a) f : IR → IR , flx ) =

x -
Elx)

Elx) e x e Elx) -11 O E x -

Elx) L 1 O Eflxlc 1

XECO , 1) flx ) = × xe C1 , 2) flx ) =

x -1 . . . . .

ae 7L
,
xela , a +
1) flx ) =
× -
a .

¡
•
Sea ae IR Si acf K Ela) < al Ela) -

1 i
¿ la Éas ,
.

,
a

Sea r = min { a- Ela)

,
Ela) te -

al ,
entonces en Ela ) ,
r
, flx) =
x -
Ela) fes continua en a

lija tlxl =

liga lx - Ela ) =
a -
Ela) =
flx )

O O

Si ae k l '

l l

l
' the ( a ,
ats ) ,
flx) =
× -
a
1
|

É d
'
tu
'

liga
a- s x
lx a)
flx) liga O f- la)
= =
- =

,
.

ttxe la 1)
a. a) flxtx la
linea flx) liga la 1) =L
-

x
- - -
-

,
.
.

fes continua por la derecha en todo AEIR .

f- es continua en todo a # 2

f- no es continua por la izquierda en aek

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 b) flxl =
Elxlx × -

Elx ) f : IR →
IR

AETL : o
( sin sumarle la

× -

Elx) METEN = F-a parte entera)

⑥ 1
•
/
a att
a
HXE ( a 1)
a -11 3-
-

¡
- - - -

,
at

2 -
-
- - e l
'
1
La
gráfica de i - - .

:
I
l
I

/
(

i !
¿
' .

-1 1

flxl
-

,
2 3
Elx) FEA
'
+
!
-

i -- . -
n

! - - - - - .
- r

quedaría así

Si a # 7L
,
Ir > O tal que flx) =
Ela) + Txtla) ,
ttxe la -
r
,
aer ) =
Ela , r
) .

Entonces ,
lixmja flx ) =

liga Ela) t Txta) =

Ela) trata) =p Cab .

Por tanto , f es continua en a .

Si aeak ttxela , ) flxtatrxa tanto

liqa-flxl-lixma.at Txta -1cal
•

ats es
por ,
=
a
, ,

Por otra parte , ttxe la flxt-a-1-Tx-a.tt

-

1. a) es
, luego

tlx )
linfa hija la 1) t Cass ve fla)
= -

x -
=
a- se = a = .

. .

Por tanto flxl fla) ttae fes IR

liga 7L asi continua todo
=
en ae
, , que .

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 c) f : IR '
401 > IR
, flx ) =
El %)

O E
¥ a 1 ⇐ × > 1 Vx > 1
, flxl =
El 4×1=0

¥ flx) ( 11×1=1
1 a- 2 ⇐y
TE 1 E
=
a cx E

¥ 3
tgcxetz flx) E- ( 11×1=2
-
2a a

En Eltlx )
general si
tengo ke k 471 KE
¥ aktt
te ÷ flx ) K
=
, , con cx a- =

O
octg <
¥
La invierte
-

desigualdad se

# ¥ yt ¥
O OC
xcyco x >
y
> ⇐ a a co
-
-

- 4-

Si ke 7L
,
H # 0 ,
K # -1
y h¥ a x
r
E
t co
-
3¥

( para
2 02 O

§ El 4×1=4 negativos)
-

k e chis estos ×

- 1 04 •

X e -1 LO -1
Etx LO El "x ) =
-1
l

la
os
K In
p "" " " '

-
i
-
m
,
-

q • -
1

La
gráfica quedaría asi :

OC co -

Para a > 1
y
ae -1
,
fes continua
a • -

02
y
• -

Para los casos a

÷ habría que
tomar
liga liga
-

y
-

,
. ,

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 a) ¥ ,
¥ } , ,
¥ ,
¥ y ¥ cumplen flxktz xelo 1) ,

flx) 7¥ xech ,
x =

} irreducible

flilq ) =

qts ¥ ,
qe 7 5-
ftz I if , ,
. . . _

,
¥ ,
_
. . .

,
¥}

Ahora , fijado ne IN con

ns.2flx/7nIe-sx=Pq irreducible

y f- (4)
=

qtznt q
en Sn =
SI I. Es
,
, . . .

, E ,
. . .
.

, }

b) Tenemos que probar que HE > 0 ,

7020 tal que ttxe ( 0,1 ) con Oclx -
al có se cumple

que lflxl -01 =

flxlc E .

