . 0.15
( + ) 25
𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 1 𝑛𝐴 𝑛𝐵
Sabemos que 𝑡∝ (𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 1) = 𝑡0.01 (25) = 2.485
Luego la región critica es: 𝐶 = {𝑇𝑐 /𝑇𝑐 < −𝑡∝ (𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 1) 𝑜 𝑇𝑐 > 𝑡∝ (𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 1)}
Dado que: 𝑇𝑐 = −3.711 < −𝑡0.01 (25) = 2.485 𝑦 𝑇𝑐 = −3.711 < 𝑡0.01 (25) = 2.485,
Entonces se rechaza 𝑯𝟎 , es decir los datos no evidencian una diferencia suficiente en la tasa
de productividad para los dos diseños.
EJERCICIO 31. Un fabricante anuncia que la resistencia a la tensión promedio de las cuerdas
A excede a las de las cuerdas B en 12 Kg como mínimo. Para demostrarlo, se prueba bajo
condiciones similares 50 piezas de cada tipo de cuerda.las cuerdas A tienen una resistencia a
ESTADISTICA Página 23
PRUEBA DE HIPOTESIS
la tensión 86.7 Kg con una desviación estándar de 6.28 Kg, mientras que las cuerdas B tienen
una resistencia a la tensión promedio de 77.8 Kg, con una desviación estándar de 5.61 Kg.
Pruebe lo enunciado por el fabricante utilizando un nivel de significancia de 5%.
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta que 𝑛𝐴 = 𝑛𝐵 = 50 , son muestras grandes:
𝑛𝐴 = 50 𝑛𝐵 = 50
𝑋𝐴 = 86.7 𝐾𝑔 𝑋𝐵 = 77.8𝐾𝑔
𝑆𝐴 = 6.28 𝐾𝑔 𝑆𝐵 = 5.61 𝐾𝑔
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝝁𝑨 − 𝝁𝑩 ≥ 𝟏𝟐
𝑯𝟏 ∶ 𝝁𝑨 − 𝝁𝑩 < 1𝟐
Nivel de significancia: ∝= 0.05
Conclusión: puesto que 𝒁𝒄 = −𝟐. 𝟔𝟎𝟑𝟏 < −1.645, se rechaza 𝑯𝟎 , es decir, el promedio de la
tensión de las cuerdas A, no excede a las de las cuerdas B en 12 Kg como mínimo
EJERCICIO 32. Un inversionista desea decidir entre dos tipos de valores. Para su decisión
cuenta con la siguiente información acerca del rendimiento, expresado como porcentaje del
precio.
Dado que 𝑭𝒄 = 𝟏. 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟖 > 0.135, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠.
ESTADISTICA Página 24
PRUEBA DE HIPOTESIS
5. (0.920869)2 + 4. (0.90719347)2
𝑆𝑝 = √ = 𝟎. 𝟗𝟏𝟒𝟖𝟏𝟔𝟑
9
(𝑋𝐴 − 𝑋𝐵 ) − 0 −0.76
𝑇𝑐 = = = −𝟏. 𝟑𝟕𝟏
1 1 0.5539487
𝑆𝑝 √ +
𝑛𝐴 𝑛𝐵
Sabemos que 𝑡∝ (𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 1) = 𝑡0.05 (9) = 2.262
Región crítica : 𝐶 = {𝑇𝑐 /𝑇𝑐 > 2.262}
EJERCICIO 33. Una industria lechera desea adquirir una maquina embotelladora y somete a
consideración dos modelos distintos, el modelo A y el modelo B. Suponga que las maquinas
resultan bastante parecidas y aproximadamente con el mismo costo, por lo que el factor
decisivo será la variabilidad en la cantidad embotellada. (Se preferirá el modelo con menor
variabilidad en la cantidad embotellada). Para demostrar que la variabilidad de su maquina
es menor que la del modelo B un vendedor de la compañía A consigue una muestra de 30
registros de embotellado del modelo A y una muestra de 10 registros del modelo B. las
varianzas muestrales fueron 𝑺𝑨 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟕 𝒚 𝑺𝑩 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟓. ¿Proporcionan estos datos
apoyo estadístico para la suposición del vendedor?
SOLUCIÓN
Para analizar la variabilidad.
𝑛𝐴 = 30 𝑛𝐵 = 10
𝑆𝐴 = 0.027 𝑆𝐵 2 = 0.065
2
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝜹𝟐𝑨 ≥ 𝜹𝟐𝑩
𝑯𝟏 ∶ 𝜹𝟐𝑨 < 𝜹𝟐𝑩
Nivel de significancia: ∝= 0.05
𝑺𝟐𝑨
Estadígrafo de prueba: 𝐹𝑐 = = 𝟎. 𝟏𝟕𝟐𝟓𝟒𝟒𝟑𝟕
𝑺𝟐𝑩
Para: ∝= 0.05
𝐹∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1) = 𝐹0.05 (29; 9) = 2.868783
1 1
𝐹1−∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1) = 𝐹0.95 (29; 9) = 𝐹 (9;29)
= 2.222873 = 𝟎. 𝟒𝟒𝟗𝟖𝟔𝟖
0.05
Región critica: 𝐶 = {𝐹𝑐 /𝐹𝑐 < 𝐹1−∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1)}
ESTADISTICA Página 25
PRUEBA DE HIPOTESIS
Dado que 𝑭𝒄 = 𝟎. 𝟏𝟕𝟐𝟓 < 0.449868, se rechaza 𝑯𝟎 , es decir los datos apoyan a la
suposición dl vendedor
EJERCICIO 34. Un editor afirma que los estudiantes que reciben instrucción en matemáticas
usando un texto que acaba de publicar, obtendrán una calificación final cinco puntos
mayores por lo menos que la de los estudiantes que emplearon el texto anterior. Se eligen al
azar 36 estudiantes para asignarles 18 a cada clase, el grupo experimental, que emplea el
nuevo texto para su aprendizaje; y el grupo de control, que utiliza el texto anterior. En el
examen final, para el grupo experimental se obtiene 𝑋1 = 83.05 𝑦 𝑆1 = 6.04, y para el
grupo de control 𝑋2 = 76.85 𝑦 𝑆2 = 5.95; para plantear la hipótesis nula usando ∝= 𝟎. 𝟎𝟏
SOLUCIÓN
Conclusión: puesto que 𝒁𝒄 = 𝟎. 𝟔𝟎𝟎𝟒 > −𝟐. 𝟑𝟑, no se rechaza 𝑯𝟎 , es decir, los estudiantes
que reciben una instrucción en matemáticas usando el texto nuevo obtendrán una
calificación final cinco puntos mayores por lo menos que los que emplearon el texto anterior
EJERCICIO 35. En un estudio sobre el tiempo de reacción humana a una estimulo, unos
psicólogos emplearon dos muestras independientes de sujetos. Una muestra estaba
compuesta por 11 hombres entre 25 y 45 años de edad y la otra constaba de 13 mujeres de
las mismas edades. Las varianzas de los tiempos de reacción fueron de 12 milisegundos
cuadrados para los hombres y de 4 milisegundos cuadrados para las mujeres. Con base en
estos datos, ¿Debería el psicólogo sacar como conclusión que la población representada por
los tiempos de reacción de los hombres es más variable que la representada por las mujeres?
