Lucia Mendoza

z
Bach B

2
. Estudie la curvatura y calcule los puntos de inflexion
, si existen , de la

funcion f(x) = ex
X -
1

Step 1 : Dominio
Dom (f) =
th-EL3
Step 2 : Describin
> es
-
continua y derivada al menos dos veces por ser cociente de funciones

continuas y derivadas cuyo denominador no se anula

Step 3 :
Primera derivada
- (x) = eX(X -
1) -
eX = eX(X 1) -

(X -
1)2 (X -
1)2

Step 4
:
Derivar de la derivada
-"(x) = (eX(X -
z) + ex .
(X -
-(2 -
ex(X -
2) -
(z(X -
1))

(x - 1)4
*
= e [(X-1(k -
2(X -
2)] = e
*
[x2 -
4x + 5]
( X -
1)3 (X -
1)3

Step 5
:
la derivada
igualar segunda a
0x =
o
f"(x) =
0 = e*(X2 - 4x + 5) =
0
4 =- 4
x2
-

-
4x + 5 = 0 = x=
a ↳ C 2

Step 6 :
plantear la curvatura estan en el dominio ?

en la primera derivada da O
-
+ signo fl
en la segunda derivada da O
I curvatura f

F (X) es concava EXE(-co ,

-
1)

> (x)
-
es Convexa EXE (1 ,
+ col

No tiene punto de inflexion

.
2 Calcula los valores de a y lo sabiendo que bo y que la funcion F :
IR-IR

definida por F(x) =

Saco a
es derivable en su dominio
.

Calcule la ecuacion de la recta tangente a la grafica def en los puntos X =

-1 , X
=
0 YX =
2

Step
1 :
Dominio
Dom (f) = R

Step 2
:
Describin
Si X10 , f(x) =
acosa + 2x es continua y derivable parsersuma de funciones
continuas y derivables

2 1 :
. hacer la derivada de la descripcion
F'(X) =
-
a send + 2

Step 2 2 .
:
Repetir (sin el mayor igual
Si X30 ,
f(x) = an(x + 1) + 1 es continua y derivable par ser suma y
X +1
cociente de funciones continuas y derivables
f'(x) =
a2 -
b
X + 2(X - 2)2

Step 3 :
Razonar
F es derivable en R (Dam) ,
entonces fixles continua y derivable
eX = G
Step 4 :
estudiar la continuidad en X = o (hacer limites laterales)
=
> (0)
-
0

Eco-
Lacos + 2x) =
a
lim fix) =

X+ 0 (a zin(x + 2) +
b = b
X+ 0+
X 1 +

para que sea continua en X =

o + a = b

Step 5 :
estudiar la derivabilidad (de los limites laterales (
En X =
o

f'(0 -

) =
lim 1-aseno + 2) =
2
X+ 0
-

flo +
) =
lim (ah b
= a -
b
x + 0+ x + 1(x + 2)z

Step . 2
5 :
applicar Step 4 a Step 5

para que sea derivada en X = 0

, #201 =
flo + )
a =
2

at b 2 + at b 2 =
oka
-
= - -

= -
1 porque a =
b ,
b >

solucion : a
y b =
27 ya tenga el valor de a y b

Step 5 :
para calcular la ecuacion de la recta tangente
en los puntos
Hacer un sistema de la f' derivada aplicando el resultado anterior (a y b 2)
=

3*
2 send + 2 X40
f(x)
-

=
Formula :

X = 0 a) f'(a)
r+
g(x = =
y
-
F(a) = .
(X - a)

↓
aplicar a los puntos

(f) 3
2) -
= 0 , 92
1) f( 1) f) +
r+g(x
= - =
y
=
1) .
(x -
2)
fl 2)
- - -

=
-
3 1
68
v+
g(X
= -
1) =
y
+ 0
(
94
=
3168 .
(X -
1)

u+
g(x
=
a) =
y
-
f(0) =
f(0) .