Sea Sea
E > 0 . not IN con
nto c E

Por lo que sólo

hemos probado en (a) ,
hay un n°
finitos de puntos con
flxtr.no ,

Sr -4 . xs , xr , . . . .
, xa } Í Í Í '

ATRA I I I
Xu

Sea D= min 11 xj -
al / xjesno ,
Xj # a }

Entonces ,
ttx con Oclx al LO -
veamos
que fcx ) LE

Sea × con oclx al co -

si × ¢ Ch
, flx) =
OCE ✓

✓
Si xech ,
xetsno flxtcno < E

c) Sea aelo , 1) .

fes continua en a O =

tiza flxl =
fla) a- fla ) aefch
-

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 a)
b)

a) Sea { Xml E Ch con lim { Xnl =

Va ,
existe por la densidad de Q en IR .

/
Como f es continua en ti lim } flxnl 4 =
flrr )
,

flra ) =L
I

line 44 =
,

Dado ae IR cualquiera ,
el
argumento anterior nos da que flal =L ,
luego flal =
1 Hae IR

6) Sea ae IR . Sea 4 Xn } EQ con limlxnl =

c .

)
Como f y g
son continuas en a
,
lim 4 think =

fla)
tlakgla) en todo el
conjunto .

limlsgcxnsl gca) =

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 1-
¡; ; ; ;
I
{ IININEIN }

{
' i
' '
1 si xe ,

| l
, l
I
1

06 Ó to '

f flxl
'
a) : CO , 1) → IR ,
=

0 ,
si xq 1141rem }

Sea ae ( 0,1 ) con aef { Entre IN I 7 ! n ( depende de a) tal que

Er ca
ent

ttxe ( Ei , E) flx ) tiza flxt-0-f.la)

Si a-
nto para no EIN
, flxl Vxe (¥ ÷ ) ,
=

( Fe , a)

tiza .
flxko # flal =
1 f no es continua en a =
÷

Si no > 1
,
xe
( a
, not ) flxl lim
xsat
141=0

si ae { In Ine INI ,
lim flxl ttla ) =L f tiene una discontinuidad evitable una .

× → a

Si a = O
f no tiene limite en 0 .

Si bxn } Elo , 1) n Rich

y
lim { Xnle =
O lim { flxnll =
tim 304=0

Por otra parte 144=141 0 tim

} f- LE ) f- lim 111 =L
→
,
y

f tiene una discontinuidad esencial en a- 0 .

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 a) Continua en ( 0,1) y
discontinuo en 0 .

{
° ,
si xelo , 1)

flx) =

1 , si × = O

b) Continua no acotada
y
.

¡ flxtzfx ,
liga .
flx) =
to

:
:
1
1

c) Continua en
ningun punto .

La función de dirichlet

d) Continua y acotada

Una constante , flxl =

1

e) Continua sólo en un
punto .

si

{
O ' XEQ
ftp. aeco , 1)
× si × c- IRIQ
,

lím flxl =
O bim flx ) =
a f es continua en a ⇐y a = O
xra xsa

XEQ
XEIRILH

f) Continua
y
acotada pero que no
tenga máximo

flx ) =
X . Sup =L ,
pero no se alcanza nunca .

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 (
f- la)

}
, si xca
HA - - - - -
_

GCX ) flx) si aexej

=

1- la)
flb ) si b
.

,
× >
| 1 1
a o

Es continua trivialmente en todo IR .

¿ Podríamos decir lo mismo si el intervalo es abierto ?

f : la b)
,
> IR es continua ,
no
podemos decir lo mismo
, por ejemplo :

f :( "k
)

flxt-tgxlj-I.iq
,
Tk >
IR

flx ) la
= -
n
,
no
puedo extender
función .

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 \

(
'
o Sea K =
f- (¥ ) .
Como
liga ,
flxl = to
, para
,

HEY -
'
este k existe de > 0
,
con Ocde a tal que
flc)
i
¡
- -
-

/ l
/
| , y kxela ,
ató . ) se tiene que flx) > K

Ir ató .
a
-
: b-Sr
'
d
2

Como
lximrj .
flxl =
+ no
, para este k existe ó,
soy da a
¥ tal que V-xelb-h.se )

se tiene flxlsk
que

Consideremos f :
Cards ,
b- da ] → IR . Como
fes continua en la , 61 fes continua en
,

[ atda f
,
b- da ] .