SOLUCIÓN
Para analizar la variabilidad.
𝑛𝐻 = 11 𝑛𝑀 = 10
2
𝑆𝐻 = 12 𝑆𝑀 2 = 4
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝜹𝟐𝑯 ≤ 𝜹𝟐𝑴
𝑯𝟏 ∶ 𝜹𝟐𝑯 > 𝜹𝟐𝑴
ESTADISTICA Página 26
PRUEBA DE HIPOTESIS
Dado que 𝑭𝒄 = 𝟗 > 𝟐. 𝟕𝟓𝟑𝟑 , se rechaza 𝑯𝟎 , es decir la población representada por los
tiempos de reacción de los hombres es más variable que la representada por las mujeres.
EJERCICIO 36. Una empresa ganadera desea comprar dos marcas de alimentos: A y B, y
decide experimentar con ellos antes de realizar la compra definitiva. El alimento A fue
proporcionado a 10 animales seleccionado aleatoriamente, mientras que el alimento B a 6
animales obteniéndose los siguientes resultados de incrementos de pesos:
Hipótesis:
Ho: A = B
H1: A K B
: 0.02
XA = 4, SA² = 6.6
XB = 5, SB² = 6.4
gl = 11 aprox.
To = 2.718
T = - 0.761, -2.718<-0.761<2.718
ESTADISTICA Página 27
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 37. Midiendo muestras de fibras de nylon tomadas de dos máquinas de hilar se
encontró que 8 de la primera máquina tenía una media en diners de 9.67 con una desviación
estándar de 1.81 diners, mientras que 10 de la segunda máquina tiene una media de 7.43
diners y una desviación estándar de 1.48 diners.
Solución:
Hipótesis:
Ho: u1 – u2 < 1.5
H1: u1 – u2 > 1.5
: 0.05
X1 = 9.67 S1 = 1.81
X2 = 7.43 S2 = 1.48
gl = 14 aprox.
To = 2.145
T = 0.933 0.933 < 2.145
Se acepta Ho y se rechaza H1, por lo cual se concluye que la primera maquina no es
mayor en 1.5 diners
EJERCICIO 38. En un estudio sobre la presión arterial, se consideran las presiones sistólicas
de un grupo de niños con uno de sus padres hipertensos y otro grupo de niños cuyos padres
tienen presión normal. Los datos han sido los siguientes:
ESTADISTICA Página 28
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 40. Una empresa desea invertir parte de sus utilidades en la compra de Bonos. El
gerente financiero de la empresa afirma que la cotización promedio de los Bonos de
Desarrollo es mayor que la de los Bonos tipo C de Cofide clase 12va. Recomendando invertir
en los Bonos de Desarrollo.
104 71
112.3 72.6
121 71.8
120.1 72.6
119 71.2
123.6 72.5
128 67.8
131.4 67.2
132.8 66.5
133.6 65
Solución:
Xd = 122.58 Sd² = 89.61 nd = 10
Xc = 69.82 Sc² = 8.34 nc = 10
Hipótesis:
Ho: ud = uc
H1: ud K uc
= 0.05
gl = 11
To = 2.201
T = 16.857
Se rechaza Ho y se acepta H1, por lo tanto si existe una diferencia significativa en las
cotizaciones promedio, la empresa debería aceptar la propuesta del gerente en
invertir en los bonos de desarrollo.
ESTADISTICA Página 29
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 41. Se mide la humedad de cierto producto químico enviado por dos proveedores.
Del primer proveedor se miden 41 muestras obteniéndose X1= 9,8%. Y S1²= 10,95; del
segundo proveedor se miden 31muestras obteniéndose X2= 8,5% y S2²= 6,60. ¿Se puede
afirmar que existe una diferencia de por lo menos 5% de humedad entre el producto enviado
por el primer proveedor y el segundo?
