Modelos continuos

1) Exponencial :
El suceso de interés es el tiempo entre un éxito
y
el
siguiente .

integra !
# *
Propiedad ; falta
de memoria
.
X X
.

-
X .

-Exp(x)
-

x F(x)
f(x) X 1 2
=

e
= . -

deriva

E(x) =
1

función de supervivencia
X
F(x) =
1 -
F(x) =
P(x)x)
V(X) = 1

X2

Ejemplo :
El tiempo de vida de cierto aparato electrónico puede ser considerado
exponencial
con media 10
.

Calcular prob .
de un aparato viva más que 8 , suponiendo que cierto aparato vive más de 8

¿ Cuál es la prob .
de que viva otras 8 mas ?

=
x n = 1
-

10

f(x) = ix
> 0

F(x) =
1 - 2
1) P(x(8) =
F(8) =
e
2 .
P(x > 16 (xx 8) =
p(xx61xx8) = p(x > 16) =
F(16) =
e t
P(x F(8) =
P(X > 8) > 8 =

e
 04 -06-2024

Modelos continuos

2) Normal Cuando :
se tienen muchos individuos con características comparables.
parámetros
·
de interés :

Media

Varianza
-

X -
N(m 5) ,

f(x)
=en
D
1o de máx
y
min
.
*
Sigma determina

X -N(0 1) ,

I Cuando la de
Llega a un máximo indica un cambio de

*
cambio de curratura
.
curvatura
.

-Si derivo me da
↓
⑨

Normal

Puntuaciones
estándar/típica
z).
: z

1
"Campana de Gauss"

z
XM) cualquier estandarización
=

x la medo
llevar a los valores N(0 , 1)

z -N(0 1) ,

E(z)
=
0

V(z) =
1

Distribución normal estandarizada X -

N(100 157 ,

P(x) 120) =
1 -

p(xx120)
F(g) P(z + 1)
to
0 , 8413 z =

Ej :
=
-

P(z >, 1) = 0 , 9856

P(zc -

2
,
1) =
0 9856
,
P(X > 120) = p(zy 120-00)
En
general
:
P(zc -z)
=
1 -

P(z(z) =
p(z(()
=
P(2 = 1 ,
33) =
0 .
9082

4(x) 120)
=
1 -
0
,
9082 = 0 . 0918
 04 -06-2024

N/M Se Varias
e

X ~
,

P(x(374) p(z( u)0 2

-

=
0. 2 ,

p(x = 540) =
0, 6

En tabla :

P(2c -

0, 4) = 0. 2

Por lo tanto :
-m-o

P(x(540) p(zc
-u) 0 6
=
=
.

Endobla :
P(z < 0, 26) =
0 6
,

0 26
140
-
M ,
=
 04 -06 -

2024
166 0 = 1 106
1 S
-
-
,
=
1509

↑
374 -

M = -

0 84 %
.
=

540 -

M =
0 26C 374 m - =
-
0 84 .
-
150 9 ,
.

374 + 126 , 756

M
=

=
500 756
M ,

X~
N/500 8 ,
150 .
9) l
Modelo
,

.
2 Se pide :

P(X(x) =
0 .
05

P(X(x) =
0 .
95

P(25000) = 09

En tabla :

4(2 = 1 . 65) =
0
.
95

=> X -

500 8 , = 1 .
65

150 , 9

X = 1 65
.

150 9 + 500, 8
=> . ,

&
Et49 ,
8 no
por
encine de esta
sobrevive el 5 % de los personas
dosificación

3) P(400 < X (550)

&
.

P(x (550) P(x(400)

=
-

%.
plz508)-p25
=

= p(z(0 33) ,
-

4(z70 .
67) resistem
=
0 6293 -
0 . 25M =
0 . 37
+37 % de los personas
.
 11 -

06 -

2024

z v
N(0 1) ,
* Esperanzas o momentos

E(z)
"

= 0

viz) =
1

P) -
2(z(2) =

p(z(2) -

p(z) 2) -

=
0
. 97725 -
0
. 02275

=
09545

Ej :
coef· intelectual

CI :
X -N(100 ,
152)

¿ Cuál la probabilidad
es de que un individuo tenga un CI más alejado de dos desviaciones estándar

de la media ?

P((X
-

M))20) =
1 -

P/1X u) -

+S .
2

Para estandarizar :

Z =
XXM
=
1
-

4) -

25 - x -

N( 26)
C

=
(
2-p
=
1 -
p) -
2 -2- 2)

=
1 -

0 9545
,

=
0 04550
.

= 0 05 5 %
.

P de
tinga
5%
CI mas dos veces la desviación del promedio de
que arsona
una un
alijado as un

Puedo suponer que un 5 % de la población tiene un 15

alejado dos veas la desviación estándar del promedio.
Def .

Za es el percentila
*
Margen de er ror =
fuera de l normalidad .

4(z = z) = x

Ej :
Zo ,
as
es el valor para el cual tenemos una probabilidad acumulada de 0 , 95

Zoas 1 64
=

,
argen
de erroot

Zo as .
0 ,
95

i
z
② 20 9a 33
=
2 ,
,

20 9aa ,
=
3 , 09

"
! /
IIIII//
/ 0 , 25
/
y
/
/
/// 0 , 25

2r " iE
I

-
25

Intervalo de confianza

↓
M . e
M .
2

~
& -

%" "
t

2 1 5 2; 5%
I
O J

int confianza
-
1 96 +
1 96
, ,

201975 =
1 ,
96

Intervalo de confianza : Es un intervalo dentro del cuál el parámetro se encuentra con probabilidad 1-2
.