(x -
0 +
E3
r+ 0) = =
2
g(x
=
z X
-

y
.

r+
g(x = 2) = y
-
f(z) =
f'(z) .
(x -

2)
2
r+ =
2) = 506 =
(x 2)
g(x
.
-

y
-

.
3 Sea f(x) = ax3 + bx2 + x + 0 . Se sabe que la funcion tiene un maximo

relativo en X =
1
, que su grafica corta el eje ox en el punto de abscisa
X =
-2 y que tione un punto de inflexion en X
=
0 . Calcule a ,
b, a y o sabiendo
,

ademas
, que la recta tangente a la grafica de fen el punto de abscisas
X =
2 tiene pendiente .
9

Step 1 :
Dominic
Dam (f) =
IR

Step 2 :
Describin
- es continua y drivable al menos dos veces por ser poliromica
Step 3 Derivar
:

f'(X) =
3ax = + 2bx + c

Step 3 . 1
:
Derivar otra vez de lo deivado preiamente
-"(x) =
Gax +
2b

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 Step 4 :
Aplicar condiciones del enunciado

I. Maximo Relativ enx = 1 + f(x) =

0 + 3a + 2b +c =
0

. Pasa
2 por ox en el punto abscisa x =
-z

( -
2, 0) + f ( -
2) =
0 + -
Sa + 4b -
2 + d =
0

. Punto de
3 inflexion en X =
0 Af" (0) = 0 + zb = 0 + b =
0

. . Recta
4 tangente con punto de abscisas y con a
pendiente
2) 9 + f((2) 9 + 12a + zb + + 12a + =
wrtg(x
= = = c =
0 c 0

Step 5 :
crear un sistema con las 3 condiciones y utilizar metodo

de reduccion

1 .
3a + c =
0
32 + c =
0
2 22a + C =
0 =
22a-c = 0 times
.
- -
1
4 -
8 + 6 + 0 =
0
+ a =
.

-
ga = a
=
1 c = -
3

solucion :
a =
1 ,
b =
0 ,
c = -
3 , 0
=
2

4
. sea la funcion f(x) = 2x3 + 12 x2 + ax +b ,
calcula los valores de a y b

sabiendo que la ecuacion de la recta tangente en su punto de inflexia

=
2x + 3
es y
Step : Dominio
2

Dam (f) =
IR

Descripcion
:
Step 2

F continua y al derivable policomica

es menos z veces por ser

Step 3 :
Derivar

f(x) =
6x2 + 24x + a

Step 3 2 .
:
Derivar de la primera derivada

f"(X) =
12X + 24

Step . 2
3 :
igualar a o
f "(x) =
0 + X = -
2

Step 4 :
calcular curvatura

-
- signo fl
I
-
2 curvatura f
Pto de
-

inflexion

5
Step :
para conseguir a y D
- ( -
2) = 24 -
48 + a = 2 7 a = 26
r+ g(x
= -
2) =
y
=
2x + 3
f (2) 16 + 48 52 + b + b
= - - = = 19
solucion : a =
26 yb
=
19

5 De entre todos los triangulos rectangulos de area 8 centimetros

, determine
cuadrados las dimensiones del que tiene la hipotusa
de menor longitud
.

↳ Teorema Pitagcras de
X h = -xz+
yz + f(x / Y) =
xz +
y

Y
Area X Y
sam +y =
-

= =

f(x) =
yxz + 256

X2 Lucia Mendoza
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 Buscar minimo de gix(
g(x) = xz + 256
2
X

Derivada de gix (
256 2x 2x4 512
g'(x)
-

=
2x
.

= -

3
X43 X

Igualar derivada a o -4
g'(x) 0 + 2x) 512
= - =
0 + x = 17256 -
*
Derivar de la derivada
g"(x) =
8x3 .
x -
(2x" 512) 3x2 - .

XS

Aplican 4 la derivada
en segunda
g"(4) 83 =

Aplicar a la formula del teorema de pitagoras

h 142 + 42
=
132 4-2 = =

solucion :
42 am
4am

4 um

*
6
. Sea f :
/R + te la funcion definida por f(x) = X tax" + bx + c
.

Se sabe que la funcia tiene un punto de inflexion en X = 1 y que

tiene un minimo relativo en X =

2 de valu
-

. Calcule
9 los valores

de a, b y C

Step 1 :
Description
F es continua al menos dos veces drivable por ser polironica
y
Step 2 :
Perivar
f(x) = 3x2 + 2ax + 6

Step 2 . 2 :
Derivar de la derivada anterior
f"(x) = 6x + 29

Step 3 :
Aplicar condiciones
Pto inflexion an X =
1 + F" (1) =
0 + 6 + 29 =
0 + a = -
3

Minimo en x
=
2 de valor 9 -
f'(2) = 0 + 12
-
zz + b =
0 + b =
0
&
-(2) 9 + =
8 -
12 + c
=
a + c = -
5

7
. Sea f : R + t la funcion definida por f(x) =
x3 + x2 + bx + c .