Solución:
Hipótesis:
Ho: u1 – u2 = 0.05
H1: u1 – u2 K 0.05
= 0.05
Zo = 1.96
Z = 0.18
Se acepta Ho y se rechaza H1, no existe una diferencia entre el producto enviado por el
primer proveedor y el segundo
EJERCICIO 42. Se desea comparar dos tipos de ampolletas que difieran en el material de sus
filamentos. Para ello se toman dos muestras aleatorias de tamaño 49 para el material 1 y 60
para el material 2 y se mide el tiempo de duración de cada ampolleta. Supongamos que el
tiempo de duración del material 1 tiene distribución exponencial con parámetro
1 49 10 120
2 60 15 240
ESTADISTICA Página 30
PRUEBA DE HIPOTESIS
¿Hay evidencia de que las vacas producen menos leche con la dieta de alfalfa
deshidratada que con la estándar? Use =0,10
Solución:
Hipótesis:
Ho: uA > uE
H1: uA < uE
= 0.10
To = 1.717
T = -0.86 -0.86>-1.717
Se acepta Ho y se rechaza H1 luego se concluye que las vacas no producen menos leche con
la dieta alfalfa deshidratada
EJERCICIO 44. Suponga que la SUNAT está contemplando implementar un nuevo programa
que tendría por objetivo grabar las utilidades de las empresas más grandes,
correspondientes a una de las siguientes actividades económicas que se consideran como
potencialmente generadoras de ingresos para el Fisco:
ESTADISTICA Página 31
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 45. Un empresario está interesado en lanzar un nuevo producto al mercado, pero
está indeciso respecto al sector al cual se dirigirá. Su asesor le indicó que la variable decisiva
para la toma de decisión es el ingreso familiar y por ende sugirió que el producto sea dirigido
al sector A, puesto que el ingreso promedio del mismo, excede al de B por lo menos en US$
1500
X A 15000
A 1800 X B 14600
n A 15 B 2400
n B 10
H 0 : X A X B 1500
H 1 : X A X B 1500
( X A X B ) do
TC
1 1
sp
n A nB (n A 1) A2 (n B 1) B2
sp 2
(n A n B 2)
Reemplazando valores y haciendo los cálculos respectivos
sp 2 4226086.957
sp 2055.7449
(15000 14600) 1500 1100
TC 1.3108
1 1 2055.4749(0.4082)
2055.4749
15 10
ESTADISTICA Página 32
PRUEBA DE HIPOTESIS
1998 E F M A M J J A S O N D
Saldo 63. 109. 123. 56 154 133 132.8 157. 76. 32. 2 24.
Balanza 10 10 50 8 182..5 9 10
Comercia
l FOB
X u 0 103.8333 38.58
TC 4.3472
S 51.997314
n 12
t (n 1) t 0.05 (11) 1.976
Por tanto se rechaza H 0 es decir la conclusión a la que llegó el estudio es falsa
ESTADISTICA Página 33
PRUEBA DE HIPOTESIS
P[T 2.29]
P[T 2.29] 1 P[T 2.29]
P[T 2.29] =1-0.0212
Entonces la probabilidad de que dicha conclusión sea falsa es 0.9788
Esta parte se calculará de forma análoga pues las condiciones son las mismas, se puede notar
que esta pregunta es el complemento de la anterior, por tanto la probabilidad de que la conclusión
del estudio sea verdadera será 0.0212
P[T 2.2547]
P[T 1.2320647]
Entonces la probabilidad de que dicha conclusión sea verdadera será 0,11145
EJERCICIO 47. Una Cía. está probando dos nuevos envases para su té filtrante. Se eligieron
30 tiendas de abarrotes; en 15 de ellas se colocó un tipo de envase y en las 15 restantes otro.
El volumen mensual de ventas de los envases nuevos se expresó en forma de porcentaje de
las ventas mensuales de los meses anteriores. Se llevó a cabo un registro para cada tienda.
Para el envase A, el aumento del promedio de ventas fue de 8% con una desviación estándar
de 24%. Para el envase B. el aumento del promedio de ventas fue de 3% con una desviación
estándar de 20%.
a. ¿Existe prueba significativa de que el incremento en el promedio de ventas del envase
A sea mayor de 2%?
ESTADISTICA Página 34
PRUEBA DE HIPOTESIS
X A 8%
S A 24% X B 3%
n A 15 S B 20%
n B 15
H 0 : u A 2%
H 1 : u A 2%
X A uA 8 2
TC 0.96825
S 24
n 15
EJERCICIO 48. Un inversionista extranjero desea invertir en nuestro país, incentivado por las
perspectivas favorables de la economía y la elevada rentabilidad ofrecida por diversas
modalidades de inversión.
Este inversionista contrata a una empresa consultora para que evalúe las diversas
modalidades de inversión existentes, presentándole únicamente las dos mejores
alternativas que ofrecen una rentabilidad inedia mensual mayor a la mejor alternativa
dejada de lado por el inversionista en su país de origen
𝑿𝑨 = 𝟑. 𝟗𝟎% , 𝑿𝑩 = 𝟑. 𝟒𝟎%
𝑺𝑨 = 𝟎. 𝟓𝟓% , 𝑺𝑨 = 𝟎. 𝟔𝟎%
Con la información presentada, responda usted lo siguiente:
ESTADISTICA Página 35
PRUEBA DE HIPOTESIS
a) ¿Cuál de las dos alternativas de inversión calificaría usted como la más eficiente en el
mediano plazo, en términos de variabilidad y rentabilidad media en comparación con lo
que ha dejado en su país de origen?
Para la variabilidad
H 0 : A2 B2
H 1 : A2 B2
S A2 0.55 2
FC 0.8402
S B2 0.60 2
ESTADISTICA Página 36
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 51. Catalina Oviedo, analista de la compañía petrolera Petro Peni, ha sido
asignada para investigar la afirmación de que los distribuidores de Petro Perú cobran más
por La gasolina sin plomo que los distribuidores independientes. Catalina teme que si elige
dos muestras aleatorias independientes de estaciones de servicio para cada tipo de
distribuidor, la variabilidad en el precio debida a la localización geográfica puede ser un
factor que altere los resultados del estudio. Para eliminar esta fuente de variabilidad, elige
un par de grifos - una de Móvil y una de Petro Peni - con proximidad geográfica. Los
resultados del muestreo de Catalina son:
REGION 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
PETRO PERÚ 7.05 7.19 7.27 7.19 7.36 6.99 7.09 6.98 6.87 6.79 7.27
MOVIL 6.99 7.09 7.09 7.09 7.18 7.09 7.09 6.89 6.89 6.86 7.19
REGION 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
PETRO
PERÚ 7.05 7.19 7.27 7.19 7.36 6.99 7.09 6.98 6.87 6.79 7.27
MOVIL 6.99 7.09 7.09 7.09 7.18 7.09 7.09 6.89 6.89 6.86 7.19
diferencia 0.06 0.10 0.18 0.10 0.18 -0.10 0.00 0.09 -0.02 -0.07 0.08
H 0 : uD 0
H1 : u A 0
D 0 0.05 0
TC 1.7928
SD 0.0925
n 11
Para 0.01
t (n 1) t 0.01 (10) 2.764
H0
Se acepta Te = 17928. Petro Perú no cobra más que Móvil
Segundo bloque
EJERCICIO 1. Las condiciones de mortalidad de un país es tal que la proporción de
nacimientos que sobreviven hasta 60 años es de 0,6. contrastar esa hipótesis al nivel de 5%
si 1000 nacimientos muestreados aleatoriamente, se verifico 530 sobrevivientes hasta 60
años.