-
42
" x1
1 -
L
/2

2 ,
5
% 95 % 2 5 %
.
Ej :
Construir un I C . .
para u , suponiendo N/M S ,

La confianza es 1-2
. La probabilidad de no cometer errores
.

Si se tiene 1 individuo

P( En zzra)
=
-
1 -
2

P) z1-

(uxziz) =
1 -

Ne
P( z. z1
z) 1 a
8 + x S
M-
-
.
=
-
- -

z
-

P( En z x z z) 1
=
C
x 8 Ma +
8
-
-

1
-
- -
. -
-

(2-1)
.

P(x .

5 .

z . -

=
uz x -

57 + z) =
1 - C

Promedio

↑
P(X- 8 Z re .

M = x
+ 5 .

z1 - z) =
1 - a

-
I C .

Para
n individuos
, puedo calcular un I .
C . considerando el .
promedio X

x v
N(u c) , # Cada vez
que aguego un individuo

z =
N(0 1) ,
disminuyo la variabilidad
.

= =En es

V(x)
S
=

X ~
N/u) -
Modelo para n

individuos
.
I

.C .

IZM)
↑

(X-Z Z
=
,X I .
C .
muestra tamaño

Se sabe
E históricamente
:
que con cierto profesor se obtienen notas * = 5
,
5 con des . est 10
. .

↓ ↓
5 M E
M 5
=
,

8 =
1

Se tiene ahora un
grupo de 30
personas con un
promedio de 4 ,
.
9 A un nivel de confianza

del 95 % vamos a calcular el I C .

.

para la nota media .

x
1 -
=
0 .
95

I
-

X
=
4
.9 n
=
30

6 =
1
052
1 a
. 95
0
(4 9 1 96
.,
4 a 1
96(
=
- -
+
.

, , ,

975
1- = 0 .

- -

den
20 975
=
1 .
96 /margen
(4
.

.
54
,
5
, 26) sies significativament
&

es que
dif La evidencia
.

-
> el 5 5 no está en el interval
.

En función del resultado

, hay evidencia para suponer que ha cambiado
significativamente
La nota mudia obtiene el
que se con
profesor
 Estimaciones f 18 06 2024
puntuales parámetro poblacional
- -

intuales Estadístico o estimador : mustral = =

f (x1 , ...,
x)

Hipotesis E :
u = * sensible a datos extremos

=
Md

Ej proporción promedio afectado si

:
es un
-
es centrado si no se ve

↓
no se ve afectado por dacos ext
.

-
es suficiente
X0
S coract.
=
no -

aproximar a los parámetros

.

: k
caract
=

I 5
a
ton

2
no es

= útil para

muestras tiny

* El promedio es normal

G
E(X) =

=> para un comid htt e

② IC para e con S desconocido Tabla

distribución/ modelo t-stutudent Gol Prob

+ 975
t .
90 ta5
I

E(X) =

M
2

depende del tamaño muestrala través

de sus grados de libertad ; n-1

.
sgrado libertad

to a5 .
=
2 ,
01
z N(0 1)
-
,

p(z = 1 96) 0 975

=
. .

20 975 .
= 1 96
.
 .C
I para
con d'desconocida a Cuando no se nada
u
.

-
*
An-1
1
-

+
M n 1 2
-

, ,

vamos estimar nivel de 95 % confianza la nota de la

Ej : a a un de media .
segunda vueba
muestras de 8 notas
* =

4 2625
,

S
4 ,
3 18 49 ,

5, 29
2 ,3

4 ,
8 23 , 04

4 18 , 49
, 3

5 0 , 25

3,7 13 , 69

6
,0 36

3 7
13 , 69
,

4 , 2625 153 , 69

-
3169 -

4 , 26752
= 1, 04 =
Sh
52 =
2 = 1
,
19

12
5 =
va
.
5

(t = ,
0 , 9757 :
2 3646
,

tn -
1 ,
0 975
.

3 - 2 364
-
4

09M4 3646
112 = 0 .
95 , ,
,
3 + 2,

X =
0 . 05

* = 0 025 .

2
, 38 =
3
M - 5 , 21

1
E 0 . 975
-

Hay un 95 % p de que
la noto media del curso esté entre
, 38
3
y 5 , 21
 mudia
&
Ic para la
M con desconocido n
grande
,
y

2
x
- 21
-
-
+

xvB(n p) ,

E(x) =
m
-

p
V(x mp(1 p
=
-

N(1 p)

I
x -
,

E(x)
=

p senouli o namal (1 ,
P)
v(X) =
p(1 -

p)

p
-
N(p ,
PP))
V(x) =

= V(p =
-

Intervalo de
confiaza la
proporción
8
para

Intervalo confiaza para la varianza

22 E +.... zueX
-
+ +

Ch cuadrado
S =

E-)
-

no es simétrica X2x-1 ~ Xin-1

G2
1 -
2 = 0 .
95
n =
20 en aplicación = V = n-1

=
5 =
77 7
0 .
025 ,
2

/
1

2
=

S =
122 ,
1158
19 0 , 975
32 ,
8523P(X(x)
,

1 -

d =
0, 975
2
1
/19 = 8 ,
90652
,
0 .
025

5262
N
·

X2
n 1 1
2
-
-

32 =
xi -

2 Xi = 15544 * =
754 =
77 7
,

2Xiz = 123 . 066

52 066 2
1123
=
77 7
.
.

,
-

20

g2 =
116 .
01

20
·

116 , 01 62 > 20 .
116 , 01
=

32 ,
8523 8 90652 ,

↳
25192182 Variana 260 , 505787

8, 903879[d16 ,
140977
-

desviación estándar

(0 .
4 16 .

14)
,