Se sabe que la recta normal a la grafica de f en el punto

de abscisa X =
0 es y +x =
-3 . Calcule los valores de a ,b y a

Step 1 :
Description
- es continua al menos dos veces derivada por ser polironica
y
Step 2 : Derivar
'(x)

&
= = 3xz + 2x +6

Step 3 :
para calcular by c
n+ 0) = y + x = 3
g(x
= -

M = 1
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-

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 . Halle
8 los coeficientes a , b y a sabiendo que la funcion : MTIR definida
por f(x) =
x 3 tax2 + bx + c tiene en X =
1 un punto de derivada nulo

que no es extremo relativo y que la grafica de fpasa por el puntoP(1 ,1)

Step 1 :
Description
- es continua y derivable al meros dos veces por ser policomica
Step 2 : Derivar
f(x) = 3x + 2ax + b
Step 2 .
1 :
Derivar de la derivada
f"(x) =
6x + 29
Step 3 :
Aplican condiciones
punto de derivada nulo que no es extremo en X =
1

f (1)
=
0 + 3 + 2a +b + b 3
2f"(z)
= =
0
-

= 0 + 5 + 2a = 0 + a = -
3

la grafica pasa por el punto (1 , 1) +f (1) =

- + 2 + a +b + c = 1
=c =
0

9 Si las siguientes graficas son las derivadas de las funciones

- S y h . que se puede decir sobre monotonia
, curvatura ,
extremos y puntos de inflexion de dichas funciones ?

L .
Grafica de g'(x)
Step 2 : Dominio

Dam g(x)
=
He
Dom g'(X) =
It

Step 2 :
Description
g(x) es continua y derivada
2

Step 3 :
calculade Mrotonia y extremos
Derivada y igualar a o

g((x) =
0 + X -

-
2
o

& es creciente EXEL-20 , 0 -

+ + signo gl
& es decreciente Exe 10 , 2)
- ↓ - Not
g
9 es decreciente FX-12 , +col hin
relative
S presenta un minimo relativo en 10 , g(0)

Step 4 :
calcular la curvatura (punto de inflexion (
signo gl
t -
+ + -
t signo gl
I I ↑ I
2 2 2 2
curvatura g
9 es Convexa EXE ( :
co o
monot gl pto Dto ,

de inflexion de inflexion 9 es concava XXE 10 , 2)

9 es convexa Ext (2 ,
+ c)

& tiene un punto de inflexion en (2 , 9(2)

2 . Grafica de f(x) 9 tiene un punto de inflexion en 10 , glo
Step 1 : Dominio
Dam f(x) =
IR
Dam f'(X) =
IR

Step 2
:
Descripcion
f(x) es continua y derivada

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 Step 3 :
Estudiar Monotonia y extremos
Derivada y igualar a o
1
f(x) = 0 + X
- F es decreciente EXEL-0, 1)
-
3 F Ext (1
es creciente , 3)

sign fl F es decreciente Ext (3 , + (0)

t
-
-

F tiene
S
1
I
7 ↳ S
Mortonia f
un minimo relativo
en (1 , F(11)
min .
max
.
relat F tiene maximo relative
relat un

en 13 , +(3))

Step 4 :
estudiar curvatura (puntos de inflexion)

Signof" +
signof"
t
- -

7 ↳ Morotfl
↳ curvatura f
~ ↓ FXE
es Convexa L-co , 2)
- es Concava FX(z ,
+ co)

.
3 Grafica de g'(x) ↓ tiene un punto de inflexion en (2, (2)

Step 1 : Dominio

Dang(x)
=
IR

g'(X) R
=
Don

Step 2 :
Descripcion
g(x) es continua derivada
y

Step 3 : Estudiar monotonia y extremos

Derivada y igualar a o

= 2
=
g((x) 0 + x

t
signo gl
t
es creciente EXE 1-00 , 0)
-

1 I 9
-
O - 2
7
Non +
9 & es decreciente FXELo , 2)
max min es creciente EXE (2 + co)
g
.

relativo relativ tiene en(2 , g(z)

9
un max. relativ .

g tiene un min relativen (o , glol)

Step 4 :
estudiar la curvatura (puntos de inflexion (

"
9 es concava FxE(-0 1) ,

signo gl
-it
-
t signo 9 es Convexa FXE 11 , + co
Monotgl ↳ curvatura 9 9 tiene un punto de inflexion
en (1 , 911))

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