ESTADISTICA Página 37
PRUEBA DE HIPOTESIS
SOLUCIÓN:
i. Hipótesis:
H0 : π =0.6 (sobreviven hasta 60 años)
H1 : π ≠ 0.6
ii. El estadígrafo de prueba para n>30 es :
pˆ 0
Z
0 (1 0 )
n
n=1000, x=530
𝑥 530
𝑝̅ = = =≫ 𝑝̅ = 0.53
𝑛 100
0.53 0.6
Z 4.52
0.6(0.4)
1000
iii. Hallamos Z0, γ=0.95
P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975
Z0= 1.96
Respuesta: se rechaza H0
EJERCICIO 2.Un fabricante afirma que al menos 90% del equipo que ha surtido para cierta
fabrica cumple con las esopecificaciones.se examina una muestra de 60piezas de equipo y se
encuentra que 48 de ellas son defectuosas, puede decirse que los datos proporcionan
suficiente evidencia para rechazar la afirmación del fabricante?
SOLUCIÓN:
Hipótesis:
H0 : π ≥0.9 (sobreviven hasta 60 años)
H1 : π < 0.9
El estadígrafo de prueba para n>30 es :
ESTADISTICA Página 38
PRUEBA DE HIPOTESIS
pˆ 0
Z
0 (1 0 )
n
n=60 , x=48
𝑥 48
𝑝̅ = = =≫ 𝑝̅ = 0.8
𝑛 60
pˆ 0
Z
0 (1 0 )
n
0.8 0.9
Z 2.5
0.8(0.1)
60
i. Hallamos Z0, γ=0.95
P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975
Z0= 1.96
Respuesta: se rechaza H0
No fuman
cigarros s/filtro cigarros c/filtro total
Hombres 12 64 14 90
Mujeres 8 26 16 50
total 20 90 30 140
ESTADISTICA Página 39
PRUEBA DE HIPOTESIS
i. Hipótesis
H0 : π = 0.8
H1 : π ≠ 0.8
ii. Para la prueba para n>30 es:
𝑛 = 140
𝑥 = 110
𝑥 110
𝑝̅ = 𝑛 = 140
=≫ 𝑝̅ = 0.786
pˆ 0 0.786 0.8
Z = =-0.42
0 (1 0 ) 0.8(1 0.8)
n 140
ii. Hallamos Z0, γ=0.95
P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.96+1)/2=0.98
Z0=2.06
R. se acepta H0 z0 =-0.42
b) contrastar la hipótesis de que la proporción de los que fuman cigarros con
filtro es 70% use a=0.02
SOLUCIÓN:
i) Hipótesis
H0 : π = 0.7 (cigarrillos c/filtro)
H1 : π ≠ 0.7 (cigarrillos c/filtro)
𝑛 = 140
𝑥 = 90
𝑥 90
𝑝̅ = 𝑛 = 140
=≫ 𝑝̅ = 0.643
pˆ 0 0.643 0.7
Z = =-1.472
0 (1 0 ) 0.7(1 0.7)
n 140
ESTADISTICA Página 40
PRUEBA DE HIPOTESIS
Rpta: se acepta H0
EJERCICIO 4. Se lanza una moneda 100 veces y se obtiene 60 caras. Contrastar al nivel de 5%
la hipótesis de que la moneda está cargada.
SOLUCIÓN:
i) Hipótesis
H0 : π = 0.7
H1 : π ≠ 0.7
𝑛 = 100
𝑥 = 60
𝑥 60
𝑝̅ = = =≫ 𝑝̅ = 0.6
𝑛 100
pˆ 0 .6 0 .5
Z = =2
0 (1 0 ) 0.5(1 0.5)
n 100
iii) La región critica para α=0.05, γ=0.95
P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975
Z0=1.96
ESTADISTICA Página 41
PRUEBA DE HIPOTESIS
Rpta: se acepta H0
SOLUCIÓN:
i) Hipótesis
𝑃0 = 0.25
𝑛 = 800
𝑥 = 40
𝑥
𝑃̂ = = 0.2
𝑛
∝= 0.01
𝑃̂ − 𝑃0
𝑍𝑐 =
√𝑃0 (1 − 𝑃0 )
𝑛
𝑍𝑐 = −3.265
iii) La región critica para α=0.01, γ=0.99
1 + 0.99
𝑃(𝑧0 < 𝑇) = = 995 → 𝑧0 = 2.575
2
EJERCICIO 6. Un fabricante de lavadoras afirma que solo el 5% de todas las unidades que
venden sufren una falla durante el primer año de operación normal. Una organización de
consumidores ha pedido a 20 familias de igual número de miembros que han adquirido estas
lavadoras. Que reporten cualquier mal funcionamientos durante el primer año. Al final de
este, solo tres familias reportaron mal funcionamiento. Si la organización de consumidores
cree que la proporción de lavadoras que sufrirán alguna falla es más alta que el valor
ESTADISTICA Página 42
PRUEBA DE HIPOTESIS
SOLUCIÓN:
i) Hipótesis
H0 : p = 0.7
H1 : p ≠ 0.7
ii) El estadígrafo de prueba para n≤30:
𝑛 = 20
𝑥=3
𝑥 3
𝑝̅ = = =≫ 𝑝̅ = 0.15
𝑛 20
pˆ p 0.15 0.05
T = =2.053
p(1 p) 0.05(1 0.05)
n 140
1+𝛾 1 + 0.9
𝑃(𝑡 < 𝑡0 ) = = = 0.95 → 𝑡0 = 1.729
2 2
Rpta: se rechaza el H0
EJERCICIO 11. Una compañía productora de combustibles asegura que una quinta parte de
los hogares en una cierta ciudad se calientan con petróleo.