EL tiene mínimo en ese intervalo ,

es decir :

7 ce Catch ,
b- ó ,
] tal
que flote flx ) ttxe latón ,
b- ó, ]

Veamos que flc) Eflx ) ttxela b) ,

f- HE flatt ) = K
porque ataste [ a. a. b- ói

Si xela , o ) y xcat Os ó b- Oicxcs flxlskzf.cc )

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 Veamos f- es acotada
que
:

Tenemos probar que existe G > O tal que lflxll El ttxe IR

que

as

-
- -
- -
- - -
-
Le

de

£ ]
MI M2

-
La - - -
- - - -
-
-

Sea E =L Como lim flx) =L ,

para E- 1 3- Mico tal ttx CMS lflx) Le 14
que
-

.
, ,
,
x→ -
x

lflxll =
lflx) -

Le tlsl El flx) -

Lil t 141 a-
1+1 La I ttx a
Ma

Como flxtlr lflx ) la1

lixm E -1 3- Mr > O tal ttx Mi , la
-

para que
>
, ,
,

lflx ) la 1-1141 , ttx > Mr

Consideremos f :( Me ,
Mis → IR .
Como fes continua en [ Mi ,
Me ] , por el
Th de W .

f está acotada en [ Mi ,
Mis 7 kso tal que lflx ) lek Vxe CM , MD

Sea 4 =
máx { K , 1+141,1+1411 Hlxll EL ttxe IR V

¿ se
puede asegurar que f tiene máximo o mínimo ?

No ,
por ejemplo :
flx ) =

arctg × es continua en IR

limos arotgx Tk c- IR
-
=

,
no tiene máximo ni mínimo
porque es

liz ,
arctgx = TKEIR estrictamente creciente .

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 Í -
- -
- -

anterior
-

igual el
- - -

-
que ejercicio .

K I
a M

¿ Se puede concluir lo mismo si el dominio es la tal ?

,

f :( oro ) → IR flxl =
14 ,
no está acotado

¿ se
puede asegurar que f tiene máximo o mínimo ?

f : la ,
x ) > IR continua ,
linz ,
flxl =L

Entonces f tiene máximo o mínimo :

•
si flx) =L ttxeca ,
x ) ,
entonces ✓

Si flx ) # L entonces 3. beca a) tal que flo) al ó flo) L

•
>
, ,

Veamos que si final entonces f tiene mínimo en Ca , x ) y

si flo) > L
,
entonces

f- tiene máximo en Caso )

*
Supongamos flb ) > L
flb
)
y
máximo
f- lol Sea E-
ftp.t Eso
.

7-
- - - .
- - . .

-
Como le fcxl =L este Eso 7M b
;]
>
,
, para .

\ 1 1
a
O M
tal que kxs M , lflxt LICE
-

flx ) a ↳ E =

ruta =

Liz a
21¥ =
flor)

Considero f : Ca , MJ > IR
,
como fes continua en la , MJ
, por el Th de W .
f

tiene máximo la , MJ es decir , 7 ceca MJ tal fue flc) ttxe la MJ

en
, , que ,

flbl ello) y si × > M

, flx ) <
flote flc)

flxleflc ) ttxe Caso ) ✓

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 Probar que si lim flxt -
n entonces f tiene máximo .

xs -

Como
Ea I lixm flx) para K fla) 7M
= -

- = > a
, ,

! M »

! tal ttxs M tiene flxjcfla)

fla) - - -
- .
.
- -
- - - - .

que se
que
>

Consideremos f :( a. MJ fes continua la , MJ el Th de W tiene

→ IR como en
, por .
f

máximo la , MJ es decir, 3- ceca MJ tal flx) E

flc) ttxe Ca MJ
en
, , que ,

En particular , flaleflc )

pude flc )

3)
lim ¥ = tu
+

eIIo ( Ee #
× → ①

1=+4,4
.

tiño E. = -

a)
¥ = s

LE E.)
.

¥
=
+
-
-
.

II. ÷ = -

lím ( x -11=0 X -1 LO ttxelo , 1)

× → 1-
y

Como intervalo lmf ftp.1 ))

y 10,1)
f continua intervalo
es es un su
imagen es un =
,

{Io fto 4)

{
flxl = tu
, no está acotado superiormente
+

t "" " ) =
"

lim flxk 1- Class )

o no está acotado
inferiormente
-

x→ 1-

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879
 Probar que f- tiene mínimo en la ,bJ

Por el teorema de W .
Ice Ca ,
» tal que flx ) 71kt V-xeca.rs

f- (c) > O TI cflc) cflx ) kxeca , Dr

/,
2
OLX

¿ Qué puede decirse si F- la , b) ?

f :(0,1) → IR
, flxl
=
x > O ttxelo 1) ,
.

Si I > 0 basta tomar 0 <

xa min { a. el fcx ) =
xca

Sea f
flx ) x2 Mx 1 [ 0,23 → IR continua CO 23
=
- -
: en ,
,

f- LOI =
-1 LO

f- (2) =
4- TE -1 =3 -
VI 20

Por el Th de Bolzano 7 xelo , 2) tal que flxto x

'
-

Vx =L
,

flo) = -1 LO f- C. 0,13 → IR continua .

fl 1) =
320

Por el Th de Bolzano , Ixe ( 0,1 ) tal que flx ) =

O xsex 4-1×4×-1=0

tiene una única solución es estrictamente creciente ( lo es )v

y
.

a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-3657879