a) ¿hay alguna razón para dudar de esta afirmación si, en una m.a. de 1000 hogares de
esta ciudad, se encuentra que 236 se calientan son petróleo? Use ∝= 0.1%
𝑃0 = 0.2
𝑛 = 1000
𝑥 = 236
𝑥
𝑃̂ = = 0.236
𝑛
∝= 0.001
ESTADISTICA Página 43
PRUEBA DE HIPOTESIS
𝐻0 : 𝑃 = 0.25 𝑣𝑠 𝐻0 : 𝑃 ≠ 0.25
𝑃̂ − 𝑃0
𝑍𝑐 =
√𝑃0 (1 − 𝑃0 )
𝑛
𝑍𝑐 = 2.846
1+𝛾
𝑃(𝑍0 < 𝑍) = → 𝑍0 = 3.090
2
720
pˆ 0.48
1500
i. Hipótesis:
H0 : π = 0.50 (preferencia por el candidato A)
H1 : π ≠ 0.50 (no hay preferencia por el candidato A)
ESTADISTICA Página 44
PRUEBA DE HIPOTESIS
R.A
R.R R.R
-1.960 1.960
Z=-0.011
EJERCICIO 14. Se cree que al menos el 65% de los habitantes de cierta ciudad favorecen un
nuevo provecto. ¿Qué conclusión se puede sacar si sólo 120 de una muestra de 200
residentes apoyan dicho proyecto? Use a =0,03
R. No se rechaza H0 : ZC =-1.4825
Solución:
120
pˆ 0.6
200
iv. Hipótesis:
H0 : π ≥0.65 (la ciudad favorecen un nuevo provecto)
H1 : π < 0.65 (la ciudad no favorecen un nuevo provecto)
R.A
R.R
-2.17
Z=-1.36
ESTADISTICA Página 45
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 15. Un fabricante afirma que al menos el 25% del público prefiere su producto. Se
toma una muestra de 200 personas para verificar su afirmación. Con α=0.05. ¿Qué tan
pequeño debe ser el porcentaje en la muestra para poder refutar su afirmación de manera
correcta? R. Debe ser menor que 0,19%.
Solución:
x
pˆ
200
i. Hipótesis:
H0 : π ≥0.25 (prefiere el producto)
H1 : π < 0.25 (no prefiere el producto)
R.A
R.R
-1.96
Z > -1.960
iv. Para poder rechazar ,H0 debe ser mayor que -1.960, asumimos Z=-1.960 :
n=200
x
0.25
200 x
1.960 , desarrollando la ecuación obtenemos que =0.1942
0.25(1 0.25) 200
200
Conclusión: Para poder refutar H0 debe ser menor a 0.1942, por lo tanto a un nivel de 5%, el
porcentaje en la muestra=19%.
EJERCICIO 16. El propietario de una firma de mayoreo quería saber la proporción de cuentas
por cobrar con más de 60 días de vencidas. El propietario estima que a lo más 20% de las
cuentas por cobrar tienen más de 60 días de vencidas. Una muestra aleatoria de 150 cuentas
por cobrar revela que 36 tenían más de 60 días de vencidas. Al nivel de 5% ¿es válida la
estimación del propietario?
Solución:
ESTADISTICA Página 46
PRUEBA DE HIPOTESIS
36
pˆ 0.24
150
i. Hipótesis:
H0 : π ≤0.20 (las cuentas por cobrar tienen más de 60 días de
vencidas)
H1 : π > 0.20 (las cuentas por cobrar no tienen más de 60 días de
vencidas)
R.A
R.R
1.960
Z=1.22
EJERCICIO 17. Los "ratings" del público televidente han vuelto a los productos y
patrocinadores muy sensibles a las afirmaciones acerca del auditorio que ve mi programa
dado. Una estación de televisión afirma que su noticiero de las 10 de la noche es visto por el
50% del auditorio en su área de cobertura. Una empresa que desea comprar tiempo de
publicidad durante el noticiero desea validar la afirmación de la transmisora. Para tal fin
toma una m.a. de 100 televidentes potenciales y 38 indican que ven el noticiero de las 10 de
la noche. ¿Es esta evidencia suficiente de que la afirmación de la estación transmisora es
falsa? Use α = 0.01 R. Si. YC =-2.4
Solución:
38
pˆ 0.38
100
i. Hipótesis:
H0 : π =0.50 (el noticiero de las 10 de la noche es visto por el 50% del
auditorio)
ESTADISTICA Página 47
PRUEBA DE HIPOTESIS
R.A
R.R R.R
-2.56 -2.56
Z=-2.4
EJERCICIO 18. El fabricante afirma que la vida media de cierto tubo electrónico es de 600
horas. Se extrae una m.a. de 100 de un embarque de esos tubos y se encuentra que sólo 23
duraron más de 600 horas. ¿Cree usted en la aseveración del fabricante?
Solución:
23
pˆ 0.23
100
i. Hipótesis: (asumimos que la mitad tiene un promedio de 600 horas de vida)
H0 : π =0.50 (la vida media de los tubos electrónicos es de 600 horas)
H1 : π ≠ 0.50 (la vida media de los tubos electrónicos no es de 600
horas)
ESTADISTICA Página 48
PRUEBA DE HIPOTESIS
pˆ 0 0.23 0.50
Z = =-5.4
0 (1 0 ) 0.50(0.50)
n 100
R.A
R.R R.R
-2.56 -2.56
Z=-5.4
ESTADISTICA Página 49
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 20. En un estudio reciente que abarco 25 años, se investigo la posible protección
que proporciona la ingestión de una forma de vitamina A, llamada caroteno, contra el
desarrollo de cáncer pulmonar, se encontró que 500 hombres que habían ingerido una baja
cantidad de estas sustancias durante un tiempo, 15 desarrollaron cáncer pulmonar, pero un
grupo del mismo tamaño en que el consumo de caroteno era mayor, solo 4 personas
desarrollaron cáncer, bajo las suposiciones apropiadas. ¿Puede concluirse que la ingestión
de caroteno, reduce el riesgo de desarrollar cáncer pulmonar en los hombres? Use α=0.01
SOLUCIÓN
𝑛1 = 𝑛2 = 500
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝒑𝟏 ≤ 𝒑𝟐
𝑯𝟏 ∶ 𝒑𝟏 > 𝒑𝟐
Proporciones muestrales:
15 4
𝑝̂1 = = 0.03 , 𝑝̂2 = = 0.008
500 500
(𝑝̂1 −𝑝̂2 )
Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐 = 1 1
√𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑛 +𝑛 )
1 2
𝑛1 𝑝̂1 +𝑛2 𝑝̂2 500(0.03)+500(0.008)
Donde 𝑝̂ = = = 𝟎. 𝟎𝟏𝟗
𝑛1 +𝑛2 1000
(0.03 − 0.008) 0.022
𝑍𝑐 = = = 2.5479
√0.019(0.981)(0.004) 0.008634581
Región critica para ∝= 0.01, 𝑍∝ = 2.33: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 > 2.33}
Dado que 𝒁𝒄 = 𝟐. 𝟓𝟓𝟔𝟐 > 2.33 , se rechaza 𝑯𝟎 , es decir, puede concluirse que la ingestión
de caroteno, reduce el riesgo de desarrollar cáncer pulmonar en los hombres.
EJERCICIO 21. Un líder sindical, piensa que la proporción p1 de obreros a favor de control de
precios y salarios es mayor que la proporción p2 de ejecutivos a favor del control. Se toman
muestras aleatorias independientes de 200 obreros y 200 ejecutivos y se encuentran 45
obreros y 35 ejecutivos a favor del control. ¿Proporcionara esta evidencia apoyo estadístico
a la suposición del líder sindical?
SOLUCIÓN
𝑝̂1 = 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟
𝑝̂2 = 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟
𝑛1 = 𝑛2 = 200
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝒑𝟏 ≤ 𝒑𝟐
𝑯𝟏 ∶ 𝒑𝟏 > 𝒑𝟐
Proporciones muestrales:
45 35
𝑝̂1 = = 0.225 , 𝑝̂ 2 = = 0.175
200 200
ESTADISTICA Página 50
PRUEBA DE HIPOTESIS
(𝑝̂1 −𝑝̂2 )
Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐 = 1 1
√𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑛 +𝑛 )
1 2
𝑛1 𝑝̂1 +𝑛2 𝑝̂2 200(0.225)+200(0.175)
Donde 𝑝̂ = = = 0.2
𝑛1 +𝑛2 400
(0.225 − 0.175) 0.05
𝑍𝑐 = = = 𝟏. 𝟐𝟓
√0.2(0.8)(0.01) 0.04
Región critica para ∝= 0.05, 𝑍∝ = 1.645: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 > 1.645}
Dado que 𝒁𝒄 = 𝟏. 𝟐𝟓 < 1.645 , se acepta 𝑯𝟎 , es decir, la evidencia no proporciona apoyo
estadístico a la suposición del líder sindical, y por ende la proporción de obreros a favor del
control de precios y salarios no es mayor que la proporción de ejecutivos a favor del control.
(𝑝̂1 −𝑝̂2 )
Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐 = 1 1
√𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑛 +𝑛 )
1 2
𝑛1 𝑝̂1 +𝑛2 𝑝̂2 500(0.07)+500(0.05)
Donde 𝑝̂ = = = 0.06
𝑛1 +𝑛2 1000
(0.225 − 0.175) 0.02
𝑍𝑐 = = = 𝟏. 𝟑𝟑𝟏𝟓
√0.06(0.94)(0.004) 0.01501998
∝
Región critica para ∝= 0.05, , 2
= 0.025 𝑍 = 1.96
∝/2
𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 < −1.645 𝑜 𝑍𝑐 > 1.645}
Dado que 𝒁𝒄 = 𝟏. 𝟑𝟑𝟏𝟓 > −𝟏. 𝟗𝟔 𝒚 𝒁𝒄 = 𝟏. 𝟑𝟑𝟏𝟓 < 1.96 , se acepta 𝑯𝟎 , es decir, no
existe razón alguna para creer que las frecuencias de desempleo en las dos áreas son
diferentes.
ESTADISTICA Página 51
PRUEBA DE HIPOTESIS
respectivamente. Bajo las suposiciones adecuadas y con base en esta información ¿Existe
alguna para no comprar en forma única las componentes del proveedor B? use α=0.02
SOLUCIÓN
𝑛1 = 150 , 𝑛2 = 120
𝑝̂1 = 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑒𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴
𝑝̂2 = 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑒𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐵
Proporciones muestrales:
9
Proveedores A: 𝑝̂1 = = 0.06
150
9
Proveedores B: 𝑝̂2 = 120
= 0.075
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝒑𝟏 = 𝒑𝟐
𝑯𝟏 ∶ 𝒑𝟏 ≠ 𝒑𝟐
(𝑝̂1 −𝑝̂2 )
Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐 = 1 1
√𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑛 +𝑛 )
1 2
𝑛1 𝑝̂1 +𝑛2 𝑝̂2 150(0.06)+120(0.075)
Donde 𝑝̂ = = = 𝟎. 𝟎𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕
𝑛1 +𝑛2 270
(0.06 − 0.075) −0.015
𝑍𝑐 = = = −𝟎. 𝟒𝟖𝟗𝟖𝟓
√0.06667(0.93333)(0.015) 0.030621
∝
Región critica para ∝= 0.02, , = 0.01 𝑍 = 2.33
2 ∝/2
𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 < −2.33 𝑜 𝑍𝑐 > 2.33}
Dado que 𝒁𝒄 = −𝟎. 𝟒𝟖𝟗𝟖𝟓 > −1.96 𝑦 𝒁𝒄 = −𝟎. 𝟒𝟖𝟗𝟖𝟓 < 1.96 , se acepta 𝑯𝟎 , es decir,
no existe razón alguna para no comprar en forma única las componentes del proveedor B.
EJERCICIO 25. Un sociólogo cree que la proporción de hombres que pertenecen a un grupo
socioeconómico determinado (grupo A) y que ven regularmente lucha en televisión, supera
en mucho a un segundo grupo de hombres (grupo B) que también ven lucha. Muestras
aleatorias simples de los grupos arrojaron los siguientes resultados.
Solución:
Hipótesis:
Ho: uA < uB
H1: uA > uB
pA = 0.65 qA = 0.35
pB = 0.4 qB = 0.6
= 0.05
Zo = 1.96
ESTADISTICA Página 52
PRUEBA DE HIPOTESIS
Z = 4 4 > 1.96
Se rechaza Ho y se acepta H1 luego se concluye que los datos si tienen evidencia
suficiente que apoyan la tesis del sociólogo
EJERCICIO 26. Dos grupos de 50 pacientes cada uno, tomaron parte en un experimento en el
cual un grupo recibió píldoras que contenían una droga antialérgica, y el otro grupo recibió
píldoras que no contienen la droga. En el grupo que recibió la droga, 15 pacientes mostraron
síntomas alérgicos, mientras que, en el grupo que recibió la píldora sin droga, hubo 24 con
ese síntoma. ¿Es esto evidencia suficiente para concluir que la droga es eficaz para reducir
los síntomas?
Solución:
Hipótesis:
Ho: u1 < u2
H1: u1 > u2
P1 = 0.3
P2 = 0.48
= 0.05
Zo = 1.96
Z = -1.894
Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que la droga no es eficaz para
reducir los síntomas.
EJERCICIO 27. Se va a efectuar una encuesta sobre habitación en San Isidro y en Miraflores,
para determinar la proporción de unidades habitacionales ocupadas por familiar de ingresos
altos. Una muestra aleatoria de 600 unidades habitacionales en San Isidro reveló 150
unidades ocupadas por familias de ingresos altos. Una muestra de 300 unidades en
Miraflores reveló 120 unidades ocupadas por familias de ingresos altos. ¿Existe alguna
diferencia entre San Isidro y Miraflores en la proporción de unidades habitacionales
ocupadas por familias de ingresos altos?
Solución:
Hipótesis:
Ho: uS = uM
H1: uS K uM
PS = 0.25
PM = 0.4
= 0.05
Zo = 1.96
Z = 4.5
Se rechaza Ho y se acepta H1, por la cual se concluye que si existe una diferencia de
unidades habitaciones entre San Isidro y Miraflores
ESTADISTICA Página 53
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 28. Una empresa que se especializa en publicidad por correo ideó un cuestionario
nuevo que, en su conjunto, va a obtener más respuestas que el cuestionario normal. El
nuevo cuestionario se envía a una muestra de 200 posibles encuestados. El número de
respuestas es 120. Cuando se utilizó el cuestionario normal con 250 posibles encuestado,
contestaron 115. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir que el
nuevo cuestionario es mejor que el usual?
Solución:
Hipótesis:
Ho: uNu < uNo
H1: uNu > uNo
PNu = 0.6
PNo = 0.46
= 0.05
Zo = 1.96
Z = 2.95
Se rechaza Ho y se acepta H1, por la cual se concluye que el nuevo cuestionario será
mejor que el usual.
EJERCICIO 29. Una institución bancaria contrató los servicios de una compañía de publicidad
para averiguar cuál de sus dos modalidades de ahorro A ó B prefiere el público no bancario.
En una encuesta se encuentra que 56 de 200 ahorristas encuestados prefieren la modalidad
de ahorro A y 29 de 150 ahorristas prefieren la modalidad B.
¿Se puede concluir que la modalidad de ahorro A tiene mayor aceptación que la modalidad
B? Use = 6%
Solución:
Hipótesis:
Ho: uA < uB
H1: uA > uB
PA = 0.28
PB = 0.19
P (estadígrafo) =(0.28+0.19)/350 = 0.24
= 0.06
Zo = 1.89
Trabajando con el estadígrafo tenemos Z = 1.52
Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que la modalidad A no tiene mayor
aceptación que la modalidad B
ESTADISTICA Página 54
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 30. Un grupo de investigadores del Ministerio de Educación afirman que en Lima,
la proporción de hombres que recibieron educación primaria es igual al de las mujeres. Para
probar su afirmación los investigadores tomaron una muestra de 1722 hombres, de los
cuales 411 recibieron educación primaria. En base a esos datos. ¿Se puede decir que los
investigadores tenían la razón?
Solución:
Hipótesis:
Ho: uh = um
H1: uh K um
Ph = 0.24
Pm = 0.25
P (estadígrafo) = 0.244
= 0.05
Zo = 1.96
Z = 0.667
Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que los investigadores tenian la
razón
EJERCICIO 31. Cierto fabricante pretende que no más del 5% de sus artículos son
defectuosos. El jefe de departamento de producción decide ejecutar un proceso de control
sobre los artículos fabricados, para lo cual se seleccionan dos muestras aleatorias de 200
artículos cada una con un intervalo intermedio de un mes en los envíos. Y se inspeccionan
cuidadosamente los artículos. La muestra del primer surtido contenía 12 artículos
defectuosos y la segunda 180 artículos buenos. (Q= 1%)
a) ¿Cree usted que la afirmación hecha por el fabricante es verdadera luego de examinar la
primera muestra?
Hipótesis:
Ho: u1 – u2 < 0.05
H1: u1 - u2 > 0.05
P1 = 0.06
P2 = 0.9
= 0.01
Zo = 2.576
Z = -32.962
Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que la afirmación hecha por el
fabricante si es verdadera
b) ¿Existieron diferencias significativas en la proporción de artículos defectuosos al
comparar los resultados de ambas muestras?
Hipótesis:
Ho: u1 = u2
H1: u1 K u2
P1 = 0.06
P2 = 0.9
= 0.01
ESTADISTICA Página 55
PRUEBA DE HIPOTESIS
Zo = 2.576
Z = 36
Se rechaza Ho y se acepta H1, por la cual se concluye que si hay diferencias significativas
en ambas proporciones.
EJERCICIO 32 En el pasado, el 10% de las solicitudes para cierta caridad, enviadas por correo,
dieron como resultado ayuda financiera. Se afirma que debido a la buena situación
económica actual, más del 10% de las solicitudes de este año darán como resultado ayuda
monetaria. Para probar esta afirmación, se selecciona aleatoriamente a 100 personas y se les
hace una solicitud, 15 responden donativos. ¿Puede llegarse a la conclusión de que las
personas se han vuelto significativamente mas generosos con ∝= 𝟎. 𝟎𝟐?
SOLUCIÓN
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝒑 ≤ 𝟎. 𝟏𝟎
𝑯𝟏 ∶ 𝒑 > 0. 𝟏𝟎
Proporción muestral:
15
𝑝0 = = 0.15
100
(𝑝̂−𝑝0 ) (0.10−0.15) −0.05
Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐 = = = = −0.527046
𝑝 (1−𝑝0 ) 0.10(0.90) 0.094868
√ 0 √
𝑛 100
Región critica para ∝= 0.02, 𝑍∝ = 2.05: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 > 2.05}
Dado que 𝒁𝒄 = −𝟎. 𝟓𝟐𝟕𝟎 < 2.05 , se acepta 𝑯𝟎 , es decir, no puede concluirse que las
personas se han vuelto significativamente más generosas.
EJERCICIO 33. Se ha insinuado que los profesores se han vuelto más despreocupados al
calificar a sus estudiantes. En el pasado. 80% de todos los estudiantes universitarios de
primer año obtenían 14 ó calificaciones superiores. Una encuesta de la clase más reciente de
estudiantes universitarios de primer año muestra que 8100 de 10000 estudiantes
universitarios de primer año de la muestra recibieron calificaciones de 14 o mayores. ¿Es
verdadero de que los profesores de han vuelto más despreocupados? Use 0.01.
SOLUCIÓN
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝒑 ≥ 𝟎. 𝟖𝟎
𝑯𝟏 ∶ 𝒑 < 0.80
Proporción muestral:
8100
𝑝0 = = 0.81
10000
(𝑝̂−𝑝0 ) (0.80−0.81) −0.01
Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐 = = = = −2.5
𝑝 (1−𝑝0 ) 0.80(0.20) 0.004
√ 0 √
𝑛 10000
Región critica para ∝= 0.01, 𝑍∝ = 2.33: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 > 2.33}
Dado que 𝒁𝒄 = −𝟐. 𝟓 < 𝟐. 𝟑𝟑 , se rechaza 𝑯𝟎 , es decir, los profesores se han vuelto mas
despreocupados.
ESTADISTICA Página 56
PRUEBA DE HIPOTESIS
EJERCICIO 34. Con el fin de decidir cuál de los productos A ó B se lanzará al mercado, el
departamento de marketing de una empresa realiza una promoción con el fin de dar a
conocer ambos productos. El jefe de departamento, conoce que la inversión en el producto A
es mayor que en la de B y también tiene información que la utilidad de salir el producto A a
la venta será mayor que la de B, por lo cual, el jefe de departamento preferiría que sea el
producto A que salga al mercado. Para tal fin, establece la siguiente regla: "Si la diferencia
entre el porcentaje de ventas potenciales de A y de B derivadas de la promoción hecha es
menor o igual a 3%. Entonces el jefe del departamento de marketing, objetará la salida al
mercado del producto A". El porcentaje de ventas potenciales de A fue de 74%. Sobre el total
de hogares en las que se promocionaron este producto en calidad de prueba, y el porcentaje
de ventas potenciales de B. fue de 70%. Se ofrecieron cada producto aproximadamente a
12000 hogares. En base a estos datos, ¿el jefe del departamento de marketing objetará la
salida al mercado del producto A?
SOLUCIÓN
𝑛𝐴 = 𝑛𝐵 = 12000
Hipótesis:
𝑯𝟎 ∶ 𝒑𝑨 − 𝒑𝑩 ≤ 𝟎. 𝟎𝟑 (𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐴 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜)
𝑯𝟏 ∶ 𝒑𝑨 − 𝒑𝑩 > 0.03 (𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐵 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜)
Proporciones muestrales:
𝑝𝐴 = 0.74
𝑝𝐵 = 0.70
Estadígrafo de la prueba:
(𝑝̂𝐴 −𝑝̂𝐵 )−𝒑𝟎 (0.74−0.70)−0.03 0.01
𝑍𝑐 = = = = 1.727
0.00579
̂ (1−𝑝
𝑝 ̂𝐴) 𝑝 ̂ (1−𝑝
̂𝐵) √0.74(0.26)+0.70(0.30)
√ 𝐴
𝑛𝐴
+ 𝐵 𝑛𝐵
12000 12000
NUMERO DE PERSONAS
TAMAÑO DE
AREA QUE VOTARAN EN LAS
MUESTRA
ELECCIONES
A 150 113
B 160 104
¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para fundamentar la opinión del
especialista al nivel de significancia del 5%?
ESTADISTICA Página 57
PRUEBA DE HIPOTESIS
SOLUCIÓN
𝑛𝐴 = 150, 𝑛𝐵 = 160
Hipótesis:
ESTADISTICA Página 58